Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze. Úloha č. 10 : Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 10 : Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 9.11.2012 Klasifikace: Část I Lineární harmonický oscilátor 1 Zadání 1. Změřte tuhost pružiny statickou metodou a vypočtěte vlastní úhlovou frekvenci pro dvě různá závaží. 2. Změřte časový průběh tlumených kmitů pro dvě závaží, ověřte platnost rovnice (14) v [1] proložením dat a z parametrů proložené vypočtěte vlastní frekvenci volného oscilátoru. 3. Změřte závislost Amplitudy vynucených kmitů na frekvenci vnější síly v okolí rezonance pro dvě závaží a proložením dat ověřte platnost vztahu (19) v [1], z parametrů proložení vypočtěte vlastní frekvenci volného oscilátoru. 4. Porovnejte výsledky vlastní frekvence ze všech tří předchozích úkolů. 2 Vypracování 2.1 Použité přístroje Experimentální stojan s pružinou a motorkem, tlumící magnety, rotační pohybové senory Pasco, sada závaží, regulovatelný zdroj 0-20 V, PC, program DataStudio a Gnuplot, analytické váhy. 2.2 Teoretický úvod Potenciál lineárního harmonického oscilátoru můžeme zapsat rovnicí U(x) = 1 2 kx2. (1) V našem případě je harmonickým oscilátorem závaží zavěšené na pružině. Konstanta k má pak význam tuhosti pružiny, pro kterou platí Hookův zákon F = kx, (2) kde x je prodloužení pružiny vyvolané působením síly F. 2.2.1 Netlumené kmity Pohybová rovnice pro těleso hmotnosti m příslušná potenciálu (1) má tvar mẍ + kx = 0, (3) respektive k kde ω = m. Obecné řešení pohybové rovnice (4) je ẍ + ω 2 x = 0, (4) x(t) = C 1 cos(ωt) + C 2 sin(ωt), (5) 1

které je možné přepsat jako kde A = C1 2 + C2 2 frekvence. x(t) = A cos(ωt + α), (6) a tan α = C2 C 1. A má pak význam amplitudy oscilací, α je počáteční fáze a ω je úhlová 2.2.2 Netlumené kmity s budící silou Působí-li na harmonický oscilátor vnější síla F (t), nabývá příslušná pohybová rovnice tvaru ẍ + ω 2 x = F (t) m. (7) Řešením této rovnice je součet obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Uvažujeme-li periodickou sílu F (t) = f cos(γt + β), (8) máme partikulární řešení Tedy celkové řešení zní Tuto rovnici můžeme přepsat na kde z limity γ ω dostáváme x = B cos(γt + β), kde B = f 1 m ω 2 γ 2. (9) x(t) = A cos(ωt + α) + B cos(γt + β). (10) x(t) = Ã cos(ωt + α) + f 1 m ω 2 [cos(γt + β) cos(ωt + β)], (11) γ2 f x(t) = Ã cos(ωt + α) + t sin(ωt + β). (12) 2mω Při rezonanci tedy s časem amplituda oscilací netlumeného systému roste lineárně. 2.2.3 Tlumené kmity Tlumení harmonického oscilátoru zahrneme do pohybové rovnice třecí silou, která závisí na rychlosti kmitání. mẍ = kx hẋ. (13) Zavádíme také dekrement útlumu δ a frekvenci volného oscilátoru bez tření ω 0 : V tomto značení má pohybová rovnice tlumeného oscilátoru tvar 2δ = h m, ω2 0 = k m. (14) ẍ = 2δẋ + ω 2 0x = 0. (15) kde Obecné řešení je tvaru x(t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t, (16) λ 1,2 = δ ± δ 2 ω0 2. (17) Můžeme rozlišit tři případy. 1. Slabý útlum: Je-li δ < ω 0 má obecné řešení rovnice (15) tvar x(t) = Ae δt cos(ωt + α), (18) kde ω = ω 2 0 δ2 a A a α jsou reálné konstanty. V systému tedy dochází k periodickým kmitům s exponenciálně klesající amplitudou a sníženou frekvencí. 2

2. Silný útlum: Je-li δ > ω 0 má obecné řešení rovnice (15) tvar x(t) = c 1 e (δ δ 2 ω 2 0 )t + c 2 e (δ+ δ 2 ω 2 0 )t. (19) Výchylka tedy klesá jako x a asymptoticky se blíží rovnovážné poloze. Nastává tzv. aperiodický útlum. 3. Kritický útlum: Je-li δ = ω 0 má obecné řešení rovnice (15) tvar což je zvláštní případ aperiodického útlumu. 2.2.4 Tlumené kmity s budící silou x(t) = (c 1 + c 2 t)e δt, (20) Přidáním vnější periodické síly F (t) = f cos(γt) do rovnice (15) dostáváme pohybovou rovnici Pro δ < ω 0 pomocí postupu uvedeného např v??? dostáváme ẍ = 2δẋ + ω0x 2 = f cos(γt). (21) m x(t) = Ae δt cos(ωt + α) + B cos(γt + ξ), (22) kde 2δγ ξ = arctan γ 2 ω0 2. (23) Přitom první člen exponenciálně klesá s rostoucím časem, takže po dostatečně dlouhé době tento člen zanedbáme a řešením rovnice (21) je x(t) = B cos(γt + ξ). (24) Při rezonanci nabývá amplituda maxima, ale neroste nade všechny meze a má maximum v bodě γ = ω 2 0 2δ 2 Při všech výpočtech používáme dále vztah mezi úhlovou rychlostí, frekvencí a periodou f = 1 T = ω 2π (25) 2.3 Postup měření Aparatura je sestavena podle obrázku 2 v [1]. Skládá se z dvou senzorů pro měření výchylky, z pružinky s proměnným závažím a motorku, který vyrábí vnější sílu. Tlumení je realizováno magnety, které indukují vířivé proudy v hliníkovém tělese, které je zavěšeno jako závaží. Senzor S1 měří časový průběh vnější síly, senzor S2 oscilace. Oba jsou připojeny k počítači, data zaznamenává program DataStudio. Návod k ovládání tohoto programu je lehce k nalezení na internetu, pro nás potřebné úkony jsou vypsány v [1]. Oproti návodu jsme vzorkovací frekvenci nastavili na 50 Hz abychom zaznamenávali průběh kmitů v lepším rozlišení. 2.3.1 Měření časového průběhu tlumených kmitů ˆ Na držák umístíme zvolené závaží, vynulujeme senzory. ˆ Zapneme ukládání dat. ˆ Systému udělíme počáteční výchylku a necháme volně kmitat do zastavení. ˆ Vypneme ukládání dat, vymažeme nepotřebné úseky. 2.3.2 Měření časového průběhu tlumených kmitů s budící silou Nejdříve postupně zvyšujeme napětí a zjišt ujeme, kde (při jakém napětí) přibližně nastává rezonance. Další postup opakujeme vždy pro různé hodnoty napětí v okolí rezonance. Po nastavení daného napětí vyčkáme, než se amplituda kmitů více-méně ustálí a až poté začneme zaznamenávat data. Měříme maximální amplitudu a frekvenci budící síly. ˆ Na držák umístíme zvolené závaží, vynulujeme senzory. 3

ˆ Nastavíme napětí na zdroji. ˆ Zapneme ukládání dat. ˆ Zaznamenáme 20 period kmitů. ˆ Vypneme ukládání dat, vymažeme nepotřebné úseky. 2.3.3 Měření tuhosti pružiny statickou metodou Z hodnoty lineární výchylky senzoru oscilací S2 určíme prodloužení pružinky x po přidání závaží o hmotnosti m. Tuhost k získáme podle vztahu mg = kx, (26) kde g je tíhové zrychlení. 2.4 Naměřené hodnoty 2.4.1 Měření časového průběhu tlumených kmitů 2.4.2 Měření časového průběhu tlumených kmitů s budící silou γ [Hz] B [mm] 2.31846 2.483 2.32493 2.284 2.38994 3.244 2.42301 4.607 2.47402 8.933 2.53119 13.857 2.59081 6.468 2.62137 5.327 2.66573 3.765 2.49464 13.859 2.54829 8.892 Tabulka 1: Tabulka naměřených hodnot při tlumených kmitech s budící silou; γ je frekvence budící síly, B je maximální amplituda 2.4.3 Měření tuhosti pružiny statickou metodou x [mm] m [g] k [N/m] ω 0 [rad/s] -5.728 6.5010 11.1 19.9-18.900 21.5390 11.2 16.8-10.330 11.7117 11.1 18.3-1.682 1.9640 11.5 21.7 k 11.2 ± 0.2 Tabulka 2: Tabulka naměřených hodnot při určování tuhosti pružiny; x je prodloužení, m hmotnost závaží, k k koeficient tuhosti, ω 0 vlastní úhlová frekvence spočítaná na základě vztahu ω 0 m+m m, kde m 0 = 21.84g je hliníkový blok v soustavě oscilátoru 4

Obrázek 1: Průběh tlumených kmitů s přídavným závažím o hmotnosti m = 1 g, fit je tvaru f(x) = ae lx cos(ox + h) + d a konstanty a = 33.6344 ± 0.5486, l = 0.497741 ± 0.006756, o = 20.0132 ± 0.006918, h = 3.12307 ± 0.017, d = 44.34 ± 0.03361 5

Obrázek 5: Průběh tlumených kmitů s budící silou; s přídavným závažím o hmotnosti m = 21 g, fit je tvaru a b(γ) = a konstanty a = 2.31043 ± 0.1816, o = 6.31819 ± 0.01093, d = 0.00327339 ± 0.000909 2 (o γ2 ) 2 +dγ 9

3 Diskuze a Závěr Platnost zmíněných rovnic jsme ověřili, ve všech případech je vidět, že tyto rovnice dobře předpovídají výsledky měření. Změřili jsme tuhost pružiny (k = 11.2 ± 0.2) N/m a určili vlastní úhlovou frekvenci pro oscilátor s různými závažími. 4 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Akustika [Online], [cit. 16. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/129/mod resource/content/4/10-lho-2012-09.pdf Část II Pohlovo kyvadlo 5 Zadání 1. Změřte tuhost pružiny Pohlova kyvadla. 2. Naměřte časový vývoj výchylky kmitů kyvadla pro netlumené kmity. Za použití výsledku tohoto a minulého úkolu vypočítejte moment setrvačnosti kyvadla I. 3. Změřte koeficient útlumu pro několik zvolených hodnot tlumícího proudu. Závislost vyneste do grafu. 4. Extrapolací určete hodnotu tlumícího proudu, při kterém dochází ke kritickému tlumení. Nastavte tuto hodnotu, změřte průběh při rychlostní a polohové počáteční podmínce a ověřte, že je kyvadlo skutečně kriticky tlumeno. 6 Vypracování 6.1 Použité přístroje Pohlovo kyvadlo, sada závaží, senzor PASCO, program DataStudio, PC. 6.2 Teoretický úvod Kmity kyvadla zajišt uje pružina. Výsledný moment sil bude zahrnovat moment sil generovaných pružinou a případně moment sil tlumících generovaných vířivými proudy indukovanými cívkami. Platí N = N P + N T. Abychom dokázali vyřešit pohybovou rovnici, předpokládáme ˆ moment sil generovaných pružinou při vychýlení je přímo úměrný odpovídajícímu úhlu ϕ pootočení kyvadla N p = Dϕ, (27) kde D > 0 se nazývá tuhost pružiny torzního kyvadla. ˆ moment tlumících sil při pohybu kyvadla je přímo úměrný odpovídající úhlové rychlosti kyvadla kde C 0. Pohybovou rovnici zapíšeme ve tvaru kde δ = C 2I a ω2 0 = D I. Rozlišuje dva typy počátečních podmínek: N T = C ϕ(t), (28) ϕ(t) + 2δ ϕ(t) + ω 2 0ϕ(t) = 0, (29) 10

ˆ podmínka polohová ˆ podmínka rychlostní ϕ(0) = ϕ 0 > 0, ϕ(0) = 0 (30) ϕ(0) = 0, ϕ(0) = Ω 0 > 0. (31) Řešení závisí na vztahu konstant δ a ω 0. Rozlišujeme tři případy 1. Případ malého útlumu (ω 0 > δ 0): ϕ(t) = ϕ max e δt sin(ωt + ϕ 0 ), (32) kde platí ω = ω 2 0 δ2. (33) 2. Případ kritického útlumu (ω 0 = δ): Při počáteční polohové podmínce platí ϕ(t) = ϕ 0 (1 + δt)e δt, (34) při počáteční rychlostní podmínce ϕ(t) = Ω 0 te δt, (35) 3. Případ silného útlumu(ω 0 < δ): Při počáteční polohové podmínce platí [ ϕ(t) = ϕ 0 e δt cosh(dt) + δ ] d sinh(dt), (36) při počáteční rychlostní podmínce kde ϕ(t) = Ω 0 d e δt sinh(dt), (37) d = δ 2 ω 2 0. (38) 6.3 Postup měření 6.3.1 Měření tuhosti pružiny Pohlova kyvadla Na pružinu jsme přes kladku zavěsili postupně 4 závaží a odečítali aktuální úhlovou výchylku. 6.3.2 Netlumené kmity Pomocí počáteční výchylky nebo rychlosti jsme kyvadlo uvedli do kmitavého pohybu, přes senzor úhlové změny a úhlové rychlosti jsme data sbírali v programu DataStudio. 6.4 Naměřené hodnoty 6.4.1 Měření tuhosti pružiny Pohlova kyvadla ϕ [rad] m [g] D 2.39 0 1.98 1.964 0.0044 1.15 6.501 0.0048 0 11.7117 0.0045-1.4 21.539 0.0052 D 0.0047 ± 0.0004 Tabulka 3: Tabulka naměřených hodnot výchylky ϕ při zatížení Pohlova kyvadla o poloměru r = 93.9 mm hmotností m, D je vypočítaná tuhost pružiny 11

6.4.2 Netlumené kmity Se závažím o hmotnosti m = 21.539 g jsme určili vlastní úhlovou frekvenci ω 0 = 3.51357 při polohové počáteční podmínce a ω 0 = 3.52701 při rychlostní počáteční podmínce. Se závažím o hmotnosti m = 11.7117 g jsme určili vlastní úhlovou frekvenci ω 0 = 3.43710 při polohové počáteční podmínce a ω 0 = 3.44086 při rychlostní počáteční podmínce. Ověřili jsme tedy předpoklad, že frekvence nezávisí na typu počáteční podmínky a rovněž na hmotnosti závaží. Průměrná hodnota vlastní frekvence je ω 0 = (3.48 ± 0.05) [rad/s]. Spočítáme moment setrvačnosti jako I = D = (0.0039 ± 0.0003)kgm 2 ω0 2 6.4.3 Tlumené kmity I [A] δ [rad/s] T [s] ω [rad/s] 0.5 0.675 1.7724 3.545 0.8 0.656 1.8386 3.417 1.1 1.064 1.8965 3.313 1.4 1.768 2.0962 2.997 Tabulka 4: Tabulka naměřených hodnot koeficientu útlumu δ vypočteného z periody T a vlastní frekvence ω 0 7 Diskuze a Závěr Fit závislosti dektrementu útlumu na proudu protékajícím v tlumících cívkách má takovou chybu, že nemá cenu z něj odhadovat kdy nastane kritické tlumení. Experimentálně jsme ověřili, že kritický útlum nastává při hodnotě proudu 1.9-2.0 A. Moment setrvačnosti jsme určili jako I = D = (0.0039 ± 0.0003)kgm 2. Určitá ω0 2 chyba měření určitě nastává ve chvíli, kdy považujeme tlumené kmity (přestože jen mírně) za netlumené a námi určená vlastní frekvence je tak nižší, než opravdová. 8 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Akustika [Online], [cit. 16. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/130/mod resource/content/5/10-tk-2012-09.pdf Část III Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [1]: ˆ Aritmetický průměr x = 1 n x i (39) n i=1 ˆ Směrodatná odchylka σ x = 1 n (x i x) 2, (40) n 1 kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. i=1 12

Obrázek 6: Závislost dekrementu útlumu na proudu v tlumících cívkách, fit je tvaru f(x) = ax + b a konstanty a = 1.22827 ± 0.3819b = 0.12547 ± 0.3847 13

Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (41) x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = 9 Použitá literatura Reference ( f x ) 2 σ 2 x + ( ) 2 f σy y 2 + u = (u ± σ u ), [1] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 16. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf ( ) 2 f σz z 2 +... (42) 14