Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Transkript

1 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem tělesa T {[,, T E : [, E, f(,} pod grafem funkce f(,, která je spojitá na, je měřitelná množina v E, le spočítat pomocí dvojného integrálu f(,dd. Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vhledem k rovině (, a proto le přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. ( f(, ddd Fubini [ f(, d dd dd f(,dd T ponámka : Vhledem k linearitě integrálu le tento postup obecnit pro tělesa, která jsou (ve směru os omeena shora i dola ve smslu f (, f (,. I de le ( přímo aplikovat Fubiniovu větu, níž dostáváme V f (, f (, dd. Vpočítejte objem tělesa omeeného plochami : Příklad ,,,, Řešení : je část trojbokého hranolu se ákladnou v rovině. Hranol je shora omeený rotačním paraboloidem s vrcholem [,,. V ( ddd ( + + : + + d d d ( ( [ + + d ( ( + ( [ + ( + 8 (,dd ( + +d d +( d 7

2 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 Příklad 66. ( +, 6( + Řešení : : ( + - rovnice paraboloidu 6( + - rovnice kuželové ploch ( + 6( + V π d d d (použijeme clindrické souřadnice rcosϕ ( + + r w r rsinϕ r r ϕ π w r r J r ( ( r rdw r [ π r r dr dϕ 6 π π Příklad 67., ( [ r π r w r dϕ dϕ r r(r r dr Řešení : Plocha je eliptickým paraboloidem s vrcholem v bodě [,,. ( V ddd d dd ( dd + rcosϕ r r sinϕ ϕ π J r π ( + ( r r dr dϕ π [ r r π Příklad 68. +, + Řešení : Plocha je ohraničena rotačním paraboloidem s vrcholem v počátku souřadnic a rovinou, která procháí počátkem. + + V ddd + + {[, E : + +} + + ( + + d dd 75

3 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 + + (+ dd [, + ( ( ( + + ( + +rcosϕ r +rsinϕ J r π ( / ϕ π ( r rdr dϕ [ π r r / ( π π 8 Příklad 69. Určete hmotnost koule, jestliže hustota (,, je rovna čtverci vdálenosti od středu koule. Řešení : Zvolíme počátek soustav souřadnic ve středu koule. Pak koule je popsána nerovnicí + + a a hustota (,, + +. m (,,ddd ( + + ddd π rcosϕcosϑ rsinϕcosϑ rsinϑ J r cosϑ ( π ( a π r a ϕ π π ϑ π π ( π ( a π [ π r cosϑdr dϑ dϕ π sinϑ π r r cosϑdr dϑ dϕ [ r 5 5 a πa5 5 Příklad 7. Určete hmotnost a -ovou souřadnici těžiště tělesa omeeného rovinami,,, + +, je-li hustota (,,. Řešení : Hmotnost tělesa při se číselně rovná objemu. Těleso je čtřstěn a jeho objem je roven objemu krchle o hraně. 6 m V 6 T M m, M (,,ddd ( ( d d d 76 ddd ( ( d d

4 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 [( d ( + d [ (( ( d +, T ( d Příklad7.Určete těžiště tělesa omeeného plochami +,, je-li hustota (,, k. Řešení : Těleso je rotační poraboloid, ted je smetrické vhledem k ose, proto jeho těžiště je na -ové ose, tj. T T. Těžiště T [,, T, kde T M m, m ( kddd kd dd + k + π k M ( dd + rcosϕ r rsinϕ ϕ π J r ( ( r rdr dϕ k π [r r kπ. ( ddd kd dd 8 [ + kπ, T,, + Příklad7.Určetetěžištětělesa {[,, E : + + a, },. Řešení : Těleso je homogenní polokoule se středem v počátku [,,, poloměrem a a je nad půdorsnou. Těžišě leží na ose. a a rcosϕcosϑ rsinϕcosϑ rsinϑ J r cosϑ π r dr r a ϕ π ϑ π T [,, T, kde T M m, V πa, m V πa, M ddd π π dϕ sinϑcosϑdϑ ( π( a [ r a [ ϕ π rsinϑ r cosϑdr dϕ dϑ [ sin ϑ π a π, T [,, 8 a Příklad7.Určete těžiště kužele se ákladnou + 6 a vrcholem v bodě [,,, je-li hustota (,, k. Řešení : Uvažovaný kužel je rotační, osa je jeho osou rotace. Meridiánem tohoto 77

5 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 rotačního kužele je část přímk +. Potom rovnice kuželové ploch je + T [,, T, kde T M m, m V π k 6 kπ. M (,,ddd kddd ( + [ + M k d dd k dd k ( dd rcosϕ ϕ π + rsinϕ r k π J r ( r rdrdϕ k π (6r 8r +r dr kπ [8r 8 r + r kπ, T [,, Příklad 7. Určete moment setrvačnosti vhledem k bodu [,, tělesa { + [,, E ; }, (,, k. + Řešení : + rovnice paraboloidu + + rovnice kulové ploch Ploch mají společnou osu rotace. od průniku leží v rovině kolmé na osu. Rovnici rovin dostaneme vřešením soustav: ( +( k kπ rcosϕ rsinϕ w J r π Průnikem je kružnice + v rovině. J ( + + (,,ddd r w r r r r ( r r +r (r (r +6 r r, ϕ π ( ( r (r +w rdw dr dϕ kπ r (r r + r ( r r r5 r7 78 dr kπ [r w +r w [ r6 r r r8 8 dr +

6 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 + kπ kπ (r r + ( r r dr kπ 8 6 r (+ r ( rdr 8 r t r t rdr dt r t kπ kπ t (+ dt ( t ( kπ +kπ t t t dt kπ+kπ [ t / ( 8 kπ 5 97 t5/ ( 5 kπ+kπ ,kπ Příklad 75. Určete moment setrvačnosti vhledem k ose homogenního tělesa, {[,, E ; + }. Řešení : Homogenní kužel má konstantní hustotu, onačíme ji (,, k J ( + (,,ddd ( k ( + dd k k + π + ( + ( + dd + d rcosϕ r rsinϕ ϕ π J r ( r ( rrdr dϕ kπ [ r r5 ( kπ kπ Příklad76.Určete statický moment M (vhledem k rovině ( tělesa omeeného rovinami,,, + a, h, (a >,h >, je-li hustota (,, konstantní. Řešení : Těleso je trojboký hranol s podstavou v rovině (,. M ddd a k ddd : a a h a h k a 6 kha ( h( a d d d k a ( h [a a (a d d k h Příklad77.Určete moment setrvačnosti J (vhledem k rovině ( tělesa, {[,, E ; +, }, k. 79

7 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 Řešení : Těleso je rotační válec s osou rovnoběžnou s osou. ( J (,,ddd k d dd k ( + [ ( + dd k ( + dd k π kπ Příklad 78. Vpočítejte integrál a stanovte jeho možný fikální výnam: I + + ddd, {[,, E : +, }. Řešení : : + (rotační kuželová plocha + + (kulová plocha I [ r π π π/ ( π( [ π sinϑ π rcosϕcosϑ rsinϕcosϑ rsinϑ J r cosϑ r r cosϑdr dϕ dϑ ( π π r dr r ϕ π ( π ϑ π π π cosϑdϑ Výnam : I je celková hmota tělesa při hustotě (,, + +, I je statický moment tělesa vhledem k bodu [,, při hustotě (,,. π dϕ Příklad 79. Vpočítejte hmotnost kužele s vrcholem v počátku, s poloměrem podstav a a výškou h. Hustota se lineárně mění v ávislosti na vdálenosti bodu tělesa od podstav. Ve vrcholu je (,, a (,, 5 v každém bodě podstav. Řešení : Zvolíme soustavu souřadnic s počátkem ve vrcholu kužele, osa bude osou rotace, meridiánem bude část přímk,,. Kuželová plocha bude mít rovnici +. Uvažované těleso apíšeme pomocí nerovnic. : + + 8

8 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 Pro hustotu platí : ( k ( +k : ( k +k ( 5 5 k k (,, ( +5 + m (,,ddd ( +ddd ( [ ( +d dd + + dd π ( π + ( 8( + + dd rcosϕ r rsinϕ ϕ π J r [ ( 8r r rdϕ dr π 6r r ( r π Je dána množina D v E a funkce f(,,. a Načrtněte množinu D a její průmět D do rovin. b Ověřte předpoklad pro použití Fubiniov vět a vpočítejte trojný integrál D f(,,ddd. c Uved te příklad možného fikálního výnamu daného integrálu. Uved te, da se jedná o hmotnost (při jaké hustotě, statický moment či moment setrvačnosti (při jaké hustotě a vhledem k jakému bodu, přímce nebo rovině. 8. D {[,, E :,, }, f(,, b 5 cm, J, 8. D {[,, E :,, }, f(,, 8. D {[,, E :, }, f(,, b cm, M, M, b 5 5 cm, M, J, 8

9 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 8. D {[,, E :,, }, f(,, ( + 8. D {[,, E : + 9,, }, f(,, +, b 7 cm, ( + M, + J, [ b6π cm, D : + + R,, (, f(,,, R je kladná konstatnta b πr cm,, nevjadřuje hmotnost protože Je dáno těleso D E omeené plochami : a Načrtněte těleso D a jeho průmět D do rovin. b Množinu D vjádřete ve tvaru elementárního oboru integrace v souřadnicích, ve kterých budete objem počítat. c Vpočítejte objem tohoto tělesa. 86. D : +,,,, 87. D :,,,, D: +,, b 6 c b + c 5 8 b r ϕ π w rcosϕ c6π 8

10 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 89. D : + 9,, b w r ϕ π c8π 9. D :, a, + a b r a ϕ π w a r cos ϕ c πa 9. D :, 6 b r ϕ π w 6 6r c π Vpočítejte objem V tělesa E : 9. :, +, ln, ln [e 8 9. : +, 8 [8π 9. : +, : + + a, + b, b a 96. : (+ +,,, 97. : + +, 5, [π 5 π [ π (a (a b [ 6 ( Je dáno těleso D E omeené plochami : a Načrtněte těleso D a jeho průmět D do rovin. b Při vhodné substituci vjádřete D jako elementární obor v transformovaných souřadnicích. c Vpočítejte hmotnost tělesa, je-li dána hustota (,,. [ 5 6 π 98. D : + 6,,,, (, (,, b r π ϕ π w cπ 8

11 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 99. D : +,, (,,. D : +,, (,, +. D : + +,, +, (,, k b r ϕ π r w c6π b r ϕ π r w b 8 5 π b r, ϕ,π w r,+r ckπ. D {[,, E ; + + 9, }, (,, + +, b r, ϕ π,π ψ π, π cπ Je dáno těleso D E. a Načrtněte těleso D a jeho průmět D do rovin. b Vpočítejte objem tělesa D. c Vpočítejte hmotnost tělesa D, je-li dána hustota (,,..D {[,, E ;,, }, (,, +.. D :,, +,,, (,, bv π cm 9 9 π bv cm 6 8

12 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 5. D {[,, E ; + 9}, (,, D {[,, E ; + }, (,, +, bv 8 π cm π 7. D : +,, + +, (,, bv 6 π cm 8 π 8. D :,,,, (,, bv 7 π cm 9 π bv 5 cm 7 9. D {[,, E ; + + 6, + 9}, (,, k bv π(6 7 7 cm kπ( D : a + b +, (,, c [ bv πabc cm πabc Určete hmotnost m tělesa E :. {[,, E ; a, b, c}, (,, + +. [ abc (a+b+c 85

13 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6. {[,, E ;,, +, }, (,, [. {[,, E ; + + 9, }, (,, + +. je koule o poloměru a, jestliže hustota je rovna čtverci vdálenosti od průměru. (Zvolte kouli se středem v počátku souřadnic a průměr ležící na ose. 5. je omeené plochami o rovnicích:, + +,,, je-li (,,. [8π [ 8 5 πa5 6. je omeené plochami o rovnicích : + +,, +, je-li (,, ( +. [ [ 9 6 π Určete těžiště T tělesa E omeeného plochami : 7. :, +, + 5,,, (,, k 8. : +, + +,, (,, k [ [ T,, 5 6 [ [ T,, : a + b + c,,, (v prvním oktantu, (,, k [ T [ a 8, b 8, c 8 Určete moment setrvačnosti tělesa E :. : +, + vhledem k osám souřadnic, je-li (,,. [J 7 π,j J π,. : + +, +, ( vhledem k ose, je-li (,,. [ J 5 π( 5. rotačního válce s poloměrem podstav a a výškou b vhledem k přímce p, která se dotýká pláště válce a je rovnoběžná s osou rotace. [ (Zvolte válec ( a + a, b, přímka p pak bude osa. b πa. {[,, E ; + }, vhledem k ose, je-li hustota (,, k [ J 7 π 86