Úvod, základní pojmy, funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod, základní pojmy, funkce"

Transkript

1 Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek 1 / 69

2 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce, zobrazení 4 Přehled elementárních funkcí 5 Polynomy 6 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Michal Fusek 2 / 69

3 Skladba a hodnocení kurzu ESMAT Přednášky Cvičení vysvětlení pojmů a souvislostí procvičení odpřednášené látky na příkladech Zkouška prověření všech získaných vědomostí Hodnocení Během semestru je možné získat 30 bodů (3 písemky po 10 bodech). Podmínka udělení zápočtu: Zisk alespoň 10 bodů během semestru a docházka do cvičení. Zkoušková písemka je za 70 bodů. Michal Fusek 3 / 69

4 Osnova kurzu ESMAT Úvod do matematiky Logika, množiny, funkce Lineární algebra Vektory, matice, determinanty, soustavy lineárních rovnic Funkce jedné proměnné Diferenciální počet (limita, derivace a jejich aplikace) Integrální počet (neurčitý, určitý integrál a jejich aplikace) Pravděpodobnost a statistika Michal Fusek 4 / 69

5 Co je matematika? Matematika pochází z řeckého slova Máthema, což znamená vědění a poznání. Matematika nejsou počty ty jsou jen jedním z nástrojů (může je za nás vykonat počítač). Matematika je prostředkem k popisu a formalizaci jevů v okolním světě - umožňuje odhadnout důsledky těchto jevů a najít souvislosti mezi nimi. Michal Fusek 5 / 69

6 Matematická logika Matematická logika Výrok - tvrzení, o kterém lze jednoznačně rozhodnout (dokázat), zda je pravdivé či nepravdivé. Brno je vesnice. V Českých Budějovicích by chtěl žít každý. Kolik je hodin? Výrokové spojky - pomocí nich sestavujeme složené (složitější) výroky. Negace p není pravda, že p Konjunkce p q p a zároveň q Disjunkce p q p nebo q Implikace p q jestliže p, pak q Ekvivalence p q p, právě když q Michal Fusek 6 / 69

7 Matematická logika Výroky můžeme ohodnotit pomocí pravdivostních hodnot p q p p q p q p q p q Příklad Vyšetřete výrok (p q) (p q). p q q p q p q (p q) (p q) (p q) Michal Fusek 7 / 69

8 Matematická logika Výroková funkce (predikát) - tvrzení, které obsahuje proměnnou a které se stane výrokem, jestliže za tuto proměnnou dosadíme prvek z přípustné množiny. Příklad x 2 N je predikát s přípustným oborem (například) R. Dosadíme π: π 2 N nepravdivý výrok Obor pravdivosti tvoří všechna kladná sudá čísla. Kvantifikátory Obecný pro každé; pro všechna Existenční existuje alespoň jedno; pro alespoň jedno Jednoznač. exist.! existuje právě jedno; pro právě jedno Platnosti : platí; pro které platí; takové, že platí Michal Fusek 8 / 69

9 Matematická logika Příklad Jsou dány výroky: p : Každý v této místnosti má rád matematiku. q : x R : x = 0. r :!x R : 2x + 1 = 0. s : x R : y R : x 2 = y. t : y R : x R : x 2 = y. Přečtěte dané výroky a rozhodněte o jejich pravdivosti. Michal Fusek 9 / 69

10 Množiny Množiny Množina - jakýkoliv soubor či systém objektů (zadáme výčtem prvků nebo výrokovou funkcí). a A: Prvek a patří do množiny A. a A: Prvek a nepatří do množiny A. Systém množin - množina, jejíž prvky jsou opět množiny. Příklad Prázdná množina : např. počet lahví whisky v této učebně Konečná množina (konečný počet prvků): např. A = {0, 1, 2}, B = {0, {0, 1}, {{0}, 1}} (obě mají 3 prvky) Nekonečná množina (nekonečný počet prvků): např. {3, 4, 5,...}, N, Z, Q, I, R, C Michal Fusek 10 / 69

11 Množiny Operace s množinami Sjednocení množin A a B: A B Množina všech prvků, jež patří alespoň do jedné z množin A nebo B. Průnik množin A a B: A B Množina všech prvků, jež patří jak do množiny A, tak do množiny B. Je-li A B =, pak říkáme, že množiny A a B jsou disjunktní. Rozdíl množin A a B: A \ B Množina všech prvků, jež patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B. Michal Fusek 11 / 69

12 Množiny Podmnožinou A množiny B, píšeme A B, rozumíme takovou množinu A, jejíž všechny prvky náleží i do množiny B. Pokud platí A B a zároveň B A, tak mluvíme o množinové rovnosti A = B. Kartézský součin množin A a B: A B = {(a, b) a A b B}. Příklad Počet dvojic v tomto kartézském součinu je m n. R R značíme R 2 = množina všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel. Jsou-li A, B, A B neprázdné množiny, pak A B B A. Necht A = {1, 2}, B = {3}. Určete A B a B A. Řešení: A B = {(1, 3), (2, 3)} B A = {(3, 1), (3, 2)} Michal Fusek 12 / 69

13 Množiny Číselné množiny Přirozená čísla: N = {1, 2, 3,...} (N 0 = N {0}) Celá čísla: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Racionální čísla: Q = {q = z n : z Z, n N} Iracionální čísla: I (nelze je vyjádřit jako podíl celého a přirozeného čísla) Reálná čísla: R = Q I (R = R {, }) Body a se nazývají nevlastní body reálné osy. Komplexní čísla: C = {z = a + bj : a, b R, j 2 = 1} Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel [a, b] a píšeme z = [a, b] = a + bj. a...reálná část komplexního čísla z b...imaginární část komplexního čísla z Michal Fusek 13 / 69

14 Množiny Množina reálných čísel R Necht a, b R, a < b. Intervaly: (a, b) = {x R : a < x < b} a, b = {x R : a x b} (a, b = {x R : a < x b} a, b) = {x R : a x < b} Nevlastní body a (nepatří do R) zavedeme označení R = R {, } (a, ) = {x R : a < x} a, ) = {x R : a x} (, a) = {x R : x < a} (, a = {x R : x a} (, ) = R Michal Fusek 14 / 69

15 Zobrazení a funkce Funkce, zobrazení Zobrazení f množiny D f do množiny H f je předpis, který každému prvku x D f přiřadí právě jeden prvek y H f. Zapisujeme: f : D f H f Definiční obor zobrazení f : D f Obor hodnot zobrazení f : H f = {f (x) : x D f } Funkce (reálná funkce jedné reálné proměnné) je takové zobrazení f, jehož definiční obor, stejně jako obor hodnot, jsou podmnožiny množiny R. Michal Fusek 15 / 69

16 Funkce, zobrazení Rovnost funkcí f, g: f = g D f = D g x : f (x) = g(x) f g, f h, g h Zúžení funkce f na A: f / A : f / A (x) = f (x), x A D Například: f / 0, ) = g/ 0, ) = h Michal Fusek 16 / 69

17 Funkce, zobrazení Graf funkce jedné proměnné je množina bodů v rovině daná vztahem Γ = {(x, y) x D f y = f (x)} Funkce f (x) = x 2. Nejde o graf funkce. Michal Fusek 17 / 69

18 Definiční obor funkce Jestliže Příklad Funkce, zobrazení f (x) = g(x) h(x), pak h(x) 0. f (x) = 2n g(x), pak g(x) 0. f (x) = log a [g(x)], pak g(x) > 0. Určete definiční obor funkce f (x) = x+9 x 3 5x. [D(f ) = R \ {± 5, 0}] g(x) = 4 x 2 5x + 6. [D(g) = (, 2 3, )] h(x) = log 2 (9 x 2 ). [D(h) = ( 3, 3)] Michal Fusek 18 / 69

19 Složená funkce Funkce, zobrazení Funkci f g (čti f po g) danou předpisem nazveme složenou funkcí. f...vnější složka g...vnitřní složka (f g)(x) = f (g(x)) Definiční obor: D f g = g 1 (D f ) = { x D g g(x) D f } Michal Fusek 19 / 69

20 Příklad Funkce, zobrazení (a) Určete obě složky f (x) a g(x) funkce F(x) = sin (x 2 ). (b) Určete všechny tři složky f (x), g(x) a h(x) funkce G(x) = 3 e 2x 4. Příklad Určete f g, jestliže f (x) = 1 + 2x, x 12 ), g(x) = sin x, x π 2, π 2 Řešení: f (g(x)) = sin x ( D f g = g 1 (D f ) = g 1 1 )) 2, = arcsin ( 12 )), = arcsin ( 12 ), 1 = π 6, π 2 Michal Fusek 20 / 69

21 Prostá funkce Funkce, zobrazení Necht f je funkce a M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každou dvojici x 1, x 2 M platí x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Vodorovné přímky protnou graf prosté funkce nejvýše jednou. Je-li funkce f na M ryze monotónní, pak je f na M prostá. Opak (f je prostá f je ryze monotónní) neplatí! (tg(x), x (0, π)) Michal Fusek 21 / 69

22 Funkce, zobrazení Inverzní funkce Necht f je prostá funkce. Inverzní funkcí k funkci f rozumíme funkci f 1, jejímž definičním oborem je obor hodnot funkce f a pro každou dvojici (x, y), x D f, y H f, platí y = f (x) právě když x = f 1 (y). Michal Fusek 22 / 69

23 Vlastnosti Funkce, zobrazení Necht f je prostá funkce. Potom platí D(f 1 ) = H(f ), H(f 1 ) = D(f ) f 1 (f (x)) = x, x D(f ) a f (f 1 (x)) = x, x D(f 1 ) ( f 1 ) 1 = f Grafy funkcí f a f 1 jsou symetrické podle přímky y = x. Michal Fusek 23 / 69

24 Funkce, zobrazení Výpočet inverzní funkce f 1 (1) Ověříme, zda je funkce f prostá: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) nebo f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 (2) V zápisu y = f (x) zaměníme x a y, čímž dostaneme x = f (y). (3) Z rovnice x = f (y) vyjádříme y a máme předpis y = f 1 (x). Příklad Je dána funkce f (x) = 3x 2. Ověřte, zda existuje inverzní funkce f 1 a v kladném případě ji najděte. Dále určete D(f ), H(f ), D(f 1 ), H(f 1 ). Řešení: f 1 (x) = x 2 + 2, D(f ) = H(f 1 ) = 3 ) 2 3,, H(f ) = D(f 1 ) = 0, ) Michal Fusek 24 / 69

25 Funkce, zobrazení K elementární funkci je inverzní vždy jiná elementární funkce: f (x) D(f ) f 1 (x) D(f 1 ) x 2 x 0, ) x x 0, ) x 2 x (, 0 x x 0, ) x 3 x R 3 x x R e x x R ln x x (0, ) a x x R log a x x (0, ) sin x x π 2, π 2 arcsin x x 1, 1 cos x x 0, π arccos x x 1, 1 tg x x ( π 2, π 2 ) arctg x x R cotg x x (0, π) arccotg x x R Michal Fusek 25 / 69

26 Funkce, zobrazení Algebraické operace mezi funkcemi Jsou-li f, g funkce a c konstanta, můžeme definovat nové funkce: f + g : (f + g)(x) = f (x) + g(x); D f +g = D f D g f g : (f g)(x) = f (x) g(x); D f g = D f D g fg : (fg)(x) = f (x)g(x); D fg = D f D g f g : f f (x) g (x) = g(x) ; D f g cf : (cf )(x) = cf (x); D cf = D f = {x D f D g g(x) 0} Michal Fusek 26 / 69

27 Funkce, zobrazení Monotonie Bud f funkce, M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), neklesající, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), klesající, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), nerostoucí, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Michal Fusek 27 / 69

28 Funkce je Funkce, zobrazení monotóní na množině M, pokud je neklesající na M, nebo nerostoucí na M. ryze monotóní na množině M, pokud je klesající na M, nebo rostoucí na M. Rostoucí funkce. Neklesající funkce. Michal Fusek 28 / 69

29 Funkce, zobrazení Parita Bud f taková funkce, že pro její definiční obor platí x D(f ) x D(f ). Funkce f je sudá, jestliže pro x D(f ) platí f ( x) = f (x). lichá, jestliže pro x D(f ) platí f ( x) = f (x). Michal Fusek 29 / 69

30 Funkce, zobrazení Graf sudé funkce je symetrický podle osy y. Graf liché funkce je symetrický podle počátku. Michal Fusek 30 / 69

31 Funkce, zobrazení Příklad Rozhodněte o případné sudosti a lichosti následujících funkcí: f (x) = x 2 1 x 4 +3 g(x) = x+1 x 1 h(x) = log 2 x+1 x 1 [sudá] [ani sudá, ani lichá] [lichá] Michal Fusek 31 / 69

32 Funkce, zobrazení Periodičnost Necht p R, p > 0. Funkce f je periodická s periodou p, jestliže pro všechna x D(f ) platí x + p D(f ), f (x + p) = f (x). Periodická funkce. Michal Fusek 32 / 69

33 Funkce, zobrazení Ohraničenost Bud f funkce, M D(f ). Funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže existuje d R takové, že pro každé x M platí f (x) d její obor hodnot je ohraničený zdola shora ohraničená, jestliže existuje h R takové, že pro každé x M platí f (x) h její obor hodnot je ohraničený shora ohraničená, jestliže existují d, h R takové, že pro každé x M platí d f (x) h její obor hodnot je ohraničený Michal Fusek 33 / 69

34 Funkce, zobrazení Funkce ohraničená shora. Michal Fusek 34 / 69

35 Funkce, zobrazení Kladná a záporná funkce Bud f funkce a M D(f ). Funkce f je kladná na M, pokud f (x) > 0 pro x M. nezáporná na M, pokud f (x) 0 pro x M. záporná na M, pokud f (x) < 0 pro x M. nekladná na M, pokud f (x) 0 pro x M. Bod [0, f (0)] nazýváme průsečík funkce f s osou y. Je-li f (x 0 ) = 0, pak nazýváme bod [x 0, 0] průsečík funkce f s osou x. Michal Fusek 35 / 69

36 Přehled elementárních funkcí Přehled elementárních funkcí - mocninné funkce x 2 x 2, x 4 Michal Fusek 36 / 69

37 Přehled elementárních funkcí x 2, x Michal Fusek 37 / 69

38 Přehled elementárních funkcí x 3 x 3, x 5 Michal Fusek 38 / 69

39 Přehled elementárních funkcí 1 x, 1 x 2 Michal Fusek 39 / 69

40 Přehled elementárních funkcí Exponenciální funkce f (x) = a x Michal Fusek 40 / 69

41 Logaritmické funkce Přehled elementárních funkcí f (x) = log a x Michal Fusek 41 / 69

42 Přehled elementárních funkcí e x, ln x (e = 2, ) Michal Fusek 42 / 69

43 Přehled elementárních funkcí 2 x, ( 1 x, 2) log2 x, log 1 x 2 Michal Fusek 43 / 69

44 Přehled elementárních funkcí Goniometrické funkce sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Michal Fusek 44 / 69

45 Přehled elementárních funkcí Funkce sin x a cos x jsou definovány pro všechna x R a jsou periodické s periodou 2π. Funkce sinus je lichá a funkce kosinus sudá. y = sin x y = cos x tg x = sin x cos x, cotg x = 1 tg x = cos x sin x Michal Fusek 45 / 69

46 Přehled elementárních funkcí Funkce tg x je definována pro všechna x R, pro která platí x (2k + 1) π 2, k Z. Funkce cotg x je definována pro všechna x R, pro která platí x kπ, k Z. Funkce tg x a cotg x jsou liché a periodické s periodou π. y = tg x y = cotg x Michal Fusek 46 / 69

47 Přehled elementárních funkcí Cyklometrické funkce Inverzní ke goniometrickým funkcím. Funkce sin x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arcsin x je definovaná na intervalu 1, 1 a je inverzní k funkci sin x na intervalu π 2, π 2. Michal Fusek 47 / 69

48 Přehled elementárních funkcí Funkce cos x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arccos x je definovaná na intervalu 1, 1 a je inverzní k funkci cos x na intervalu 0, π. Michal Fusek 48 / 69

49 Přehled elementárních funkcí Funkce tg x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arctg x je definovaná na intervalu (, ) a je inverzní k funkci tg x na intervalu ( π 2, π 2 ). Michal Fusek 49 / 69

50 Přehled elementárních funkcí Funkce cotg x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arccotg x je definovaná na intervalu (, ) a je inverzní k funkci cotg x na intervalu (0, π). Michal Fusek 50 / 69

51 Přehled elementárních funkcí Další důležité funkce Znaménková funkce 1 pro x > 0 sgn x = 0 pro x = 0 1 pro x < 0 Celá část [x] Z, [x] x < [x] + 1 Charakteristická { funkce množiny 1 pro x M χ M (x) = 0 pro x / M Michal Fusek 51 / 69

52 Přehled elementárních funkcí Absolutní hodnota reálného čísla = vzdálenost od počátku x pro x 0 x = x = x 2 x pro x < 0 1) x = a x = a x = a (a 0) můžeme napsat x = ±a 2) x < a a < x < a NEMŮŽEME napsat x < ±a Michal Fusek 52 / 69

53 Přehled elementárních funkcí Transformace grafu funkce Necht je dána funkce y = f (x) a nenulová reálná čísla a, b. y = f (x + a) graf posunutý doleva (a > 0) nebo doprava (a < 0) y = f (x) + b graf posunutý nahoru (b > 0) nebo dolů (b < 0) f (x) = (x + 1) 3 f (x) = x Michal Fusek 53 / 69

54 Polynomy Funkci Polynomy P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde a 0,..., a n R, a n 0 nazýváme polynom stupně n, n N 0. Čísla a 0,..., a n nazýváme koeficienty polynomu P. Koeficient a n nazýváme vedoucí koeficient Koeficient a 0 nazýváme absolutní člen. Je-li a n = 1, říkáme, že polynom P je normovaný. P 0 (x) = 2 P 1 (x) = 2x - 1 P 2 (x) = x 2-2 Michal Fusek 54 / 69

55 Polynomy Číslo x 0 C, pro které P n (x 0 ) = 0, nazýváme kořen polynomu P n. Je-li x 0 kořen polynomu P n (x), výraz (x x 0 ) nazveme kořenovým činitelem polynomu P n a platí P n (x) = (x x 0 )Q n 1 (x). Kořen x 0 C je k-násobným kořenem polynomu P n, 1 k n, pokud (x x 0 ) k dělí P n (x) beze zbytku a (x x 0 ) k+1 nedělí P n (x). Je-li x 0 R k-násobným kořenem polynomu P n, pak existuje polynom Q n k takový, že platí P n (x) = (x x 0 ) k Q n k (x). Michal Fusek 55 / 69

56 Polynomy Polynom stupně n má právě n (ne nutně různých) komplexních kořenů x 1, x 2,..., x n a platí Vlastnosti: P n (x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). (rozklad na kořenové činitele) Je-li komplexní číslo x 0 = a + bj, a, b R, b 0 kořenem polynomu P n, pak je kořenem i číslo komplexně sdružené x 0 = a bj. Počet reálných kořenů polynomu stupně n je bud n, nebo o sudý počet menší. Polynom lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Michal Fusek 56 / 69

57 Polynomy Platí Příklad a 0 = ( 1) n a n (x 1 x 2 x n ) Jsou-li koeficienty polynomu celočíselné, pak jeho celočíselné kořeny dělí absolutní člen polynomu. Mějme polynom P(x) = x 4 5x 3 + x x 18. a 0 = 18 Celočíselné kořeny jsou děliteli čísla 18: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Skutečně P(x) = (x 1)(x + 2)(x 3) 2. Michal Fusek 57 / 69

58 Hornerovo schéma Algoritmus používaný při Polynomy určování funkční hodnoty polynomu. rozkladu polynomu s celočíselnými koeficienty na součin kořenových činitelů. Určení P n (α) pro P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 : a n a n 1 a 1 a 0 α b n 1 = a n b n 2 = α b n 1 + a n 1 b 0 = α b 1 + a 1 P(α) = α b 0 + a 0 Platí P n (x) = (x α) (b n 1 x n 1 + b n 2 x n b 1 x + b 0 ) + P(α) Je-li P n (α) = 0, pak α je kořenem polynomu P n (x). dostáváme koeficienty polynomu, který vznikne po vytknutí příslušného kořenového činitele Michal Fusek 58 / 69

59 Příklad Polynomy Rozložte polynom P(x) = x 4 5x 3 + x x 18 na součin kořenových činitelů. Řešení: Celočíselné kořeny jsou mezi čísly ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ± P(x) = (x 1) ( x 3 4x 2 3x + 18 ) P(x) = (x 1)(x + 2) ( x 2 6x + 9 ) P(x) = (x 1)(x + 2)(x 3) (x 3) Celkem: P(x) = (x 1)(x + 2)(x 2 6x + 9) = (x 1)(x + 2)(x 3) 2. Kořeny 1, 2 jsou jednoduché, kořen 3 je dvojnásobný. Michal Fusek 59 / 69

60 Polynomy Kvadratický polynom P(x) = ax 2 + bx + c D = b 2 4ac x 1,2 = b± D 2a P(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) D > 0 x 1 x 2, x 1,2 R, D = 0 x 1 = x 2, x 1,2 R, D < 0 x 1 = x 2, x 1,2 C. a > 0. a < 0. Michal Fusek 60 / 69

61 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Racionální lomená funkce Racionální lomená funkce je funkce tvaru R(x) = P n(x) Q m (x), kde P n a Q m jsou polynomy stupně n a m. Racionální funkce R(x) je ryze lomená, jestliže n < m. neryze lomená, jestliže n m. Každou neryze lomenou racionální funkci lze vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce (dělením). Michal Fusek 61 / 69

62 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky Necht P n(x) Q m(x) je ryze lomená racionální funkce (m > n). Každému kořenovému činiteli jmenovatele tvaru (x x 0 ) k odpovídá součet parciálních zlomků A k (x x 0 ) k + A k 1 (x x 0 ) k A 1 (x x 0 ) (x 2 + px + q) r odpovídá součet parciálních zlomků B r x + C r (x 2 + px + q) r + B r 1x + C r 1 (x 2 + px + q) r B 1x + C 1 (x 2 + px + q) Koeficienty v rozkladu dopočítáme metodou neurčitých koeficientů. Michal Fusek 62 / 69

63 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Příklad Naznačte rozklad racionálně lomených funkcí na parciální zlomky. Koeficienty A, B, C,... nedopočítávejte. [ (a) R(x) = x 4 +7x+13 A x 5 x x + B x 1 + (b) R(x) = x 4 +5x+11 x 6 +2x 4 +x 2 ] C x+1 + Dx+E x 2 +1 [ ] A x + B + Cx+D x 2 x Ex+F (x 2 +1) 2 Michal Fusek 63 / 69

64 Příklad Racionální lomená funkce a parciální zlomky Rozložte racionálně lomenou funkci na součet parciálních zlomků: Řešení: R(x) = x 4 + 4x 3 10x x 4 x 5 x 4 + 3x 3 3x 2 4x + 4 R(x) = x 4 + 4x 3 10x x 4 x 5 x 4 + 3x 3 3x 2 4x + 4 = x 4 + 4x 3 10x x 4 (x 1) 2 (x + 1)(x 2 + 4) x 4 + 4x 3 10x x 4 (x 1) 2 (x + 1)(x 2 + 4) Upravíme = A (x 1) 2 + B x 1 + C x Dx + E x x 4 + 4x 3 10x x 4 = A(x + 1)(x 2 + 4) + B(x 1)(x + 1)(x 2 + 4) + C(x 1) 2 (x 2 + 4) + (Dx + E)(x 1) 2 (x + 1) Michal Fusek 64 / 69

65 Racionální lomená funkce a parciální zlomky x 4 + 4x 3 10x x 4 = (B + C + D)x 4 + (A 2C D + E)x 3 + (A + 3B + 5C D E)x 2 + (4A 8C + D E)x + (4A 4B + 4C + E) Sestavíme soustavu lineárních rovnic x 4 : 1 = B + C + D x 3 : 4 = A 2C D + E x 2 : 10 = A + 3B + 5C D E x 1 : 21 = 4A 8C + D E x 0 : 4 = 4A 4B + 4C + E A = 1 B = 0 C = 2 D = 1 E = 0 Tedy R(x) = 1 (x 1) 2 2 x x x Michal Fusek 65 / 69

66 Posloupnosti Racionální lomená funkce a parciální zlomky Posloupností nazýváme každou funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel N, tedy f : N R je posloupnost reálných čísel. Obvykle klademe a n = f (n) a tuto hodnotu nazýváme n-tým členem posloupnosti. Posloupnost s n-tým členem a n označujeme symbolem (a n ) n=1 nebo zkráceně (a n ). Je-li zadán předpis pro výpočet n-tého členu posloupnosti pomocí předchozího (resp. pomocí k předchozích členů), tedy pomocí a n 1 (resp. a n 1, a n 2,..., a n k ) spolu se zadáním hodnoty a 1 (resp. hodnot a 1, a 2,..., a k ), říkáme, že posloupnost je zadaná rekurentně. Michal Fusek 66 / 69

67 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Aritmetická posloupnost Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 je aritmetická, existuje-li číslo d tak, že platí rekurentní vztah a n+1 = a n + d. Číslo d se nazývá diference. Pro n-tý člen aritmetické posloupnosti platí a n = a 1 + (n 1)d. pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí s n = n 2 (a 1 + a n ). Michal Fusek 67 / 69

68 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Geometrická posloupnost Posloupnost (a n ) n=1 se nazývá geometrická, jestliže existuje číslo q tak, že platí a n+1 = a n q. Číslo q se nazývá kvocient. Pro n-tý člen geometrické posloupnosti platí a n = a 1 q n 1. Pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti platí { 1 q n a1 1 q q 1 s n = n a 1 q = 1 Michal Fusek 68 / 69

69 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Řady Necht je dána číselná posloupnost ( a n ) n=1. Nekonečnou řadou (nebo jen řadou) nazýváme symbol a n = a 1 + a a n +. n=1 Číslo a n se nazývá n-tý člen nekonečné řady. Posloupnost částečných součtů nekonečné řady a n je posloupnost n=1 n ( s n ) n=1, kde s n = a k = a 1 + a a n. k=1 Michal Fusek 69 / 69

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. Vážení studenti,

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz Matematika I Úvod Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D iveta.cholevova@vsb.cz A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. jaroslav.drobek@vsb.cz, A 837, 597 324 101 Mgr. Arnošt Žídek arnost.zidek@vsb.cz, A

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Proseminář z matematiky pro fyziky

Proseminář z matematiky pro fyziky Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír a

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika Obsah Úvod 9. Elementy matematické logiky......................... 0 Výroky......................................

Více