STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné osy rotace kvádru v souřadné soustavě dané hlavními osami setrvačnosti. (3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. Výsledek ověřte měřením. (4) Měrně ověřte Steinerovu větu. 2. Teorie 2.1. metoda torzních kmitů. Pro měření momentu setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm lze použít metodu torzních kmitů. Spočívá v upevnění tělesa na torzní závěs. Při vychýlení z rovnovážné polohy začne těleso torzně kmitat s periodou T : (1) T = 2π D kde D je direkční moment vlákna a je moment setrvačnosti tělesa kolem osy procházející závěsem. Necháme - li na stejném závěsu kmitat těleso o známém momentu setrvačnosti T Pak dostaneme moment setrvačnosti prvního tělesa z poměru period T perioda prvního tělesa T T (perioda tělesa s momentem setrvačnosti T ): (2) = T 2 TT 2 T Jako referenční těleso byl použit válec, pro který platí: (3) T = 1 2 MR2 Aby nebyla deformace závěsu v krutu plastická, musí být výchylky menší než 90 2.2. momenty setrvačnosti vzhledem k různým osám. Označme momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k hlavním osám x = a y = b z = c Pak Moment setrvačnosti vzheledm k ose procházející těžištěm můžeme vyjádřit jako: (4) = vx 2 x + vy 2 y + vz 2 z Kde v x v y v z jsou složky jednotkového vektoru v souřadné soustavě spojené s hlavními osami tělesa. V případě, že chceme určit moment setrvačnosti podle tělesové úhlopříčky kvádru, budou složky vektoru v (v x je rovnoběžné s a,v y je rovnoběžné s b,v z je rovnoběžné s c ): a (5) v x = v b a 2 +b 2 +c 2 y = v c a 2 +b 2 +c 2 z = a 2 +b 2 +c 2 1
2 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 2.3. Steinerova věta. K ověření platnosti Steinerovy věty můžeme použít tyče, kterou nejprve necháme kývat jako fyzické kyvadllo, pro které platí: (6) T = 2π mgd Kde m je hmotnost tyče, je její moment setrvačosti g je místní tíhové zrychlení a d je vzdálenost středu tyče (těžiště) od osy otáčení. Steinerova věta udává vztah mezi momenty setrvačnosti kolem dvou rovnoběžných os, z nichž jedna prochází těžištěm (kolem ní je moment setrvačnosti 0 ) (7) 0 = md 2 Pokud bude moment 0 změřen metodou nezávislou na rovnici (6) a zároveň bude spolu s momentem splňovat Steinerovu větu, bude její platnost ověřena. 0 lze změřit pomocí vztahu (2). Pokud oním tělesem s momentem setrvačnosti T bude válec, pak platí: MR 2 (8) 0 = T 2 2T 2 T Kde M je hmotnost válce, R je jeho poloměr a T T je perioda torzních kmitů válce a T je perioda torzních kmitů tyče. Teoretická část byla zpracována dle [1]. 3. Měření 3.1. Moment setrvačnosti kvádru. Rozměry kvádru a, b, c i rozměry válce R (poloměr), byly měřeny šuplerou a mikrometrem (měření zaznamenáno v tabulce1). a = (127, 70 ± 0, 05) mm b = (63, 83 ± 0, 02)mm c = (19, 06 ± 0, 1)mm 2R = (108, 06 ± 0, 14)mm Hmotnost válce byla měřena na digitálních vahách. M = (911, 1 ± 0, 1)g Tabulka 1. Měření rozměrů kvádru a b c 2R mm mm mm mm 127,67 63,81 19,01 108,2 127,64 63,83 19,05 107,97 127,77 63,86 19,21 107,93 127,71 63,83 18,95 107,93 108,31 108,02 Na ručních stopkách bylo měřeno vždy 5 period torzních kmitů kolem každé z os kvádru a kolem tělesové úhlopříčky. Měření najdete v tabulce2. Chyby byly určeny jako směrodatné odchylky.t 0 je perioda válce torzně kmitajícího kolem osy kolmé na podstavu a procházející těžištěm, T 1 je perioda kvádru kolem osy rovnoběžné s rozměrem c, T 2 je perioda kvádru kolem osy rovnoběžné s rozměrem b, T 3 je perioda kvádru kolem tělesové úhlopříčky, T 4 je
perioda kvádru kolem osy rovnoběžné s rozměrem a. T 0 = (10, 93 ± 0, 03)s T 1 = (11, 70 ± 0, 05)s T 2 = (10, 52 ± 0, 06)s T 3 = (6, 97 ± 0, 07)s T 4 = (5, 78 ± 0, 07)s STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA 3 Tabulka 2. Měření period 5T 0 5T 1 5T 2 5T 3 5T 4 s s s s s 54,38 57,86 52,44 34,35 29,14 54,67 58,32 52,46 34,96 28,72 54,76 58,55 53,19 35,31 28,96 54,77 58,59 52,30 34,51 28,80 54,82 58,88 52,51 35,19 28,58 54,59 58,85 52,77 35,06 28,47 54,79 58,46 52,26 34,28 29,02 54,67 58,56 52,49 35,25 28,64 54,38 58,46 52,51 34,81 29,05 54,45 58,39 52,96 34,81 29,73 Moment sestrvačnosti válce dle(3) T = (1330 ± 3)10 3 kgm 2 Moment setrvačnosti kvádru kolem os procházejících těžištěm a rovnoběžných s jednotlivými rozměry a,b,c a u-tělesová úhlopříčka: 1 = c = (1, 524 ± 0, 016)10 3 kgm 2 2 = b = (1, 231 ± 0, 016)10 3 kgm 2 3 = u = (0, 541 ± 0, 011)10 3 kgm 2 4 = a = (0, 372 ± 0, 009)10 3 kgm 2 Dle vzorce (4) a (5) můžeme spočítat u : u spoctene = (0, 561 ± 0, 015)10 3 kgm 2 3.2. Měrné ověření Steinerovy věty. Vzdálenost těžiště tyče d od osy otáčení (při kývání kolem břitu jako fyzické kyvadlo) byla měřena šuplerou a hmotnost tyče m byla měřena na digitálních vahách. d = (157 ± 1)mm m = (288, 7 ± 0, 1)g Při kývání tyče jako fyzické kyvadlo bylo měřeno vždy 10 period, při torzních kmitech period 5. Měření je zaznamenáno v tabulce 3.
4 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ Tabulka 3. Měření torzní periody tyče T tor a periody tyče jako fyzického kyvadla T kyv 5T tor 10T kyv s s 80,12 9,47 80,20 9,45 79,98 9,40 80,12 9,23 79,52 9,51 79,89 9,42 80,05 9,41 80,06 9,40 80,11 9,37 80,08 9,53 T tor = (16, 00 ± 0, 04)s T kyv = (0, 942 ± 0, 008)s Z T tor vypočítáme pomocí vzorce (2) moment setrvačnosti tyče: tor = (2, 85 ± 0, 02)10 3 kgm 2 Z T kyv dle vzorce (6) vypočítáme kyv (za g byla dosazována hodnota pro prahu g = 9, 810): kyv = (10, 0 ± 0, 2)10 3 kgm 2 Tyto dva momenty setrvačnosti spolu souvisí skrz Steinerovu větu, kterou ověříme tak, že porovnáme spočtenou hodnotu tor = 0 s jeho nameřenou hodnotou 0spoctene = (2, 9 ± 0, 3)10 3 kgm 2 4. Diskuse Platnost Steinerovy věty byla ověřena, protože spočtení 0 a nameřené tor se v rámci chyby shodují. Velká chyba u spočteného 0 je zpsůsobena hlavně velkou chybu při měření d Toto měření by bylo možno zpřesnit použitím jehly, která by se zabodla do středu závitu a o kterou by se opřel jeden břit šuplery. Nic podobného jehle ovšem nebylo k dispozici, tudíž byla šuplera pouze přiložena tak, aby se jeden břit překrýval se středem závitu (místem, kde by se mělo nacházet těžiště tyče). Rozměr d byl měřen pouze na jedné straně tyče, drý bude předpokládám v rámci chyby stejný, nebot tyč, zavěšená ve středu, byla vyvážená. Též naměřený moment setrvačnosti válce vůči tělesové úhlopříčce a jeho spočtená hodnota se v rámci chyby shodují. Otázkou je, zda předpoklad, že hlavní osy tělesa jsou rovnoběžné s rozměry a,b,c je pravdivý. Pokud by těleso bylo nehomogenní, tyto hlavní osy by byly jinak položené.
STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA 5 5. Závěr Byly zěmřeny momenty setrvačnosti kvádru kolem hlavních os. 1 = c = (1, 524 ± 0, 016)10 3 kgm 2 2 = b = (1, 231 ± 0, 016)10 3 kgm 2 4 = a = (0, 372 ± 0, 009)10 3 kgm 2 A kolem tělesové úhlopříčky, kdy se naměřená hodnota shoduje v rámci chyby s hodnotou vypočtenou s předchozích tří momentů: 3 = u = (0, 541 ± 0, 011)10 3 kgm 2 u spoctene = (0, 561 ± 0, 015)10 3 kgm 2 Byla měrně ověřena Steinerova věta pomocí porovnání naměřeného 0 a spočteného 0 z momentu setrvačnosti kolem osy neprocházející těžištěm, ale posunuté o vzálenost d. tor = 0 namerene = (2, 85 ± 0, 02)10 3 kgm 2 0 spoctene = (2, 9 ± 0, 3)10 3 kgm 2 6. Literatura [1] Studijní text k fyzikálnímu praktiku 1: http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 117.pdf