MONETÁRNÍ MAKROANALÝZA

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE MONETÁRNÍ MAKROANALÝZA JAN KODERA TRAN VAN QUANG 2011

Tento učební text vznikl na základě podpory programu "Operational Program Prague Adaptability", projekt "Finančního inženýrství", a Grantové agentury České republiky - P402/10/0289 "Nestabilita finančního trhu" ii

Předmluva Žijeme v ekonomice a době, ve které nemůže být pochyb o důležitosti měnové politiky, jejíž nástroje ovlivňují, y, dynamiku cen, dynamiku měnového kursu a dynamiku reálné produkce. Přesvědčení, že lze ekonomické veličiny ovlivňovat skrze úrokovou míru centrální banky nebo skrze regulaci peněžní zásoby, sdílí naprostá většina ekonomů. Rozdíl je jak k danému problému přistupují. Prosazují dva významné proudy, které stojí za to, abychom je v předmluvě této knihy připomněli. První z nich je moderní neoklasická ekonomie, ve které se prosazují myšlenky o aktivní úloze peněžní zásoby. Převodový mechanizmus je při tomto přístupu popisován následujícím způsobem. Měnová baze je chápána jako řídící proměnná. Je zvyšována nebo snižována pomocí nákupů a prodejů cenných papírů. Obchody s cennými papíry jsou prováděny tak, že banka určuje objemy těchto obchodů. Přes působení multiplikátoru je měnovou bází ovlivňována peněžní nabídka. Pokud peněžní nabídka roste a peněžní poptávka zůstává stejná, dochází k růstu cen na komoditních trzích. Pokud peněžní nabídka klesá, dochází k poklesu cen na komoditních trzích. Prostřednictvím regulace peněžní nabídky tedy lze regulovat inflaci. Moderní neoklasické modely podobně jako tradiční neoklasická ekonomie vylučují možnost regulace výroby růstem nebo poklesem peněžní nabídky. Teoretická odnož moderní neoklasické ekonomie - monetarismus tuto možnost připouští v krátkém období a v podstatě ve směru. restrikce peněžní zásoby. Restrikce peněžní zásoby způsobí pokles agregátní poptávky a v důsledku toho i omezení výroby. Naopak expanze peněžní nabídky může vést k růstu produkce, pokud existují volné výrobní kapacity. Dalším významným proudem je keynesovská ekonomie. Keynesovská ekonomie nepovažuje peněžní nabídku za nástroj, který by mohl aktivně ovlivnit inflaci popřípadě výrobu. Peněžní nabídku považuje za endogenní ekonomickou veličinu. Keynesovské teorie předpokládají, že centrální banky nejsou schopny regulovat peněžní zásobu, ale jsou schopny regulovat úrokovou míru a pomocí ní regulovat nejenom inflaci ale i produkci. Konkrétní měnová politika vycházející z tohoto proudu se nazývá cílování inflace. V pojetí nové keynesovské ekonomie úroková míra centrální banky ovlivňuje přes časovou strukturu úrokových měr tržní úrokovou míru. Tržní úroková míra ovlivní produkci skrze IS křivku. Produkce se odchýlí od svého potenciálu, což jednak ovlivňuje ceny, ale i měnový kurs. iii

Oba významné proudy ekonomického myšlení mohou při odvozování svých závěrů používat makroekonomické nebo mikroekonomické metody, které podrobněji vysvětlujeme v úvodní kapitole tohoto textu. Makroekonomická metoda je čtenáři tohoto tetu bližší, protože makroekonomické modely tvoří podstatnou část výuky na ekonomických školách. Mikroekonomická metoda je vlastní modelům celkové dynamické rovnováhy, které v současné době představují převládající směr soudobé ekonomické teorie. V rámci této teorie je nejvíce v současné době rozvíjena nová keynesovská ekonomie, která rozvíjí některé keynesovské myšlenky využitím mikroekonomického přístupu. Poznatky obou proudů samozřejmě využívají praktici při realizaci opatření měnové politiky. Avšak kromě tradičních postupů je aktuální uvažovat o vytváření a používání moderních metod, které spočívají ve vytváření a testování makroekonomických nebo mikroekonomických modelů. Kvantitativní analýza nedosahuje vždy perfektních výsledků, což vede k rozsáhlým diskusím o oprávněnosti těchto metod. Problém užívání moderních analytických postupů však není v rámci vývoje ekonomických disciplín řešen negativisticky, jejich vyřazením. Použití modelů při analýze ekonomických systémů nemá alternativu, jak ukazuje vývoj, a tak jednotlivé neúspěchy konkrétních modelů jsou řešeny jejich reformulací a dalšími pokusy o odhady parametrů a dalšími pokusy o tvorbu realistické předpovědi. Jedná se o dlouhodobý úkol, protože při nejlepší vůli badatelé nemohou být schopni provést adekvátní formulaci problémů, efektivní využití dat a výběr účinných metod odhadu parametrů modelu najednou a napoprvé. Spíše se jedná o dlouhodobý, ne-li o nekonečný proces neustálého přibližování k ideálnímu poznání. V této knize se soustředíme na oblast měnové politiky a na dopady této inflaci a reálnou produkci. V prvé řadě se budeme věnovat převládajícímu proudu současné ekonomické teorie a to modelům dynamické (stochastické) celkové rovnováhy. V rámci těchto výkladu modelů preferujeme modely nové keynesovské ekonomie. Dále se zaměříme na makroekonomické dynamické nelineární modely a možnosti jak ovlivňovat inflaci a reálnou produkci v těchto modelech. Uvidíme, že modely dynamické stochastické celkové rovnováhy jsou strukturálně komplikované a přesto produkují jednoduchou dynamiku. Makroekonomické dynamické nelineární modely jsou v principu jednoduché, ovšem jsou schopny produkovat složitou dynamiku, která připomíná chování skutečných ekonomických časových řad. Kniha je rozdělena do šesti kapitol. První kapitola je úvodní. Po úvodní kapitole následuje výklad makroekonomických modelů, který je soustředěn do dvou rozsáhlejších kapitol. iv

V kapitole druhé se zabýváme keynesovskými modely poptávky po penězích. Třetí kapitola obsahuje základní makroekonomický model, a to model IS-LM. Zde ho ovšem předkládáme jako dynamický nelineární model a ukazujeme, že může generovat složitou dynamiku reálné produkce a úrokové míry. V kapitole čtvrté se zabýváme inflací a popisujeme zde několik modelů. V posledních dvou kapitolách pokračujeme výkladem modelů, které jsou budovány mikroekonomickou metodou.jedná se o dynamické stochastické modely celkové rovnováhy (modely DSGE). Pátá kapitola obsahuje rozbor neoklasických modelů DSGE. Jedná se o základní bezpeněžní neoklasický model, dále o model s podmínkou placení předem (cash in advance models)a nakonec o modely zahrnující peněžní poptávku v užitkové funkci (Money-in-the-utility- function models. Kapitola šestá se zabývá modely nové keynesovské ekonomie. Najdeme zde jednak uzavřený nový keynesovský model a potom model malé otevřené ekonomiky. Výklad teorie obsažené v předkládaném textu provádíme pomocí matematických modelů. Jako ilustraci výkladu uvádíme řadu grafů. Matematika použitá ve výkladu nikterak nevybočuje z rámce vysokoškolské matematiky, která je vyučována na vysokých školách ekonomického zaměření. v

Obsah 1 ÚVOD 1 1.1 Předmět, metoda a cíle............................ 1 1.2 Ekonomická dynamika............................ 5 1.3 Teorie očekávání............................... 10 1.4 Problémy měření............................... 12 2 KEYNESOVSKÉ TEORIE 16 2.1 Tradiční teorie................................. 17 2.2 Moderní transakční teorie........................... 21 2.3 Teorie portfolia................................ 32 2.4 Tobinův model................................ 43 2.5 Modely dílčího přizpůsobení......................... 52 3 ROVNOVÁHA NA PENĚŽNÍM TRHU 65 3.1 Nelineární statický model IS-LM....................... 65 3.2 Komparativní statika.............................. 71 3.3 Dynamický nespojitý model IS-LM...................... 79 3.4 Spojitý dynamický model IS-LM....................... 85 4 MODELOVÁNÍ INFLACE 97 4.1 Statický model inflace............................. 98 4.2 Nespojitá dynamika inflace.......................... 107 4.3 Spojitý dynamický nelineární přístup..................... 113 5 NEOKLASICkÝ MODEL 124 5.1 Základní bezpeněžní model.......................... 125 5.1.1 Domácnost.............................. 125 5.1.2 Úloha peněz v modelu........................ 127 5.1.3 Podnik................................ 128 5.1.4 Determinace reálné úrokové míry a reálné mzdy.......... 130 5.2 Dynamický model celkové rovnováhy s placením předem.......... 135 vii

5.3 Model s penězi v užitkové funkci....................... 145 6 MODELY NOVÉ KEYNESOVSKÉ EKONOMIE 160 6.1 Uzavřený model nové keynesovské ekonomie................ 160 6.2 Model malé otevřené ekonomiky....................... 173 LITERATURA 187 viii

1 ÚVOD Tato kapitola seznámí čtenáře ze základními pojmy, které budeme dále používat. V její první části se budeme zabývat předmětem měnové analýzy, metodami zkoumání a cíli moderní měnové teorie. Ve druhé části se seznámíme s některými makroekonomickými veličinami a jejich použitím při měření důležitých makroekonomických jevů. Zvláštní pozornost budeme věnovat měření produkce a inflace. 1.1 Předmět, metoda a cíle Předmět zkoumání libovolné teorie vymezujeme popisem systému, který tato teorie studuje. Obecně je systém vymezen jako soubor prvků navzájem spjatých určitými vztahy. Předmětem zkoumání měnové analýzy je systém, který nazýváme ekonomikou. Ekonomika je souborem firem (včetně bankovních), domácností a dalších institucí jako vláda, nevládní instituce a národní banka. Mezi těmito institucemi existují vztahy realizované reálnými, peněžními, finančními a informačními toky. Reálné toky jsou toky zboží a služeb. Finanční toky jsou toky úvěrů, úspor ale také daní. Peněžní toky není nutné vysvětlovat, proudí opačným směrem než toky zboží a služeb a než finanční toky. Informační toky jsou důležité, avšak tradiční ekonomická teorie je studuje okrajově. Povaha prvků a vztahů mezi nimi vymezují jednotlivé sektory ekonomiky, jako je reálný sektor ekonomiky, peněžní sektor a finanční sektor. Reálný sektor zahrnuje firmy, domácnosti a ostatní instituce spolu s toky zboží a služeb. Výměna zboží a služeb se děje prostřednictvím komoditního trhu. Měnový (monetární) sektor zahrnuje firmy,domácnosti, banky (včetně centrální) a jiné instituce spolu s peněžními toky. V tomto sektoru hraje důležitou úlohu peněžní trh. Finanční sektor zahrnuje jako prvky firmy,domácnosti, bankovní instituce a ostatní subjekty. Vztahy, které se utvářejí v rámci finančního sektoru jsou vztahy mezi věřitelem a dlužníkem. Tyto vztahy mají úvěru a proto úrok, úroková míra a doba splatnosti má své důležité místo v rámci této knihy. Protože tato kniha je knihou o měnové analýze, budeme se v ní zabývat především měnovým sektor ekonomiky. Měnový sektor tržní ekonomiky je organizován a funguje jako peněžní trh, budeme se zabývat jeho součástmi jako je poptávka po penězích jako optimální 1

množství peněz v oběhu a peněžní nabídkou neboli potencionální schopností bank vytvořit dané množství peněz. Rovnost nabídky peněz a poptávky po penězích, neboli rovnováha na peněžním trhu její stabilita jsou dalšími nosnými tématy v této knize. Nerovnováha peněžního trhu má může mít důsledky jak pro cenovou hladinu (Marshallův přizpůsobovací proces), tak i pro úrokovou míru (Ricardův přizpůsobovací proces). Neoklasický přístup zdůrazňuje souvislost vyrovnávacích procesů s cenovou hladinou a keynesovský přístup souvislost s úrokovou mírou. Dynamika cenové hladiny je totožná s inflací, proto důležitým předmětem našeho zájmu bude inflace. Protože pohyby na peněžním trhu souvisí i s úrokovou mírou (viz. keynesovský přístup) budeme se věnovat i úrokové míře. Samozřejmě nelze složitou problematiku peněz, inflace a úrokové míry vyložit bez souvislosti s komoditním a finančním sektorem ekonomiky. Proto se v této knize oběma sektory zabýváme, ale jen v nutné míře a v souvislosti s měnovým sektorem ekonomiky. Ke složité problematice měnového sektoru ekonomiky je možné přistupovat dvěma metodami. První metodou je makroekonomická metoda. Makroekonomická metoda studuje vztahy mezi makroekonomickými veličinami. Tyto veličiny se dělí na veličiny exogenní a endogenní. Vnější makroekonomické veličiny ovlivňují systém, ale nejsou tímto systémem zpětně ovlivňovány. Vnitřní makroekonomické veličiny jsou takové veličiny, které jsou určovány vnějšími veličinami a strukturou ekonomického systému. Makroekonomická metoda popisuje vztahy mezi makroekonomickými veličinami ve formě soustav rovnic a snaží se o předpověd vnitřních veličin na základě předpokládaného vývoje veličin vnějších. Při tom se zachovává zásada, že počet rovnic popisujících danou ekonomiku je stejný jako počet endogenních proměnných. Stejný počet rovnic a (endogenních) proměnných sice nic z hlediska matematiky neznamená pro řešení, ale ve většině praktických případů to vede k existenci právě jednoho řešení. Minimálně však stejný počet rovnic a proměnných, zejména v nelineárních případě umožňuje použít matematických vět pro existenci a jednoznačnost řešení. Tyto věty jsou totiž většinou formulovány pro systémy o stejném počtu rovnic a neznámých. Další metoda je metoda mikroekonomická, která spočívá ve zkoumání chování prvků daného ekonomického systému. Těmito prvky jsou firmy, domácnosti, bankovní instituce a ostatní ekonomické subjekty. Chování ekonomických subjektů je většinou popisováno optimalizačními úlohami. Řešení těchto úloh představuje podmínky rovnováhy jednotlivých prvků. Spojením podmínek individuálních rovnovah s podmínkami tržní rovnováhy dostaneme 2

celkovou rovnováhu systému. Mikroekonomická metoda tedy postupuje tak, že na základě zákonitostí chování jednotlivých ekonomických subjektů a vztahů mezi nimi odvozuje zákony chování celého makroekonomického systému. V měnové analýze budeme používat jak mikroekonomickou, tak i makroekonomickou metodu. Při aplikacích makroekonomické a mikroekonomické metody je možné a obvykle velmi účelné matematické vyjádření studovaných vztahů. Na jedné straně matematický popis znamená určitou okliku, jak uvidíme v dalším výkladu, na druhé straně znamená jisté zefektivnění a zpřesnění našich úvah. Nemluvě o tom, že rovnice, které jsou výsledkem matematického popisu ekonomických jevů, je možné reformulovat jako ekonometrické rovnice a ty přímo použít k predikci ekonomických veličin. Klasický postup budování teorie spočívá v tom, že vědec vybuduje systém postulátů, tj. tvrzení, která nejsou argumentována, ale oporu mají ve zkušenosti. Z těchto tvrzení jsou odvozovány věty příslušné teorie. Při odvozování těchto vět jsou respektována pravidla logiky. Pravdivost vět teorie je ověřována praxí. Pokud je zjištěn nesoulad teorie a praxe, je diskutován soubor postulátů teorie. Tato diskuse zpravidla vede i ke změně postulátů teorie. Problémy klasických postupů spočívají v tom, že odvozování vět teorie může být poměrně nepřehledné, což vede k určitým chybám a nepřesnostem plynoucích z verbálního vyjadřování. Tato situace vede k tomu, že klasické odvozování vět teorie nahrazujeme použitím matematického aparátu. Moderní přístup budování teorie spočívá v tom, že věty příslušné speciální teorie budujeme pomocí relativně solidně budovaného deduktivního systému, kterým je matematika. Používáme následujícího postupu. Výchozí systém postulátů vyjádříme matematicky jako soubor určitých matematických úloh. Při řešení těchto úloh používáme věty matematické teorie a dospíváme k formulaci dalších specifických matematických výroků, které se vztahují už k řešení našeho problému a které zde nazýváme výsledky matematických úloh. Ekonomickou interpretací výsledků matematických úloh dostáváme věty speciální teorie. Tyto věty pak ověřujeme v praxi. Moderní postupy mají nesporné výhody co se týče aplikace matematiky při dedukci specifických matematických vět, které vypovídají o vlastnostech řešeného problému. Oproti klasickému postupu tu však máme některé problémy navíc. Především je to problém modelování výchozích postulátů speciální teorie matematickými úlohami. Zde může dojít ke zkreslení, které se plně projeví až při ověření vět speciální teorie v praxi. 3

Dále uvedený graf přehledně ukazuje postup klasický a srovnává ho s moderními postupy. Blok označený názvem Systém představuje předmět, kterým se zabývá příslušná speciální teorie. Blok označený názvem Postuláty představuje systém postulátů speciální teorie. Oba bloky jsou spojeny šipkou, která reprezentuje proces vytváření postulátů. Blok označený názvem Věty teorie označuje systém vět speciální teorie odvozený z postulátů. Šipka, která spojuje oba dva bloky představuje proces odvozování vět speciální teorie. Ověřování vět speciální teorie v praxi je zobrazeno šipkou spojující bloky Věty teorie a Systém. Moderní postup budování teorie je zobrazen přidáním dalších dvou bloků nazvaných Matematické úlohy a Výsledky matematických úloh. Formulace matematických úloh k postulátům speciální teorie je zobrazena šipkou spojující bloky Postuláty a Matematické úlohy. Proces řešení matematických úloh je znázorněn šipkou spojující bloky Matematické úlohy a Výsledky úloh. Interpretace vět matematiky je zobrazena šipkou spojující bloky Řešení úloh a Věty teorie. Systém Ověřování Vytváření postulátů Postuláty Odvozování Věty teorie Formulace úloh Interpretace Matematické úlohy Řešení úloh Výsledky úloh Cílem měnové analýzy je formulace vět o zákonitostech, které ovládají ekonomiku.tyto věty jsou samozřejmě zaměřeny na měnový sektor ekonomiky. Matematická formulace těchto zákonitostí je výhodná ze dvou důvodů. Jedinci, kteří myslí v matematicky formulovaných modelech, lépe nahlížejí do problematiky ekonomických procesů, lépe argumentují a mají 4

lepší předpoklady pro rozvoj dosavadního poznání. Těžko se nám na tomto stupni poznání podaří vymyslit lepší způsob myšlení. Druhý důvod tkví v tom, že matematické modely je možné reformulovat jako modely ekonometrické. Pomocí ekonometrických modelů můžeme zpracovat prognózy, které zejména v současné době jsou velmi požadovány především vedením centrálních bank jako podklady pro rozhodnutí v měnové politice. 1.2 Ekonomická dynamika Vzhledem k tomu, že v této knize budeme vykládat dynamiku procesů v ekonomickém systému, bude užitečné se zmínit o možných dynamických přístupech a o užívané symbolice. Rozeznáváme nespojitou a spojitou ekonomickou dynamiku. Diskrétní dynamika předpokládá, že čas se mění nespojitě ve stejně dlouhých obdobích. Délku období označíme symbolem θ > 0. Čas označený symbolem t pak bude nabývat hodnot t =..., 2θ, θ, 0, θ, 2θ,.... Nebude na úkor obecnosti, když někdy položíme θ = 1. Potom čas t bude nabývat hodnot t =... 2, 1, 0, 1, 2,.... Trajektorie vývoje ekonomických veličin v nespojité dynamické teorii jsou popsány tak, že jisté vnitřní proměnné závisí na ostatních zpožděných vnitřních proměnných a souboru vnějších proměnných. Předpokládáme, že systém je popisován ν vnitřními a µ vnějšími proměnnými. Z matematického hlediska je tento popis soustavou diferenčních rovnic. Označímeli vektorem x t = (x 1,t,..., x ν,t ) soubor vnitřních proměnných, vektorem z t = (z 1,t..., z µ,t ) a symbolem f zobrazení z prostoru R ν+µ do prostoru R ν, potom pro vektorový popis dynamického nespojitého systému dostaneme x t = f(x t 1, x t 2,..., x t k, z t ), kde k > 0 značí řád zpoždění. Symbolem a ι,τ označíme hodnotu ι-té vnitřní proměnné v čase τ = 0,..., k. Položíme A 0 = (a 1,0,..., a ν.0 ),..., A k = (a 1, k,..., a ν, k ). Pro k počátečních podmínek platí x 0 = A 0, x 1 = A 1,..., x(1 k) = A 1 k. Výše uvedenou diferenční rovnici z danými počátečními podmínkami můžeme řešit v konečném časovém horizontu t = 1,..., T jen za předpokladu, je-li k dispozici scénář vývoje vektoru vnějších proměnných v podobě zadané posloupnosti z 1,..., z(t ). Potom můžeme volit rekurentní metodu řešení. Do shora uvedené rovnice dosadíme za t jedničku. Diferenční rovnice přejde 5

ve tvar x 1 = f(x 0, x 1,..., x 1 k, z 1 ). Do vzniklé rovnice napravo dosadíme počáteční podmínky, vektor exogenních proměnných z 1, který podle předpokladu známe ze scénáře a vypočteme x 1. Nyní položíme t = 2 a tak obecný tvar diferenční rovnice přejde v rovnici x 2 = f(x 1, x 0,..., x 2 k, z 2 ). Napravo dosadíme hodnotu x 1 z předchozího výpočtu, známý vektor vnějších proměnných z 2 a počáteční stavy systému A 0, A 1,..., A 2 k a vypočteme hodnotu x 2. Dále pokládáme t = 3, 4,... a dostáváme postupně další členy posloupnosti x t. Předpokládejme nyní, že vlivy representované vnějšími proměnnými jsou stabilizovány, tj. vnější proměnné jsou konstanty a tedy obecná diferenční rovnice původně neautonomního systému dostane tvar: 1 x t = f(x t 1, x t 2,..., x t k), kde f = (f 1,..., f ν ) a f ι je funkcí hladkou na R kν. O systému, který je popisován výše uvedenou diferenční rovnicí, hovoříme jako o autonomním systému. Rovnovážný stav autonomního systému definujeme jako stav, kdy proměnné charakteristické pro systém (vnitřní proměnné) se nemění v čase. V obecném tvaru diferenční rovnice autonomního systému položíme x t = x t 1 = = x t k = x, čímž diferenční rovnice přejde v rovnici x = f ( x,..., x). }{{} k krt Tuto rovnici nazveme rovnicí rovnováhy a její řešení x rovnovážným stavem systému. Fluktuací systému nazveme veličinu ω t pro kterou platí ω t = x t x, t = k + 1,..., 1, 0, 1, 2,.... Ted, když známe pojmy rovnováhy a fluktuace, jsme dostatečně připraveni k vyslovení tolik důležitých definic (lokální) stability a lokálně asymptotické stability. 1 Samozřejmě bychom měli použít jiného symbolu než f. Jedná se totiž o jinou vektorovou funkci, jejíž složky nemají kν + µ proměnných ale jak vzápětí uvidíme kν proměnných. Protože v tomto textu nemůže dojít k záměnám plynoucím z nedůsledného používání symboliky, dáme přednost jednoduššímu postupu a použijeme opět symbolu f. 6

Definice 1.1. Řekneme, že nespojitý dynamický systém systém je (lokálně) stabilní, jestliže ke každému ɛ > 0 existuje δ > 0 a t 0, tak, že platí [t > 0 ω 0 < δ ω 1 k < δ] [ ω t < ɛ]. Definice 1.2. Pravíme, že nespojitý dynamický systém je lokálně asymptoticky stabilní jestliže je stabilní a platí lim ω t = 0. t Dynamika spojitých systémů je popisována diferenciálními rovnicemi. Na rozdíl od nespojitého přístupu k dynamice ekonomických systémů, kde jsme předpokládali zpoždění až do řádu k 1, budeme ve spojitém případě uvažovat zpoždění pouze do prvního řádu tj. diferenciální rovnice prvního řádu. Použijeme-li stejné označení pro vnitřní a vnější proměnné jako u nespojitých systémů s tím, že čas t se mění spojitě v intervalu (, ), dostaneme následující popis spojitého dynamického systému ẋ ι (t) = f ι (x 1 (t),..., x ν (t), z 1 (t),..., z µ (t)), ι = 1,..., ν, t [0, ), kde f ι jsou hladké funkce ν + µ proměnných. Tečkou nad x(t) značíme derivaci podle času. Ve spojité dynamické ekonomické teorii derivaci ekonomické veličiny podle času nazýváme též okamžitým přírůstkem. Počáteční podmínky budou mít tvar x ι (0) = a ι, ι = 1,..., ν, kde a ι je reálné číslo. Výše uvedenou soustavu můžeme napsat vektorovém tvaru ẋ(t) = f(x(t), z(t)), kde ẋ(t) = (ẋ 1 (t),..., ẋ ν (t)), x(t) = (x 1 (t),..., x ν (t)) a z(t) = (z 1 (t),..., z µ (t)). Počáteční podmínky píšeme jako x 0 = A, kde A = (a 1,..., a ν ). Právě popsaný spojitý dynamický systém je nazýván neautonomním systémem, protože je ovlivňován vnějšími proměnnými. Diferenciální rovnice popisující tento systém lze řešit pouze v případě, kdy jsou zadány scénáře vývoje vnějších proměnných, tj. známe průběh funkce z. V případě, že průběh této funkce z se nemění v čase, hovoříme o autonomním systému. Diferenciální rovnice pro autonomní spojitý dynamický systém mají tedy tvar ẋ(t) = f(x(t)). 7

Rovnovážný stav systému je takový stav, při kterém se hodnoty proměnných charakteristických pro systém nemění v čase. Rovnovážný stav označíme symbolem x = ( x 1,..., x ν ) a získáme ho jako řešení rovnice 0 = f( x). Podobně jako u nespojitých systémů definujeme fluktuaci vztahem ω(t) = x(t) x, t 0, ). Stabilitu a asymptotickou stabilitu definujeme obdobně jako u nespojitých systémů. Definice 1.3. Řekneme, že spojitý dynamický systém systém je (lokálně) stabilní, jestliže ke každému ɛ > 0 existuje δ > 0 a t 0, tak, že platí [t > 0 ω(0) < δ] [ ω(t) < ɛ]. Asymptotická stabilita je definována následujícím způsobem: Definice 1.4. Pravíme, že spojitý dynamický systém je lokálně asymptoticky stabilní, je-li stabilní a platí lim ω(t) = 0. t V souvislosti s rozborem dynamických spojitých systémů v ekonomii, je nezbytné připomenout, že veličiny, které mají charakter toku, tj. jejich rozměr je určité množství za jednotku času, jako např. národní důchod, investice atd., jsou ve spojité dynamice vyjadřovány jako okamžité intenzity. Tento pojem hned vyložíme na příkladu hrubého domácího produktu. Ten může být například roční, čtvrtletní a teoreticky i měsíční. Čtvrtletní a měsíční hrubý domácí produkt můžeme definovat i v měsíčním vyjádření. Veličinu čtvrtletního domácího produktu v ročním vyjádření, dostaneme jako hodnotu čtvrtletního hrubého domácího produktu dělenou délkou čtvrtletí vyjádřenou v letech, což je jedna čtvrtina. To je ovšem to samé jako když čtvrtletní hrubý domácí produkt vynásobíme čtyřmi. Dosavadní výklad zobecníme následujícím způsobem. Vývoj hrubého domácího produktu za období, které začne v okamžiku t 1 a skončí v okamžiku t vyjádříme funkcí X(τ) definovanou na intervalu [t 1, t]. Roční vyjádření hrubého domácího produktu měřeného od okamžiku t θ do okamžiku t bude dáno výrazem X(t) X(t θ). θ Velikost období necháme konvergovat k nule a dostaneme X(t) X(t θ) Ẋ(t) = lim, θ 0 θ 8

tedy okamžitou velikost produktu v čase t kterou označíme Y (t). O veličinách, které mají charakter toku, jako např. národní důchod, investice, úspory atd. bychom měli ve spojité dynamice hovořit jako o intenzitách. Měli bychom tedy používat termínů intenzita hrubého domácího produktu, intenzita investic atd. Protože však nemůže dojít k záměně pojmů, hovoříme obvykle pouze o hrubém domácím produktu, investicích úsporách atd. i když myslíme jejich intenzity. Změny ekonomických veličin jsou v ekonomické dynamice vyjadřovány přírůstky (mohou být i záporné) nebo relativními přírůstky. V nespojité dynamice přírůstky mají formu diferencí a relativní přírůstky formu relativních diferencí. Uvažujme čas, který se mění skoky v délce θ, tedy t =..., θ, 0, θ,... a nějakou ekonomickou veličinu Z t. Její přírůstek za období θ označíme symbolem θ Z t a definujeme vztahem θ Z t = Z t Z t θ. Přírůstek této ekonomické veličiny v ročním vyjádření je dán výrazem Z(t) = (Z(t) Z(t θ))/θ. Relativní roční přírůstek ekonomické veličiny dostaneme tak, že přírůstek dělíme hodnotou veličiny v daném časovém okamžiku, což vyjádříme výrazem Z(t)/Z(t). Relativní přírůstek v ročním vyjádření je potom dán výrazem θ Z(t)/Z(t). Ve spojité ekonomice jsou přírůstkyindexpřírůstek dány derivacemi Ż(t) a relativní přírůstky podílem derivací a hodnot veličin Ż(t)/Z(t). V tomto případě hovoříme o okamžitých přírůstcích a okamžitých relativních přírůstcích. Pokud například dynamiku hrubého domácího produktu vyjádříme relativním přírůstkem nebo okamžitým relativním přírůstkem hovoříme často o tempu růstu hrubého domácího produktu. Podobně hovoříme o tempu růstu investic, kapitálu, peněžní zásoby atd. Relativní přírůstek cenové hladiny naproti tomu nazýváme mírou inflace. Relativní přírůstky kladných ekonomických veličin jsou v nespojité dynamice přibližně vyjádřeny jako přírůstky jejich logaritmů. Logaritmy ekonomických veličin značíme malými písmeny, takže pro označení logaritmu obecné ekonomické veličiny Z použijeme písmeno z. Pro rozdíl logaritmů ekonomické veličiny Z ve dvou po sobě následujících obdobích platí z(t) z(t 1) = ln ( Z(t) Z(t 1) = ln 1 + ) Z(t) Z(t 1). (1.1) Z(t 1) 9

O výrazu (Z(t) Z(t 1))/Z(t 1) předpokládejme, že je malý. 2 Potom platí ( ln 1 + ) Z(t) Z(t 1) Z(t 1) Z(t) Z(t 1), (1.2) Z(t 1) kde jsme použili známé skutečnosti, že ln(1 + x) x, pro dostatečně malá x. Z rovnic (1.1) a (1.2) plyne, že relativní přírůstek je možné přibližně vyjádřit jako rozdíl logaritmů ve dvou po sobě následujících obdobích. Relativní přírůstek v ročním vyjádření v případě, že délka období je obecně rovna θ je vyjádřen jako rozdíl logaritmů dělený θ jak ukazuje následující vztah Z(t) Z(t θ) θz(t θ) 1 θ ln ( 1 + ) Z(t) Z(t θ) = 1 Z(t θ) θ ln Z(t) Z(t θ) = = 1 (z(t) z(t θ)) θ Při spojitém přístupu je okamžitý relativní přírůstek ekonomické veličiny roven okamžité změně logaritmu jak ukazuje následující vztah Ż(t) Z(t) = d ln Z(t) dt = ż(t), kde z(t) = ln Z(t). 1.3 Teorie očekávání Očekávání ekonomických veličin, jako například očekávání inflace, důchodu aj., je důležitou kategorií v ekonomické a tedy i měnové analýze. Teorií očekávání je několik a liší se principy na kterých je budována předpověd budoucí veličiny. Často používaná pojetí jsou adaptivní očekávání, regresivní očekávání, extrapolativní očekávání a racionální očekávání. Všechna tato očekávání budeme studovat v rámci nespojité dynamiky, s tím, že si budeme vědomi, že některá z nich mají svoji spojitou analogii se kterou se setkáme později při studiu tohoto textu. Pro zjednodušení budeme u nespojitých modelů očekávání předpokládat, že θ = 1. Adaptivní očekávání Symbolem Z označíme obecnou ekonomickou veličinu. Adaptivní očekávání této veličiny 2 Ve stabilizovaných ekonomikách se relativní přírůstky ekonomických veličin se pohybují do deseti procent, případně o něco málo nad deset procent. 10

je dáno vztahem Z e t+1 = Z e t + Θ(Z t Z e t ), Θ (0, 1, kde Zt+1 e značí očekávanou hodnotu veličiny Z v čase t + 1, symbolem Zt e očekávanou veličiny Z v čase t, symbolem Z t pozorovanou hodnotu veličiny Z v čase t a symbolem Θ jsme označili tzv. rychlost přizpůsobení. Pravidlo adaptivního očekávání veličiny Z je jednoduché. Ekonomický subjekt podle tohoto pravidla očekává tak, že původní očekávání opravuje na základě chyby předpovědi. Jestliže chyba předpovědi Z(t) Z e (t) je kladná, potom se zvýší očekávání v čase t oproti očekávání v čase t 1, pokud je záporná, očekávání v čase t se sníží, jak snadno zjistíme. Pokud rychlost přizpůsobení bude mít hodnotu Θ = 1, potom jak vidíme v pravidlu adaptivního očekávání, ekonomický subjekt bude v čase t + 1 očekávat pozorovanou hodnotu Z(t). Vyjádříme-li pravidlo adaptivního očekávání pro dvě po sobě jdoucí období dostaneme Z e t+1 = Z e t + Θ(Z t Z e t ), Z e t = Z e t 1 + Θ(Z t 1 Z e t 1). Dosadíme-li ze druhé rovnice do první za Z e t dostaneme Z e t+1 = (1 Θ) 2 Z e t 1 + ΘZ t + Θ(1 Θ)Z t 1. Pravidlo adaptivního očekávání můžeme nyní aplikovat na veličinu Zt 1 e a dosadit do výše uvedené rovnice. Opakováním tohoto postupu dostaneme Zt+1 e = Θ (1 Θ) t j Z t j. j=0 Výše uvedený vztah nám říká, že ekonomický subjekt se při adaptivním očekávání veličiny Z řídí jejím minulým vývojem. Regresivní očekávání Důležitým činitelem v regresivním očekávání je rovnovážná hodnota ekonomické veličiny Z, kterou označíme Z a která je ekonomickému subjektu známa. Ekonomický subjekt předpokládá, že skutečná hodnota veličiny Z bude pohybovat směrem k rovnovážné hodnotě. 11

Tato skutečnost je vyjádřena pravidlem Z e t+1 = Z t + β( Z Z t ), β (0, 1 Je-li rovnovážná hodnota Z větší než pozorovaná, potom očekávaná hodnota se nalézá mezi pozorovanou a rovnovážnou, případně, pokud β = 1, je rovna rovnovážné hodnotě. Extrapolativní očekávání Extrapolativní očekávání je takové očekávání, kdy ekonomický subjekt předpokládá, že ekonomická veličina se v budoucnu bude vyvíjet stejným směrem jako v minulosti. Exaktně toto tvrzení vyjádříme pravidlem extrapolativního očekávání Z e t+1 = Z t + γ(z t Z t 1 ) Výše uvedená rovnice nám tedy říká, že rostla-li ekonomická veličin v minulosti poroste i v budoucnosti a naopak. Racionální očekávání Racionální očekávání vyžaduje podrobnější vysvětlení.předpokládejme že veličina t značí přítomný časový okamžik. Symbolem Z t+1 označíme budoucí hodnotu veličiny Z, kterou považujeme za náhodnou veličinu. Parametry X t rozdělení pravděpodobnosti této veličiny známe v přítomném čase t. Racionální očekávání náhodné veličiny Z t+1 je definováno jako její podmíněná střední hodnota Z e t+1 = E(Z t+1 X t ). 1.4 Problémy měření V předchozí sekci při popisu makroekonomické metody jsme zdůraznili, že makroekonomická metoda spočívá ve studiu a formulaci závislostí mezi makroekonomickými veličinami. Je nezbytné upozornit na to, že může být určitý nesoulad mezi pojmy makroekonomických veličin a agregátním ukazatelem, který příslušnou veličinu zobrazuje. Jako příklad vezmeme pojem finální produkce a agregátní ukazatel hrubého domácího produktu. Způsobů měření finální produkce může být více, jako například materiální produkt, který se používal v České republice před rokem 1989, ve světovém měřítku se však ustálila metoda 12

hrubého domácího produktu nebo hrubého národního produktu. V převážném počtu případů je vztah mezi pojmem a agregátem, který ho vyjadřuje natolik intuitivně zřejmý, že pojem samotný a agregát nejsou rozlišovány. Domnívám se, že tato situace je u pojmu cenové hladiny a inflace poněkud odlišná a proto se v této části kapitoly se soustředíme především na měření cenové hladiny a inflace. Finální produkce ekonomiky je dána vektorem y = (y 1,..., y N ). Symbol N značí počet jednotlivých druhů zboží a služeb, které jsou spotřebovány nebo investovány. Označíme-li p = (p 1,..., p N ) vektor cen tohoto zboží a služeb, potom nominální hrubý domácí produkt N GDP vyjádříme výrazem N NGDP = p j y j. Časové období označíme t, za základní obobí označíme 0. Nominální hrubý domácí produkt v období t je dán vztahem N NGDP t = p j,t y j,t. j=1 j=1 Pokud pro vyjádření hrubého domácího produktu použijeme cen základního období dostaneme reálný hrubý domácí produkt v běžném období RGDP t vyjádřený vztahem RGDP t = N p j,0 y j,t. j=1 Další problém, který nás bude zajímat je měření cenové hladiny. Cenovou hladinu budeme obecně značit symbolem P. Pro měření cenové hladiny se nejčastěji se používá bud deflátor hrubého domácího produktu (Gross Domestic Product Deflator-GDPD) nebo spotřebitelský cenový index (Consumer Price Index-CPI). Deflátor hrubého domácího produktu pro běžné období t je dán vzorcem GDP D t = N p j,t y j,t j=1. N p j,0 y j,t j=1 13

Deflátor hrubého domácího produktu lze vyjádřit jako vážený harmonický průměr individuálních indexů GDP D t = N p j,t y p,j j=1 N j=1 p j,t y j,t p j,t p j,0 Srovnáním výrazů pro nominální a reálný hrubý domácí produkt a pro deflátor hrubého domácího produktu snadno odvodíme, že platí RGDP t = NGDP t GDP D t. Tato rovnice říká, že reálný hrubý domácí produkt získáme tak, že vydělíme nominální hrubý domácí produkt deflátorem hrubého domácího produktu. Tato metoda je jediným postupem jak odhadnout reálný hrubý domácí produkt vzhledem k tomu, že přímý výpočet reálného hrubého domácího produktu je prakticky nemožný. Jiné možné vyjádření cenové hladiny je pomocí spotřebitelského cenového indexu. Spotřebitelský cenový index vyjadřuje růst cen zboží a služeb, průměrné městské rodiny. Vektorem x 0 = (x 1,0,..., x n,0 ) označíme n druhů zboží a služeb spotřebovaných průměrnou městskou rodinou za určitou dobu v základním období. Vektory p 0 = (p 1,0,..., p n,0 ) a p 1 = (p 1,t,..., p n,t ) příslušné ceny v základním a běžném období. Spotřebitelský cenový index označíme symbolem CP I a definujeme ho vztahem CP I t = n p j,t x j,0 n. p j,0 x j,0 j=1 j=1 Deflátor hrubého domácího produktu se, jak plyne ze vzorců, liší od spotřebitelského indexu především okruhem sledovaného zboží. U deflátoru se jedná o zboží a služby vstupující do hrubého národního produktu, u spotřebitelského cenového indexu jde o spotřební zboží a služby průměrné městské rodiny. Další odlišnost obou indexů spočívá ve formální konstrukci indexu, kdy u deflátoru se používá vah běžného období a u spotřebitelského cenového indexu se jedná o váhy základního období. Pro měření inflace se používá jak deflátoru, tak i spotřebitelského cenového indexu. Použití spotřebitelského cenového indexu je častější. Míru inflace měříme jako relativní 14

přírůstek cenového indexu P t P t 1 P t 1. Symbolem P (t) značíme hodnotu cenového indexu v čase t. Tímto indexem může být bud deflátor hrubého domácího produktu, nebo spotřebitelský cenový index. Vezmeme-li v úvahu spojitý čas a uvažujeme-li míru inflace za období θ, dostaneme pro míru inflace výraz P (t) P (t θ). θp (t θ) Necháme-li θ konvergovat k nule dostaneme okamžitou míru inflace v ročním vyjádření, která je dána výrazem P (t) P (t). Nyní se postavíme na stanovisko, že t je současné období a zavedeme pojem očekávaná míra inflace, který bude definován výrazem P e (t + 1) P e (t), P e (t) kde symbol P e (t) značí cenovou hladinu, která je očekávána ekonomickými subjekty v období t 1 pro období t a symbol P (t + 1) značí cenovou hladinu očekávanou v období t pro období t + 1. Míru očekávané inflace, pro spojitý čas za období θ v ročním vyjádření dává vztah P e (t + θ) P e (t). θp e (t) Jestliže necháme θ konvergovat k nule, dostaneme okamžitou očekávanou míru inflace, kterou označíme symbolem π a definujeme vzorcem P π = e (t) P e (t). Očekávaná míra inflace vystupuje v řadě modelů inflace a to jak ve nespojité, tak i spojité formě. 15

2 KEYNESOVSKÉ TEORIE Tato kapitola si klade za cíl seznámit čtenáře s tradičními a moderními keynesovskými statickými a dynamickými teoriemi poptávky po penězích. Keynesovské teorie, to jsou teorie motivů. Důsledkem působení motivů na ekonomické subjekty je preferování likvidity, tedy peněz. Kdyby totiž motivy, jejichž důsledkem je preferování peněz nepůsobily, ekonomické subjekty by peníze nedržely, protože peníze jsou aktivem, které nenese výnos. Podle tradiční keynesovské teorie působí tři motivy držení peněz, a to motiv důchodu, opatrnosti a spekulace, které jsou příčinou toho, že ekonomické subjekty drží peníze. Tradiční keynesovské teorie neobsahují optimalizační principy, avšak moderní keynesovské přístupy se optimalizačních principů nezříkají. Místo maximalizace užitkové funkce minimalizují nákladovou funkci, která se skládá se ztrát plynoucích z odchylek od rovnováhy a z nákladů na přizpůsobení rovnováze. Nejedná se o výlučný přístup keynesovských teoretiků, nicméně je hodně častý. S minimalizací nákladové funkce se setkáváme u modelu Baumola a Tobina, který je založen na motivu důchodu a u modelů založených na motivu opatrnosti (Sprenkle). U spekulativní teorie poptávky po penězích se setkáme s optimalizačním přístupem (Tobinův model spekulativní poptávky po penězích), kde účelovou funkcí je funkce užitku, tedy typicky neoklasický přístup, který v keynesovském prostředí působí poněkud paradoxně. Část moderních následovníků Keynese je však věrná tradicím založeným jejich učitelem a setrvává na neoptimalizačních principech (například Akerlof). První část kapitoly je věnována tradiční keynesovské teorii poptávky po penězích. Ve druhé části se píše o modelu Baumolovu-Tobinovu a modelu Akerlofovu. Oba dva modely jsou moderní analogií důchodového motivu poptávky po penězích. Opatrnostní hledisko u poptávky po penězích je obsaženo ve třetí části této kapitoly (Sprenkleův-Millerův model). Čtvrtá část je věnována stručnému přehledu teorie dvouaktivového portfolia jako přípravě ke studiu Tobinova modelu. Pátá část kapitoly obsahuje Tobinův model spekulativní teorie poptávky po penězích. 16

2.1 Tradiční teorie V případě, že jediným kritériem rozdělení bohatství na peníze a dluhopisy by byla výnosnost, pak by ekonomické subjekty preferovaly bohatství ve formě dluhopisů, které jsou samozřejmě výnosovým aktivem. Skutečnost, že ekonomické subjekty drží likvidní aktiva, je způsobena pohnutkami, které tradiční keynesovská teorie nazývá motivy. V rámci keynesovské ekonomické teorie jsou rozeznávány motivy důchodu, opatrnosti a spekulace. Motiv důchodu důchod je vyplácen obvykle v pravidelných nebo nepravidelných dávkách, zatímco výdaje na spotřebu probíhají rovněž v dávkách, ovšem s jinou (zpravidla větší) frekvencí než je frekvence vyplácených důchodů. Příjem důchodů a výdaje nemohou tedy spadat do jednoho časového období a z tohoto důvodu je nezbytné držet určitou zásobu peněz. Tato zásoba závisí na výši výdajů a ty zase na výši důchodů, z čehož činíme závěr, že velikost zásoby peněz, které daný ekonomický subjekt drží, závisí na velikosti důchodů. Motiv opatrnosti ekonomický subjekt je často vystaven nutnosti nepředvídaných výdajů, o kterých předpokládáme, že jejich hodnota je ovlivněna důchody. Pro tyto nepředvídané výdaje ekonomické subjekty drží určitou zásobu peněz. Motiv důchodu a motiv opatrnosti souhrnně označíme jako motiv transakční, protože peníze, at jsou drženy na základě jednoho nebo druhého motivu, slouží k transakčním účelům. Úhrn peněz požadovaných na základě transakčního motivu nazveme transakční poptávkou po penězích a označíme ji symbolem M1 d. Transakční poptávka po penězích závisí samozřejmě na důchodu, protože její důchodová a opatrnostní složka závisí na důchodu, jak jsme shora uvedli. Funkce transakční poptávky po penězích má tedy tvar: M d 1 = L 1 (Y ), kde Y je důchod a symbol L 1 označuje funkční předpis. 1 Tradiční keynesovská teorie považuje důchod za prvořadý činitel, který ovlivňuje závislost transakční poptávky. Na druhé straně připouští závislost transakční poptávky na úrokové míře, jak najdeme v knize (Keynes, J. M., 1963). V případě transakčního motivu bude tento motiv tlumen náklady na uchování peněz. Tyto náklady mají povahu relativních nákladů, 1 Označení L je symbolizuje poptávku po likvidních prostředcích. Dolní index 1 označuje, že se jedná o první (tj. transakční) druh poptávky po likvidních prostředcích. 17

které jsou definovány následujícím způsobem. Alternativu k penězům představuje výnosové aktivum (např. termínovaný vklad, dluhopisy, akcie atd). Tím, že ekonomický subjekt drží své bohatství ve formě peněz, přichází o výnos z alternativního výnosového aktiva. Tento ztracený výnos interpretujeme jako náklad peněz. Čím je výnosová míra alternativního aktiva vyšší, tím je držení peněz nákladnější. Ekonomické subjekty s růstem výnosnosti alternativních aktiv omezují svoji poptávku po penězích. Keynesovská tradiční teorie uvažuje jako alternativní výnosové aktivum dluhopisy. Jejich výnosnost negativně ovlivňuje poptávku po penězích. Pokud však jsou zásoby peněz jednotlivých ekonomických subjektů úročeny (např. úročení běžných vkladů), potom tato úroková sazba na peníze pozitivně ovlivňuje transakční poptávku po penězích a tak působí proti účinkům výnosnosti dluhopisů. Motiv spekulace už bylo řečeno, že tradiční keynesovská teorie uvažuje jako jediné výnosové aktivum dluhopisy, jejichž výnosnost ztotožňuje s úrokovou mírou. Motiv spekulace úzce souvisí s regresivním očekáváním úrokových měr. Regresivní očekávání úrokové míry se vytváří na základě vztahu skutečné a rovnovážné úrokové míry. Každý ekonomický subjekt má svou představu o tom, jak velká je rovnovážná úroková míra. Množství ekonomických subjektů v dané ekonomice označíme symbolem m. Představu i-tého ekonomického subjektu i = 1,..., m o velikosti rovnovážné úrokové míry označíme r i, úrokovou míru označíme symbolem r. Očekávaná úroková míra i-tého ekonomického subjektu značená ri e je dána následujícím pravidlem regresivního očekávání: r e i = r + α i ( r i r), kde α > 0. Výše uvedený vztah má jednoduchou ekonomickou interpretaci. Je-li představa ekonomického subjektu o rovnovážné úrokové míře r i větší než skutečná úroková míra r, je r i r > 0. Vzhledem k tomu, že α je kladné, je ri e > r a subjekt tedy očekává růst úrokové míry. Pokud tento subjekt má menší představu o rovnovážné úrokové míře než je úroková míra skutečná, potom očekává pokles úrokové míry. Už bylo řečeno, že úroková míra je obecně výnosovou mírou dluhopisu. Vzhledem k tomu, že dluhopisy mají různou dobou splatnosti, bude nutné vybudovat zjednodušující koncepci. Nejbližší realitě a zároveň pro analýzu nejvíce efektivní je aproximovat dluhopisy s různou dobou splatnosti tzv. věčnými dluhopisy. Předpokládáme-li, že nesou kupónovou 18

platbu ve výši K a že úroková míra má hodnotu r, potom hodnota V tohoto dluhopisu je V = K 1 + r + K (1 + r) + K 2 (1 + r) +.... 3 Snadno ověříme, že součet výše uvedené geometrické řady je V = K r. (2.1) Analogicky pro hodnotu dluhopisu očekávanou i-tým ekonomickým subjektem značenou V e i máme V e i = K. (2.2) ri e Předpokládejme, že subjekt očekává růst úrokové míry, 2 což je ekvivalentní s výrazem r e i > r. Potom ovšem podle vzorců (2.1) a (2.2) je V e i < V, tedy subjekt očekává pokles hodnoty dluhopisů a dává přednost tomu, že své bohatství drží ve formě peněz. Pokud subjekt očekává pokles úrokové míry, což je ekvivalentní s růstem hodnoty dluhopisů, potom své bohatství investuje do dluhopisů. Musíme však připomenout jednu velmi důležitou věc. Bohatství, o kterém mluvíme a které je investováno bud do peněz nebo do dluhopisů, je bohatstvím, které zbylo po oddělení jeho části určené na transakční účely. Podle zmíněné teorie ekonomický subjekt investuje po oddělení prostředků na transakční účely celé bohatství bud do peněz, nebo do dluhopisů. Subjekty mají odlišné představy o rovnovážné úrokové míře a tedy při dané úrokové míře nemohou mít stejné chování. Podle některých subjektů bude rovnovážná úroková míra větší než skutečná, podle jiných bude menší. Některé subjekty budou tedy očekávat růst úrokové míry, jiné pokles, což se projeví tak, že někteří budou držet peníze a jiní dluhopisy. Pokud úroková míra nabývá relativně nízkých hodnot, potom velké množství ekonomických subjektů se domnívá, že rovnovážná úroková míra je vyšší, což znamená, že očekávají růst úrokové míry a proto zamýšlí držet své bohatství ve formě peněz. Nízká úroková míra tedy znamená vysokou poptávku po spekulativních penězích. Když úroková míra nabývá extrémně nízkých hodnot, potom všechny ekonomické subjekty očekávají její růst. Důsledkem je enormní poptávka po spekulativních penězích. 2 Toto očekávání nastane, jakmile představa subjektu o rovnovážné úrokové míře bude větší než skutečná úroková míra, tj. r i > r. 19

M 2 M 2 l2 0 r min r 0 r min r (a) (b) Obrázek 2.1: Nelineární a lineární průběh závislosti spekulativní poptávky po penězích na úrokové míře Čím je úroková míra vyšší, tím méně ekonomických subjektů očekává její růst a tedy poptávka po spekulativních penězích je stále nižší a s růstem úrokové míry nade všechny meze konverguje k nule. Jestliže množství spekulativních peněz, které jak bylo řečeno závisí na úrokové míře, označíme symbolem M 2 a symbolem L 2 označíme funkční symbol, potom nelineární závislost spekulativní poptávky po penězích na úrokové míře obecně vyjádříme rovnicí M2 d = L 2 (r). Jedna z možných variant nelineárního průběhu spekulativní poptávky po penězích je naznačena na obrázku 2.1 nákresu (a). Křivka zde nakreslená konverguje v bodě minimální úrokové míry značeném r min k nekonečnu. Roste-li úroková míra nade všechny meze, spekulativní poptávka po penězích se blíží k nule. Minimální kladná hodnota úrokové míry je důležitým pojmem keynesovské ekonomické teorie (Keynes J. M., 1963, str. 204), a to i v lineární závislosti, která je dána rovnicí M2 d = L 2 (r) = l 20 l 21 (r r min ), kde l 2i > 0, i = 1, 2. Filosofie lineárního přístupu k poptávce po penězích má určité odlišnosti, jak vidíme. Zatímco u zmíněného nelineární přístupu spekulativní poptávka po penězích není v bodě minimální úrokové míry definována, ovšem je tam limita zprava rovna, u lineárního přístupu definována je a je to poměrně veliké číslo značené l 20. Nulová poptávka po spekulativních penězích neodpovídá u lineárního přístupu nekonečné úrokové míře jako je to možné u ne- 20

lineárního přístupu, ale r = r min +l 20 /l 21. Průběh lineární funkce poptávky po spekulativních penězích ukazuje obr 2.1 na nákresu (b). Veličinu poptávky po penězích označíme M d = M1 d + M 2 d a vyjádříme ji v závislosti na důchodu a úrokové míře M d = L 1 (Y ) + L 2 (r). Výše uvedená keynesovská funkce poptávky po penězích představuje velmi důležitý vztah nejen v keynesovské teorii, ale i v experimentech, kdy je základním nástrojem konstrukce ekonometrických modelů poptávky po penězích. 2.2 Moderní transakční teorie Baumolův-Tobinův model je aplikací teorie zásob na problémy poptávky po penězích. Tento model byl publikován v článcích (Baumol, W. J., 1952; Tobin, J., 1956) nezávisle na sobě. Model vychází z následující situace. Příjem, který ekonomický subjekt dostane na začátku daného období, jehož délku předpokládáme jednotkovou, označíme Y. Necht a je přirozené číslo. Předpokládáme, že ekonomický subjekt si ponechá částku Y/a v peněžní formě a za zbytek (1 1/a)Y nakoupí dluhopisy, jejichž cenu pokládáme za neměnnou. Výnosnost těchto dluhopisů označíme r. Za předpokladu rovnoměrného čerpání peněžní částky ve velikosti Y/a, bude tato částka vyčerpána za dobu 1/a. Po vyčerpání této částky si subjekt obstará nové peníze prodejem dluhopisů ve výši Y/a. Při rovnoměrném prodeji dluhopisů a rovnoměrném čerpání peněz ekonomický subjekt prodej dluhopisů zopakuje (a 1)-krát. Vzhledem k tomu, že na počátku období dluhopisy nakoupí, uskuteční celkem a obchodů. Náklady na jeden uskutečněný obchod předpokládáme ve výši b. Do těchto tzv. transakčních nákladů se kalkulují jednak brokerské poplatky, případné další náklady na uskutečněnou transakci včetně časových ztrát. V reálném světě tyto náklady mají svoji pevnou a proměnlivou část, přičemž proměnlivá část závisí na rozsahu obchodu, tj. kolik dluhopisů se nakupuje nebo prodává. Zkušenosti z finančních trhů nám říkají, že pevná část nákladů tvoří poměrně velký podíl transakčních nákladů a že u velmi rozsáhlých obchodů jejich velikost už podstatně neovlivňuje transakční náklady. Brokerské společnosti berou na tuto skutečnost ohled a kalkulují brokerské poplatky tak, že jejich výše roste pomaleji než rozsah transakcí. Z tohoto důvodu skutečnost nebude příliš zkreslená, budeme-li předpokládat, že pevná část 21

Y Y/4 0 1/4 2/4 3/4 1 Obrázek 2.2: Proces čerpání důchodu v Baumolově-Tobinově modelu transakčních nákladů je rozhodující a proměnlivou část v rámci Baumolova-Tobinova modelu zanedbáme, což znamená, že náklady b budou konstantní. Obrázek 2.2 ukazuje popsaný proces čerpání peněžních prostředků, nákupy a prodeje dluhopisů pro a = 4. Na kolmé ose nanášíme peněžní zásobu, na vodorovné ose je průběh času. Období, na které byl vyplacen důchod, je znázorněno úsečkou 0, 1. Důchod Y je rozdělen na čtvrtiny. Za 3/4 důchodu jsou nakoupené dluhopisy a 1/4 je utracena v čase 1/4. V okamžiku utracení této částky je prodána 1/4 dluhopisů, čímž získáme Y/4 peněžních prostředků. Tyto prostředky budou utracené v období 1/2. V tomto období prodáme další čtvrtinu dluhopisů, čímž získáme opět peněžní prostředky ve výši Y/4 a tak pokračujeme až do utracení celého důchodu Y v čase 1. Průměrnou zásobu peněz v situaci, kdy z příjmu Y vydělíme částku Y/a a tu uchováme ve formě peněz, vypočteme jako průměr počáteční a koncové zásoby peněz. Počáteční zásoba peněz je Y/a a koncová zásoba je nulová. Průměrná peněžní zásoba je tedy dána součtem počáteční a koncové zásoby děleným dvěma, což je Y/2a. Tato peněžní částka tedy mohla být použita na nákup dluhopisů a tak by nesla úrok. Vzhledem k tomu, že uložena nebyla a byla uchována ve formě peněz, ekonomický subjekt ztrácí výnos ve velikosti násobku úrokové míry a průměrné peněžní zásoby. Tento obětovaný výnos nazveme relativními náklady peněz a označíme C 1. Platí C 1 (a) = r Y 2a. 22