KMS cvičení 6. Ondřej Marek
|
|
- Helena Zemanová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KMS cvičení 6 Ondřej Marek
2 NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m m x pohybové rovnice zapsané maticově Mx + Kx = m m x x + k + k k k k x x = Díky zkušeností z řešení DOF systému lze odhadnout tvar homogenního řešení jako: x h = r sin Ωt + φ x h = r sin Ωt + φ x h = Ω r sin Ωt + φ x h = Ω r sin Ωt + φ = Ω x h = Ω x h dosazení do pohybových rovnic: m Ω x h + k + k x h k x h = m Ω x h k x h + k x h = k + k m Ω x h k x h = k x h + k m Ω x h = Soustava homogenních rovnic AX = má buď nulové řešení nebo v případě singulární matice A nekonečně mnoho řešení. det A = k + k m Ω k m Ω k = m m Ω 4 Ω m k + m k + k + k k = Ω, = k + k + k k m m 4m + k k k + k + k k + k m m 4m okud dvojhmotový systém vypadá takto: m = m = m Ω, = k m Ω, = ± k m k = k, k = k Vlastní frekvence se řadí vzestupně, proto Ω < Ω
3 NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF () pokud je tedy A singulární pro dvě různé hodnoty Ω, tj Ω a Ω a platí: A a = a pro dvě různé Ω vyjdou dva vektory a, tj. a a a. 3k mω i k a i k k mω a = i i X je lineární kombinací vektorů a a a. X = q a + q a Univerzálnější postup, který lze použít i pro tlumenou soustavu Mx + Kx = odhad x = c e λt x = λ c e λt Mλ + K ce λt = Mλ + K c = když Mλ + K = A c = αa A a = det A = det m λ + k k k m λ + k = λ 4 m m + λ m k + m k + k k k k = λ, = k k ± k m m 4m + k 4m + k k k k m m aplikováno na příklad λ, = k m ± λ, = ±i k m Tohle jsou pravá vlastní čísla, pro netlumený systém vycházejí pouze komplexní části (vždy čísla jsou komplexně sdružená) 3
4 Ondřej Marek - KMS Vlastní vektory ro Ω = Ω lze psát ka + k mω a = a = k mω a k okud zvolíme a =, pak a = k mω k k = k k a = =.4 = Rovnovážná poloha k k m m x x. vlastní tvar m m ro Ω = Ω lze psát podobná rovnice a = k mω a k. vlastní tvar a a okud zvolíme a =, pak a = k mω k k + = k k = m m -a a a = =.4 4
5 Ondřej Marek - KMS říklad DOF struna () a b říklad: Dvě hmoty s hmotností m a m upevněné na předepnuté struně délky L se chovají jako poddajná soustava se dvěma stupni volnosti. Určete vlastní frekvence netlumeného systému a vlastní tvary. L=m; a=,m; b=,4m m L m m =kg; m =kg; =N Uvolnění: ohybové rovnice: m m m x + sin α sin γ = m x + sin γ + sin β = α m x x γ x m x β rovnice jsou nelineární, ale pro malé výchylky lze linearizovat sin α tg α = x a sin β tg β = x b sin γ tg γ = x x L a + b 5
6 Ondřej Marek - KMS říklad DOF struna () Linearizované pohybové rovnice: m x + x a x x L a + b = m x + x x L a + b + x b = po úpravě: m x + a + L a + b m x Maticový zápis: Mx + Kx = x L a + b x = L a + b x + b + L a + b x = M = m m K = M = K = a + L a+b L a+b L a+b + b L a+b
7 Ondřej Marek - KMS říklad - vlastní frekvence frekvenční determinant det K Ω M = substituce λ = Ω 75 λ det λ = 75 λ 5 λ 5 = λ λ + 35 = λ, = = λ = 93.8 λ = 86. Ω = 3.9 rad/s Ω = 8.4 rad/s f =. Hz f = 4.5 Hz Modální matice: Λ = λ λ =
8 Ondrej Marek - KMS Vlastní vektory, normované vlastní vektory ro Ω = Ω (λ = λ ) lze psát 75 λ a 5a = a = 75 λ 5 a =.47a okud zvolíme a =, pak a =.47 a =.47 ro Ω = Ω lze psát podobná rovnice 75 λ a 5a = a = 75 λ 5 okud zvolíme a =, pak a =.47 a =.47 a =.47a Vlastní vektory a, a nejsou normované. Normují se s vahou M kvůli podmínce ortogonality (bude vysvětleno později) okud se označí normované vektoru jako u a u (obecně u i ), lze je zapsat do matice U, která se nazývá modální matice U = u, u,, u n ožadavek normy s vahou M je: u i T Mu i = neboli maticově U T MU = I okud u i = α i a i u i T Mu i = α i a i T Mα i a i = α i = a i T Ma i u i = u = u = a i a i T Ma i a =.39a a T =.39 Ma.6739 a =.953a a T =.953 Ma.4 modální matice: U =
9 Ondřej Marek - KMS NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S n DOF říklad: ředepnutá hmotná struna s hmotností m s délky L se chová jako poddajná soustava. Diskretizujte kontinuum dle obrázku na soustavu s r stupni volnosti a určete vlastní frekvence systému a vlastní tvary. L=m; r=5; m s =.kg; =N m a a ro rovnoměrné rozložení hmoty m = m = m i = m n = m s r = m a = a = a i = a n+ = L r + = a Z minulého příkladu s DOF lze vypozorovat, že tuhost pružiny mezi sousedními hmotami m i a m i+ je rovna: L m m i k i = a i m n a n+ ohybové rovnice: mx + a x a x =... mx i a x i + a x i a x i+ =... mx n a x n + a x n = 9
10 Ondřej Marek - KMS SYSTÉM S n DOF pohybové rovnice Maticový zápis pro 5DOF (r=5) Mx + Kx = M = K = m m m m m a a a a a a a a a a a a a M = K =
11 Ondřej Marek - KMS SYSTÉM S n DOF vlastní čísla a vlastní tvary Vlastní čísla (spektrální matice Λ), vlastní frekvence (matice Ω) det K λm = 49 5 Λ = Ω = Vlastní tvary (modální matice U) U = vl tvar ( =63) vl tvar ( =) vl tvar ( 3 =73) vl tvar ( 4 =) vl tvar ( 5 =37) -5 5
12 NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF maticové řešení říklad: oddajná soustava dle obrázku je buzena harmonickou silou k k m m F cos ωt k 3 m= kg m = 4kg k=,5 N/m k= N/m k3=5 N/m F =,N ω=,4 rad/s p.p. x =,m, x =,5m, v =,5m/s, v =,m/s x k x m x x k x x m k x x m m x k 3 x 3 F cos ωt ohybové rovnice: m x + k + k x k x = m x k x + k + k 3 x = F cos ωt Maticový zápis: Mx + Kx = F M = m m K = k + k k k k + k 3 F = Re Fe iωt F = F s sin ωt + F c cos ωt F = F cos ωt = sin ωt + F cos ωt
13 říklad DOF- vlastní frekvence frekvenční determinant det K Ω M = det k + k Ω m k k k + k 3 Ω m = k + k λm k + k 3 λm k = Ω 4 m m + Ω m k m k 3 m k m k + k k + k k 3 + k k 3 = o dosazení 4Ω 4 Ω + 8 = Ω = = 3 Ω,,3,4 = ± 3 Matematicky správné by bylo řešení se čtyřmi Ω, ale jelikož by vycházely dva vlastní vektory vždy stejné, uvažují se pouze kladné Ω a řadí se od nejmenší po největší (Ω < Ω ) Ω = rad/s Ω = rad/s Spektrální matice: Λ = Ω Ω =
14 říklad DOF vlastní vektory ro Ω = Ω lze psát.5 Ω a a = a =.5 a =.5a okud zvolíme a =, pak a = a = u = U = a a T Ma = a 4 = a 8 = ro Ω = Ω lze psát podobná rovnice.5 Ω a a = a =.5 a =.5a okud zvolíme a =, pak a = a = Vlastní vektory a, a nejsou normované. Normují se s vahou M. okud se označí normované vektory jako u a u, lze je zapsat do modální matice U U = u, u u = a a T Ma = a 4 = a 8 =. vlastní tvar. vlastní tvar. vlastní tvar. vlastní tvar m m m m 4
15 říklad DOF volné kmitání Řešení se očekává ve tvaru: x H t = C u sin Ω t + φ + C u sin Ω t + φ pro počáteční podmínky se dosazením za t= získají 4 rovnice : x = C u sin φ + C u sin φ v = C u Ω cos φ + C u Ω cos φ pro 4 neznámé C, C, φ a φ zavedením: C sin φ = Z C sin φ = Z C cos φ = Z 3 C cos φ = Z 4 se získají 4 rovnice pro 4 neznámé Z..Z 4 ve tvaru x = Z u + Z u v = Z 3 Ω u + Z 4 Ω u a po dosazení..5 = Z.5. = Z Z Z 4.5 Maticová forma rovnic pro Z..Z Z =.5657 Z =.8485 Z 3 =.495 Z 4 =.5 C C C 3 C 4 = ozor, Z..Z 4 jsou spočteny pro stav v čase t=! Z a Z jsou vlastně modální souřadnice v čase. Dopočtení konstant C, C, φ a φ tg φ = Z Z 3 tg φ = Z Z 4 C = Z sin φ ; C = Z sin φ φ =,85 rad φ =,3958 rad C =,757 m C =,867 m 5
16 říklad homogenní řešení.5 x (t), x (t) x H t = C u sin Ω t + φ + C u sin Ω t + φ x x H x H t t = sin t, sin.4t +, x H x H t t = sin t, sin.4t +,3958 x x H t = u C sin Ω t + φ + u C sin Ω t + φ x H t = u q t + u q t q x H t = u u t q t = U q t.5 u q (t) příspěvek od. vl. tvaru q i t, q t... modální souřadnice, vektor modálních souřadnic -.5 x H = U C sin Ω t + φ C sin Ω t + φ u q (t) příspěvek od. vl. tvaru
17 říklad vynucené kmitání přímé řešení Harmonické buzení pro netlumený systém: Mx + Kx = f e iωt odhad: x = re iωt...obecně je r komplexní x = rω e iωt po dosazení: K ω M r = f matice dynamické tuhosti R = K ω M je v případě netlumeného systému reálná, tudíž amplituda r je reálné číslo pokud f je reálné č. Rr = f r = R f = Gf G je matice dynamické poddajnosti a její prvky g jl vyjadřují amplitudy vynucených výchylek v místě j od jednotkové harmonické síly v místě l R =.5 ω 6 4ω G = R adj R = det R = 4ω ω ω.5 ω g g 6 4ω g = 4 ω ω =.5 ω ω ω g = g = g = 4 ω ω.5 ω 4 ω ω
18 říklad amplitudy vynucených kmitů r ( ) r = Gf r = g g g g = g F F g F F r ω = 4 ω ω =.5 ω ω r [m] r ω = F.5 ω 4 ω ω =.5.5 ω ω ω - - pro ω=.4rad/s:.5.5 [rad.s - ] G = r = = r ( ) r ω =.4 r ω =.4 =.65 m =.995 m r [m] [rad.s - ] 8
19 říklad vynucené kmitání modální amplitudy Harmonické buzení pro netlumený systém: K ω M r = f předpoklad: r = Uc... c je modální amplituda (c i udává intenzitu, s jakou je i-tý vl. tvar zastoupen ve výsledné amplitudě vynucené výchylky) K ω M Uc = f... po přenásobení U T zleva U T KU ω U T MU c = U T f Λ ω I c = U T f c = Λ ω I U T f... jelikož je Λ ω I diagonální, inverze je jednoduchá, na diagonále jsou převrácené hodnoty c i = Ω i ω u i T f jelikož platí: r = Uc = U Λ ω I U T f r = Gf lze psát vztah pro matici dynamické poddajnosti: G = U Λ ω I U T 9
20 říklad vynucené kmitání modální amplitudy modální amplitudy pro ω=.4 rad/s: c = Λ ω I U T f =.4.4 po prvcích pro různé ω: c ω = Ω ω u T f =.354 ω c ω = Ω ω u T f =.354 ω = c, c 5 c, c ( ) Jelikož r = Uc, lze také psát: c c c r = u c + u c r = ω =.368 ω c [rad.s - ] kontrola: r = Uc r = = Amplitudy r vyšly stejně jako přímým výpočtem r = Gf
21 říklad vynucené kmitání a partikulární řešení x p (t) netlumený systém buzený silami jedné frekvence: Mx + Kx = f e iωt odhad partikulárního řešení byl: x = re iωt v zadání příkladu je kosinové buzení Mx + Kx = F c cos ωt x t = r cos ωt x t = cos ωt x p (t) t [s] 7.4.6
KMS cvičení 9. Ondřej Marek
KMS cvičení 9 Ondřej Marek SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor
VíceKMS cvičení 5. Ondřej Marek
KMS cvičení 5 Ondřej Marek Ondřej Marek KMS 5 KINEMAICKÉ BUZENÍ ABSOLUNÍ SOUŘADNICE Pohybová rovnice: mx + b x x + k x x = mx + bx + kx = bx + kx Partikulární řešení: x = X e iωt x = iωx e iωt k m b x(t)
VíceI. část - úvod. Iva Petríková
Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy,
VíceIII. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
VíceNecht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí
Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy
VíceTéma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav
Téma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Volné kmitání konzervativních(netlumených) soustav je popsáno maticovou pohybovou
VíceTéma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky
Statika staveních konstrukcí II., 3.ročník akalářského studia Téma 3, Úvod do dynamiky staveních konstrukcí dynamiky Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí
Více1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...
. Řešená konstrukce.... Statické řešení.... Výpočet průhybové čáry... 5. Dynamika.... Vlastní netlumené kmitání..... Jacobiho metoda rovinné rotace... 4.. Popis algoritmu... 4. Vynucené kmitání... 5 4.
VíceMODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS
MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A
MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující
VíceObsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9
Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů
Více(test version, not revised) 9. prosince 2009
Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie
VíceB. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceTéma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání
Počítačová podpora statických výpočtů Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání 1) Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni ) Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Katedra konstrukcí
VíceFyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze. Úloha č. 10 : Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo
Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 10 : Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 9.11.2012 Klasifikace: Část I Lineární
VíceMatematickým modelem soustavy je známá rovnice (1)
1. Lineární dynamické systémy 1.1 Rezonanční charakteristiky lineárních systémů s jedním stupněm volnosti Závislost amplitudy vynucených kmitů na frekvenci nazýváme amplitudo-frekvenční charakteristikou.
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Víceω=2π/t, ω=2πf (rad/s) y=y m sin ωt okamžitá výchylka vliv má počáteční fáze ϕ 0
Kmity základní popis kmitání je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou mechanický oscilátor zařízení vykonávající kmity Základní veličiny Perioda T [s], frekvence f=1/t
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceKMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině
KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A
Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D19_Z_OPAK_KV_Mechanicke_kmitani_T Člověk a příroda Fyzika Mechanické kmitání Opakování
VíceIng. Václav Losík. Dynamický výpočet otočného sloupového jeřábu OS 5/5 MD TECHNICKÁ ZPRÁVA
Ing. Václav Losík Dynamický výpočet otočného sloupového jeřábu OS 5/5 MD TECHNICKÁ ZPRÁVA Obr. 0 Ocelový otočný sloupový jeřáb OS 5/5 MD I. Popis objektu a úlohy Jedná se o ocelový otočný sloupový jeřáb
VíceStavební fakulta Katedra mechaniky. Jaroslav Kruis, Petr Štemberk
České vysoké učení technické v Praze Stavební fakulta Katedra mechaniky Fuzzy množiny, fuzzy čísla a jejich aplikace v inženýrství Jaroslav Kruis, Petr Štemberk Obsah Nejistoty Teorie pravděpodobnosti
VícePříklady kmitavých pohybů. Mechanické kmitání (oscilace)
Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceStroboskopické metody vibrační diagnostiky
Inovovaná přednáška/seminář studijního programu Strojní inženýrství Stroboskopické metody vibrační diagnostiky Zpracoval: Pracoviště: Pavel Němeček Katedra vozidel a motorů, Fakulta strojní, TU v Liberci
VíceKvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014
F40 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 03-04 VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení KOTLÁŘSKÁ 3. DUBNA 04 Úvodem capsule o maticích a jejich diagonalisaci definice "vibračních módů"
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceZadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2
Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceLaboratorní úloha č. 4 - Kmity II
Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II Úkoly měření: 1. Seznámení s měřením na přenosném dataloggeru LabQuest 2 základní specifikace přístroje, způsob zapojení přístroje, záznam dat a práce se senzory, vyhodnocování
VíceTestovací příklady MEC2
Testovací příklady MEC2 1. Určete, jak velká práce se vykoná při stlačení pružiny nárazníku železničního vagónu o w = 5 mm, když na její stlačení o w =15 mm 1 je zapotřebí síla F = 3 kn. 2. Jaké musí být
VíceA0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
VíceMechanické kmitání (oscilace)
Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceExperimentální dynamika (motivace, poslání, cíle)
Experimentální dynamika (motivace, poslání, cíle) www.kme.zcu.cz/kmet/exm 1 Obsah prezentace 1. Motivace, poslání, cíle 2. Dynamické modely v mechanice 3. Vibrace přehled, proč a jak měřit 4. Frekvenční
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
Více3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY
3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY Modulací nazýváme proces při kterém je jedním signálem přetvář en jiný signál za účelem př enosu informace. Př i amplitudové modulaci dochází k ovlivňování amplitudy nosného
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceHarmonické oscilátory
Harmonické oscilátory Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz Abstrakt Tato úloha se zabývá měřením rezonančních vlastností mechanických tlumených i netlumených oscilátorů. 1 Úvod 1. Změřte tuhost pružiny statickou
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceLaboratorní úloha č. 3 - Kmity I
Laboratorní úloha č. 3 - Kmity I Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřením na osciloskopu nastavení a měření základních veličin ve fyzice (frekvence, perioda, amplituda, harmonické, neharmonické kmity).
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceMechanické kmitání a vlnění
Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceOdpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceHarmonický pohyb tělesa na pružině
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Harmonický pohyb tělesa na pružině PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky Posílení vazby teoretických
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Více1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA NEROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 2 DYNAMIKA NEROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. DYNAMIKA vyšetřuje pohyb hmotných útvarů vyvolaný silami Pohyb = proces změny fyzikálních veličin
Více1.7.4. Skládání kmitů
.7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceDIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH
DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MECHANISMU TETRASPHERE Vypracoval: Jaroslav Štorkán Vedoucí práce: prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. CÍLE PRÁCE Sestavit programy pro kinematické, dynamické
Více5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole
5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMichael Valášek Vedoucí práce: doc. Ing. Václav Bauma, CSc.
Michael Valášek Vedoucí práce: doc. Ing. Václav Bauma, CSc. Zadání bakalářské práce Mechanismus vztlakové klapky křídla 1. Proveďte rešerši možných konstrukčních řešení vztlakové klapky křídla 2. Seznamte
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceLineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 3 DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. OBSAH 1. Úvod. Základní výpočtový model v rotujícím prostoru 3. Základní výpočtový model rotoru
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více