9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
|
|
- Renáta Pavlíková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud má vstupní hodnota náhodný charakter, je náhodnou veličinou, bude mít i výstupní hodnota náhodný charakter. Základní úlohou je ted určit ze známého rozdělení vstupní veličin rozdělení veličin výstupní. Definujme nejprve co je transformovaná náhodná veličina Definice: Transformovaná náhodná veličina. Je-li X náhodná veličina a h je reálná funkce taková, že její definiční obor obsahuje obor hodnot náhodné veličin X, pak náhodnou veličinu Y, která je definována vztahem ( ) X = x Y = h(x) nazýváme transformovanou náhodnou veličinou a označujeme ji smbolem ( ) Y = h(x). Poznámka: Při definici obecných a centrálních momentů jsme vlastně použili trasformovanou náhodnou veličinu např. X 2, X k, (X E(X)) 2, a pod. Obdobně jsme při odvozování vlastností normálního rozdělení všetřovali lineární závislost Y = X + β, ted trasformovanou náhodnou veličinu. Ukázali jsme si také vlastnost střední hodnot při lineární trasformaci, totiž vzorec E(X + β) = E(X) + β. Budeme nní hledat vztah mezi rozděleními při transformaci. Budeme uvažovat nejprve diskrétní rozdělení jako zvláštní případ Věta: Transformace diskrétního rozdělení. Nechť má náhodná veličina X diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, p(x) = P (X = x), potom má transformovaná náhodná veličina Y = h(x) také diskrétní rozdělení a pro její distribuční funkci p platí: p () = x h 1 () p(x), R. Důkaz: První část tvrzení je zřejmá. Jestliže náhodná veličina X nabývá diskrétních hodnot z množin {x i }, pak hodnot náhodné veličin Y jsou z množin {h(x i )}. Pro pravděpodobnostní funkci p náhodné veličin Y pak platí: p () = P (Y = ) = P (h(x) = ) = P (X h 1 ()) = x h 1 () p(x), R. Vzor hodnot, ted množina h 1 () je ovšem množina všech hodnot x, pro které je = h(x), ted hodnot náhodné veličin X, které se při trasformaci pomocí funkce h trasformují do hodnot Y = h(x). T tvoří množinu diskrétních hodnot, které se navzájem vlučují a ted pravděpodobnost P (Y = ) dostaneme jako součet pravděpodobností z uvedeného vzorce. Poznámka: Výpočet pravděpodobnostní funkce provedeme ted tak, že k tabulce pravděpodobnostní funkce přidáme řádek hodnot = h(x), zjistíme, které hodnot proměnné x přejdou při trasformaci do stejné hodnot a odpovídající pravděpodobnosti p(x) sečteme. Tabulku pak přerovnáme podle velikostí proměnné. Postup si ukážeme na jednoduchém příkladě. 48
2 Příklad: Nechť je rozdělení náhodné veličin X dáno tabulkou Tab Utvořme tabulku pro rozdělení náhodné veličin Y = X 2 1. x p(x),1,25,15,3, x p(x),1,25,15,3,2 Tab Tab Přidáme k tabulce řádek funkčních hodnot proměnné x po transformaci = x 2 1. Dostaneme rozšířenou tabulku Tab Z tabulk vidíme, že náhodná veličina Y nabývá hodnot -1, a 3. Je pak: p ( 1) = P (Y = 1) = P (X 2 1 = 1) = P (X = ) = p() =, 15; p () = P (Y = ) = P (X 2 = 1) = P (X = 1 X = 1) = p( 1) + p(1) =, 55; p (3) = P (Y = 3) = P (X 2 = 4) = P (X = 2 X = 2) = p( 2) + p(2) =, 3. Pravděpodobnostní funkce p náhodné veličin Y je uvedena v tabulce Tab p (),15,55,3 Tab Poznámka: V případě spojitého či smíšeného rozdělení provedeme výpočet distribuční funkce podle uvedeného algoritmu. Pokud je trasformovaná náhodná veličina spojitá, nalezneme z ní snadno hustotu derivováním Algoritmus pro transformovanou distribuční funkci. Nechť má náhodná veličina X distribuční funkci F, případně hustotu f, f(x) = F (x). Označme si G distribuční funkci, případně g, g() = G () hustotu transformované náhodnou veličin Y = h(x). Potom podle definice distribuční funkce je: G() = P (Y ) = P (h(x) ) = P (X h 1 (, ), R, kde smbolem h 1 (, ) označujeme vzor množin (,, ted množinu všech x, pro které je h(x). Tato množina je intervalem, nebo sjednocením intervalů a odpovídající pravděpodobnost zjistíme pomocí původní distribuční funkce či hustot. Budeme uvedený algoritmus ilustrovat na několika příkladech Příklad: Lineární transformaci Y = X +β jsme uvedli v kapitole 8 pro normální rozdělení. Zopakujme si uvedený výpočet. V souladu s uvedeným označením je G() = P (Y ) = P (X + β ) = P (X β) = P (X β ) = F ( β ) > = P (X β ) = 1 F ( β ), <. Potom pro hustotu g rozdělení náhodné veličin Y dostaneme: ( ) d g() = G d F ( β () = ) = 1 f( β ) ( ) d d 1 F ( β ) = 1 f( β ) = 1 ( ) β f. 49
3 9.5. Příklad: Nechť má náhodná veličina X exponenciální rozdělení Exp(; 1) s hustotou, která je určena vztah:, x <, f(x) = e x, x. Určete hustotu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličin Y = X. Řešení: Znázorníme si na obrázku Obr průběh hustot f a na obrázku Obr vznačíme průběh trasformující funkce = x, x, ). 1 f(x), Y Y = X = Y x X = 2 x, X Obr Obr 9.2. Z obrázku 9.1 vplývá, že náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu, ), neboť zde je hustota f kladná. Z obrázku 9.2 vplývá, že funkce = x zobrazuje tento interval na interval, ). To znamená, že náhodná veličina nabývá pouze hodnot z tohoto intervalu a tudíž jsou její distribuční funkce G a hustota g rovn nule pro <. Pro hodnot vpočteme hodnotu distribuční funkce G výše popsaným algoritmem. Je G() = P (Y ) = P ( X ) = P ( X 2 ) = F ( 2 ) F () = F ( 2 ),, ). Odtud dostaneme, že pro hustotu g platí vjádření: g() = G () = d d ( ) F ( 2 ) = 2f( 2 ) = 2e 2, (, ). Snadno vpočteme i hodnotu distribuční funkce F náhodné veličin X. Je, x, F (x) = 1 e x, x. Odtud plne, že G() =,, 1 e 2,. Všimneme si, že k určení hustot g nám postačilo znát hustotu f. Výpočet distribuční funkce G pomocí distribuční funkce F je prováděn pouze v smbolech a po provedení derivace vstačíme k vjádření hustot g pouze s hustotou f Příklad: Jestliže má náhodná veličina X normální rozdělení N(; 1), určete hustotu a distribuční funkci transformované náhodné veličin Y = X 2. Řešení: V souladu se značením v kapitole 8 označíme Φ distribuční funkci a ϕ hustou náhodné veličin X. Z průběhu funkce ϕ na obrázku Obr. 8.1 vplývá, že náhodná veličina X nabývá všech reálných hodnot. Znázorníme si na obrázku 9.3 průběh trasformující funkce Y = X 2. 5
4 , Y Y = X 2 g() Y = X = X = x, X Obr Obr 9.4. Protože funkce = x 2 nabývá všech nezáporných hodnot, bude náhodná veličina Y nabývat také nezáporných hodnot. Jsou ted její distribuční funkce G a hustota g rovn nule pro zápornou hodnotu argumentu. Pro pak dostaneme: G() = P (Y ) = P (X 2 ) = P ( X ) = Φ( ) Φ( ) = 2Φ( ) 1, kdž použijeme vztahu Φ( x) = 1 Φ(x) z kapitol 8. Potom pro hustotu g náhodné veličin Y odtud dostaneme: g() = G () = d d (2Φ( ) 1) = 1 ϕ( ) = 1 2π e 2, (, ), jestliže použijeme skutečnosti z kapitol 8, ϕ(x) = 1 2π e x2 2, x R. Toto rozdělení nazýváme rozdělení χ 2 (1) o jednom stupni volnosti. Čteme chí-kvadrát a rozdělení tohoto tpu patří k nejpoužívanějším v matematické statistice. Průběh hustot je znázorněn na obrázku Příklad: Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 1). Určete rozdělení náhodné veličin Y = lnx. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (, 1) a transformující funkce = lnx nabývá v tomto intervalu všech kladných hodnot. Náhodná veličina Y nabývá tudíž kladných hodnot a jsou ted její distribuční funkce G a hustota g rovn nule pro záporné hodnot argumentu. Situaci si znázorníme na obrázku Obr Hodnot distribuční funkce pro kladný argument vpočteme popsaným způsobem. Je pak G() = P (Y ) = P ( lnx ) = P (lnx ) = P (X e ) = 1 F (e ) = 1 e, kdž použijeme výsledků o rovnoměrném rozdělení z odstavce 5.9. Hustotu g získáme přímo derivováním nebo ze vztahu g() = G () = d d ( 1 F (e ) ) = f(e ) = e, >. Opět použijeme vjádření pro hustotu rovnoměrného rozdělení z odstavce 5.9. Průběh hustot g je znázorněn na obrázku Obr. 9.6., Y Y = Y = lnx 1 g() X = e 1 x, X Obr Obr
5 9.8. Příklad: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Exp(; 1) a náhodná veličina Y = min{x, 2}. a) Určete rozdělení náhodné veličin Y (její distribuční funkci). b) Vpočtěte střední hodnotu E(Y ), rozptl D(Y ) a směrodatnou odchlku σ(y ). Řešení: Náhodná veličina nabývá kladných hodnot. Její hustota rozdělení pravděpodobnosti f je rovna, x (, ), f(x) = e x, x, ). Distribuční funkci F určíme ze vzorce F (x) = pro x : F (x) = ; pro x > : F (x) = F () + x F (x) = x f(t) dt, x R. Je pak e t dt = + [ e t] x = 1 e x. Ted, x (, ), 1 e x, x, ). Náhodná veličina Y nabývá hodnot z intervalu (, 2. Pro její distribuční funkci G platí: (, : G() = P (Y ) = P (min{x; 2} ) = P (X ) = ; (, 2) : G() = P (Y ) = P (min{x; 2} ) = P (X ) = F () = 1 e ; 2, ) : P (Y ) = P (min{x; 2} ) = 1. Náhodná veličina Y má smíšené rozdělení a P (Y = 2) = P (X 2) = 1 F (2) = = 1 (1 e 2 ) = e 2 =, Střední hodnotu Y vpočteme takto: E(Y ) = min{x; 2}f(x) dx = 2 xe x dx e x dx = [ e x ( x 1) ] (1 F (2)) = 3e e 2 = 1 e 2 =, K výpočtu rozptlu použijeme vzorce D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Je E(Y 2 ) = 2 (min{x; 2}) 2 f(x)dx = [ ] 2 x 2 e x dx + 4.P (X 2) = e x ( x 2 2x 2) + 4.(1 F (2)) = 1e e 2 = 2 6e 2 = 1, Potom je D(Y ) = E(Y 2 ) E(Y ) 2 = 2 6e 2 (1 e 2 ) 2 = 2 6e 2 1+2e 2 +e 4 = 1 4e 2 +e 4 =, Pro směrodatnou odchlku dostaneme σ(y ) = D(Y ) =, Definice: Charakteristická funkce Je-li X náhodná veličina, pak funkci ψ X reálné proměnné t, která je definována vztahem ψ X (t) = E(e jtx ), t R, nazýváme charakteristickou funkcí náhodné veličin X Věta: Výpočet charakteristické funkce. Charakteristickou funkci náhodné veličin vpočteme pomocí vzorce, který závisí na tpu rozdělení. 52
6 1. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p(x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = x R e jtx p(x), t R. 2. Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotu f(x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = f(x)e jtx dx, t R. 3. Náhodná veličina X má smíšené rozdělení s distribuční funkcí F (x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = x R[F (x) F (x )]e jtx + F (x)e jtx dx, t R Příklad: Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení (alternativní), kd p() = P (X = ) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, < p < 1. Řešení: Podle vzorce v 1 z odstavce 9.1. je ψ X (t) = p()e jt. + p(1)e jt.1 = 1 p + pe jt, t R Příklad: Náhodná veličina X má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 1). Řešení: Hustota f náhodné veličin X je rovna jedné v intervalu (, 1) a jinde je nulová. Potom podle vzorce v 2 z odstavce 9.1 je ψ X (t) = 1 e jtx dx = [ ] e jtx 1 jt = j(1 ejt ), t R, t. t Příklad: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Exp(; δ). Řešení: Náhodná veličina má kladnou hustotu f(x) = 1 δ e x δ pro x >. Podle vzorce 2 z vět 9.1 je charakteristická funkce rovna ψ X (t) = 1 e jtx e x 1 δ dx = e x(jt 1 δ ) dx = δ δ = 1 [ δ(jt 1 δ ) e x(jt 1 )] δ = 1 1 jδt Věta: Vlastnosti charakteristické funkce. Pro charakteristickou funkci náhodné veličin X platí: 1. Je ψ X () = 1, ψ X (t) 1, t R. 2. Funkce ψ X je spojitá v R. 3. Funkce ψ X má tolik derivací v nule, kolik má náhodná veličina momentů a je ψ (k) X () = jk E(X k ), k =, 1, 2,
7 4. Pro čísla, β je ψ X+β (t) = e jtβ ψ X (t), t R. 5. Jsou-li náhodné veličin X a Y nezávislé, pak je ψ X+Y (t) = ψ X (t).ψ Y (t), t R. Důkaz: Tvrzení 1 snadno vplývá ze vzorců 1-3 z odstavce 9.1. Tvrzení 2 nebudeme odvozovat, jeho důkaz není obtížný, je pouze pracný. Ke tvrzení 3 uvedeme jako příklad formální odvození vztahu pro spojité rozdělení. Je ψ X(t) = d dt a odtud po dosazení dostaneme f(x)e jtx dx = f(x)jxe jtx dx ψ X() = j xf(x) dx = je(x). Vzorec pro další moment dostaneme opětovným derivováním. Poměrně snadno ověříme možnost záměn derivování a integrace. Tvrzení 4 snadno odvodíme z vlastností střední hodnot. Je totiž ψ X+β (t) = E(e jt(x+β) ) = E(e jtβ e j(t)x ) = e jtβ ψ X (t). Tvrzení 5 vplývá z vlastnosti pro střední hodnotu součinu nezávislých veličin. Je ψ X+Y (t) = E(e jt(x+y ) ) = E(e jtx e jty ) = E(e jtx )E(e jty ) = ψ X (t)ψ Y (t) Příklad: Náhodné veličin X i, 1 i n, jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení Exp(; δ). Určete charakteristickou funkci náhodné veličin T = 2nX δ. Řešení: Podle příkladu má každá z náhodných veličin X i charakteristickou funkci ψ(t) = 1 1 jδt. Potom podle tvrzení 5 z vět 9.14 má jejich součet X = n X i charakteristickou i=1 funkci 1 ψ X = (1 jδt) n. Potom podle tvrzení 4 z vět 9.14, kde volíme = 2 δ, β = je ψ T (t) = ψ X( 2 δ t) = 1 (1 2jt) n. Poznámka: Charakteristická funkce ψ T je charakteristickou funkcí náhodné veličin, která má rozdělení χ 2 (2n). Této skutečnosti se vužívá při odhadech parametrů exponenciálního rozdělení. 54
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceVzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Více, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
Více5. T e s t o v á n í h y p o t é z
5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceZáklady počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky
Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
Více, 4. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
..06, 4. skupina (6: - 7:4) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papír, které odevzdáváte. Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí. Co je škrtnuto, nebude bráno
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Více5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více