Řešení Grellingova heterologického paradoxu

Řešení Grellingova heterologického paradoxu Jiří Raclavský Úvod Grellingův heterologický paradox patří mezi sémantické paradoxy a ty se týkají klíčových sémantických pojmů jako je pravdivost, význam, denotace, reference. Ačkoli nejznámějším a nejzkoumanějším z nich je paradox lháře, heterologický paradox se svou svízelností lhářskému paradoxu téměř vyrovná. Přesto se vyskytuje méně pokusů o jeho řešení. Svérázné postavení způsobuje i to, že žádný z legendárních řešitelů sémantických paradoxů (Russell, Tarski který je považován alespoň za řešitele lhářského paradoxu, Kripke proponent parciálnosti pravdivostního predikátu) se řešení heterologického paradoxu nikde nevěnoval. Podíváme-li se na další dominantní přístupy, nevěnovali se mu ani parakonzistentisté a ze známých kontextuálních či revizních přístupů je k ruce jen řešení Simmonse. Řešení, které níže předkládám já, je založeno na některých poznatcích Pavla Tichého a jeho rámci explikace. Sám Tichý se věnoval pouze dvěma druhům lhářského paradoxu (k tomuto viz Tichý 2008, resp. Raclavský 2007); rodina lhářských paradoxů je prozkoumána v (Raclavský 2008); hutné podání řešení palety sémantických paradoxů je v (Raclavský 2008b). Zadání heterologického paradoxu: výraz je heterologický právě tehdy, když značí (vyjadřuje) koncept (často se uvádí meaning ) determinující ( defining ) vlastnost, do jejíž extenze tento výraz nenáleží; výraz je autologický právě tehdy, když do takové extenze náleží. 1 Například mnohoslabičný je výraz autologický, neboť denotuje vlastnost, do jejíž extenze náleží; výraz jednoslabičný je heterologický. 2 Jak známo, do paradoxu upadneme přezkoumáním, zdali je výraz heterologický sám heterologický. V další části této sekce se podívejme na vybraná řešení Grellingova paradoxu. Je pozoruhodné, že mnoho doposud předložených řešení upřelo predikátu heterologický jakýkoli význam a to navzdory tomu, že jako heterologické určité výrazy smysluplně klasifikovat jistě lze, tudíž příslušný pojem definovatelný být musí. Příznačný je 1 Formulace vychází z původního textu (Grelling, Nelson 1908) odtud i někdejší název Grelling-Nelsonův paradox. Je zajímavé, že zadání v (Grelling 1936) obsahuje explicitní zmínku o jazyce, v němž má výraz onen rys mít. Nejen Grellingem nebyla tato záležitost náležitě přezkoumána, bude však pečlivě prošetřena mnou. 2 Jak níže nahlédneme, přechýlení k hovoření o vlastnostech, nikoli o konceptech-významech, je v pořádku, jde pouze o přechýlení z úrovně významu na úroveň denotace. Grellingův paradox tedy může být reformulován pomocí obratu denotuje vlastnost takovou, že, popř. referuje na třídu takovou, že. 1

příspěvek Georga Henryka von Wrighta (1960), který nejprve předpokládá definiční ekvivalenci, že výraz je autologický právě tehdy, když značí koncept, pod který spadá. Zcela přirozeně pak definuje, že výraz je heterologický právě tehdy, když není autologický. Nejprve dosazuje do definienda: výraz je heterologický právě tehdy, když neplatí, že (ten výraz) značí koncept, pod který spadá. Za výraz dosadí na obou stranách definice heterologický : heterologický je heterologický právě tehdy, když neplatí, že heterologický spadá pod koncept heterologický, tj. když není heterologický. 3 Nyní Ramsey uvažuje, že pokud heterologický značí koncept, pod který výrazy spadají právě tehdy, když nejsou autologické, tak heterologický je heterologický právě tehdy, když heterologický není heterologický. Předpokládáme-li pravdivost této implikace tvaru (p (q q)) a zákonitou pravdivost (q q), odvodíme jako pravdivé p. Tudíž definiční ekvivalence zavádějící koncept heterologický neplatí, čili výraz heterologický žádný koncept neznačí. Dle mého soudu je to jistě pochybné řešení, protože definice uplatňující v definiens negaci definienda nějakého konceptu běžně definují koncept tomu konceptu komplementární (srov. s: číslo n je liché = df..., číslo n je sudé = df n není liché). Diskutované linii uvažování oponují vzácně se vyskytující statě, které se paradoxu zbavují připouštěním, že koncept heterologický nemusí určitý výraz rozřazovat ani do extenze, ani do antiextenze vlastnosti heterologický, tedy že příslušný predikát je tzv. parciální. Příkladem je vlastně příspěvek Roberta L. Martina (1968), podle něhož není věta Heterologický je heterologický tzv. sémanticky korektní, neboť nemůžeme rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá. 4 Intuice je to jistě zajímavá, nicméně tu chybí přesvědčivé logické zdůvodnění. Svéráznou linii představují pařešení. Například Laurence Goldstein (2003) definuje heterologický jako predikát, který se pravdivě aplikuje na sebe právě tehdy, když se na sebe pravdivě neaplikuje a zároveň se pravdivě aplikuje na jakýkoli predikát, který se na sebe pravdivě neaplikuje. Takováto definice pochopitelně definicí není, protože pravá strana obsahuje jako levou část konjunkce negaci definienda. Goldsteinovou bezprostřední konkluzí je, že slovu heterologický tak nebyl dán žádný význam, tudíž i věty jako Jednoslabičný je heterologický či Heterologický je heterologický jsou bez významu. Námitka je nasnadě: Goldsteinova definice není původní definicí, protože ta neobsahuje v definiens negaci definienda. Jari Palomäki (2000) zase shledal, že heterologický 3 Až potud to zopakoval Peter M. Sullivan (2003) a hned uzavřel, že heterologický tudíž nemá žádný význam. 4 Goldstein (1981) v zásadě z podobných důvodů, ovšem s větším vyzdvihováním kategorické chyby, přidal, že definice heterologičnosti je tedy významuprostá, takže heterologický je bez významu. 2

nedenotuje vlastnost výrazů, ale vlastnost vlastností výrazů a proto se na sebe neaplikuje. To je však zjevný omyl: heterologický denotuje vlastnost výrazů. Jiné podivné řešení předložil Dale Jacquette (2004), neboť celou definici heterologického omezil tak, že výrazem, na který se má predikát heterologický aplikovat, nesmí být sám výraz heterologický. To je však typickým projevem ad hoc řešení podstata problému není vyšetřena, zato je ale bráněno nepříznivým následkům ad hoc restrikcí. 5 Kontextualisté se zase vzdávají pevného významu zjevně neindexických výrazů. K málo známým patří Jay Newhard (2005), podle níž je heterologický indexický výraz s nekonstantním kaplanovským charakterem. Podstatně rozvitější přístup předložil Keith Simmons (1993), který uvažuje kontextuální proměnlivost významu výrazu heterologický. K tomuto rozvinul specifickou formální pragmatiku, která vyobrazuje, jak je význam stabilní až do výskytu výrazu heterologický v problémovém kontextu, kdy dojde ke změně významu. Přístupy, které se vzdávají absolutní totálnosti toho, že heterologický musí patřit do extenze či antiextenze vlastnosti denotované jediným predikátem heterologický jsou pochopitelně přístupy hierarchické. Za Tarského se k paradoxu vyjádřil Scott Soames (1999, s. 83), ovšem pouze předvedl, že jazyk nesmí obsahovat (coby v něm smysluplný) predikát heterologický, protože jinak bychom obdrželi kontradikci. Pravá diagnóza patologičnosti onoho predikátu tedy chybí a zákaz tak vyznívá ad hoc. Russellovi vlastní způsob řešení paradoxu předložil jako první Frank P. Ramsey (1990; původně 1925). Propoziční funkce (v Russellově smyslu, jde tu tedy o strukturovanou vlastnost ), že výraz n je heterologický, je definičně ekvivalentní propoziční funkci H, že existuje prvořádová propoziční funkce φ, kterou n značí a přitom n ji nemá. Hodnotou proměnné φ ale sama H být nemůže, protože H je propoziční funkce druhořádová. Toto řešení kterému se pro případ řešení paradoxu lháře vyčítá těžkopádnost a bytí ad hoc později zopakoval Irving M. Copi (1950). Copi předložil i alternativní variantu, která se odvíjí od jedné Russellovy poznámky o hierarchiích jazyků. Následkem tohoto je v diskusích zvykem mylně odsuzovat Russellovo řešení teorií typů za umělost indexování predikátů ( heterologický 1, heterologický 2,...), což je obyčejně považováno za znak Tarského hierarchií. Vidíme, že kolem Grellingova paradoxu je značný zmatek. Řešení, které předložím níže, se vyhne zjevně pochybným extrémům uváděným výše (především je koncept heterologičnosti dobře definovatelný). Bude odlišena parciální a totální varianta daného 5 Pro srovnání uvažujme ad hoc záchranu naivního pravdivostního T-schématu (věta V je pravdivá = df V) tím, že jej omezíme na ty výrazy či věty, které neobsahují problémové predikáty jako třeba nepravdivý. 3

predikátu; první varianta v jistém smyslu potvrzuje někdejší Martinovu intuici, druhá je však zesílenou variantou. Řešení paradoxu pro obě varianty plyne z důkladného rozboru sémantických pojmů (mětí významu, denotace, reference) a pojmu jazyka. Uvidíme, že příslušné hierarchie plnokrevných metajazyků rozhodně nejsou ad hoc, neboť jsou pro ně závazné logické důvody. Proč je otázka jazyka tak důležitá? Protože to, co je heterologické v jednom jazyce, přece nemusí být heterologické v jazyce jiném; heterologický je tudíž relační predikát aplikovatelný na dvojice výraz-jazyk. Transparentní intenzionální logika jako nástroj explikace Naše explikace přirozeného jazyka vychází z explikačního rámce navrženého Tichým a uplatňuje jeho Transparentní intenzionální logiku, TILku. Ta je jakýmsi objektuálně pojímaným λ-kalkulem pro specifickou rozvětvenou teorii typů. Vysvětlení, obhajobu i detaily viz v (Tichý 1988). V základu je objektová báze B sestávající se ze čtyř navzájem disjunktních typů. Individua jsou prvky ι, pravdivostní hodnoty (T a F, Pravda a Nepravda) prvky ο, reálná čísla (sloužící i k reprezentaci časových okamžiků) prvky τ, možné světy prvky ω. Funkce nad B jsou rovněž tříděny do typů. Intenze jsou funkcemi z možných světů do chronologií entit určitého typu ξ, jsou to objekty typu ((ξτ)ω) (což zkracujeme na ξ τω ). K nejdůležitějším intenzím patří propozice (hodnotami jsou pravdivostní hodnoty), tj. ο τω -objekty, dále vlastnosti ξ-objektů, tj. (οξ) τω -objekty, potažmo n-ární vztahy, (οξ...ξ) τω -objekty. Rozsah vlastnosti v určitém možném světě W, časovém okamžiku T, je zván její extenzí, komplementem této třídy je antiextenze (v důsledku parciality obou těchto tříd nemusí být jejich sjednocení univerzální třídou objektů daného typu ξ; srov. Raclavský 2007). Je dodržován funkcionální princip bludného kruhu: žádná funkce není svým argumentem či hodnotou (resp. součástí argumentu či hodnoty). Kromě těchto množinových objektů disponuje TILka i jistými hyperintenzionálními entitami, kterým dal Tichý jméno konstrukce. Jde o abstraktní (často strukturované) procedury, které konstruují ploché množinové objekty. Konstrukce se dělí do šesti druhů. Konstantám odpovídají jednokrokové procedury zvané trivializace ( 0 X, kde X je jakákoli entita). Proměnným coby znakům odpovídají proměnné coby konstrukce. Aplikacím odpovídají kompozice ([FÃ], přičemž Ã je řetězec konstrukcí, F je typicky konstrukce nějaké funkce; kde C je nějaká konstrukce, [[C w] t] zkracuji na C wt ). λ-abstrakcím odpovídají uzávěry (např. intenze jsou konstruovány uzávěry tvaru λw [λt [...]], což zkracuji na λwλt [...]). Dále 4

tu jsou konstrukce druhu jednoduché exekuce, 1 X, jež nechávají konstruovat X, a dvojité exekuce, 2 X, jež nechávají konstruovat to, co konstruuje konstrukce X (je-li X konstrukce). Některé konstrukce jsou v-nevlastní, nekonstruují v odvislosti od valuace v nic. Kompozice [FÃ] je v-nevlastní, pokud à ne-v-konstruuje argument, pro nějž je definována funkce v- konstruovaná konstrukcí F (je-li tou F vůbec nějaká funkce v-konstruována). Jednoduchá exekuce 1 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce, nebo je to v-nevlastní konstrukce. Dvojitá exekuce 2 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce, nebo pokud to, co X v- konstruuje, není konstrukce, nebo je to v-nevlastní konstrukce. Z definice konstrukcí plyne, že konstruuje-li konstrukce nějaký objekt, tak tento je odlišný od ní samé. Konstrukční princip bludného kruhu: žádná konstrukce nekonstruuje samu sebe (či konstrukci, která ji obsahuje coby podkonstrukci). Následkem uplatnění tohoto principu je zcela přirozeně roztřídění konstrukcí do řádů, tj. typů * k, z nichž každý je disjunktní vzhledem k jakémukoli jinému typu. Např. konstrukce-proměnná c 1 konstruující prvořádové konstrukce (z typu * 1 ) nekonstruuje též samu sebe; c 1 je druhořádovou konstrukcí (patří do typu * 2 ), sama je konstruována až např. proměnnou c 2, která je třetiřádová. Funkce z či do konstrukcí (i z či do dalších objektů nad bází) jsou rovněž typově utříděny Tichého rozvětvenou teorií typů. Formulujme ještě konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu: žádná konstrukce nekonstruuje funkci, která obsahuje, nebo nějak jinak předpokládá, ji samu. 6 Sémantické schéma. To, co výraz E (v jazyce J) vyjadřuje, je významem E (v J), přičemž ten je explikován určitou konstrukcí. Objekt konstrukcí konstruovaný je chápán jakožto denotát daného výrazu E (v J). Pokud výraz denotuje intenzi, hodnota této intenze v nějakém světě-čase je referent tohoto výrazu E (v J); u výrazů, které nedenotují intenze, jejich referent ztotožňujeme s denotátem. Uveďme už teď, objekty jakého typu konstruují námi často používané konstrukce. Proměnné možných světů, w (či w ), resp. časových okamžiků, t (či t ), konstruují ω-objekty, resp. τ-objekty. Proměnná n konstruuje reálná čísla (τ-objekty); budu předpokládat běžnou praxi, že výrazy jsou v systému explikace reprezentovány přirozenými čísly (náležícími do τ) získanými gödelizací. Konstrukce c k probíhá typ * k, konstruuje tedy k-řádové konstrukce. Negace je klasickou unární pravdivostní funkcí, (οο)-objektem, konjunkce či disjunkce pak binární, jsou to (οοο)-objekty. Rovnost (identita) je známou relací mezi ξ-objekty, tj. (οξξ)- objektem. Konstrukce identity, konjunkce i disjunkce vepisuji infixně; místy budu pro 6 Formulace principů bludného kruhu se vyskytly již v autorových níže citovaných pracích o paradoxech a pravdivosti. První formulace principu bludného kruhu proslavil Russell. 5

vynechávání dvojic závorek užívat tečkovou konvenci. Existenční kvantifikátor reprezentuje neprázdnou podtřídu ξ-objektů, tj. (ο(οξ))-objekt. Seznamem ( / zkracuje konstruuje objekt typu ): w / ω, t / τ, n / τ, c k / * k, 0 / (οο), 0 / (οοο), 0 / (οοο), 0 = / (οξξ), 0 / (ο(οξ)) (konkrétní typ ξ je patrný z kontextu). Hierarchie jazyků coby kódů Všeobecně se má za to, že jazyk je systém prostředků, které umožňují sdílet určité informace-zprávy mezi jeho uživateli. Materiálně adekvátním modelováním jazyka pak je zobrazení z výrazů do významů, kód. 7 Je samozřejmé, že žádný model není plně totožný s modelovaným, každý model je idealizací a to vzhledem k cílům explikace. Protože pro nás jsou důležité otázky komunikování významů, modelovat jazyk coby kód je plně oprávněné. Při tomto abstrahujeme od pragmatických funkcí jazyka, jeho sociální povahy, atd. Ideu jazyka coby kódu, fixní funkce z výrazů do významů, nepopírá někdy uvažovaná nahodilost vazby výrazu s významem, neboť nahodilost je perfektně modelovatelná coby modální a temporální podmíněnost. Protože za významy uvažujeme konstrukce, je zřejmé, že funkce z (gödelizovaných) výrazů do konstrukcí se různí nejen tím, jaké konstrukce jsou přiřazeny jakým výrazům, ale také tím, konstrukce jakého řádu jsou v oboru hodnot kódu. Neboli tu jsou prvořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do prvořádových konstrukcí, tj. (* 1 τ)-objekty, dále jsou tu druhořádové kódy, funkce z výrazů-čísel do druhořádových konstrukcí, tj. (* 2 τ)-objekty, atd. až n-řádové kódy. V souladu s konstrukčním principem bludného kruhu nemůže být např. konstrukce obsahující proměnnou konstruující např. prvořádové konstrukce sama prvořádová, musí být druhořádová (či řádem vyšší). Takže typ * 2 je bohatší než * 1 ; to také znamená, že druhořádový kód může být bohatší než kód prvořádový. Níže budeme uvažovat prvořádový kód J 1 a k němu přiléhající druhořádový kód J 2 (a vyšší) který je ve srovnání s J 1 bohatší např. o konstrukce konstruující prvořádové konstrukce z oboru hodnot J 1. Takže k-řádový kód J k umožňuje komunikovat některé konstrukce, které nemohou být komunikovány prostřednictvím k 1-řádového kódu J k 1. Příkladem takovýchto konstrukcí nekomunikovatelných pomocí J k 1 je k-řádová konstrukce 0 J k 1, která konstruuje k 1-řádový kód J k 1, tj. funkci z čísel-výrazů do k 1-řádových konstrukcí. Vskutku nemůže být k řádová konstrukce 0 J k 1 hodnotou či argumentem (či podkonstrukcí něčeho z toho) k 1-řádového kódu J k 1 žádná konstrukce nekonstruuje zobrazení, jehož by byla hodnotou či 7 Tuto myšlenku zastával např. i Tichý (Tichý 1988, 44). K podání jeho (a také mého) pojetí jazyka viz (Raclavský 2006). 6

argumentem (konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu). Takovýto model plně odpovídá naší představě, že účelem jazyka-kódu je diskutovat jemu vnější objekty; z druhé strany: účelem jazyka-kódu není diskutovat sebe sama. Komentovat nějaký kód či vlastnosti toho kódu, znamená být k tomuto v metapozici, být vně toho. Hierarchie kódů jsou při explikaci jazyka tedy vlastně přirozené. 8 Povšimněme si alespoň zásadních odlišností od Russella a Tarského. Russell neproponoval hierarchie jazyků, hierarchizoval strukturované propozice (a atributy); vztah k jazyku jako takovému tedy nebyl jasný. Tarski sice postuloval hierarchii jazyků, ale těm vtiskl ryze syntaktický výklad a hierarchizace tak vyšla ad hoc. Tichý se sice přihlášení k nepopulárním metajazykům z opatrnosti vyhnul, nicméně plnokrevné metajazyky zlatá střední cestu mezi extrémy Russella a Tarského jsou prakticky bezprostředním důsledkem Tichého myšlenek v (Tichý 1988, 44 a kap. 5), každopádně se k nim hlásím já. Kromě predikátu být pravdivý, jemuž se zde věnovat nebudeme, jsou dalšími predikáty, které denotují k jazyku vztažené vztahy, i vztahy významu, denotace, reference (zaměříme se jen na vybrané z nich). Žádný takovýto sémantický vztah pro určitý jazyk není definovatelný v rámci onoho jazyka, kódu. Tato skutečnost je zcela přirozená: uvažme, jak absurdní by byl kód, jehož výrazové prostředky by vyzrazovaly, co je významem (denotací, referencí) znaků tohoto kódu, tedy že by tak na sebe kód prozrazoval to, co vlastně kóduje. Nyní uvažme, že ξ a ζ jsou navzájem odlišné typy (typicky je ξ typ intenzí do ζ- objektů), přičemž proměnné d a r probíhají tyto typy. V závorkách uvádíme alternativně uplatnitelné koncepty. Následující konstrukce konstruují rozmanité parciální vztahy 0 VýznamV ( 0 VyjádřenéV, 0 SdělenéV) / (* k τ(* k τ)) τω, 0 DenotátV / (ξτ(* k τ)) τω, 0 ReferentV I / (ζτ(* k τ)) τω, resp. 0 ZnamenatCoV P ( 0 VyjadřovatCoV P, 0 SdělovatCoV P ) / (οτ* k (* k τ)) τω, 0 DenotovatCoV P ( 0 JmenovatCoV P ) / (οτξ(* k τ)) τω, 0 ReferovatnaCoV PI / (οτζ (* k τ)) τω ). Definice: 9 [ 0 VýznamV wt n 0 J k ] *k [ 0 J k n] [ 0 DenotátV wt n 0 J k ] ξ 2 [ 0 J k n] [ 0 ZnamenatCoV P wt n c k 0 J k ] [c k 0 = [ 0 J k n] ] [ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ] [d 0 = 2 [ 0 J k n] ] 8 Další poznámky a souvislosti viz v (Raclavský 2008). Poznamenávám ještě, že v kódech, které uvažuji výše, jsou v syntaktické komponentě (oboru argumentů kódů) pro úplnost všechny výrazy nad abecedou explikovaného daného jazyka; neboli např. výraz denotovat (v J k ) je jak v J k, tak v jakémkoli přiléhajícím kódu nižším či vyšším. 9 Definice chápu jako dedukční pravidla v Tichého systému dedukce (srov. příslušné statě v Tichý 2004). Konstrukce po stranách jsou navzájem odvoditelné, přičemž obě v-konstruují (v-konstruují-li) týž objekt; není-li indikováno u jinak, jde o objekt typu pravdivostních hodnot. Uzavřenou (η-redukovanou) C, přičemž C je konstrukce nalevo od, považuji za význam takto specifikovaného predikátu C. 7

[ 0 ReferentV I wt n 0 J k ] ζ 2 [ 0 J k n] wt [ 0 ReferovatnaCoV PI wt n r 0 J k ] [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ] V oněch definiens si všimněme, že konstrukce [ 0 J k n] dodává význam výrazu n v J k, 2 [ 0 J k n] dodává denotát n v J k, 2 [ 0 J k n] wt dodává referent n (denotujícího intenzi) v J k. Řešení heterologického paradoxu Pro mé řešení Grellingova heterologického paradoxu je klíčové zjištění, že navzdory dojmu vzbuzovanému zvláště příkladem s jednoslabičný a mnohoslabičný se vlastnost být heterologický netýká syntaktických rysů výrazů, ale jejich sémantických rysů, které jsou zákonitě jazykově relativní. Slovní parafráze níže podaných definic jsou tyto: výraz n je autologický (ve w, t) v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n náleží výraz n je heterologický (ve w, t) v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n nenáleží Výraz konstrukce je tzv. typový indikátor, což je výraz, který pouze indikuje typ objektu denotovaného výrazem typicky následujícím. Typovým indikátorem je i vlastnost výrazů, indikuje denotování objektu typu (οτ) τω (mj. tato vlastnost má konstantní průběh hodnot). Typové indikátory nejsou v námi uvažovaném explikačním rámci pro nás sémanticky plnohodnotnými výrazy, neobjevují se tudíž v analýze-explikaci významu (viz Raclavský 2006a). Poněkud zjednodušené významové pendanty obou slovních definic jsou: 10 [ 0 Autologický 1 wt n J 1 ] [ 2 [ 0 J 1 n] wt n] [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] [ 0 [ 2 [ 0 J 1 n] wt n]] (či prostě: [ 0 [ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ]]) Konstrukce [ 0 J 1 n] konstruuje konstrukci, která je významem n v J 1. Dvojitá exekuce nechává tuto konstrukci zkonstruovat příslušnou vlastnost, jejíž hodnotou v určitý možný svět a čas je jistá třída, do níž n náleží či nenáleží. Abychom lépe dostáli korespondenci s typovými indikátory, odlišíme část pro konstrukci a část pro vlastnost výrazů. Toho dosáhneme tím, že nenecháme zkonstruování vlastnosti na dvojité exekuci, ale uplatníme samostatný koncept 0 KonstruovatCo (φ*1) / (φ* 1 ) (parciální funkce z konstrukcí do vlastností výrazů, zkráceně φ- 10 0 Autologický 1 i 0 Heterologický 1 / (οτ(* 1 τ)) τω, tj. vztahy mezi výrazy a kódy ( 1 zde indikuje řád pro druhý člen argumentu). Analýzy predikátů být věta, popř. být výraz, budeme ignorovat, vystačíme si jen s n; konjunkcí připojitelná podmínka, že n je věta, není pro řešení paradoxu relevantní. Dále: v definiens užívám definiens z [ 0 ExtenzeČeho wt f] f wt a [ 0 NáležetDo n f wt ] [f wt n], přičemž f / (οτ) τω, 0 ExtenzeČeho / ((οτ)(οτ) τω ) τω, 0 NáležetDo / (οτ(οτ)); přejato z (Raclavský 2007). 8

objektů). Načež [ 0 J 1 n] vede k indikované konstrukci, [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] k indikované vlastnosti. Definiens jsou ekvivalentní těm podaným výše: 11 [ 0 Autologický 1 wt n J 1 ] [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] wt n] [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] [ 0 [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] wt n]] Je zjevné, že heterologický 1, či lépe heterologický 1 v J 1, nemůže mít význam v J 1. Výraz heterologický 1 v J 1 má význam až v J 2 (či vyšším). 12 Když prostředky J 2 uvažujeme o heterologičnosti výrazu heterologický 1 v J 1 v J 1, zjistíme, že v něm nemá význam a proto nemůže splnit podmínku z definiens. Neboli heterologický 1 v J 1 nespadne do extenze vlastnosti heterologický, která je determinována konstrukcí, kterou vyjadřuje heterologický 1 v J 1 v J 2. Podobně nespadne ani do její antiextenze, na kterou v J 2 referuje autologický 1 v J 1 (čili oba příslušné predikáty jsou parciální). (Analogicky to funguje pro vyšší řády.) V souladu s naším názorem jsou však jednoslabičný a mnohoslabičný v extenzi a v antiextenzi vlastnosti heterologický. Nyní se dostáváme k nezbytnosti odhalit zdroj názoru o údajné nedefinovatelnosti pojmu heterologický. Jsem přesvědčen, že příčina je v chybném vyhodnocení definice, která začíná (jak je pro nemálo návrhů příznačné) existenčním kvantifikátorem, neboli pokud se jedná ο totalizující variantu (značeno T ) obou pojmů. Vlastně takto budeme diskutovat zesíleného Grellinga (srov. Herzberger 1981); ukáži, že můj přístup se s ním opět hladce vyrovná. Uvažme nejprve návrh, kdy definiens slovně formulováno říká, že neexistuje vlastnost f, kterou výraz n denotuje v J 1 a do jejíž extenze n náleží: [ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] [ 0 [ 0.λf [ [f 0 = [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]]] 0 [f wt n] ]]] Když je pomíjena vztaženost ke kódu, uvažuje se, že existuje nějaká vlastnost, kterou výraz heterologický denotuje, přičemž do její extenze nenáleží. Aby byla zachována 11 Avšak se zásadním rozdílem, že tyto jsou druhořádovými konstrukcemi, kdežto ty předchozí jsou konstrukcemi třetiřádovými protože 0 J 1 konstruující funkci do prvořádových konstrukcí je druhořádová, ovšem dvojitá exekuce obsahující 0 J 1 coby podkonstrukci je třetiřádová. Kvůli zajištění nižšího řádu budeme níže uplatňovat konstrukci 0 KonstruovatCo (φ*1) namísto dvojité exekuce, byť ta umožňuje obecnější definice sémantických pojmů, neboť nedochází k omezení na typ cílového objektu jako třeba φ. 12 Významem heterologický v J 1 v J 2 je druhořádová konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]; významem heterologický 1 v J 2 je λwλt.λnj 1 [ 0 Heterologický 1 wt n j 1 ], po η-redukci 0 Heterologický 1 (přičemž j 1 probíhá typ (* 1 τ)). 13 Rekonstrukci Russellovi vlastnějšího řešení, tedy pomocí rozvětvené teorie typů, napadá Copi (1950) aplikací axiómu reducibility, protože tento je s to zavést nízkořádový ekvivalent vysokořádové propoziční funkce. (Překvapivě si možnost tohoto vyvrácení Russellova řešení neuvědomil Alonzo Church v 1978.) Obdobná aplikace (konstrukční varianty) axiómu reducibility však nedává, kvůli relativizaci k jazykům, pro můj přístup důvod k vyvrácení (prvořádová konstrukce λwλt.λn [ 0 Het wt n] by konstruovala právě tutéž vlastnost jako jí ekvivalentní výše-řádová konstrukce, řekněme λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]). 14 Eliminací rozvětvenosti ve prospěch jednoduché teorie typů Ramsey (1990) přišel o russellovské řešení. Také přišel o rozdíl mezi úrovní významu a denotace, následkem čehož tvrdí, že význam heterologický kolísá a to takříkajíc mezi levou a pravou stranou naší definice. Paradoxu se vyhne jen tím, že sám ad hoc volí, kdy heterologický znamená levou stranu (dle nás význam) a kdy pravou (dle nás ekvivalent významu). 13 14 9

komplementarita k autologický, negace je přesunuta z druhé části konjunkce dopředu před existenční kvantifikátor (jak je tomu v mnou uváděném definiens). Protože heterologický podmínku, že existuje vlastnost, kterou denotuje a přitom náleží do její extenze, nesplňuje, získáváme F, kterou negace mění na T. Jenže toto přece znamená, chybně vyhodnocujeme, že heterologický do extenze vlastnosti, kterou denotuje, přece jen náleží, takže výraz heterologický je vlastně autologický. A když definice heterologičnosti vede k tomu, že heterologický je heterologický a zároveň nikoli, definice heterologičnosti musí být, jak jsou mnozí přesvědčeni, odmítnuta. Ačkoli si mnohý teoretik ujasnil vztaženost k hierarchiím jazyků, je pro něho stále nesnadné nedopustit se téhož mylného závěru. Uvažuje, že neexistence vlastnosti, kterou heterologický 1T v J 1 v J 1 denotuje, obnáší, že existenční kvantifikátor vrací F, kterou negace obrací na T. Což je vyhodnoceno tak, že heterologický 1T v J 1 náleží do extenze vlastnosti heterologický. No a toto je opět chybně vyhodnoceno jako denotování vlastnosti, do jejíž extenze náleží, neboli autologičnost. Abychom se i této konfúzi vyhnuli, je třeba si jasně uvědomit, že totalizující varianty predikátů autologický 1T v J 1 a hlavně heterologický 1T v J 1 jsou následující. Autologické 1T v J 1 jsou výrazy významuplné v J 1 a náležící do extenzí jimi v J 1 denotovaných vlastností: [ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] [ [ 0.λc 1 [c 1 0 = [ 0 J 1 n]]] 0 [ 0.λf [ [f 0 = [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] ] 0 [f wt n] ]] ] Ovšem heterologické 1T v J 1 jsou výrazy, které takové nejsou neboli (po aplikaci De Morganova zákona) buďto v J 1 nejsou významuplné nebo nenáleží do extenzí jimi v J 1 denotovaných vlastností: [ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] [ [ 0 [ 0.λc 1 [c 1 0 = [ 0 J 1 n]]]] 0 [ 0 [ 0.λf [ [f 0 = [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] ] 0 [f wt n] ]]] ] Toto je poměrně dobře patrné i z následujících ekvivalentů: [ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] [ 0 Pravdivé πt wt [λw λt [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w t n]] ] [ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] [ 0 [ 0 Pravdivé πt wt [λw λt [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w t n]] ]] slovně: Je, resp. není, pravdivé πt, že.... Konstrukce 0 Pravdivá πt konstruuje vlastnost propozic (proto π ), (οο τω ) τω -objekt, která ve W, T přiřazuje pravdivostní hodnotu T propozicím majícím ve W, T hodnotu T, ostatním propozicím ovšem F, což zahrnuje 15 15 [ 0 BýtVýznamuplnýV wt n 0 J k ] [ 0.λc k [c k 0 = [ 0 J k n] ]], přičemž 0 BýtVýznamuplnýV/ (οτ(* k τ)) τω. Povšimněme si ještě, že obě konstrukce λwλt.λn [ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] a λwλt.λn [ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] konstruují vlastnost, kterou mají pouze výrazy významuplné v J 1 a které náleží do extenze jimi v J 1 denotovaných vlastností. 10

i případy propozic nemající ve W, T hodnotu žádnou ( T jako totální ). Tato vlastnost se odlišuje od parciální varianty, která propozici bez pravdivostní hodnoty nepřiřazuje ani T, ani F (příslušný predikát je tak redundantní a mj. proto nejde využít k tvorbě nějakého zesíleného Grellinga). (Blíže viz rigorózní pojednání o druzích pravdivosti, Raclavský 2008a.) Shrnuji, že také totalizující varianty obou predikátů jsou definovatelné. Další pozoruhodnou konfúzi spjatou s Grellingovým paradoxem plodí záměny druhořádové konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] (popř. třetiřádové konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 1 ]) s třetiřádovou λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]; vracíme se tedy k parciální variantě. Ten druhý koncept je samozřejmě definován takto: [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ] [ 0 [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 2 n]] wt n]] Jak už jsme nahlédli výše, příslušný Grellingův predikát nespadá ani do extenze, ani do antiextenze vlastnosti determinované konceptem λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. Konfúze ale vzniká, když se otážeme, zda do extenze či antiextenze vlastnosti konstruované konstrukcí λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ] náleží výraz heterologický 1 v J 1. Tento výraz v J 2 vyjadřuje konstrukci λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ], která konstruuje jistou vlastnost H 1. To, kterou přesně vlastností je H 1, poznáme z definiens pro λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]. Už víme, že do její extenze (a ani do její antiextenze) sám výraz heterologický 1 v J 1 nenáleží. Protože však výraz heterologický 1 v J 1 nenáleží (ve smyslu není pravda, že náleží) do extenze jím denotované vlastnosti, náleží do extenze vlastnosti H 2, kterou konstruuje λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. (Analogické platí pro autologický 1 v J 1, což je výraz náležící do extenze H 2.) Neboli vlastnost H 2, kterou denotuje až predikát heterologický 2 v J 2, má extenzi bohatší než vlastnost H 1. Analogicky: H 3 denotovaná predikátem heterologický 3 v J 3 má extenzi bohatší než vlastnost H 2. Tato skutečnost přirozeně koresponduje větší bohatosti metajazyka vzhledem k objektovému jazyku tedy že komunikuje konstrukce, které determinují funkce, které nebyly v dosahu nižšího jazyka. Ač tedy bývá Grellingův paradox podceňován, množstvím matoucích jevů jistě patří k nejzajímavějším sémantickým paradoxům. Tato skutečnost nepřekvapí, když si uvědomíme, že Grelling vytvořil svůj paradox na základě úvah nad vzorovým moderním sémantickým paradoxem, jímž je Russellův predikátový paradox (jak tento budu nazývat). Řešení Russellova predikátového paradoxu Russellův predikátový paradox (uvedený již v Russell 1996, původně 1903, kap. 10) je protějškem proslulého množinového Russellova paradoxu, který útočí na naivní pojem 11

množiny ( Obsahuje množina všech množin, co neobsahují samy sebe, samu sebe? ). Pod zkratkou R 1 budeme rozumět výraz predikát, který není sobě predikovatelný v J 1. (Čtenář sám lehko zjistí, jak údajně vzniká paradox.) Jak víme, monadický predikát denotuje (v J 1 ) vlastnost a tu vlastnost přisuzuje (predikuje) určitému objektu. Při analýze R 1 vynecháme analýzu výrazu predikát, protože podmíníme, že daný výraz denotuje (v J 1 ) vlastnost. Vztah predikování je přirozené chápat v totálním smyslu. Definice parafrázovaná slovně: predikovat vlastnost denotovanou v J 1 predikátem n objektu n = df je pravdivé πt, že n náleží do extenze vlastnosti denotované v J 1 predikátem n objektu n. Čili definujeme ( 0 Predikovat 1 / (οφτ) ωτ ): [ 0 Predikovat 1 wt [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] n ] [ 0 Pravdivé πt wt [λw λt [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w t n ]] ] Predikování sobě snadno dosáhneme tím, že namísto n užijeme opět n. Nyní definujeme ( 0 R 1 / (οττ(* 1 τ)) τω ): [ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ] [ 0 [ 0 Predikovat 1 wt [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] n] ]] Na základě jednoduché substituce je okamžitě vidět, že R 1 je přímý předchůdce totální varianty heterologický 1T : [ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ] [ 0 [ 0 Pravdivá πt wt [λw λt [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w t n]] ]] Tato podoba definice je mj. výhodná pro ty formulace Russellova predikátového paradoxu, v nichž jsou užity obraty jako není pravdivé, že se aplikuje na sebe. Nuže výraz R 1 nemá význam v J 1, význam (tj. λwλt.λn [ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ]) má až v J 2. Když prostředky J 2 uvažujeme o tom, zda R 1 je v J 1 sobě predikovatelný, tak vzhledem k absenci významu R 1 v J 1 dospíváme k závěru, že není pravda, že je sobě predikovatelný. Tudíž R 1 náleží do extenze vlastnosti nebýt sobě predikovatelný v J 1, kterou predikát R 1 denotuje v J 2 (popř. vyšším). Věta R 1 není sobě predikovatelný v J 1 je v J 2 pravdivá. Toto ale neznamená, že právě tato skutečnost obnáší paradoxní sebe-aplikovatelnost R 1. Literatura: COPI, I. M. (1950): The Inconsistency or Redundancy of Principia Mathematica. Philosophy and Phenomenological Research 11, 2, 190-199. GOLDSTEIN, L. (1981): Categories of Linguistic Aspects and Grelling s Paradox. Linguistics and Philosophy 4, 3, 405-421. GOLDSTEIN, L. (2003): Farewell to Grelling. Analysis 63, 1, 31-32. 12

GRELLING K., NELSON, L. (1908): Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti. Abhandlungenden der Fries schen Schule NS 2: 301-34. 16 GRELLING, K. (1936): The Logical Paradoxes. Mind 45, 180, 481-486. HERZBERGER, H. (1981): New Paradoxes for Old. The Proceedings of the Aristotelian Society, 107-123. CHURCH, Alonzo (1978): A Comparison of Russell s Resolution of the Semantical Antinomies with that of Tarski. Journal of Symbolic Logic 41, 4, 747-760. JACQUETTE, D. (2004): Grelling s Revenge. Analysis 64, 283, 251-256. MARTIN, R. L. (1968): On Grelling s Paradox. The Philosophical Review 77, 3, 321-331. NEWHARD, J. (2005): Grelling s Paradox. Philosophical Studies 126, 1, 1-27. PALOMÄKI, J. (2000): Solutions to Grelling s Paradox. In: T. Childers, J. Palomäki (eds.), Between Words and Worlds, Prague: Filosofia, 93-101. RACLAVSKÝ, J. (2006): Složení přirozeného jazyka z hlediska Transparentní intenzionální logiky. In: M. Zouhar (ed.), Jazyk z pohľadu sémantiky, pragmatiky a filozofie vedy, Bratislava: Veda, 78-98. RACLAVSKÝ, J. (2006a): Type Indicators. Pro-Fil 7, 2, http://profil.muni.cz/02_2006/raclavsky_type_indicators.pdf. RACLAVSKÝ, J. (2007): Defining Basic Kinds of Properties. In: T. Marvan, M. Zouhar (eds.), The World of Language and the World beyond Language (A Festchschrift for Pavel Cmorej), Bratislava: Filozofický ústav SAV, 69-107. RACLAVSKÝ, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost. Filosofický časopis 56. RACLAVSKÝ, J. (2008a): Explikace druhů pravdivosti. SPFFBU B53, 1. RACLAVSKÝ, J. (2008b): Explikace sémantických vztahů a řešení sémantických paradoxů. (ms.). RAMSEY, F. P. (1990): The Foundations of Mathematics. In: D. H. Mellor (ed.), Philosophical Papers. Cambridge UP, 164-225. RUSSELL, B. (1996): The Principles of Mathematics. W.W. Norton & Company. SIMMONS, K. (1993): Universality and the Liar. Cambridge UP. SOAMES, S. (1999): Understanding Truth. Oxford UP. SULLIVAN, P. M. (2003): A Note on Incompleteness and Heterologicality. Analysis 63, 277, 32-38. TICHÝ, P. (1988): The Foundations of Frege s Logic. Walter de Gruyter. TICHÝ, P. (2004): Pavel Tichý s Collected Papers in Logic and Philosophy. V. Svoboda, B. Jespersen, C. Cheyne (eds.), Dunedin: Otago UP, Praha: Filosofia. von WRIGHT, G. H. (1960): The Heterological Paradox. Commentationes Physico-Mathematicae XXIV 5. Helsinky: Societa Scientiarium Fennica. 16 Pro nedostupnost tohoto textu jsem se opíral o údaje v (Palomäki 2000); podobně pro (von Wright 1960). 13