Harmonický pohyb tělesa na pružině

Transkript

1 EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Harmonický pohyb tělesa na pružině PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky Posílení vazby teoretických předmětů a profesní orientace v prvních dvou ročnících bakalářského studijního programu Stavební inženýrství

2 V dynamice stavebních konstrukcí se setkáváme s úlohami kmitání. Nejjednodušším modelovým problémem je volné kmitání hmotného bodu o hmotnosti m zavěšeného na pružině s konstantní tuhostí k > 0. Jev popisuje modelová rovnice, viz [1, str. 150] nebo [2, str. 24], my (t)+ky(t) = 0 nebo y (t)+ω0 2 y(t) = 0, (1) v níž y(t) značí protažení pružiny v čase t a rovnici (1) vpravo dostaneme zavedením ω0 2 = k/m. Rovnici (1) řešíme standardním postupem: λ 2 +ω 2 0 = 0 (charakteristická rovnice) λ 1 = iω 0, λ 2 = iω 0 (kořeny charakteristické rovnice) y 1 = cosω 0 t, y 2 = sinω 0 t (fundamentální systém) y(t) = c 1 cosω 0 t + c 2 sinω 0 t (obecné řešení) c 1, c 2 R (2) y (t) = c 1 ω 0 sinω 0 t + c 2 ω 0 cosω 0 t (3)

3 Úloha A. Najděte funkci y = y(t) odpovídající volnému kmitání, jestliže hmotnému bodu nacházejícímu se v čase t=0 v rovnovážné poloze (y(0) = 0) udělíme počáteční rychlost y (0) = v 0. Řešení: Po dosazení počátečních podmínek y(0) = 0, y (0) = v 0 do obecného řešení (2) a do (3) dostaneme (viz [1, str. 151]) c 1 = 0, c 2 = v 0 ω 0, y(t) = v 0 ω 0 sinω 0 t.

4 Úloha B. Najděte funkci y = y(t) odpovídající volnému kmitání, jestliže hmotný bod v čase t=0 vychýlíme z rovnovážné polohy (y(0) = y 0 ) a poté ho volně vypustíme s nulovou počáteční rychlostí y (0) = 0. Řešení: Po dosazení počátečních podmínek y(0) = y 0, y (0) = 0 do obecného řešení (2) a do (3) dostaneme (viz [1, str. 151]) c 1 = y 0, c 2 = 0, y(t) = y 0 cosω 0 t.

5 Poznámka: Řešení úloh A a B jsou periodická, nebot obecné řešení (2) je periodické, přičemž perioda závisí na ω 0. Parametr ω 0 se nazývá vlastní kruhová frekvence. Graf výchylky a rychlosti pro úlohu A (vlevo) a B (vpravo) [ω 0 = 0,8, v 0 = 1, y 0 = 1,4] výchylka y(t) rychlost y (t) výchylka y(t) rychlost y (t)

6 Ke generování grafů v prostředí MATLAB R můžete použít tento skript: omega0=0.8; % kruhova frekvence v0=1; % pocatecni rychlost y0=1.4; % pocatecni vychylka T=6*pi; % reseni na intervalu [0, T] t=linspace(0,t,500); koef=v0/omega0; % Uloha A figure plot(t,koef*sin(omega0*t), -b,t,v0*cos(omega0*t), -g,... LineWidth,2) h=legend( výchylka y(t), rychlost y (t) ); set(gca, FontSize,16); set(h, FontSize,16) xlim([0 T]); grid on % Uloha B figure plot(t,y0*cos(omega0*t), -b,t,-omega0*sin(omega0*t), -g,... LineWidth,2) h=legend( výchylka y(t), rychlost y (t) ); set(gca, FontSize,16); set(h, FontSize,16) xlim([0 T]); grid on

7 Tlumený harmonický pohyb Pokud budeme uvažovat, že v rovnici (1) na těleso působí navíc odpor prostředí úměrný jeho rychlosti, obdržíme rovnici, viz [1, str. 152] nebo [2, str. 24]: my (t)+cy (t)+ky(t) = 0, (4) kde c > 0 je koeficient tlumení. Rovnice (4) je řešena podobně jako rovnice (1): mλ 2 + cλ+k = 0 λ 1,2 = c± c 2 4mk 2m (charakteristická rovnice) (kořeny charakteristické rovnice) (5) Zavedeme označení: α = c 2m, ω = c 2 4mk 2m

8 Podle znaménka diskriminantu D charakteristické rovnice (5) rozlišujeme 3 případy tlumení: podkritické (D < 0), kritické (D = 0) a nadkritické tlumení (D > 0), viz [2, str. 25]. Podkritické tlumení c 2 4mk < 0 λ 1,2 = α±ωi (kořeny charakteristické rovnice) y 1 = e αt cosωt, y 2 = e αt sinωt (fundamentální systém) y(t) = e αt (c 1 cosωt + c 2 sinωt) (obecné řešení) c 1, c 2 R (6) y (t) = αe αt (c 1 cosωt + c 2 sinωt)+ + e αt ( ωc 1 sinωt +ωc 2 cosωt) (7)

9 Úloha A (podkritické tlumení). Najděte funkci y = y(t) odpovídající tlumenému kmitání, jestliže hmotnému bodu nacházejícímu se v čase t=0 v rovnovážné poloze (y(0) = 0) udělíme počáteční rychlost y (0) = v 0. Řešení: Po dosazení počátečních podmínek y(0) = 0, y (0) = v 0 do obecného řešení (6) a do (7) dostaneme c 1 = 0, c 2 = v 0 ω, y(t) = v 0 ω e αt sinωt.

10 Úloha B (podkritické tlumení). Najděte funkci y = y(t) odpovídající tlumenému kmitání, jestliže hmotný bod v čase t=0 vychýlíme z rovnovážné polohy (y(0) = y 0 ) a poté ho volně vypustíme s nulovou počáteční rychlostí y (0) = 0. Řešení: Po dosazení počátečních podmínek y(0) = y 0, y (0) = 0 do obecného řešení (6) a do (7) dostaneme c 1 = y 0, c 2 = αy 0 ω, y(t) = e αt (y 0 cosωt + αy 0 ω sinωt).

11 Graf výchylky pro úlohu A a B [m=5, c=2, k=100] Tlumený harmonický pohyb: podkritické tlumení 1 úloha A úloha B 0.5 y t

12 Kritické tlumení c 2 4mk = 0 λ = c = α (dvojnásobný kořen charakteristické rovnice) 2m y 1 = e αt, y 2 = te αt (fundamentální systém) y(t) = (c 1 + c 2 t)e αt (obecné řešení) c 1, c 2 R (8) y (t) = c 2 e αt +(c 1 + c 2 t)e αt ( α) (9) Po dosazení počátečních podmínek y(0) = 0, y (0) = v 0 do obecného řešení (8) a do (9) dostaneme c 1 = 0, c 2 = v 0, y(t) = v 0 te αt. Po dosazení počátečních podmínek y(0) = y 0, y (0) = 0 do obecného řešení (8) a do (9) dostaneme c 1 = y 0, c 2 = αy 0, y(t) = (y 0 +αy 0 t)e αt.

13 Graf výchylky pro úlohu A a B [m=1, c=2, k=1] Tlumený harmonický pohyb: kritické tlumení 1 úloha A úloha B y t

14 Nadkritické tlumení c 2 4mk > 0 λ 1,2 = α±ω (kořeny charakteristické rovnice) y 1 = e ( α ω)t, y 2 = e ( α+ω)t y(t) = c 1 e ( α ω)t + c 2 e ( α+ω)t (fundamentální systém) (obecné řešení) c 1, c 2 R (10) y (t) = c 1 ( α ω)e ( α ω)t + c 2 ( α+ω)e ( α+ω)t (11) Po dosazení počátečních podmínek y(0) = 0, y (0) = v 0 do obecného řešení (10) a do (11) dostaneme c 1 + c 2 = 0, c 1 ( α ω)+c 2 ( α+ω) = v 0.

15 Tedy c 1 = v 0 2ω, c 2 = v 0 2ω, y(t) = v 0 2ω e( α ω)t + v 0 2ω e( α+ω)t. Po dosazení počátečních podmínek y(0) = y 0, y (0) = 0 do obecného řešení (10) a do (11) dostaneme c 1 + c 2 = y 0, c 1 ( α ω)+c 2 ( α+ω) = 0. Tedy c 1 = y 0( α+ω) 2ω, c 2 = y 0(α+ω) 2ω, y(t) = y 0( α+ω) 2ω e ( α ω)t + y 0(α+ω) e ( α+ω)t. 2ω

16 Graf výchylky pro úlohu A a B [m=3, c=5, k=1] Tlumený harmonický pohyb: nadkritické tlumení 1 úloha A úloha B y t

17 Bubeník F.: Matematika 2, České vysoké učení technické v Praze. Nakladatelství ČVUT. Praha, 2006 Zindulka O.: Matematika 3, České vysoké učení technické v Praze. Nakladatelství ČVUT. Praha, 2007