Stanovení nejistot při výpočtu kontaminace zasaženého území Michal Balatka Abstrakt Hodnocení ekologického rizika kontaminovaných území představuje komplexní úlohu, která vyžaduje celou řadu vstupních dat. Mezi ně patří údaje o koncentračním poli, které popisují časoprostorový vývoj koncentrací škodlivin v jednotlivých složkách životního prostředí. Jednou z možností získání těchto údajů jsou výpočty prováděné pomocí simulačních modelů transportu látek v přírodním prostředí. Modely vyžadují velké množství často obtížně měřitelných vstupních parametrů, které jsou zatíženy určitou mírou nejistoty. Proto je třeba provádět postupně několik variantních výpočtů s různými skupinami hodnot vstupních parametrů. Výslednou hodnotu koncentrace látky např. v podzemní vodě v daném místě a čase je proto vhodnější vyjádřit jako spojitou náhodnou veličinou s příslušným typem rozdělení pravděpodobnosti. Jednu z možností, jak zjistit parametry tohoto rozdělení, nabízí vyvinutý algoritmus, který je založen na simulační metodě Monte-Carlo. Popis s příkladem nasazení tohoto algoritmu představuje náplň tohoto příspěvku. Úvod Dlouhodobý (chronický) únik nebezpečných látek do životního prostředí, může představovat riziko pro zdraví člověka i ekosystémů. Zdroje těchto úniků nejčastěji představují například pozůstatky po důlní činnosti, skládky všech možných typů, průmyslové areály, bývalé vojenské prostory, atd. Jedny z důležitých podkladů k hodnocení rizika představují údaje o rozmístění koncentrací škodlivin v jednotlivých složkách životního prostředí, které se v zasaženém území vyskytují. Soubor takových dat pro celou plochu označujeme jako koncentrační pole. Na rozdíl od rizik akutních spojených většinou s průmyslovými či dopravními haváriemi nebo živelnými pohromami, se následky neprojevují okamžitě, ale dlouhodobě v řádu let i několika desetiletí. Protože se
za tuto dobu kontaminace pohybuje, je vhodné znát také časový vývoj koncentračního pole. Klíčové médium, v kterém se dlouhodobě unikající látky často pohybují představuje podzemní voda. Pro predikci vývoje koncentrací nebezpečných látek v podzemní vodě dnes existuje celá řada počítačových modelů, založených nejčastěji na numerických metodách konečných diferencí nebo konečných prvků. Představme si 3D model horninového prostředí založený na metodě konečných prvků, který je určen pro výpočet vývoje pohybu kontaminace v podzemní vodě. Takový model je složen z poměrně podrobných údajů tří základních skupin dat. První skupinu tvoří údaje o hydraulických vlastnostech hornin, druhou počáteční a okrajové podmínky proudění podzemní vody a třetí skupinu tvoří okrajové a počáteční podmínky pro transport látek v podzemní vodě. Všechny tyto typy parametrů se získávají velmi obtížně. Provádějí se pomocí metod jako jsou laboratorní měření na vzorcích získaných z průzkumných vrtů, fyzikální měření přímo v terénu, ze znalostí o stavbě geologického podloží celého regionu. Získávání těchto dat je technicky velmi obtížné a finančně velmi nákladné. Typický problém představuje i vysoká variabilita horninového prostředí, která velmi často roste směrem k zemskému povrchu. Například propustnost horniny naměřená v jednom místě, se tak může o několik metrů dále lišit o jeden řád i více. Převážná většina parametrů modelu horninového prostředí se získává pomocí nejrůznějších sofistikovaných odhadů. Výsledky výpočtů těchto modelů jsou potom vždy zatíženy většími či menšími nejistotami. Zpracování nejistot Výsledek výpočtu představuje koncentrační pole, které poskytuje údaje o koncentracích sledovaných látek v daných místech a časech. Nejistoty těchto koncentrací se zpravidla omezují analýzou citlivosti, pomocí které se zjistí ty vstupní parametry modelu, na jejichž změny koncentrační pole v zájmových místech i časech reaguje velmi citlivě. Těmto parametrům je potom při určování jejich hodnot věnována zvýšená pozornost. Parametry modelu horninového prostředí, který je určen k výpočtu transportu látek ve vodě, lze také přímo vyjádřit stochasticky pomocí náhodných veličin s předepsaným rozdělením pravděpodobnosti.
Hustotou pravděpodobnosti zde můžeme rozumět vyjádření míry věrohodnosti pro jednotlivé hodnoty takto vyjádřeného konkrétního parametru. Výsledné koncentrace jsou v tomto případě opět vyjádřeny jako náhodné veličiny s danými rozděleními pravděpodobností. Parametry těchto rozdělení se v praxi určují numericky pomocí simulace Monte-Carlo. Stochasticky vyjádřené parametry představují n-tici, pro kterou se provede veliké množství náhodných výběrů. Pro každou tuto n-tici se provede výpočet koncentračního pole. Pro každé místo a čas tak získáme velké množství náhodně vybraných hodnot koncentrací, z kterých lze vypočítat přibližné parametry jejich rozdělení s dostatečnou přesností. Tato metoda je velmi intuitivní a dostatečně obecná. Má však dvě podstatná omezení. První omezení spočívá ve skutečnosti, že hodnoty v rámci jedné n-tice vstupních parametrů jsou vybírány nezávisle na sobě. Pokud se například provede náhodný výběr celkové pórovitosti horninového prostředí 31%, musí se výběr aktivní pórovitosti (pórový prostor se dělí na aktivní a neaktivní póry) již řídit hodnotou 31%, tak aby ji nepřekročil. Druhé omezení spočívá v nárocích na výpočetní techniku. Každá vybraná n-tice vstupních parametrů modelu představuje samostatný výpočet koncentračního pole. U menších modelů tyto výpočty mohou trvat několik minut, u větších až několik hodin nebo dokonce dnů. Dostatečně velké množství vybraných n-tic se přitom řádově musí pohybovat minimálně v tisících. Jako příklad využití této metody může sloužit článek v literatuře [1]. Nejistoty pomocí variant modelů jako celků V následujícím přístupu hodnocení nejistot se navrhne několik variant modelu horninového prostředí (hodnoty parametrů horninového prostředí, počáteční a okrajové podmínky podzemního proudění a transportu). Každá z těchto variant představuje samostatný model, jehož parametry jsou dány a nijak se již dále z hlediska analýzy nejistot neupravují. Každé variantě je dále nutno přiřadit bodové hodnocení podle toho, jak moc se jeví věrohodná. Čím je přitom hodnota sledované varianty oproti hodnocení ostatních variant větší, tím větší je i její věrohodnost.
K dispozici jsou tedy varianty modelu horninového prostředí s hodnotami vyjadřujícími jejich věrohodnost. Ohodnocené varianty představují výchozí vstupy do algoritmu, jehož výsledkem by opět měly být parametry spojitých rozdělení náhodných veličin pro koncentrace v daných místech a časech. Algoritmus popisuje blokové schéma na obrázku č. 1. Obr. 1: Blokové schéma algoritmu pro výpočet nejistot koncentrace Prvním krokem při výpočtu nejistot je stanovení pravděpodobností výskytu pro jednotlivé varianty, které v tomto smyslu představují úplný prostor disjunktních jevů. Tyto pravděpodobnosti se získají z bodového hodnocení variant jako: pravděpodobnost varianty = body varianty / suma bodů všech variant. Tímto krokem vznikne diskrétní rozdělení, z kterého se mohou provádět simulované náhodné výběry. V daných místech a časech nám tak vycházejí koncentrace v závislosti na vybrané variantě. Nejedná se samozřejmě o koncentrace libovolné. Stále se zde opakují izolované hodnoty, z nichž každá odpovídá jedné z vybíraných variant modelu podzemí. Tím by byly nejistoty koncentrací ve sledovaných místech popsány pomocí diskrétních náhodných veličin, což není zcela korektní přístup, protože koncentrace je veličina spojitá. Této skutečnosti lze dosáhnou v dalším kroku. V dosud popsaných krocích byl tedy simulován náhodný výběr jedné z variant modelu podzemí a byla tak získána hodnota koncentrace nebezpečné látky pro sledované místo. I v rámci jedné varianty však existuje celá řada nejistot, které by bylo možno vyjádřit dalšími sub-variantami. To by však bylo velmi náročné a ne-
praktické. Tyto sub-varianty lze však pro sledovaná místa nahradit například logaritmicko-normálním rozdělením koncentra-ce. Hodnota koncentrace vypočtená pro danou variantu pak představuje modus (nejvíce předpokládanou hodnotu). Druhý parametr rozdělení představuje rozptyl určený z rozptylu rozdělení variant. Logaritmicko-normální rozdělení je vhodné zejména proto, že náhodná veličina může stejně jako u koncentrace nabývat kladných hodnot. V případě nuly se předpokládá, že teoreticky nikdy koncentrace škodlivé látky nedosáhne na zasaženém území nulové hodnoty. Z tohoto rozdělení pro určené místo a čas se opět simuluje výběr náhodné koncentrace. Výše uvedené kroky je třeba zopakovat v dostatečně velkém počtu. Z výsledných náhodných koncentrací se potom opět provede odhad parametrů rozdělení. Pro účely hodnocení rizik se jedná hlavně o kvantity, které popisují, s jakou pravděpodobností nastane překročení stanovených limitů. Na rozdíl od metody výpočtu nejistot uvedené v předchozí kapitole, zde odpadá velké množství výpočtů na modelech. Pro každou variantu, kterých v praxi může být několik jednotek maximálně desítek, se provede pouze jeden výpočet. Při opakovaném výběru dané varianty modelu je již příslušné koncentrační pole k dispozici. Protože jednotlivé varianty modelu představují z hlediska algoritmu uzavřenou skupinu parametrů, do kterých se nezasahuje, nejsou hodnoty parametrů vybírány nezávisle na sobě. Každá varianta se při simulaci vybírá jako jeden celek. Obrázek č. 2: Ukázka výpočtu nejistot koncentrace v určitém místě
Graf na obrázku č. 2 demonstruje výpočet nejistoty koncentrace v konkrétním místě. Obrázek 2 a) popisuje bodové hodnocení věrohodnosti šesti variant, kterým v tomto místě vycházejí příslušné koncentrace. Na obrázku 2 b) je histogram sestavený z dostatečně velkého množství výpočtů podle výše popsaného algoritmu. Z těchto hodnot se potom určí parametry rozdělení výsledné koncentrace, které jsou uvedeny v tabulce: Parametr Hodnota Pravděpodobnost překročení limitu 30 mg/l 73% Medián 44 mg/l 95% kvantil 120 mg/l Závěr Tento článek popisuje principy výpočtu nejistot, které budou implementovány ve vyvíjeném softwarovém prostředku určeném k hodnocení ekologických rizik v lokalitách postižených dlouhodobými úniky nebezpečných látek. Způsob výpočtu nejistot založený na ohodnocených variantách modelu horninového prostředí byl navržen s ohledem na poznatky z oblasti tvorby těchto modelů. Konečná podoba algoritmu není ještě zcela uzavřená. K možným změnám by mohlo v blízké budoucnosti dojít při řešení větších praktických úloh. Literatura [1] Balatka M.: Nalezení efektivního způsobu čištění vrstev s nízkou propustností, Konference Sanační technologie IX, Vodní zdroje EKOMONITOR s.r.o., Luhačovice 2006, ISBN 80-86832-20-1 Adresa autora: Ing. Michal Balatka, Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií, Technická univerzita v Liberci, Hálkova 6, 461 17 Liberec Email: michal.balatka@tul.cz Tato práce byla vytvořena v rámci projektu MŠMT 1M06047 - CQR