8. Normální rozdělení

Transkript

1 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované normální rozdělení. V dalším textu budeme náhodnou veličinu, která má rozdělení N(0; ) obvykle označovat písmenem U. Její hustota je pak ( ) = e x2 2, x (, ). Distribuční funkci rozdělení N(0; ), která je definovaná vztahem ( ) Φ(x) = x e t2 2 dt, x (, ), budeme vždy označovat symbolem Φ. Graf hustoty ϕ normovaného normálního rozdělení N(0; ) znázorníme na obrázku Obr. 8. a graf distribuční funkce Φ je znázorněn na obrázku Obr Obr

2 Φ(x) Obr Poznámka: Normované normální rozdělení N(0; ) je symetrické kolem nuly a tedy = ϕ( x). Je tudíž E(X) = 0 a dále je D(X) =. Odtud plyne, že pro distribuční funkci Φ platí: Φ(x) + Φ( x) = Φ( x) = Φ(x) a Φ(0) = 0, 5. Obecné normální rozdělení N(µ; 2 ) je posunuté o hodnotu µ, je tedy symetrické vzhledem k této hodnotě. Je E(X) = µ a D(X) = 2. Směrodatná odchylka (X) =. Rozdělení je koncentrováno ke střední hodnotě. I když nabývá náhodná veličina s tímto rozdělením teoreticky všech reálných hodnot je P ( X µ < 3) = 0, 999 a P ( X µ < 3, 5) = 0, Poznámka: Normální rozdělení si zachovává svůj charakter při lineární transformaci. Platí totiž následující tvrzení Věta: Jestliže má náhodná veličina X rozdělení N(µ, 2 ), má pak náhodná veličina Y = X+β rozdělení N(µ+β, 2 2 ). Speciálně platí, že náhodná veličina U = X µ má normované normální rozdělení N(0, ). Důkaz: Je-li X náhodná veličina, která má rozdělení N(µ, 2 ) a je-li f její hustota a F je její distribuční funkce, pak pro hustotu g a distribuční funkci G náhodné veličiny Y platí: G(y) = P (Y y) = P (X + β y) = P (X y β) = 65

3 = P (X y β P (X y β ) = F ( y β ) > 0 ) = F ( y β ), < 0. Potom pro hustotu g rozdělení náhodné veličiny Y dostaneme: ( ) d g(y) = G dy F ( y β (y) = ) = f(y β ) ( ) d dy F ( y β ) = f(y β ) = f(y β ) = = e ( y β µ)2 2 2 = (y (µ+β)) 2 e 2() 2. To je ovšem hustota normálního rozdělení N(µ + β; () 2 ). Jestliže zvolíme = a β = µ dostaneme µ + β = 0 a =. Náhodná veličina U má tudíž normované normální rozdělení N(0; ). Poznámka: Transformace na normované rozdělení. Jestliže má náhodná veličina X normální rozdělení N(µ; 2 ), pak má náhodná veličina U = X µ X = U + µ normované normální rozdělení N(0; ). Pro její distribuční funkci F a hustotu f platí: ( ) x µ F (x) = Φ F (u + µ) = Φ(u) a f(x) = ( ) x µ ϕ f(u + µ) = ϕ(u). Je tedy ( ) b µ P (a < X < b) = F (b) F (a) = Φ Φ ( a µ kde hodnoty funkce Φ odečteme z tabulek hodnot distribuční funkce Φ Kvantily normálního rozdělení. Pro kvantily u p normovaného normálního rozdělení N(0; ) platí, že: Φ(u p ) = p, 0 < p < u p = Φ (p) ), 66

4 a jejich hodnoty nalezneme v tabulkách kvantilů. Všimneme si, že platí: u 0,5 = 0 a u p = u p. Pro kvantily x p obecného normálního rozdělení N(µ; 2 ) platí: ( ) xp µ F (x p ) = p Φ = p x p µ = u p x p = u p + µ. Odtud plyne, že medián x = x 0,5 = ˆx = E(X) = µ je zároveň modus. Význam kvantilů si znázorníme na obrázku hustoty ϕ a distribuční funkce Φ normovaného normálního rozdělení. Obsah obrazce vyznačeného šrafováním je roven p u p 2 3 x Obr p Φ(x) 0, u p 2 3 x Obr Intervaly spolehlivosti. Ve statistice se setkáváme s úlohou, kdy potřebujeme k dané pravděpodobnosti určit interval, ve kterém se hodnota náhodné veličiny vyskytuje. Vyřešíme tuto úlohu pro normované normální rozdělení. Pro jiná rozdělení se princip řešení zachová, 67

5 jenom hraniční hodnoty hledaného intervalu se určí z kvantilů odpovídajícího rozdělení Příklad: K danému číslu, 0 < <, určete interval tak, aby pro náhodnou veličinu U, která má normované normální rozdělení N(0; ) platilo: a) ( ) P ( U < a) = ; b) ( ) P (U < a) = ; c) ( ) P (U > a) =. Řešení: a) Z podmínky vyplývá = P ( a < U < a) = Φ(a) Φ( a) = = Φ(a) ( Φ(a)) = 2Φ(a) Φ(a) = 2. Odtud plyne, že a = u 2 a < U < a u 2 < U < u 2 kvantil. Je tedy. Viz obr b) Obdobně jako v a) dostaneme = P (U < a) = Φ(a) a = u. Je tedy U < a U < u. Viz obr c) Z podmínky pro interval plyne = P (U > a) = Φ(a) Φ(a) = a = u. Je tedy U > a U > u. Viz obr Poznámka: Číslo volíme malé, obvykle 0 < 0, a číslo se nazývá koeficient spolehlivosti (konfidenční koeficient). Získaný interval nazýváme 00( ) procentním intervalem spolehlivosti. Interval ( ) je oboustranný interval, intervaly ( ) a ( ) jsou jednostranné.první je pravostranný a druhý levostranný. Jsou to intervaly, ve kterých se hodnota náhodné veličiny bude vyskytovat s pravděpodobností ( ), tedy ve 00( )% případech. 68

6 u u 2 Obr u Obr u Obr Sčítání náhodných veličin. Důležitou vlastnost má normální rozdělení při sčítaní náhodných veličin. Pro nezávislé náhodné veličiny platí, že i po sčítaní mají normální rozdělení. Tvrzení se odvodí pomocí charakteristické funkce. Uvedeme tuto vlastnost ve formě věty Věta: Jsou-li X, resp. Y nezávislé náhodné veličiny s normálními rozděleními N(µ, 2), resp. N(µ 2, 2 2 ), pak má náhodná veličina X + Y normální rozdělení s parametry N(µ + µ 2, ). 69

7 8.7. Náhodný výběr. Ve statistice zpracováváme data, která jsou souborem výsledků náhodného pokusu. Jeho náhodnost se projeví v tom, že při jeho opakování se objeví různé výsledky. Je-li charakter náhody popsán tím, že výsledky náhodného pokusu odpovídají hodnotám náhodné veličiny s daným rozdělením, pak soubor dat je realizací uspořádané n tice náhodných veličin {X, X 2,..., X n }. Všechny náhodné veličiny mají shodné rozdělení a jsou na sobě nezávislé. Takovou uspořádanou n tici náhodných veličin nazýváme prostým náhodným výběrem z daného rozdělení. Z vět 8.6 a 8.2 vyplývá toto tvrzení Věta: Jestliže mají nezávislé náhodné veličiny X i, i n normální rozdělení N(µ, 2 ) (náhodný výběr z normálního rozdělení), má pak výběrový úhrn X = n X i normální rozdělení N(nµ, n 2 ) a i= výběrový průměr X = n n i= X i normální rozdělení N(µ, 2 n ). Poznámka: O náhodné veličině, která je funkcí náhodného výběru mluvíme jako o statistice. Častou úlohou je nalezení vhodné statistiky, z jejíchž hodnot můžeme odvodit vlastnosti sledovaného rozdělení. Z vlastností normálního rozdělení vidíme, že statistika X, výběrový průměr je dobrým odhadem střední hodnoty µ, neboť při dostatečně rozsáhlém výběru, velké hodnotě n, se bude hodnota X jen velmi málo lišit od střední hodnoty µ. 70