KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 009/010 MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Zpracoval: Schválil: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne. 3. 008 pod č. j. 34/008-/CERMAT
KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 009/010 MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Zpracoval: Schválil: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne. 3. 008 pod č. j. 34/008-/CERMAT
Osah Úvod Požadavky k maturitní zkoušce Základní specifikace zkoušky Příklady testových úloh
Úvod Účel a osah katalogu Katalogy požadavků k maturitní zkoušce poskytují všem jejich uživatelům informace o požadavcích kladených na žáky vzdělávacích programů v oorech středního vzdělání s maturitní zkouškou. Maturitní zkouška z matematiky má charakter didaktického testu a je připravována ve dvou úrovních otížnosti. Rozdíly mezi úrovněmi otížnosti jsou vymezeny rozsahem a hloukou ověřovaných znalostí a dovedností a odlišnostmi v typu použitých testových úloh s otevřenou odpovědí. Tento katalog vymezuje požadavky k maturitní zkoušce základní úrovně otížnosti. Pedagogické dokumenty ke katalogu a k maturitní zkoušce Základem pro zpracování katalogu jsou stávající platné pedagogické dokumenty: Učení dokumenty pro gymnázia. Praha, Fortuna 1999. Standard vzdělávání ve čtyřletém gymnáziu. Praha, Fortuna 1999. Učení osnovy pro SOŠ a SOU, č. 1307/000 ze 16.6.000, a dále učení osnovy matematiky pro technická, přírodovědná a ekonomická lycea. Zpracovatelé katalogu využili jako podpůrné prameny také pulikované standardy a didaktické materiály. 1 Katalog vymezuje požadavky ke zkoušce matematika v základní úrovni tak, ay si je mohli osvojit žáci ez ohledu na typ navštěvované školy a programového dokumentu, z něhož vychází studijní program dané školy. Při zpracování katalogu yla zohledněna skutečnost, že na některých středních školách jsou již ověřovány rámcové vzdělávací programy. 1 (1) FUCHS, E., BINTEROVÁ, H. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odorná učiliště. Praha: Prometheus, 003, ISBN 80-7196-94-5 () FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol.. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80-7196-095-0. (3) FUCHS, E., PROCHÁZKA, F. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odorné školy. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80-7196-097-7. (4) Měření vědomostí a dovedností nová koncepce hodnocení žáků. Praha: ÚIV, 1999. 78 s. ISBN 80--0333-7. Přel. z: Measuring Student Knowledge and Skills. Paris: OECD, 1999. 8 pp. 3
Požadavky k maturitní zkoušce Očekávané znalosti a dovednosti pro zkoušku matematika v základní úrovni otížnosti jsou v prvé části uvedeny pěti hlavními kategoriemi kompetencí, které y ěhem výuky matematiky na střední škole měly ýt zohledňovány. Osvojení matematických pojmů a dovedností užívat správně matematické pojmy (definovat pojmy a určit jejich osah, charakterizovat pojem různými způsoy, třídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi) numericky počítat a užívat proměnnou (provádět základní početní operace, odhadnout výsledek výpočtu, využít efektivní způsoy výpočtu, upravit výrazy s čísly a proměnnými, stanovit definiční oor výrazu) pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů, měřit a odhadovat výsledek měření, řešit početně geometrickou úlohu, řešit konstrukčně geometrickou úlohu) matematicky argumentovat (rozlišit různé typy tvrzení (definice, věta), rozumět logické stavě matematické věty) Matematické modelování matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní neo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvořit matematický model reálné situace) pracovat s matematickým modelem ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace (vyjádřit výsledek řešení modelu v kontetu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelované situace) Vymezení a řešení prolému vymezit prolém analyzovat prolém zvolit vhodnou metodu řešení prolému (popsat prolém vzorcem, užít známý algoritmus) vyřešit prolém diskutovat o výsledcích aplikovat osvojené metody řešení prolémů v jiných tématech a olastech Komunikace číst s porozuměním matematický tet vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru osažené v grafech, diagramech, taulkách atd. přesně se vyjádřit (užívat jazyk matematiky včetně symoliky a terminologie, zdůvodnit matematické tvrzení, ohájit vlastní řešení prolému, prezentovat výsledky řešení úlohy, geometrické konstrukce, na doré grafické úrovni) prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafů, diagramů, taulek atd.) 4
Užití pomůcek využít informační zdroje (odorná literatura, internet atd.) efektivně řešit prolémy pomocí kalkulátoru a PC použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení prolémů použít tradiční prostředky grafického vyjadřování Druhá část požadavků osahuje již konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků tak, jak yly týmem spolupracovníků v zastoupení všech typů středních škol a odorných ústavů určeny. 1. Číselné oory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele užít pojem dělitelnosti přirozených čísel a znaky dělitelnosti určit největší společný dělitel a nejmenší společný násoek přirozených čísel 1. Celá čísla provádět aritmetické operace s celými čísly užít pojem opačné číslo 1.3 Racionální čísla pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody provádět operace se zlomky provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla řešit praktické úlohy na procenta a užívat trojčlenku znázornit racionální číslo na číselné ose 1.4 Reálná čísla zařadit číslo do příslušného číselného ooru provádět aritmetické operace v číselných oorech užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo znázornit reálné číslo neo jeho aproimaci na číselné ose určit asolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam zapisovat a znázorňovat intervaly, určovat jejich průnik a sjednocení užít druhé a třetí mocniny a odmocniny provádět operace s mocninami s celočíselným eponentem ovládat početní výkony s mocninami a odmocninami
. Algeraické výrazy.1 Algeraický výraz určit hodnotu výrazu určit nulový od výrazu. Mnohočleny provádět početní operace s mnohočleny rozložit mnohočlen na součin užitím vzorců a vytýkáním.3 Lomené výrazy provádět operace s lomenými výrazy určit definiční oor lomeného výrazu.4 Výrazy s mocninami a odmocninami provádět operace s výrazy osahujícími mocniny a odmocniny 3. Rovnice a nerovnice 3.1 Lineární rovnice a jejich soustavy řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení slovní úlohy řešit početně i graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých 3. Rovnice s neznámou ve jmenovateli stanovit definiční oor rovnice řešit rovnice s neznámou ve jmenovateli o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy využít k řešení slovní úlohy grafu nepřímé úměry 3.3 Kvadratické rovnice řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy 3.4 Lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy řešit rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
4. Funkce 4.1 Základní poznatky o funkcích užít různá zadání funkce a používat s porozuměním pojmy: definiční oor, oor hodnot, hodnota funkce v odě, graf funkce sestrojit graf funkce y = f() určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic modelovat reálné závislosti pomocí elementárních funkcí 4. Lineární funkce, nepřímá úměrnost užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti, sestrojit její graf určit lineární funkci, sestrojit její graf, ojasnit geometrický význam parametrů a, v předpisu funkce y = a + určit předpis lineární funkce z daných odů neo grafu funkce užít pojem a vlastnosti nepřímé úměrnosti, načrtnout její graf řešit reálné prolémy pomocí lineární funkce a nepřímé úměrnosti 4.3 Kvadratické funkce určit kvadratickou funkci, stanovit definiční oor a oor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, určit intervaly monotonie a od, v němž naývá funkce etrému řešit reálné prolémy pomocí kvadratické funkce 4.4 Eponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice určit eponenciální a logaritmickou funkci, u každé z nich stanovit definiční oor a oor hodnot, sestrojit jejich grafy vysvětlit význam základu a v předpisech oou funkcí, monotonie užít logaritmu a jeho vlastností, řešit jednoduché eponenciální a logaritmické rovnice použít poznatky o funkcích v jednoduchých praktických úlohách - použít poznatky o funkcích v jednoduchých praktických úlohách 4.5 Goniometrické funkce 4.5 Goniometrické funkce - užívat pojmů úhel, stupňová míra, olouková míra míra - definovat goniometrické funkce v pravoúhlém v trojúhelníku - definovat goniometrické funkce v intervalu, 0; resp. π, či resp., u každé π / z ; nich π / určit 0; definiční π, u každé oor z a nich oor hodnot, určit sestrojit definiční graf oor a oor hodnot, sestrojit graf - užít vlastností goniometrických funkcí, určit intervaly monotonie, případně ody, v nichž naývá funkce funkce etrému etrému 5. Posloupnosti a finanční matematika 5. Posloupnosti a finanční matematika 5.1 Základní poznatky o posloupnostech 5.1 - aplikovat Základní znalosti poznatky o funkcích o při posloupnostech úvahách o posloupnostech a při řešení úloh o posloupnostech - určit posloupnost vzorcem pro n-tý člen, graficky, výčtem prvků aplikovat znalosti o funkcích při úvahách o posloupnostech a při řešení úloh o posloupnostech 5. Aritmetická posloupnost určit posloupnost vzorcem pro n-tý člen, graficky, výčtem prvků - určit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference - užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost 5.3 Geometrická posloupnost
5. Aritmetická posloupnost určit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost 5.3 Geometrická posloupnost určit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost 5.4 Využití posloupností pro řešení úloh z prae, finanční matematika využít poznatků o posloupnostech při řešení prolémů v reálných situacích řešit úlohy finanční matematiky 6. Planimetrie 6.1 Planimetrické pojmy a poznatky správně užít pojmy od, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné, ojekty znázornit užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoěžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti odů a přímek) rozlišit konvení a nekonvení útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti využívat poznatků o množinách všech odů dané vlastnosti při řešení úloh 6. Trojúhelníky určit ojekty v trojúhelníku, znázornit je a správně užít jejich základních vlastností, pojmů užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, těžnice, střední příčky, kružnice opsané a vepsané) při řešení úloh argumentovat s využitím poznatků vět o shodnosti a podonosti trojúhelníků aplikovat poznatky o trojúhelnících (ovod, osah, velikost výšky, Pythagorova věta, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie řešit praktické úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a oecného trojúhelníku (sinová věta, kosinová věta, osah trojúhelníku určeného sus) 6.3 Mnohoúhelníky rozlišit základní druhy čtyřúhelníků, popsat a správně užít jejich vlastnosti (různoěžníky, rovnoěžníky, lichoěžníky), pravidelné mnohoúhelníky pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky), popsat a užít vlastnosti konveních mnohoúhelníků a pravidelných mnohoúhelníků užít s porozuměním poznatky o čtyřúhelníku (ovod, osah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsané neo vepsané) v úlohách početní geometrie užít s porozuměním poznatky o pravidelném mnohoúhelníku v úlohách početní geometrie 6.4 Kružnice a kruh pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu, popsat a užít jejich vlastnosti 8
užít s porozuměním polohové vztahy mezi ody, přímkami a kružnicemi aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (ovod, osah) v úlohách početní geometrie 6.5 Geometrická zorazení popsat a určit shodná zorazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti 7. Stereometrie 7.1 Tělesa charakterizovat jednotlivá tělesa, vypočítat jejich ojem a povrch (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části) využít poznatků o tělesech v praktických úlohách 8. Analytická geometrie 8.1 Souřadnice odu a vektoru na přímce určit vzdálenost dvou odů a souřadnice středu úsečky užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru provádět operace s vektory (součet vektorů, násoek vektoru reálným číslem) 8. Souřadnice odu a vektoru v rovině určit vzdálenost dvou odů a souřadnice středu úsečky užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru provádět operace s vektory (součet vektorů, násoek vektoru reálným číslem, skalární součin vektorů) určit velikost úhlu dvou vektorů 8.3 Přímka v rovině užít parametrické vyjádření přímky, oecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině určit a aplikovat v úlohách polohové a metrické vztahy odů a přímek
9. Kominatorika, pravděpodonost a statistika 9.1 Základní poznatky z kominatoriky a pravděpodonosti užít základní kominatorická pravidla rozpoznat kominatorické skupiny (variace, permutace, kominace ez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích počítat s faktoriály a kominačními čísly s porozuměním užívat pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opačný jev, nemožný jev a jistý jev určit množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, počet všech výsledků příznivých náhodnému jevu a vypočítat pravděpodonost náhodného jevu 9. Základní poznatky ze statistiky vysvětlit a použít pojmy statistický souor, rozsah souoru, statistická jednotka, statistický znak kvalitativní a kvantitativní vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit taulku četností, graficky znázornit rozdělení četností určit charakteristiky polohy (aritmetický průměr, medián, modus) a variaility (rozptyl a směrodatná odchylka) vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a taulkách Základní specifikace zkoušky z matematiky Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test osahuje uzavřené a otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy právě jedna alternativa v naídce správná. V průěhu společné maturitní zkoušky z matematiky udou mít žáci k dispozici Matematické, fyzikální a chemické taulky pro střední školy, udou moci používat kalkulátor ez grafického režimu a rýsovací potřey. Následující taulka uvádí přiližné procentuální zastoupení jednotlivých témat v didaktickém testu. Tematické okruhy % 1. Číselné množiny 5 10. Algeraické výrazy 10 0 3. Rovnice a nerovnice 15 5 4. Funkce 10 0 5. Posloupnosti a finanční matematika 5 10 6. Planimetrie 10 0 7. Stereometrie 10 0 8. Analytická geometrie 5 10 9. Kominatorika, pravděpodonost a statistika 5 15 10
9. Kominatorika, pravděpodonost a statistika Příklady testových úloh PŘÍKLADY TESTOVÝCH ÚLOH Testové Testové úlohy úlohy jsou jsou uvedeny uvedeny jako jako samostatné samostatné ukázky, ukázky, jejich jejich zastoupení zastoupení necharakterizuje necharakterizuje strukturu strukturu testu. testu. Souor ukázek Souor nelze ukázek považovat nelze považovat za sestavený za test. sestavený V ukázkách test. V uzavřených ukázkách uzavřených úloh jsou autorská úloh jsou řešení autorská označena řešení tučnou sazou označena alternativy tučnou sazou uvádějící alternativy správnou uvádějící odpověď. správnou U otevřených odpověď. úloh U je otevřených správné řešení úloh uvedeno je správné za úlohou. řešení uvedeno za úlohou. 1. Číselné množiny 1. Číselné množiny Úloha Úloha 1 Počet celých čísel v intervalu ) 3 10 9, 10000 je: A) 1 099 A) B) 1 099 1 100 B) C) 1 100 1 101 C) D) 1 101 001 D) 001 Úloha Úloha Akciová společnost prodala letos za první čtvrtletí zoží za 78 milionů Kč. Ve srovnání se stejným odoím Akciová minulého společnost roku to ylo prodala o 13 letos % více. za Za první kolik čtvrtletí milionů zoží korun za 78 prodala milionů společnost Kč. Ve srovnání zoží se v prvním stejným čtvrtletí odoím minulého roku minulého to ylo roku? o 13 Výsledek % více. Za zaokrouhlete kolik milionů na korun celé prodala miliony. společnost zoží v prvním čtvrtletí minulého roku? Výsledek zaokrouhlete Řešení: Za 69 na milionů celé miliony. korun. Řešení: Za 69 milionů korun. Úloha 3 Dvanáct dělníků provede zemní práce za 15 dní. Za jak dlouho y provedlo tyto práce devět dělníků za předpokladu, že výkon všech dělníků je stejný? Úloha 3 Dvanáct Řešení:: dělníků Za 0 dní. provede zemní práce za 15 dní. Za jak dlouho y provedlo tyto práce devět dělníků za předpokladu, že výkon všech dělníků je stejný? Řešení: Za 0 dní. 5 15 9
Úloha 4 Kamarádi yli na výletě. Peníze, které každý složil jako zálohu, eze zytku utratili. Při závěrečném účtování celkovou útratu rovnoměrně rozdělili na osou a den, někdo pak musel doplácet a jinému se peníze vracely. Vyúčtování je zapsáno do taulky. Níže uvedená taulka je neúplná (špatně čitelné údaje yly vynechány). Doplňte správná čísla do prázdných políček. Jméno Počet dnů Záloha [Kč] Musí doplatit [Kč] Bude mu vráceno [Kč] Adam 7 540 0 36 David 490 0 58 Filip 7 44 0 Honza 4 0 Řešení: Jméno Počet dnů Záloha [Kč] Musí doplatit [Kč] Bude mu vráceno [Kč] Adam 7 540 0 36 David 6 490 0 58 Filip 7 460 44 0 Honza 4 38 50 0 1
... Algeraické Algeraické výrazy Algeraické výrazy. Algeraické výrazy výrazy Úloha Úloha 1 Úloha 1 Zapište. Zapište Algeraické výsledek výsledek dělení dělení výrazy a stanovte, stanovte, pro pro která která reálná reálná čísla čísla r má má dělení dělení smysl: smysl: r 3 3 r 9r + 18 : r 3. Zapište Řešení:: výsledek dělení a stanovte, pro která reálná čísla r má dělení smysl: ( r 3 r 9r + 18) : ( r Řešení:: r + r 6 ; r 3 3). Úloha. Řešení:: Algeraické 1 r + r 6 ; výrazy r 3 Úloha Zapište Úloha Úloha Rozhodněte 1 výsledek dělení a stanovte, pro která reálná čísla r má dělení smysl: ( r 3 r 9r + 18) : ( r následujících tvrzení, zda jsou pravdivá (ANO), neo nepravdivá (NE). 3). Rozhodněte Řešení:: r + u.1 Pro každá r následujících 6 ; r 3 tvrzení, zda jsou pravdivá (ANO), neo nepravdivá (NE). dvě reálná čísla a, platí Zapište Rozhodněte.1 výsledek u následujících Pro každá dělení dvě reálná a stanovte, tvrzení, čísla a, pro zda platí která jsou pravdivá reálná a + čísla (ANO), = a r + má neo dělení nepravdivá smysl: ( r 3 (NE). r 9r + 18) : (ANO( (ANO r 3). NE) NE).1. Pro Řešení:: Úloha. r + každé každá r 6 Pro každé ; dvě reálné r 3reálná platí čísla a, platí ( a + ) = a + reálné platí ( 3 ) = 9 + 6 + Rozhodněte. Pro každé.3 Pro každé u následujících reálné platí reálné tvrzení, ( 3 platí zda ) jsou = 9 1 apravdivá + 6 + (ANO), neo nepravdivá (NE). Úloha.3 Pro každé reálné a 1 platí 1 a (ANO NE) 1 a = a + 1 (ANO NE).1.3 Pro každé každá dvě reálné reálná a 1čísla platí a, 1 a platí a ( 1a = + a + ) 1= a + Rozhodněte u následujících tvrzení, zda jsou a 1pravdivá (ANO), neo nepravdivá (NE)...4 Pro.4 každé reálné každé reálné platí c platí ( 3 ) c= 9 platí + 6 + (ANO NE).1 Pro každá dvě reálná čísla a, platí c = ( a + c ) = a +.4 Pro každé reálné c platí c 1 = a Úloha.3 Úloha a 1 platí 1 c ca + = a + 1 (ANO NE). Pro každé reálné platí ( 3 ) = 9 + 6 + 3 a 1 Úloha 3 101 a 3.1.3 3.1 Určete, Pro každé Určete, kdy reálné kdy má má výraz a 1 platí + 31 a 10 c výraz smysl, = a + 1výraz zjednodušte..4 Pro každé reálné c platí + smysl, a výraz zjednodušte. 3 10a = 1 + c (ANO NE) 3.1 Určete, kdy má výraz c4 smysl, a výraz zjednodušte. Úloha 4 c Úloha 10 3..4 3 3. Určete Pro každé Určete hodnotu reálné hodnotu výrazu c platí + 3 10= výrazu pro + c + pro = 0. 3. hodnotu výrazu 3 c + 3 10 10 3.1 4 pro = 0. Úloha 3 Určete, kdy má výraz smysl, 4 a výraz zjednodušte. 10 3.3 3.3 Pro Pro které které hodnoty hodnoty R má má výraz 4 + 3 10 + výraz hodnotu 0? 3 10 3.1 + hodnotu 0? 3.3 Určete, Pro které kdy hodnoty má výraz Rmá + 3výraz 10smysl, 3 a výraz 10 zjednodušte. 3. Určete hodnotu výrazu 4 hodnotu 0? 4 pro = 0. 4 10 3.4 3.4 Pro Pro které které hodnoty hodnoty R má má výraz 4 + 3 10 + 3výraz 10 hodnotu 1? hodnotu 1? 3.4 3. Určete hodnotu 10 Řešení: 3.1 výrazu pro + 3 = 4 10 0. 3.3 Pro které hodnoty R má 1? výraz 4 hodnotu 0? + 5 Řešení: 3.1 3. 3.3 + 5 ; ±, 3., 5 ; 3.3 4 = 5 ; Řešení: 3.1 ; ±, 3., 5 ; + 3 10 3.3 Pro které hodnoty R má výraz 3.3 + 3 10 = hodnotu 5 ; 0? 3.4 Pro 3.4 které 3.4 Výraz hodnoty + Výraz nenaývá nenaývá hodnoty má výraz hodnoty 1 pro pro žádnou žádnou reálnou reálnou hodnotu hodnotu proměnné proměnné 4 hodnotu 1?. 3.4 Výraz nenaývá hodnoty 1 pro žádnou 4 reálnou hodnotu proměnné. Úloha Řešení: Úloha + 5 + 3 10 3.4 Pro 4 3.1 které hodnoty ; ±, R3. má výraz, 5 ; 3.3 = hodnotu 5 ; 1? Úloha 4 + 4 Upravte Upravte výraz výraz 3.4 určete, kdy má smysl: Výraz a určete, kdy má smysl: Upravte výraz + 5 Řešení: 3.1 nenaývá ; ±, hodnoty 3., 15 pro ; 3.3 žádnou reálnou = 5 ; hodnotu proměnné. + + 4 a určete, kdy má smysl: A) A) +, 4 Úloha 4 3.4 ; Výraz, nenaývá hodnoty 1 pro žádnou reálnou hodnotu proměnné. A) + ;, B) Upravte B) 0 výraz ; +,, Úloha 4 4 a určete, kdy má smysl: B) 0 ;, + 44 C) C), A) Upravte výraz C) ;, a určete, kdy má smysl:, + + 4 D) B) D) 0; A), ;,, 4 D) + ;, C) B) 0 ; + ;,, 4 D) C) ;, + D) ;, + 13
3. Rovnice a nerovnice 3. Rovnice a nerovnice 3. Rovnice a nerovnice Úloha 1 3. Úloha Rovnice a nerovnice Na Úloha večírek 1 přišlo třikrát více chlapců než děvčat. Po Po odchodu 8 8 chlapců a 8 a děvčat 8 zylo zylo na na večírku pětkrát pětkrát více více Na Úloha chlapců večírek chlapců 1 než přišlo děvčat. než třikrát děvčat. Kolik více Kolik chlapců chlapců chlapců a kolik než a kolik děvčat. děvčat přišlo Po odchodu přišlo na večírek? na 8 večírek? chlapců a 8 děvčat zylo na večírku pětkrát více Řešení: 48 chlapců, 16 děvčat Řešení: Na večírek chlapců 48 přišlo než chlapců, třikrát děvčat. 16 děvčat více Kolik chlapců chlapců než a kolik děvčat. děvčat Po odchodu přišlo na 8 večírek? chlapců a 8 děvčat zylo na večírku pětkrát více chlapců než děvčat. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek? Řešení: 48 chlapců, 16 děvčat Úloha Úloha Řešení: 48 chlapců, 16 děvčat V Úloha rovnici + 1 = 0 s neznámou je jeden kořen 1 =. Určete koeficient a druhý kořen. V Úloha rovnici + 1 = 0 s neznámou je jeden kořen 1 =. Určete koeficient a druhý kořen. Řešení: = 4, = 6 V rovnici + 1 = 0 s neznámou je jeden kořen 1 =. Určete koeficient a druhý kořen. Řešení: = 4, = 6 Úloha Řešení: 3 = 4, = 6 Množina Úloha 3 4 7 4 všech reálných řešení nerovnice 3 je: 4 7 6 4 Množina Úloha 3 všech reálných řešení nerovnice 3 je: 14 A), + ) 4 7 6 4 Množina všech 14 9 reálných řešení nerovnice 3 je: A), + ) 6 B) 4, 9+ ) A), + B) C) ( 1, +, 1) ) 9 B) C) D) ( 1, +, 1) C) D) (, 1 Úloha D) 4 (, Úloha 4 1 1 1 Vyjádříme-li ze vzorce ( ) = n 1 + veličinu f, dostaneme: Úloha 4 1f r1 r1 Vyjádříme-li ze vzorce ( ) A) f = ( n 1)( r1 + r ) = n 1 + veličinu f, dostaneme: 1f r1 r1 Vyjádříme-li ze vzorce ( ) A) f = ( n1 1 B) ( )( r1 + r r1 + r ) ) = n 1 + veličinu f, dostaneme: f r1 r A) 1 B) f = ( n 1( )( r r1 ) r 1 + r r ) 1r C) n1 1 B) f = ( ( r)( r1 1r + 1 + r r) ) C) f = n 1 ( n 1 r)( ) 1r + r ) D) 1r C) f = ( n r1 + 1 )( ) 1 rr ) D) f = 1 + r ( nr 1 + 1) r 1r D) f = r + r 1 1 1 1 14
4. Funkce 4. Funkce Úloha 1 Pan Úloha Mrázek 1 odečítal (vždy v 7:00 h) v jednotlivých dnech měsíce údaj na plynoměru, ay zkontroloval spotřeu plynu Pan Mrázek v domácnosti. odečítal (vždy Údaje v zapisoval 7:00 h) v do jednotlivých taulky: dnech měsíce údaj na plynoměru, ay zkontroloval spotřeu Datum odečtu plynu v domácnosti. Údaj na plynoměru Údaje zapisoval v m 3 do taulky: Datum Údaj na plynoměru v m 1. 4. 1 43,56 3 odečtu 7. 4. 1.4. 1 43,56 48,73 1. 7.4. 1 48,73 56,80 18. 1.4. 1 56,80 63,95 5. 18.4. 1 63,95 75,15 5.4. 1 75,15 Určete interval mezi dvěma následujícími zápisy, ve kterém yla průměrná denní spotřea plynu největší. A) Určete od 1. interval 4. 7. mezi 4. dvěma následujícími zápisy, ve kterém yla průměrná denní spotřea plynu největší. B) A) od 7. od 4. 1. 4. 1.4. 7.4. C) B) od 1. od 4. 18. 7.4. 1.4. 4. D) C) od 18. od 4. 5. 1.4. 18.4. 4. D) od 18.4. 5.4. Úloha Teplota se měří v Celsiových neo Fahrenheitových stupních. Teplota f ve f ve Fahrenheitových stupních je je lineární funkcí lineární teploty funkcí c teploty v Celsiových c v Celsiových stupních. stupních. Určete předpis Určete pro předpis tuto funkci, pro tuto jestliže funkci, 8 C jestliže odpovídá 8 C odpovídá 46,4 F a 446,4 C odpovídá F 75, a 4 C F. odpovídá 75, F. Řešení: f = 1,8c + 3,0 Řešení: f = 1,8c + 3,0 Úloha 3 V půjčovně automoilů se se pan pan Novák Novák rozhoduje, jestli jestli si si půjčí půjčí automoil automoil A neo A neo B. Náklady B. Náklady n (v n Kč) (v na Kč) na provoz automoilu provoz automoilu A jsou A určeny jsou určeny lineární lineární funkcí funkcí n = n 3 000 = 3 000 +,4, +,4, náklady náklady na na provoz provoz automoilu B lineární funkcí n funkcí = 9 000 n = + 91,6, 000 kde + 1,6, je kde ujetá je vzdálenost ujetá vzdálenost (v km). Určete (v km). dolní Určete mez dolní pro mez ujetou pro vzdálenost, ujetou vzdálenost, kterou y kterou měl pan y Novák vypůjčeným měl pan Novák automoilem vypůjčeným překročit, automoilem ay se překročit, mu vyplatila ay výpůjčka se mu vyplatila automoilu výpůjčka B. automoilu B. Řešení: 7 500 km Řešení: 7 500 km Úloha 4 Liovolné množství akterií se ěhem každých hodin ( = ) zvětší čtyřikrát ( y = 4 ). Funkční závislost y na čase vyjadřuje eponenciální funkce y = a, kde 0. Kolikrát se změní množství akterií ěhem 6 hodin? A) dvanáctkrát A) B) dvanáctkrát šestnáctkrát B) C) šestnáctkrát čtyřiadvacetkrát C) D) čtyřiadvacetkrát čtyřiašedesátkrát D) čtyřiašedesátkrát 13 15
Úloha 55 Ke každé funkci dané předpisem (v úlohách 5.1 5.4) najděte příslušný graf orázcích A) F). Ke Ke každé funkci dané předpisem (v (v úlohách 5.1 5.4) najděte příslušný graf v v orázcích A) F). 5.1 5.1 f: f: yy= = 5. 5. f: f: yy= = 5.3 5.3 f: f: yy= = 5.4 5.4 f: f: y y = = 1 1 A) A) B) B) C) C) yy yy yy O O O D) D) E) E) F) F) yy yy yy O O O Řešení: 5.1 D, 5. B, 5.3 A, 5.4 C Řešení: 5.1 D, 5. B, 5.3 A, 5.4 C 14 14 16
5. Posloupnosti a finanční matematika Úloha 1 Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad seou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 4 plechovek. Kolik je všech plechovek? Řešení: 195 Úloha V soutěži yly za prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 400, Kč. Nejvyšší odměna yla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? A) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800, Kč. B) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 1 00, Kč. C) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než 1 00, Kč. D) Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit. Úloha 3 Ay součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl 1 000 000, musí ýt n rovno alespoň: A) 1 000 B) 1 0 C) 1 414 D) 1 88 Úloha 4 V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna roku následujícího? A) B) 5 C) 7 D) 30 Úloha 5 Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou mírou 10 % materiál v ceně 800 000 Kč, úroky se připisují koncem každého roku. Majitel splatí celou částku jednorázově po uplynutí pěti let. O kolik procent splátka převýší úvěr? Řešení: přiližně o 61 % 17
6. Planimetrie Úloha Úloha 1 Určete Určete osah osah odélníku odélníku ABCD, ABCD, jestliže jestliže délka délka strany strany AB AB je je 84 84 cm cm a a úhlopříčka úhlopříčka AC AC má má délku délku o 7 o 7 cm cm větší, větší než než je délka strany je délka BC. strany BC. Řešení: 1 09 cm Řešení: 1 09 cm Úloha Velikost vnitřního úhlu pravidelného osmiúhelníku je: A) A) 108 108 B) B) 10 10 C) C) 135 135 D) 140 140 6. Úloha 3 Planimetrie Úloha Zvolte 3závěr se všemi správnými tvrzeními. Zvolte Jestliže závěr se průměr se všemi kruhu správnými zvětší třikrát, tvrzeními. pak se jeho Úloha 1 A) poloměr zvětší 3krát, ovod se zvětší 3krát a osah se zvětší 3krát Určete Jestliže osah se průměr odélníku kruhu ABCD, zvětší jestliže třikrát, pak délka se strany jeho AB je 84 cm a úhlopříčka AC má délku o 7 cm větší než B) poloměr zvětší 3krát, ovod se zvětší 3krát a osah se zvětší 9krát je délka strany BC. A) C) poloměr poloměr zvětší zvětší 3krát, 9krát, ovod ovod se zvětší se zvětší 3krát 9krát a osah a osah se zvětší se zvětší 3krát 9krát B) D) poloměr poloměr zvětší zvětší 3krát, 3krát, ovod ovod se zvětší se zvětší 3krát 6krát a osah a osah se zvětší se zvětší 9krát 9krát Řešení: 1 09 cm C) poloměr zvětší 9krát, ovod se zvětší 9krát a osah se zvětší 9krát D) poloměr zvětší 3krát, ovod se zvětší 6krát a osah se zvětší 9krát Úloha Velikost vnitřního úhlu pravidelného osmiúhelníku je: A) 7. Stereometrie 108 7. Stereometrie B) 10 C) Úloha 1 Úloha 135 D) Jedna z Jedna 140 kopulí hvězdárny M. Koperníka v Brně má tvar poloviny kulové plochy o průměru 6 m. Náklad na kopulí hvězdárny M. Koperníka v Brně má tvar poloviny kulové plochy o průměru 6 m. Náklad na 1 m 1 m nátěru nátěru je 150 Kč. Kolik stojí natření střechy kopule? Výsledek zaokrouhlete na je 150 Kč. Kolik stojí natření střechy kopule? Výsledek zaokrouhlete na stovky Kč. Úloha stovky 3 Kč. Zvolte Poznámka: závěr Počítejte se všemi s správnými hodnotou tvrzeními. π = 3,14. Jestliže Řešení: se 8 500 průměr Kč kruhu zvětší třikrát, pak se jeho A) Řešení: poloměr 8 500 Kč zvětší 3krát, ovod se zvětší 3krát a osah se zvětší 3krát B) poloměr zvětší 3krát, ovod se zvětší 3krát a osah se zvětší 9krát C) Úloha poloměr zvětší 9krát, ovod se zvětší 9krát a osah se zvětší 9krát D) Na polici poloměr stojí akvárium zvětší 3krát, tvaru ovod krychle, se do zvětší něhož 6krát se a vejde osah 7 se l vody. zvětší Tloušťka 9krát skla akvária je 5 mm. Jakou plochu na polici plochu akvárium na polici zaírá? akvárium zaírá? A) 30 dm A) B) 30 dm 90 dm B) C) 90 dm 900 cm 7. C) D) 900 Stereometrie cm 961 cm D) 961 cm Úloha Úloha 1 3 Jedna Silniční z kopulí válec má hvězdárny průměr 10 M. Koperníka cm a šířku v 1,75 Brně m. má Kolik tvar m poloviny uválí za kulové pět otočení? plochy Výsledek o průměru zaokrouhlete 6 m. Náklad na na m. 1 Úloha m 3 Poznámka: nátěru je 150 Kč. Kolik stojí natření Počítejte s hodnotou π = střechy kopule? Výsledek zaokrouhlete na 3,14. stovky Silniční Kč. válec má průměr 10 cm a šířku 1,75 m. Kolik m uválí za pět otočení? Výsledek zaokrouhlete na m. Poznámka: Řešení: 33 Počítejte m s hodnotou π = 3,14. Řešení: 33 m Řešení: 8 500 Kč Úloha Na polici stojí akvárium tvaru krychle, do něhož se vejde 7 l vody. Tloušťka skla akvária je 5 mm. Jakou plochu na polici akvárium zaírá? 16 A) 30 dm B) 90 dm C) 900 cm D) 18 961 cm Úloha 3