Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. XXIV Název: Teplotní roztažnost pevných látek Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne 27.3.2013 Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne
1 Zadání úlohy 1. Určete koeficient teplotní roztažnosti hliníku, mědi, mosazi a oceli. 2. Výsledky měření zpracujte metodou lineární regrese a graficky znázorněte. 3. V případě hliníku zkoumejte závislost prodloužení na počáteční délce. 2 Teoretický úvod měření V technické praxi je velmi důležité znát vlastnosti používaných materiálů. Například nevhodná kombinace materiálu budované struktury by při vyšších změnách teploty mohla způsobit její potrhání, zhroucení atp. Je třeba se tedy zajímat o chování látek, jsou-li vystaveny změnám teploty. U většiny látek dochází s rostoucí teplotou ke zvětšení objemu 1. Tato informace by však nestačila, je třeba znát vlastní průběh tedy jak moc reaguje na změnu teploty a zda-li reaguje při různých teplotách stále stejně. Obecně lze zkoumat, jak se při konstantním tlaku se změnou teploty mění objem látky objemová teplotní roztažnost. Budeme-li se zabývat pevnými izotropními látkami u kterých převládá jeden význačný rozměr, je šikovné řešit pouze jednodimenzionální problém, tedy zkoumat teplotní délkovou změnu délková teplotní roztažnost a roztažnost v jednom rozměru pak rozšířit na celý objem. Toto měření bude zkoumat délkovou teplotní závislost hliníku, mědi, mosazi a oceli. Zavedení potřebných veličin a vztahů Pro porovnávání délkových teplotních roztažností různých materiálů zavádíme součinitel délkové roztažnosti α následujícím vztahem [1] α = 1 ( ) l, (1) l 0 t p kde l 0 značí zkoumaný rozměr při teplotě 0 C [m] a závorka představuje délkovou teplotní změnu při konstantním tlaku. Předpokládáme-li, že závislost je lineární, tedy že součinitel α není funkcí teploty, lze po úpravě přímou integrací od t 0 do t vztahu (1) získat l = α l 0 (t t 0 ) (2) Přitom z linearity závislosti plyne, že l 0 můžeme stanovit při obecné teplotě t 0. Připomeňme jen, že vztah byl odvozen pro situaci p = konst. a předpokladu α t = 0, který je však pro reálné látky splněn jen v určitém teplotním oboru. α teplotní součinitel délkové roztažnosti [K 1 ], l 0 prvotní rozměr při počáteční teplotě t 0 [m], l absolutní prodloužení l(t) l(t 0 ) [m], t teplota odpovídající prodloužení l [ C], t 0 teplota odpovídající l 0 [ C]. Pro rozdíl teplot ve vztahu (2) použijme pro jednoduchost jednotek C, jako jednotku součinitele α užívejme již moderně reciproký kelvin K 1. Můžeme si to dovolit, neboť C = K 1 Existují pryže, kde je tomu naopak. Stejně tak u vody se objem v oblasti (0 3,98) C s rostoucí teplotou zmenšuje [2]. Tuto skutečnost oznažujeme jako anomálie vody a má pro život velký význam. 2
2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky Vzorky - hlíníková, měďěná, mosazná a ocelová trubice s integrovanou konektoráží, dilatometr s indikátorovými hodinami, nádržka s vodou a teploměrem, termostatický ohřívač s čerpadlem, příslušenství (hadice oběhového okruhu, vypouštěcí, napouštěcí). Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo Veličina[jednotka] Mezní chyba Pozn. Dilatometr l 0 [m] považujme za přesné Indikátorové hodiny l[m] 10 5 dílek Teploměr t, t 0 [ C] 0,5 dílek 2.2 Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Teplotní součinitel délkové roztažnosti hliníku při 20 C: α Al = 0,0231 10 3 K 1 [3] ˆ Teplotní součinitel délkové roztažnosti mědi při 20 C: α Cu = 0,017 10 3 K 1 [3] ˆ Teplotní součinitel délkové roztažnosti mosazi při 20 C: α mosaz = 0,019 10 3 K 1 [3] ˆ Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli při 20 C: α ocel = (0,011 0,013) 10 3 K 1 [3] 2.3 Popis postupu vlastního měření Příprava, zahájení měření Zkoumaný materiál upevníme do aretačního držáku dilatometru deklarující udávanou počáteční délku tyče. Rychlospojkami trubici zapojíme do okruhu teplonosného média. Nádržku naplníme vodou, kterou necháme zahřát na počáteční teplotu t 0. Namontujeme indikátorové hodiny. Po ustálení teploty a vhodné relaxační době promývání trubice nastavíme ručičku indikátorových hodin na nulu. Pro zahájení měření určíme termostatu, do jaké maximální teploty má ohřívat a průběžně sledujeme protažení l trubice při teplotách t. Měření v závislosti na počáteční délce Cílem je určit prodloužení l při konstantní změně teploty 20 C pro prvotní délky tyče 200 mm, 400 mm a 600 mm. Upevníme proto trubici do jedné z pozic odpovídající prvotní délce a realizujeme ohřev o 20 C. Pro efektivnější zpracování zapisujeme prodloužení průběžně pro různé teploty před dosažením daného teplotního rozdílu. Proceduru opakujeme pro všechny tři délky. Vzhledem k dalšímu úkolu můžeme v případě délky 600 mm po dosažení teplotního rozdílu 20 C pokračovat až k 60 C. Měření v závislosti na změně teploty Trubici ze zkoumaného materiálu ustavíme do pozice odpovídající prvotní délce 600 mm. Realizujeme ohřev trubice v oboru teplot (20 60) C a zaznamenáváme odpovídající si dvojice prodloužení l a teplot t. Po dosažení maximální teploty nahradíme teplou vodu v nádržce vodou studenou. V případě, že z důvodu nahřáté spirály topného tělesa nedosáhneme potřebné nejnižší teploty, vyměníme vodu znovu. Měření provedeme pro všechny udané materiály. 3
3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 23,4 C Atmosférický tlak: 984,2 hpa Vlhkost vzduchu: 20,9 % 3.2 Způsob zpracování dat Určení α Al ze závislosti na počáteční délce Vyjdeme ze vztahu (2). Roznásobením a zavedením koeficientů A a E získáme l = αl 0 t αl 0 t 0 l = A t E. (3) Vykreslením závislostí l = f (t) pro l 01 2 3 = (200 400 600) mm a proložením lineárních regresních přímek získáme regresní koeficienty A i. S jejich pomocí vypočítáme odpovídající absolutní prodloužení l i při konstantním teplotním rozdílu t t 0 = t pro jednotlivé počátení délky l 0i jako l i = α l 0i t = A i t, (4) neboť součin α l 0 představuje z rovnice (3) právě regresní koeficient A. Nyní konečně vykreslíme zkoumanou závislost l = f(l 0 ). Závislostí proložíme lineární regresní křivku. Bude-li rozdíl teplot t t 0 = t konstantní, lze z rovnice (2) psát l = αl 0 t = B l 0. (5) Ze směrnice B proložené přímky vypočítáme součinitel α Al jako α Al = B t. (6) Určení α ze závislosti na teplotě Výpočet sleduje první část předchozího rozboru. Analogicky s rovnicí (3) můžeme psát teoretickou závislost prodloužení l na teplotě t l = C t F. (7) Opět tedy vykreslíme závislost l = f(t), proložíme lineární regresní křivku a z regresního koeficientu C vypočítáme příslušný součinitel α vztahem α = C l 0. (8) Koeficienty C zjistíme pro data z měření jednotlivých vzorků a na základě tohoto vztahu vypočítáme hledané teplotní součinitele délkové roztažnosti α. 4
Určení nejistot měření Nejistotu jednotlivých součinitelů vypočítáme na základě relativních chyb regresních koeficientů, započítáme i chyby určení veličin vystupujících ve výpočetních vztazích. Prvotní délky l 0 budume považovat za přesné, v případě určení součinitele α Al hliníku ze závislosti na počáteční délce bude započítána chyba měření teploměrem. Do výsledné nejistoty přispějí chyby, které nelze zahrnout pomocí zákona kvadratického hromadění chyb nepřímého měření, jako chyby určení závislých veličin, které mohou být různé a tedy se regresně nevyruší, dále odlišný odvod tepla z trubice do okolí při daných teplotách a komplexně možnost nekorespodence teploty v místě měření v nádržce a teploty materiálu vzorku při různých okamžicích měření. Příspěvek těchto chyb do výsledné nejistoty odhadujme maximálně na 0,05, P 1. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty potřebné k výpočtům hledaných veličin jsou zachyceny v tabulkách 2 a 3. Tabulka 2: Naměřená data pro výpočet součinitele α Al ze závislosti l = f(l 0 ). Číslo l 01 = 200 mm l 02 = 400 mm l 03 = 600 mm měření t[ C] l[10 5 m] t[ C] l[10 5 m] t[ C] l[10 5 m] 1. 22,5 0 20,5 0 20,0 0 2. 23,0 1 22,0 1 22,5 3 3. 25,0 2 25,0 4 24,5 6 4. 27,0 3 28,5 6 26,0 8 5. 29,5 4 31,0 9 27,0 9 6. 30,2 5 33,0 11 28,5 11 7. 34,5 6 35,1 13 30,2 15 8. 36,5 7 37,0 15 33,0 17 9. 38,5 8 40,0 17 35,0 20 10. 41,5 9 40,5 17,5 37,0 23 11. 42,5 9,5 42,0 19 42,0 29 A[10 5 m C 1 ] 0,452 0,894 1,332 s A [10 5 m C 1 ] 0,017 0,016 0,017 l [10 5 m] 8,9 17,9 26,6 Změřené / odečtené hodnoty / hodnoty zadání Rozdíl teplot pro zkoumání závislosti na počáteční délce: t = 20 C, Počáteční délky při zkoumání závislosti na počáteční délce: l 01 2 3 = (400 600 800) mm. 3.4 Zpracování dat a číselné výsledky Určení součinitele α Al v závislosti na počáteční délce Vykreslíme závislosti l = f(t) pro všechny tři počátení délky l 0 z dat tabulky 2. Grafy závislostí jsou proloženy lineární přímky, viz graf 1. Regresní koeficienty, vypočítané programem QtiPlot, jsou zapsány v tabulce 2. 5
Tabulka 3: Naměřená data pro výpočet součinitelů délkové roztažnosti α závislosti l = f(t). Číslo Hliník Měď Mosaz Ocel měření t[ C] l[10 5 m] t[ C] l[10 5 m] t[ C] l[10 5 m] t[ C] l[10 5 m] 1. 20,0 0 20,0 0 20,5 0 20,0 0 2. 22,5 3 21,0 3 21,5 3 22,0 1,5 3. 24,5 6 23,5 5 23,0 4,5 23,0 2 4. 26,0 8 26,0 8 26,0 8 25,0 3,5 5. 27,5 10 29,0 11 29,0 11 27,0 5 6. 29,0 12 32,0 14 32,0 15 30,0 7 7. 30,2 15 35,0 17 35,0 18 33,0 9 8. 35,0 20 38,0 20 38,5 22 37,0 12,5 9. 37,0 23 41,0 23 41,0 24,5 40,0 14 10. 39,5 26 44,0 26,5 43,0 27 43,5 17 11. 42,0 29 47,0 29 46,0 30 46,0 19 12. 44,0 32 50,0 32 49,0 33 48,0 20 13. 47,5 38 53,0 35 52,0 36 50,0 21,5 14. 51,5 42 55,0 37 55,0 40 53,0 23 15. 54,0 45 57,0 39 57,0 42 55,0 25 16. 57,0 49 59,0 41 59,0 44 57,5 27 17. 60,0 52,5 60,0 42 60,0 45 60,0 28 Graf 1: Závislost l = f(t) hliníku pro jednotlivé počáteční délky l 0. l[10 5 m] 30 20 l 01 l 02 l 03 = 200 mm = 400 mm = 600 mm lineární fit 10 0 20 25 30 35 40 45 t[ C] Ze získaných koeficinetů A i vypočítáme pomocí vztahu (4) prodloužení l i odpovídající udané teplotní změně t = 20 C pro jednotlivé počáteční délky l 0. Tato prodloužení jsou vypočítána v tabulce 2. Nyní konečně vykreslíme zkoumanou závislost l = f(l 0 ) a grafem proložíme přímku, z jejíž směrnice B vypočítáme součinitel α Al podle vztahu (6). Graf 2 ukazuje toto proložení a současně jsou pro zajímavost světlejší barvou zaneseny výsledky, když by se prodloužení l určila přímo jako prodloužení l odpovídající konstantní změně teploty t. 6
Velikost směrnice B, fakticky představující relativní prodloužení, z programu QtiPlot: Ze vztahu (6) vypočítáme hledaný součinitel B = (4,43 ± 0,03) 10 4 α Al = B l = 0,022 10 3 K 1. Chybu vypočítáme z chyby směrnice B a chyby určení t, viz tabulka 1. ρ αal = (3ρ B ) 2 + ρ 2 t = 0,054 Absolutní mezní chyba je pak ε αal = 0,0012 10 3 K 1 30 25 20 Graf 2: Závislost l = f(l 0 ) hliníku při t = 20 C. Z regresního výpočtu Lineárni fit Z přímého výpočtu Lineární fit l[10 5 m] 15 10 5 0 0 200 400 600 l 0[mm] Výpočet součinitelů α ze závislostí l = f(t) Naměřená data pro výpočet součinitelů pro jednotlivé vzorky jsou v tabulce 3. Z těchto dat vykreslíme závislosti l = f(t). 7
l[10 5 m] 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Graf 3: Graf závislostí l = f(t) pro hliník, měď, mosaz a ocel. Hliník Měď Mosaz Ocel 20 30 40 50 60 Jednotlivé závislosti proložíme lineárními regresními přímkami, viz graf 3. Směrnice regresních přímek, jejich chyby a výpočet součinitelů délkové teplotní roztažnosti s jejich nejistotami určuje tabulka 4. Výpočet součinitelů probíhá dle vztahu (8). K nejistotě měření kromě odchylky směrnice přispívá odhadovaná chyba ostatních vlivů, viz část způsob zpracování dat. t[ C] Tabulka 4: Výpočet velikostí a nejistot součinitelů délkové teplotní roztažnosti α ze směrnic C. Vzorek C [10 2 m C 1 ] s C [10 5 m C 1 ] α[10 6 K 1 ] ρ C [1] ρ[1] ε[10 6 K 1 ] Hliník 1,32 7,27 22,1 0,0055 0,043 0,96 Měď 1,02 8,62 16,9 0,0085 0,047 0,80 Mosaz 1,11 9,83 18,4 0,0089 0,048 0,89 Ocel 0,71 5,34 11,9 0,0075 0,046 0,54 V tabulce 4 pro daný vzorek značí C směrnici proložené přímky, s C směrodatnou odchylku určení směrnice, α součinitel délkové teplotní roztažnosti, ρ C relativní směrodatnou chybu směrnice, ρ celkovou mezní chybu a ε absolutní mezní nejistotu. 3.5 Číselné výsledky měření Součinitel délkové teplotní roztažnosti hliníku určený ze závislosti na počáteční délce: α Al = (22 ± 1) 10 6 K 1, P 1. Součinitelé délkové teplotní roztažnosti zkoumaných vzorků určené ze závislosti na teplotě: α Al = (22,1 ± 1,0) 10 6 K 1, P 1, α Cu = (16,9 ± 0,8) 10 6 K 1, P 1, α mosaz = (18,4 ± 0,9) 10 6 K 1, P 1, α ocel = (11,9 ± 0,5) 10 6 K 1, P 1. 8
3.6 Grafické výsledky měření Výsledky měření jsou zaznamenány v grafech v průběhu části protokolu zpracování dat. Graf 2 zachycuje závislosti l = f(l 0 ), graf 3 pak l = f(t). 4 Diskuze výsledků Pro zajímavost uveďme přímé porovnání naměřených součinitelů s tabelovanými hodnotami [3], viz tabulka 5. Tabulka 5: Porovnání naměřených hodnot α s tabelovanými [3]. Materiál Naměřeno α[10 6 K 1 ] Tabelováno α [10 6 K 1 ] Hliník 22,1 23,1 Měď 16,9 17 Mosaz 18,4 19 Ocel 11,9 11 13 Z porovnání je zřejmé, že materiály vzorků co se týče délkové teplotní roztažnosti si přibližně odpovídají. Měření považuji vzhledem k řádové shodě výsledků za úspěšné. V měření může být obsažena systematická chyba způsobená následujícím. Dilatometr má uchycení zkoumané trubice přizpůsobené tak, aby při teplotě 20 C byla její aktivní částí délka 600 mm. I kdyby se podařilo dosáhnout přesné teploty 20 C teplonosné lázně v nádržce, může být teplota tyče nižší a tedy i počáteční rozměr jiný. Chybu může vnášet i nerovnoměrnost roztažnosti v části trubice, kde je bočně navařena příruba pro napojení okruhové hadice. Grafy ukazují, že ve zkoumaných oblastech jsou závislosti lineární. Graf 2 navíc dokazuje, že přímé určení prodloužení l při ohřevu o 20 C, by bylo chybné chyby určení odečtení hodnot by měly velký vliv. Výhodnost regresního nalezení závislostí a následujícího výpočtu příslušných absolutních prodloužení je potvrzena výborným přimknutí fitované přímky v grafu 2. Součinitel teplotní roztažnosti oceli je velice podobný součiniteli betonu (α beton = 10 10 6 K 1 ). Díky tomu je železobeton z tohoto hlediska poměrně kompaktní. [4] 5 Závěr Závislosti absolutního prodloužení na teplotě i počáteční délce jsou ve zkoumané oblasti teplot a délek dle očekávání lineární. Součinitel délkové teplotní roztažnosti hliníku určený ze závislosti na počáteční délce: α Al = (22 ± 1) 10 6 K 1, P 1. Součinitelé délkové teplotní roztažnosti zkoumaných vzorků určené ze závislosti na teplotě: α Al = (22,1 ± 1,0) 10 6 K 1, P 1, α Cu = (16,9 ± 0,8) 10 6 K 1, P 1, α mosaz = (18,4 ± 0,9) 10 6 K 1, P 1, α ocel = (11,9 ± 0,5) 10 6 K 1, P 1. Největší součinitel délkové teplotní roztažnosti z měřených materiálů má hlíník, dále následuje mosaz a měď, poslední je pak ocel. 9
Seznam použité literatury [1] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. (29.3.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_124.pdf [2] ONLINE: Thermal expansion coefficients, wikipedia.org. (30.3.2013) http://cs.wikipedia.org/wiki/teplotni_roztaznost [3] ONLINE: Thermal expansion coefficients, wikipedia.org. (30.3.2013) http://en.wikipedia.org/wiki/thermal_expansion [4] ONLINE : Teplotní součinitel délkové roztažnosti betonu. (31.3.2013). http://www.ebeton.cz/pojmy/teplotni-soucinitel-delkove-roztaznosti 10