teorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce

Transkript

1 Jiří Petržela

2 obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový článek, atd. Obr. : Definice dvojbranu, dvojbran jako přenosový článek.

3 dvojbran je obecně nelineární pro malé signály ho můžeme linearizovat v okolí pracovního bodu linearizace prvků obvodu je základním krokem pro aplikaci střídavé analýzy v programech řady Spice nelinearita je v některých případech nezbytná linearizací prvků můžeme znemožnit některým obvodům jejich správnou funkci

4 základní popisy linearizovaných dvojbranů impedanční maticí U admitanční maticí I + zi + zi U zi zi + yu + yu I yu yu dopředně kaskádní maticí U au ai I au ai zpětně kaskádní maticí U b U + b I I b U + bi

5 základní popisy linearizovaných dvojbranů hybridní sério-paralelní maticí U h I + h U I h I + hu hybridní paralelně-sériovou maticí I + cu + ci U cu ci popis dvojbranu rozptylovou maticí používá se v oblasti velmi vysokých kmitočtů, výhodné zejména z hlediska měření + in in out out in U od su do + su do U od su do s U out do

6 kaskádními parametry lze popsat i neregulární dvojbrany hodnoty jednotlivých parametrů lze získat výpočtem, uvažujeme-li některou z bran naprázdno nebo nakrátko chceme-li dvojbranové parametry odvodit z obecné impedanční nebo admitanční matice, je potřeba tyto specifické podmínky brát při výpočtu v úvahu mezi jednotlivými skupinami parametrů existují vztahy pro jejich přepočet, jsou uvedeny v tabulkách

7 Tab. : Vzájemný přepočet vybraných čtyřpólových parametrů.

8 základní přenos napětí (na výstupu naprázdno nebo se zátěží Z Z ) U / U U přenos proudu (na výstupu nakrátko nebo se zátěží Z Z ) I / I I vstupní impedance nebo admitance (při výstupu naprázdno, nakrátko nebo se zátěží) Z U / I Y I / U in in in out out in in in in in

9 základní výstupní impedance nebo admitance (na vstupu naprázdno nebo se zátěží Z G ) Z U / I Y I / U out out přenosová impedance (na výstupu naprázdno nebo se zátěží Z Z ) Z U / I přenosová admitance (na výstupu nakrátko nebo se zátěží Z Z ) Y I / U T T out out out out in in out out

10 odvozené z kaskádní matice vstupní a výstupní impedance dvojbranu az a a Z Z l + in Z out a + a a Z přenos napětí a proudu dvojbranu U a + a Y l I přenosová imitance dvojbranu U Z I a + a a Y l g g + a + a Z + a l

11 Obr. : Náhradní schémata při popisu dvojbranu různými parametry.

12 Y Y Y S 3 Y Y Y S 3 y y y y y y y y y y y y y y Y Y Y S 3 y y y y + + y y y Obr. 3: Náhradní obvody s jedním zdrojem proudu.

13 Obr. 4: Náhradní obvody s jedním zdrojem napětí. 3 z z Z z z Z z Z z z Z 3 z z Z z z Z z Z z z Z 3 z z Z z z Z z Z z z Z

14 Laplaceova transformace Pierre Simon de Laplace, 8 formální zavedení operátoru d p d t takže platí y x x y x y ( n) dt d d t y f y () t s f () t sx x s n s x y

15 Laplaceova transformace pomocí elementárních časových průběhů signálů lze složit složitější průběhy, ale jednoduší je dosazení do definičního vztahu LT lineární obvod působí na signál derivačními a integračními procesy snadný popis operátorovým počtem Obr. 5: Vyjádření časového průběhu signálu operátorovým obrazem.

16 Laplaceova transformace integrální transformace používaná při řešení obyčejných diferenciálních rovnic v elektronice využijeme pro řešení spojitých systémů, například odezvy nebo přechodové jevy funkce reálné proměnné F funkce komplexní proměnné () { ()} () st () s LT f t f t e dt f t LT { LT{ f () t } 0 obraz funkce originál funkce v čase

17 vybrané vlastnosti Laplaceovy transformace linearita a f ( t) + b g( t) a F( s) + b G( s) tlumení e at f ( t) F( s a) konvoluce ( f * g)( t) F( s) G( s) posunutí f ( ) as t a e F( s)

18 Obr. 6: Příklad LT tlumení a posunutí pro harmonické buzení, Mathcad.

19 obvodová funkce F(s) lze vypočítat pomocí algebraických doplňků admitační matice obvodu, viz přednáška 5 kde Y () ( ) ( ) ( ) s F s X s Y t LT { Y ( s) } Y(s) je obraz odezvy X(s) je obraz buzení F(s) je obvodová funkce LT - je inverzní Laplaceova transformace Y(t) časový průběh výstupního signálu

20 odezva obvodu na Diracův impuls (impulsní odezva) Y X () t X ( s) 0 t t odezva obvodu na jednotkový skok (přechodová odezva) Y () t LT 0 0 () { ( ) ( )} t LT F s X s LT { F( s) } X () t X ( s) 0 t t < 0 0 F s () s s

21 Obr. 7: Aplikace LT pro zjištění odezvy obvodu na budicí signály, Mathcad.

22 kmitočtové charakteristiky u lineárního dvojbranu vyvolá harmonické buzení X(ω) harmonickou odezvu Y(ω) ( ) ( ) jϕ ( ) ( ) ω Y ω Y ω e Y ω ( ) j[ ϕ ( ω ) ϕ ( ω )] F ω e jϕ ω X ω X ω e X ω ( ) ( ) ( ) ( ) komplexní amplituda výstupního signálu komplexní amplituda vstupního signálu Obr. 8: Dvojbran při zpracování harmonického signálu.

23 druhy kmitočtových charakteristik F ( ) ( ) j ϕ ( ω ) ω F ω e F( ω) [ ] j Im[ F ( ω) ] Re + modulová fázová (argumentová) hodograf Obr. 9: Souvislost jednotlivých druhů kmitočtových charakteristik.

24 výpočet kmitočtových charakteristik modulová charakteristika zisk v db ( ω) ( ω) Re[ ( ω) ] ( ω) + Im[ ] argumentová charakteristika ϕ k ( ω) ( ω) 0log ( ω) arctg Im Re [ ( ω) ] ( ω) [ ]

25 kmitočtové charakteristiky racionální lomené funkce modulová charakteristika ( ω) N D ( ω) ( ω) ( ω) Re Re [ ( )] N ω + Im N ( ω) [ ] [ D ( ω) ] + Im[ D ( ω) ] zisk v db k ( ω) 0log ( ω) 0log N( ω) 0log D( ω) argumentová charakteristika Im N ( ω) ϕ( ω) arctg Re N ω [ ] [ ( )] arctg Im Re [ D ( ω) ] D ( ω) [ ]

26 reálná nebo imaginární část přenosu napětí se používá málo, například pro vyšetřování stability podle Nyquistova kritéria, viz přednáška obdobným způsobem jsou definovány impedanční kmitočtové charakteristiky výslednou modulovou charakteristiku lze rozložit na dílčí funkce, používá se například při kaskádní syntéze filtrů F ( j ) ω F0 k l F k F l ( jω) ( jω)

27 nebo v db F + ( jω) [ ] [ ] ( ) ( ) db F0 db Fk jω [ db ] Fl jω [ db ] k konečný výsledek se získá součtem nebo rozdílem dílčích kmitočtových charakteristik v db podobně pro výslednou argumentovou charakteristiku platí + k ( jω) ϕ ϕ ( jω) ϕ ( jω) ϕ 0 a opět se jedná o součet nebo rozdíl dílčích fázových charakteristik k l l l

28 zobecnění obvodových funkcí formální náhrada ( ) ( ) s F j F j j + ω ω σ ω podíl Laplaceových obrazů odezvy a buzení je racionální lomenou funkcí () ( ) () n n m m s b s b s b b s b s a s a s a s a a s X s Y s F teorie elektronických obvodů

29 tuto funkci lze rozložit na součin kořenových činitelů () ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) n m n k k k m j j j p s p s p s p s z s z s z s z s F s b s a s F zde z m jsou nulové body a p n jsou její póly () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j k k j j k k p j z j F j F p s z s F s F ω ω ω 0 0

30 znalost počtu, polohy (hodnoty) nulových bodů a pólů dávají ucelený pohled na vlastnosti a chování obvodu migrace (rychlost změny polohy) nulových bodů a pólů naznačují citlivost obvodu na změnu jeho parametrů z rozložení pólů a nulových bodů lze sestrojit aproximaci průběhu kmitočtových charakteristik kmitočtové korektory v audio technice kompenzace nul a pólů ke zvýšení stability obvodu

31 konečný kmitočet logaritmické měřítko převod na stupně počítání s nulou Obr. 0: Výpočet kmitočtových charakteristik pro obecný přenos, Mathcad.

32 nulový bod v počátku přenos ( s) s 0 kmitočtová charakteristika ( jω) jω 0 modulová kmitočtová charakteristika ( ω) ω k( ω) log( ) 0log( ω) argumentová charakteristika ( ω) ϕ 0 π / ϕ + yb+ax rovnice přímky

33 je-li obvodovou funkcí impedance jedná se o induktor ( jω) 0 i jω z i ( jω) jω 0 0 ϕ ( ω) ( ) zi ( z ) Obr. : Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, nulový bod v počátku. arctg Im ω arctg i Re i i 0

34 im (jω) re (jω) frekvence Obr. : Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s nulou v počátku, program Mathcad.

35 pól v počátku přenos kmitočtová charakteristika ( jω) jω / modulová kmitočtová charakteristika ( ω) ω k( ω) 0log( ) 0log( ω) argumentová charakteristika 0 / 0 ϕ ( s) s / ( ω) ϕ 0 π / 0 0 yb-ax rovnice přímky

36 je-li obvodovou funkcí impedance jedná se o kapacitor ( jω) 0 jω i p i ( jω) / jω 0 0 ϕ ( ω) arctg Im ( ) pi ( p ) ω arctg i Re i i 0 Obr. 3: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, pól v počátku.

37 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 4: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s pólem v počátku, program Mathcad.

38 reálný záporný nulový bod přenos () s + s / z ( s + z ) z ( s z ) + kmitočtová charakteristika ( jω ) + jω / z modulová kmitočtová charakteristika k ( ) ( ) ω 0log z + ω 0 ( z ) argumentová charakteristika log ( ω) ( ) ϕ / arctg ω / z 0

39 ( jω) 0 i jω z i ( jω) 0 jω z ϕ ( ω) ( ) zi ( z ) Obr. 5: Odvození kmitočtových charakteristik, reálný záporný nulový bod. i Im arctg Re i arctg ω z i

40 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 6: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálnou zápornou nulou, program Mathcad.

41 reálný kladný nulový bod přenos kmitočtová charakteristika ( jω) jω / z modulová kmitočtová charakteristika k ( ) ( ) ω 0log z + ω 0 ( z ) argumentová charakteristika ( s) s / z ( ) z s / z ϕ log ( ω) ( ) arctg ω / z

42 ( jω) 0 i jω z i ( jω) 0 jω z ϕ ( ω) i Im Re ( z ) i ( z ) arctg ω arctg z i Obr. 7: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, kladná nula. i

43 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 8: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálnou kladnou nulou, program Mathcad.

44 přenosy a fázové posuvy na význačném kmitočtu reálná záporná nula reálná kladná nula ω k ( ω) ( ω) z 3 ϕ ( ω) arctg( ) ω z ϕ π / 4 ( ω) k ϕ ( ω) 3 ( ω) arctg( ) ϕ π / 4

45 reálný záporný pól přenos ( ) ( ) jω + jω / p modulová kmitočtová charakteristika k ( ) ( ) ( ω 0log p / p + ω 0log + ω p ) argumentová charakteristika ( ) ( ) s + s / p p ( s p ) + kmitočtová charakteristika ϕ / / ( ω) ( ) arctg ω / p /

46 ( jω) 0 i jω p i ( jω) 0 / jω p ϕ ( ω) i Im arctg Re ( ) zi ( z ) i Obr. 9: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, záporný pól. i arctg ω p

47 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 0: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálným záporným pólem, program Mathcad.

48 reálný kladný pól přenos ( ) ( ) jω jω / p modulová kmitočtová charakteristika k ( ) ( ) s s / p p /( p s) ( s p ) kmitočtová charakteristika ( ) ( ) ( ω 0log p / p + ω 0log + ω p ) argumentová charakteristika 0 / / ( ω) ( ) ϕ arctg ω / p /

49 ( jω) 0 i jω p i ( jω) 0 / jω p ϕ ( ω) i ( z ) i ( z ) Im arctg Re arctg i Obr. : Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, kladný pól. i ω p

50 im (jω) re (jω) frekvence Obr. : Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálným kladným pólem, program Mathcad.

51 přenosy a fázové posuvy na význačném kmitočtu reálný záporný pól ω p reálný kladný pól k ( ω) ( ω) / 3 ϕ ( ω) arctg( ) ω p ϕ π / 4 ( ω) / k ϕ ( ω) 3 ( ω) arctg( ) ϕ π / 4

52 komplexně sdružené nulové body v levé polorovině přenos () ( )( ) ( ) n n n n s n n s n n n s n s s teorie elektronických obvodů (), ψ σ ψ σ σ ψ σ ± s s s j n nulové body budeme předpokládat komplexní, σ<0 ( ) ψ σ σω ω ψ σ ω j j kmitočtová charakteristika

53 modulová kmitočtová charakteristika ( jω) argumentová kmitočtová charakteristika σω ϕ σ + ψ ω ( ω) arctg dva nezávislé přenosy s jednou komplexní nulou kmitočtové charakteristiky ( σ + ψ ω ) σ ( s) s + n ( ) s s + n ( jω) σ + j( ω + ψ ) ( jω) σ + j( ω ψ ) + ψ + 4σ ω

54 modulové kmitočtové charakteristiky ( ) ( ) ( ) jω σ + ω + ψ jω σ + ( ω ) ψ argumentové kmitočtové charakteristiky ω + ψ ω ψ ϕ ( ω) arctg ϕ ( ω) arctg σ σ

55 Obr. 3: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, komplexní nuly.

56 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 4: Hodograf pro celkovou a modulové kmitočtové charakteristiky dílčích přenosových funkcí s jednou komplexní nulou, program Mathcad.

57 Obr. 5: Modulové kmitočtové charakteristiky dílčích přenosových funkcí vyšších jakostí s jednou komplexní nulou, program Mathcad.

58 komplexně sdružené póly v levé polorovině přenos [ s p ] ( ) [( )( )] s / s + p s + p s + ( p + p ) + p p / póly budeme předpokládat komplexní, σ<0 ( ) ( s / s + σ + σ ψ ) σ ± jψ s +, kmitočtová charakteristika ( ) ( jω / σ + ψ ω jσω) + modulová kmitočtová charakteristika ( j ) ( ) σ + ψ ω 4σ ω / + ω

59 argumentová kmitočtová charakteristika σω ϕ( ω) arctg σ + ψ ω dva nezávislé přenosy s jedním komplexním pólem + () s / ( s + p ) ( s) ( s p ) / kmitočtové charakteristiky ( jω) /[ σ + j( ω + ψ )] ( jω) / [ σ + j( ω ψ )] modulové kmitočtové charakteristiky ( ) jω / σ + ( ω + ψ ) ( ) jω / σ + ( ω ψ )

60 argumentové kmitočtové charakteristiky ω + ψ ϕ ( ω) arctg ϕ ( ω) arctg σ ω ψ σ Obr. 6: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, komplexní póly.

61 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 7: Hodograf pro celkovou a modulové kmitočtové charakteristiky dílčích přenosových funkcí s jedním komplexním pólem, program Mathcad.

62 dolní propust RLC druhého řádu obvodovou funkcí je přenos napětí naprázdno () s LCs + CRs + kmitočtová charakteristika ( jω) LCω + jcrω Obr. 8: RLC dolní propust druhého řádu.

63 velké ztráty malé ztráty Obr. 9: Hodografy pro přenosovou funkci dolní propusti druhého řádu, program Mathcad.

64 Obr. 30: Modulové a fázové kmitočtové charakteristiky pro přenosovou funkci dolní propusti druhého řádu, program Mathcad.

65 horní propust RC prvního řádu obvodovou funkcí je přenos napětí naprázdno s () s s +/ ( CR) kmitočtová charakteristika jω ( jω) j ω +/ CR ( ) Obr. 3: Derivační článek.

66 modulová a fázová kmitočtová charakteristika ω ( jω) / CR + ω ( ) ϕ ( ω) ω arctg arctg 0 ( C R ω) Obr. 3: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, derivační článek.

67 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 33: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro derivační článek, program Mathcad.

68 Obr. 34: Modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro RC horní propust v logaritmických souřadnicích, program Mathcad.

69 paralelní rezonanční obvod obvodovou funkcí je vstupní impedance dvojpólu sl Z() s LCs + sl / R + kmitočtová charakteristika jωl ( jω) LCω + jωl / R Obr. 35: Paralelní rezonanční obvod.

70 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 36: Modulové a fázové kmitočtové charakteristiky pro impedanci paralelního rezonančního obvodu, program Mathcad.

71 pásmová zádrž se sériovým rezonančním obvodem obvodovou funkcí je přenos napětí naprázdno ( jω) () s LCs LCs + kmitočtová charakteristika + LCω + jωrc LCω + jω ( R + R ) Cs + ( R + R ) R Cs + C Obr. 37: Pásmová zádrž s paralelním rezonančním obvodem.

72 im (jω) re (jω) frekvence Obr. 38: Modulové a fázové kmitočtové charakteristiky pro pásmovou zádrž druhého řádu, program Mathcad.

73 laboratorní úloha - zpětná vazba a kompenzace stabilita invertujícího zesilovače zatíženého kapacitorem kaskáda elementárních přenosových článků Obr. 39: Vyšetřování stability zesilovače zatíženého kapacitorem.

74 Obr. 40: Střídavá analýza zesilovače zatíženého kapacitorem, celková a dílčí modulová kmitočtová charakteristika, program Pspice.

75 obrazové parametry dvojbranu obrazové impedance dvojbranu zjistíme při opačné bráně naprázdno a nakrátko Z 0 Zin Z Z Z Zout výsledné obrazové impedance ( 0) in( ) 0 out( 0) ( ) a a 0 Z0 a a Z při zátěži dvojbranu obrazovou impedancí platí Z Z Z l a a 0 in Z 0 a a

76 a naopak Z Z Z g 0 out Z 0 odvození Z 0 z kaskádních parametrů U in( 0) I U 0 Z a a U in( ) lim I U a U a I U Z a U a I a a

77 odvození Z 0 z kaskádních parametrů out( 0) I a 0 I U Z out( ) I a 0 I I Z vlastnosti reciprocitního dvojbranu Z Z Y Y det A vlastnosti podélně souměrného dvojbranu Z Z Y Y A U U A a a I I a a a a

78 vlastnosti příčně souměrného dvojbranu nemají na parametry vliv přenos výkonu dvojbranem G P P vlastnosti se nezmění po záměně vstupu a výstupu G u i ( I ) U U I Obr. 4: Struktura podélně a příčně souměrného dvojbranu.

79 při harmonickém buzení bude U I g ln G ln b + U kde b je míra útlumu v db ( I ) UI b 0log U I dříve byl jednotkou Np (Neper), přičemž db 0.5Np Np dB ja

80 děkuji za pozornost