Úvod do TI - logika Aristotelova logika. Marie Duží

Podobné dokumenty
Marie Duží

Okruh č.9: sémantické metody dokazování v PL1 model formule Tradiční Aristotelova logika kategorický sylogismus subjekt predikátové výroky

Úvod do logiky: PL Kategorický sylogismus

Aristotelská logika. Z pohledu klasické výrokové logiky má úsudek:

Úvod do logiky (PL): sylogismy (cvičení)

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

Sylogistika. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 16

Cvičení 7 - řešení. Vennovy diagramy

Česká republika - ŽENY

2016 Česká republika ŽENY (aktuální k )

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Úvod do logiky (PL): logický čtverec

Úvod do logiky (PL): ekvivalence a negace výroků logického

Logika. Materiály ke kurzu MA007. Poslední modifikace: prosinec zkoumá způsob vyvozování. Lidské uvažování

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

Materiály ke kurzu MA007

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.

Sémantika predikátové logiky

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika 1. přednáška. Marie Duží

Materiály ke kurzu MA007

Kvantita (u subjektu) všechny prvky množiny (všichni, každý, nikdo, žádní ) některé prvky množiny (některý, existuje,.) predikát.

Úvod do logiky (PL): logický čtverec (cvičení)

př. Kr., narozen ve Stageiře, žák Platónův, učitel Alexandra Velikého, Lykeion (peripatetická škola), po smrti Alexandrově exil a brzká smrt.

Aristotelská logika. Pojem

Aristotelská logika. Pojem

Úvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Úvod do logiky (PL): analýza vět přirozeného jazyka

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

Úvod do logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 23

Logický čtverec. Tradiční logický čtverec

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Premisa Premisa Závěr

Úvod do logiky: PL analýza vět mimo logický čtverec (cvičení)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

)(x 2 + 3x + 4),

Marie Duží

Marie Duží

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Základy informatiky. Výroková logika

Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu


2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

Matematická analýza 1

Lineární algebra : Lineární prostor

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

Predikátová logika (logika predikátů)

12. Funkce více proměnných

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell,

2.2 Sémantika predikátové logiky

UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 1/5

Úvod do logiky (PL): analýza vět mimo logický čtverec

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

4.2 Syntaxe predikátové logiky

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky

Predikátová logika. Kapitola Formule predikátové logiky

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Základní pojmy matematické logiky

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

Výroková logika - opakování

09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, Logika

platné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

Formální systém výrokové logiky

Úvod, základní pojmy, funkce

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Základy logiky a teorie množin

Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

Seminář z IVT Algoritmizace. Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr

Úvod do logiky a logického programování.

Matematická analýza III.

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Logika před rokem 1879

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Predikátová logika. prvního řádu

Matematika B101MA1, B101MA2

I. Úvodní pojmy. Obsah

Logika, výroky, množiny

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Transkript:

Úvod do TI - logika Aristotelova logika Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Platón, Aristoteles (vpravo) 384 322 Mine is the first step and therefore a small one, though worked out with much thought and hard labour. You, my readers or hearers of my lectures, if you think I have done as much as can fairly be expected of an initial start... will acknowledge what I have achieved and will pardon what I have left for others to accomplish. 2

Aristotelova logika Řecký filosof a zakladatel logiky Aristoteles zkoumal před více než 2000 lety tzv. Subjekt Predikátové výroky a úsudky z nich vytvořené: Všechna S jsou P SaP affirmo Žádné S není P SeP nego Některá S jsou P SiP afirmo Některá S nejsou P SoP nego Všechny pojmy S, P jsou zde vždy neprázdné. Z dnešního pohledu jde o fragment predikátové logiky Výrokovou logiku zkoumali v té době stoici (v opozici Aristotelovi), kteří rovněž postihli základy predikátové logiky. (Viz František Gahér: Stoická sémantika a logika). 3

Aristotelova logika: log. čtverec kladné záporné obecné SaP SeP částečné SiP SoP SaP SoP, SeP SiP kontradiktorické SaP SeP, SeP SaP kontrární SiP SoP, SoP SiP subkontrární SaP SiP, SeP Sop, subalterní: SiP SaP, SoP SeP neboli podřízené 4

Logický čtverec - obraty SiP PiS Někteří studenti jsou ženatí Někteří ženatí jsou studenti. SeP PeS Žádný člověk není strom Žádný strom není člověk. SaP PiS Všichni učitelé jsou státní zaměstnanci Někteří státní zaměstnanci jsou učitelé. SeP PoS Žádné jedovaté houby nejsou jedlé Některé jedlé houby nejsou jedovaté. 5

Logický čtverec (důkazy vztahu) kladné záporné obecné SaP SeP částečné SiP SoP SaP SoP, SeP SiP diagonále). kontradiktorické (po Všechna S jsou P Není pravda, že některá S nejsou P Důkaz (de Morgan): x [S(x) P(x)] x [S(x) P(x)] Žádné S není P Není pravda, že některá S jsou P 6

Logický čtverec (pokračování) SaP SeP SiP SoP SaP SeP, SeP SaP kontrární Všechna S jsou P Není pravda, že žádné S není P x [S(x) P(x)] x [S(x) P(x)] Důkaz (sémanticky): Je-li S U P U, pak nemůže být S U podmnožinou komplementu P U, tedy není S U P U. Žádné S není P Není pravda, že všechna S jsou P x [S(x) P(x)] x [S(x) P(x)] Důkaz (sémanticky): Je-li S U P U (komplementu), pak nemůže být S U podmnožinou P U, tedy není S U P U. 7

Logický čtverec (pokračování) SiP SoP, SoP SiP subkontrární Není pravda, že některá S jsou P Některá S nejsou P x [S(x) P(x)] x [S(x) P(x)] Je-li S U P U (podmnožinou komplementu) a S U (je neprázdné), pak je neprázdný také průnik S U a komplementu P U : (S U P U ), tj. x [S(x) P(x)] Analogicky: Není pravda, že některá S nejsou P Některá S jsou P (za předpokladu neprázdnosti). SaP SiP, SeP Sop, subalterní: SiP SaP, SoP SeP neboli podřízené Analogicky důkaz pro zbylé vztahy: Všechna S jsou P, tedy některá S jsou P, atd. Vše za předpokladu neprázdnosti 8

Logický čtverec - obraty SiP PiS SeP PeS Některá S jsou P Některá P jsou S Žádné S není P Žádné P není S x [S(x) P(x)] x [P(x) S(x)] x [S(x) P(x)] x [P(x) S(x)] SaP PiS SeP PoS Všechna S jsou P Některá P jsou S Žádné S není P Některá P nejsou S x [S(x) P(x)] x S(x) x [P(x) S(x)] x [S(x) P(x)] x P(x) x [P(x) S(x)] 9

Aristotelovy sylogismy Jednoduché úsudky tvořené kombinacemi tří predikátů S, P, M, kde M je zprostředkující predikát, který se v závěru neopakuje, závěr je vždy tvaru S-P. I. M-P II. P-M III. M-P IV. P-M S-M S-M M-S M-S Správné módy jsou: I. aaa, eae, aii, eio (barbara, celarent, darii, ferio). II. aoo, aee, eae, eio (baroco, camestres, cesare, festino). III. oao, aai, aii, iai, eao,eio (bocardo, darapti, datisi, disamis, felapton, ferison). IV. aai, aee, iai, eao, eio (bamalip, calemes, dimatis, fesapo, fresison). Neučíme se pochopitelně nazpaměť správné módy, 10 ale

11. Nakonec ověříme, zda vzniklá situace Aristotelova logika: sylogismy Ověříme na základě množinových úvah pomocí Vennových diagramů: Obory pravdivosti predikátů S, P, M zakreslíme jako (vzájemně se protínající) kroužky. Poté znázorníme situaci, kdy jsou premisy pravdivé, tj. Vyšrafujeme plochy, které odpovídají prázdným třídám objektů (všeobecné předpoklady) Označíme křížkem plochy, které jsou jistě neprázdné (existenční předpoklady); křížek přitom klademe jen tehdy, když neexistuje jiná plocha, kam by mohl přijít

John Venn 1834-1923 Cambridge 12

Sylogismy a Vennovy diagramy Všechny rodinné domy jsou x [R(x) S(x)] soukromým vlastnictvím Některé nemovitosti jsou rodinné domy x [N(x) R(x)] Některé nemovitosti jsou soukromým vlastnictvím x [N(x) S(x)] Dle 1. premisy je prázdná množina R / S Důležité je pořadí: nejdřív vyškrtáme prázdné plochy, pak klademe křížek. Dle druhé premisy je neprázdný průnik R a N uděláme křížek. 13

Sylogismy a Vennovy diagramy Všechny rodinné domy jsou x [R(x) S(x)] soukromým vlastnictvím Některé nemovitosti jsou rodinné domy x [N(x) R(x)] Některé nemovitosti jsou soukromým vlastnictvím x [N(x) S(x)] Dle 1. premisy je prázdná množina R / S Ověříme pravdivost závěru: průnik ploch N a S musí být neprázdný. Úsudek je platný. Dle druhé premisy je neprázdný průnik R a N uděláme křížek. 14

Sylogismy a Vennovy diagramy Všichni jezevci jsou sběratelé umění x [J(x) S(x)] Někteří sběratelé umění žijí v norách x [S(x) N(x)] Někteří jezevci žijí v norách x [J(x) N(x)] Dle 1. premisy neexistuje jezevec, který není sběratel šrafujeme. Jak však znázorníme pravdivost 2. premisy? Průnik S a N je neprázdný, ale nevíme, kam dát křížek! Úsudek je neplatný. 15

Sylogismy ověření platnosti Někteří politici jsou moudří lidé x [Pl(x) M(x)] Nikdo, kdo je moudrý, není pyšný x [M(x) Ps(x)] Někteří politici nejsou pyšní x [Pl(x) Ps(x)] Nejdříve vyhodnotíme všeobecnou premisu 2! Neexistuje žádné M, které by bylo Ps: škrtáme průnik M a Ps Dle 1. premisy je neprázdný průnik M a Pl: uděláme křížek Vyhodnotíme závěr: průnik Pl a komplementu Ps musí být neprázdný: pravdivost zaručena, úsudek je platný. 16

Sylogismy ověření platnosti Všechna auta jsou dopravní prostředky x [A(x) D(x)] Všechna auta mají volant x [A(x) V(x)] Některé dopravní prostředky mají volant x [D(x) V(x)] 1. Premisa - Plocha A musí být podmnožinou plochy D: šrafujeme. Dle 2. premisy je plocha A podmnožinou plochy V: šrafujeme. Vyhodnotíme závěr: pravdivost není zaručena, křížek v průniku D a V není! Úsudek je neplatný. 17

Všeobecné premisy ne existence Všechny skleněné hory jsou skleněné Všechny skleněné hory jsou hory Některé hory jsou skleněné Příklad Bertranda Russella (1872-1970) Úsudek je neplatný. 18

Sylogismy ověření platnosti Všechna auta jsou dopravní prostředky x [A(x) D(x)] Všechna auta mají volant x [A(x) V(x)] Existují auta (implicitní předpoklad) x A(x) Některé dopravní prostředky mají volant x [D(x) V(x)] 1. Premisa - Plocha A musí být podmnožinou plochy D: šrafujeme. Dle 2. premisy je plocha A podmnožinou plochy V: šrafujeme. Vyhodnotíme závěr: pravdivost je zaručena, křížek v průniku D a V je, úsudek je platný Dle 3. premisy uděláme křížek na plochu A. 19

Širší použití, nejen na sylogismy P 1 : Všichni státníci jsou politici P 2 : Někteří státníci jsou inteligentní P 3 : Někteří politici nejsou státníci x [S(x) P(x)] x [S(x) I(x)] x [P(x) S(x)] Z 1 :? Někteří politici nejsou inteligentní x [P(x) I(x)]? Z 2 :? Někteří politici jsou inteligentní x [P(x) I(x)]? P 1 : šrafujeme S / P. P 2 : klademe křížek na průnik ploch S a I. Z 1 : nevyplývá, křížek není. P 3 : nemůžeme udělat křížek, nevíme na kterou plochu. Z 2 : vyplývá, křížek je. 20

Vennovy diagramy P 1 : Všichni zahradníci jsou zruční. x [P(x) Q(x)] P 2 : Každý, kdo je zručný, je inteligentní. x [Q(x) R(x)] (P 3 : Existuje aspoň jeden zahradník.) x P(x) ) Z:Někteří zahradníci jsou inteligentní. x [P(x) R(x)] 1. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v množině P a nebyl v množině Q (De Morgan) tedy šrafujeme. 3. premisa zaručuje neprázdnost množiny P, tedy (děláme křížek). 2. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v množině Q a nebyl v množině R (De Morgan) tedy šrafujeme. 21

Vennovy diagramy P 1 : Všichni zahradníci jsou zruční. x [P(x) Q(x)] P 2 : Každý, kdo je zručný, je inteligentní. x [Q(x) R(x)] (P 3 : Existuje aspoň jeden zahradník. x P(x) Z: Někteří zahradníci jsou inteligentní. x [P(x) R(x)] Nyní otestujeme, zda křížek v diagramu odpovídá našemu závěru. Křížek v diagramu, opravdu náleží průniku množin P a R, tedy odpovídá našemu závěru, proto je úsudek PLATNÝ. 22

Vennovy diagramy P 1 : Všichni studenti umějí logicky myslet. x [S(x) M(x)] P 2 : Pouze koumáci umějí logicky myslet. x [M(x) K(x)] Z: Všichni studenti jsou koumáci. x [S(x) K(x)] 1. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v množině S a nebyl v množině M (De morgan) tedy šrafujeme. 2. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v množině M a nebyl v množině K (M je podmnožinou K) tedy šrafujeme. 23

Vennovy diagramy P 1 : Všichni studenti umějí logicky myslet. x [S(x) M(x)] P 2 : Pouze koumáci umějí logicky myslet. x [M(x) K(x)] Z: Všichni studenti jsou koumáci. x [S(x) K(x)] Nyní otestujeme, zda nevyšrafované oblasti vystihují náš závěr. Závěr říká, že všechny prvky ležící v množině S leží taktéž v množině K. To opravdu podle diagramu platí, tedy úsudek je PLATNÝ. 24

Vennovy diagramy P 1 : Všichni studenti logiky se učí logicky myslet. x [P(x) Q(x)] P 2 : Kdo se učí logicky myslet, ten se neztratí. x [Q(x) R(x)] Z: Někteří studenti logiky se neztratí. x [P(x) R(x)] 1. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v množině P a nebyl v množině Q (De Morgan) tedy šrafujeme 2. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v množině Q a nebyl v množině R (De morgan) tedy šrafujeme 25

Vennovy diagramy P 1 : Všichni studenti logiky se učí logicky myslet. x [P(x) Q(x)] P 2 : Kdo se učí logicky myslet, ten se neztratí. x [Q(x) R(x)] Z: Někteří studenti logiky se neztratí. x [P(x) R(x)] Poznámka: V tradiční Aristotelově logice je tento úsudek považován za platný. Avšak, ze všeobecných premis nemůžeme usuzovat na existenci! Nezapomeňte však, že dle Aristotela jsou zde všechny pojmy Nyní otestujeme, zda je opravdu úsudek platný či nikoliv. Závěr říká, že existuje prvek v průniku množin P a R. Diagram ale toto nepotvrzuje (není křížek), proto úsudek je NEPLATNÝ. 26

Vennovy diagramy P 1 : Všichni studenti logiky se učí logicky myslet. x [P(x) Q(x)] P 2 : Kdo se učí logicky myslet, ten se neztratí. x [Q(x) R(x)] Existují studenti logiky (implicitní předpoklad) x P(x) Z: Někteří studenti logiky se neztratí. x [P(x) R(x)] Poznámka: dle Aristotela jsou zde všechny pojmy neprázdné. Přidáme-li implicitní předpoklad, že Nyní můžeme na plochu existují studenti odpovídající průniku P a R logiky, je úsudek dát křížek je neprázdná. platný. Závěr říká, že existuje prvek v průniku množin P a R. Diagram toto nyní potvrzuje (je křížek), proto úsudek je PLATNÝ. 27

Definice ploch S A : S(x) P(x) P B C H A D F E G M M(x) B : S(x) P(x) M(x) C : S(x) P(x) M(x) D : S(x) P(x) M(x) E : S(x) P(x) M(x) F : S(x) P(x) M(x) G : S(x) P(x) M(x) H: S(x) P(x) 28

Vennovy diagramy a sylogismy P 1 : Žádný pták není savec x [P(x) S(x)] P 2 : Někteří ptáci jsou běžci x [P(x) B(x)] Z: Někteří běžci nejsou savci x [B(x) S(x)] 1. premisa říká, že neexistuje prvek, který by byl v průniku množin P a S tedy šrafujeme. 2. premisa říká, že průnik P a B je neprázdný klademe křížek. Ověříme závěr: průnik P a komplementu S je neprázdný, úsudek je platný. 29

Vennovy diagramy P 1 : Někteří vládci jsou krutí. x [V(x) K(x)] P 2 : Žádný dobrý hospodář není krutý. x [H(x) K(x)] Z: Některá vládci nejsou dobří hospodáři. x [V(x) H(x)] Nejprve 2. premisa: šrafujeme průnik H a K. Pak dle 1. premisy klademe křížek na průnik V a K. Nyní testujeme závěr: průnik V a komplementu H je neprázdný. Úsudek je platný 30