KMS cvičení 5. Ondřej Marek

Transkript

1 KMS cvičení 5 Ondřej Marek

2 Ondřej Marek KMS 5 KINEMAICKÉ BUZENÍ ABSOLUNÍ SOUŘADNICE Pohybová rovnice: mx + b x x + k x x = mx + bx + kx = bx + kx Partikulární řešení: x = X e iωt x = iωx e iωt k m b x(t) b x x mx m k x x x = Xe iωt x (t) x = iωxe iωt x = ω Xe iωt po dosazení do pohybové rovnice: k mω + ibω Xe iωt = ibω + k X e iωt X X = k + ibω k mω + ibω = Ω + iζωω Ω ω + iζωω = + iζη η + iζη X = X e iφ Γ η = φ = arccos + ζη η + ζη + ζη arccos η η + ζη

3 Ondřej Marek KMS 5 KINEMAICKÉ BUZENÍ - RELAIVNÍ SOUŘADNICE x = x + x r Pohybová rovnice: mx r + bx r + kx r = mx Partikulární řešení: x = X e iωt x = ω X e iωt x r = X r e iωt k m b x r (t) x r = iωx r e iωt x r = ω X r e iωt x (t) po dosazení do pohybové rovnice: k mω + ibω X r e iωt = mω X e iωt X r mω = X k mω + ibω = ω Ω ω + iζωω = η η + iζη Γ η = η η + ζη φ = arccos η η + ζη 3

4 PŘÍKLAD: Příklad - kinematické buzení L φ M d / t Motor M pohání hřídel, ke kterému je připojen setrvačník s momentem setrvačnosti I=,kgm, střední úhlovou rychlostí n=5ot/min. Motor má ovšem nerovnoměrný chod, který je definován pomocí oscilace úhlového zrychlení φ Vyšetřete vybuzené kmity v soustavě (frekvence a amplitudy) G=8 GPa, d=3mm, L=.5m, ζ=. ŘEŠENÍ: Pokud se neuvažuje moment setrvačnosti rotoru motoru, pak lze úlohu chápat jako kinematické buzení setrvačníku na poddajném hřídeli. k Pohybová rovnice v absolutních souřadnicích: Iφ + bφ + kφ = bφ + kφ Pohybová rovnice v relativních souřadnicích: Iφ r + bφ r + kφ r = Iφ φ (t) φ r (t) φ(t) b I

5 Příklad () Z pohybových rovnic je patrné, že je výhodnější úlohu řešit v relativních souřadnicích, jelikož na pravé straně vystupuje zrychlení. φ r + b I φ r + k I φ r = φ φ r + ζωφ r + Ω φ r = φ torzní tuhost: k = GJ p L = G πd L 3 Ω = k I = G πd IL 3 = π 3..5 = rad/s Jelikož je buzení periodické, ale není harmonické, bude snahou nejprve nahradit periodickou funkci φ t pomocí řady harmonických funkcí (fourierův rozvoj). Náhrada Fourierovým rozvojem: f t = a + a k cos kωt + b k kωt a = k= f t dt, a k = ω = πn 3 = 57 rad/s = π ω = 6 n f t cos kωt dt, b k = f t kωt dt 5

6 Ondřej Marek Kmitání mechanických soustav Příklad (3) Náhrada průběhu síly Fourierovým rozvojem: a = a = b = a = b = a 3 = f t dt b 3 = b = = t cos ωt dt t ωt dt t cos ωt dt t ωt dt t cos 3ωt dt + t cos ω dt + t ω dt + t cos ω dt + t ω dt + t cos 3ω dt t 3ωt dt + + t cos ω dt t ω dt 3 = = + + t cos ω dt t ω dt t cos 3ω dt 3 + t 3ω dt π + π + π = 8 π = π + + π = = = + + t 3ω dt 3 π π + π = = 8 3π a = b = a 5 = b 5 = 8 5π a 6 = b 6 = a 7 = b 7 = 8 7π 6

7 Ondřej Marek - KMS Rozvoj do řádu 5 vypadá následovně: φ t 8 πn π 3 t 8 3π 3πn 3 t + 8 5π 5πn 3 t.5 Náhrada původní funkce součtem harmonických funkcí (fourierův rozvoj) original Fourier do j= Fourier do j=3 Fourier do j=5 Fourier do j=7 Lze si všimnout, že nenulové jsou pouze liché koeficienty b a jsou prvky posloupnosti, φ t pak lze zapsat jako součet řady: φ t = j+ 8 j π j= πn j 3 t t [s] Fourierův rozvoj - výřez original Fourier do j= Fourier do j=3 Fourier do j=5 Fourier do j=7 6 8 x -3 7

8 Ondřej Marek - KMS Příklad (3) Jelikož se jedná o případ vynuceného kmitání a soustava je tlumená, má smysl počítat pouze partikulární řešení (homogenní po čase odezní díky útlumu). Původní pohybová rovnice: φ r + ζωφ r + Ω φ r = φ Funkce na pravé straně je známá a je již známá i náhrada funkce fourierovým rozvojem. Lze zapsat následovně φ r + ζωφ r + Ω φ r = a + a k cos kωt + b k kωt k= φ r + ζωφ r + Ω φ r = a Φ ke ikωt k= V případě funkce z příkladu lze psát: φ r + ζωφ r + Ω φ r = 8 πn π 3 t + 8 3πn 3π 3 t 8 5πn 5π 3 t + φ r + ζωφ r + Ω φ r = 8 π ieiωt + 8 3π iei3ωt 8 5π iei5ωt + odhad partikulárního řešení: φ rp = Φ r ie iωt + Φ r3 ie i3ωt + Φ r5 ie i5ωt + φ rp = iωφ r ie iωt + 3iωΦ r3 ie i3ωt + 5iωΦ r5 ie i5ωt + φ rp = ω Φ r ie iωt 3ω Φ r3 ie i3ωt 5ω Φ r5 ie i5ωt + 8

9 Ondřej Marek - KMS Ω ω + iζωω Φ r e iωt + Ω 3ω + iζω3ω Φ r3 e i3ωt + Ω 5ω + iζω5ω Φ r5 e i5ωt + = 8 π ieiωt + 8 3π iei3ωt 8 5π iei5ωt + V rovnici jsou vytknuty výrazy ie iωt, ie i3ωt, ie i5ωt jak na levé, tak i na pravé straně. Z rovnice lze psát 3 (obecně n) rovnic. ze kterých lze vyjádřit komplexní amplitudy vybuzených kmitů Φ rj pro jednotlivé frekvence. Komplexní amplituda v sobě zahrnuje informaci o velikosti a fázovém posunutí (zpoždění). Ω ω + iζωω Φ r = 8 π Ω 3ω + iζω3ω Φ r3 = 8 3π Ω 5ω + iζω5ω Φ r5 = 8 5π 8 Φ r = π Ω π ω + i π ζωω = i. 5 = i Φ r3 = 9π Ω 8π ω + i 5π ζωω = i Φ r5 = 5π Ω 65π ω + i 5π ζωω = i. 8 Φ r = Φ r e iθ = e i.96 Φ r3 = Φ r3 e iθ 3 = e i.55 Φ r5 = Φ r5 e iθ 5 = e i.5 9

10 Ondřej Marek - KMS Amplitudo-fázové charakteristiky, průběh ϕ r (t).5.5 x -5 ( ) ( ) x -6 3 ( ) ( ) x -7 5 ( ) ( ) Jelikož proběhla náhrada kωt = Re ie ikωt, pak lze do celkového řešení dosazovat opět rovnou kωt. φ r t = Φ r ωt + θ + Φ r3 3ωt + θ 3 + Φ r5 5ωt + θ 5 + φ r t = t t

11 Ondřej Marek - KMS Průběh ϕ r (t) - grafy. harmonická 3. harmonická 5. harmonická x -5 r ( t+ ) x -6 r3 (3 t+ 3 ) x -7 r5 (5 t+ 5 ) x -5 r (t) součet., 3. a 5. harmonické