1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
|
|
- Přemysl Matějka
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed v bodě S = [ ; ] a má poloměr Napište obecnou rovnici kružnice, která prochází bodem K = [ ; ] a střed má v bodě S = [ ; ] Je dán bod A = [ 6; ] Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka OA, kde O je počátek kartézského systému souřadnic 5 Napište středový tvar rovnice kružnice, která má střed v průsečíku přímek p: + y = a q: + y = a prochází bodem A = [ 5; 9] 6 Zjistěte, zda rovnice a) + y + 6y =, b) Pokud ano, určete souřadnice jejího středu a poloměr y 7 Napište rovnici kružnice, která prochází body A = [ ; ], B = [ ; ], [ 5; 6] Napište rovnici kružnice, která prochází body K = [ 5; ] a [ 6; ] y = 9 Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě [ ; ] + + 6= je obecnou rovnicí kružnice C = L = a jejíž střed leží na přímce K = a dotýká se přímky m: + y 9= Napište rovnici kružnice, která se dotýká os kartézské soustavy souřadnic a prochází bodem K = [ ; ] Zjistěte vzájemnou polohu přímky p a kružnice k: a) p: y =, b) p: + y =, k: ( ) ( y ) + + = k: ( ) ( ) + + y = 5 c) p: 6+ 5y =, k: ( ) ( ) + + y = 9 Určete reálné číslo c tak, aby přímka + y+ c = byla a) sečnou, b) tečnou, c) vnější přímkou kružnice + y = Napište rovnici kružnice procházející počátkem soustavy souřadnic a průsečíky přímky y+ = s kružnicí ( ) + y = 7 Ukažte, že bod [ ; ] leží tětiva kružnice, kterou bod A půlí A = leží uvnitř kružnice + y + y+ =, a napište rovnici přímky, na níž 5 Napište rovnici tečny kružnice ( + ) + ( y ) = 5 v jejím bodě [ ; ] T = 6 Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: y = a která se dotýká přímky q: y+ 7 = v bodě T = [ ; yt ] 7 Určete souřadnice vrcholů obdélníka vepsaného do kružnice strana na přímce + y = y y + =, leží-li jedna jeho Napište rovnice tečen vedených ke kružnici + y = v jejích průsečících s přímkou y = Určete průsečík těchto tečen ( ) + ( + ) =5 [ ; 5] 9 Napište rovnici tečen ke kružnici y vedených z bodu A = Je dána kružnice ( ) ( ) kružnici, které jsou rovnoběžné s přímkou p + y+ = 5 a přímka p: y+ = Napište rovnice tečen k dané Napište rovnice tečen ke kružnici ( ) A = [ ; ] a B = [ ; ] dané kružnice + y 5 =, které jsou rovnoběžné s přímkou určenou body Je dána kružnice ( + ) + ( y ) = Napište rovnice tečen dané kružnice, které jsou kolmé na tečnu, která prochází bodem A = [ ; ] Vypočítejte průsečíky nalezených tečen s tečnou procházející daným bodem A Analytická geometrie - elipsa Napište rovnici elipsy se středem v bodě S = [ ; ], je-li velikost hlavní poloosy a velikost vedlejší poloosy Určete též souřadnice ohnisek Napište rovnici elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic, jejíž jedno ohnisko má souřadnice F = a vedlejší poloosa má velikost [ ; ]
2 Hlavní poloosa elipsy má délku 5, vedlejší poloosa má délku Napište rovnici této elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y, jestliže na ní leží body [ ; ] vedlejších vrcholů této elipsy A = a B = ; 5 Určete souřadnice hlavních a Je dána elipsa y+ = Určete délku hlavní a vedlejší poloosy a vypočítejte souřadnice ohnisek a hlavních vrcholů ( ) ( ) 5 Ověřte, že rovnice + y + y = je rovnicí elipsy Určete souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů a ohnisek 6 Druhé souřadnice bodů na kružnici + y = 6 byly zmenšeny na jednu třetinu původní velikosti Určete, o jakou křivku se jedná a napište její rovnici 7 Jsou dány dvě kružnice k : + y 6y 5= a k : + y 6+ y+ 9= Elipsa E je dána tak, že její ohniska leží v průsečících obou kružnic a vedlejší vrcholy leží ve středech zadaných kružnic Napište rovnici této elipsy A = a je kolmá k vektoru n = ;, a Zjistěte vzájemnou polohu přímky, která je dána bodem [ ; 6] elipsy y + = 9 9 Určete vzájemnou polohu přímky y a elipsy ( ) ( ) + = + + y = ( ) V závislosti na reálném parametru m určete vzájemnou polohu přímky m + y = a elipsy + y = 6 Napište rovnici elipsy se středem v bodě S = [ ; ], dotýkající se obou os souřadnic, jsou-li její osy rovnoběžné s osami a y V soustavě souřadnic je dána elipsa tak, že její hlavní osa splývá s osou a střed S elipsy je v počátku soustavy souřadnic Trojúhelník ADC, kde A je hlavní vrchol a D a C jsou vedlejší vrcholy elipsy, je rovnostranný Velikost hlavní poloosy elipsy je a) Napište rovnici této elipsy b) Určete souřadnice ohnisek F a G elipsy c) Rozhodněte, který z trojúhelníků FGX, kde X je libovolný bod elipsy, má největší obvod d) Rozhodněte, který z trojúhelníků FGX, kde X je libovolný bod elipsy, má největší obsah M = ; e) Napište rovnice tečny procházející bodem [ ] Jsou dány body M = [ ; ] a [ ; ] N = a přímka p určená rovnicí ( ) souřadnice všech bodů P, které leží na přímce p tak, že obvod trojúhelníka MNP je roven 6 ( ) ( ) + y = [ ; ] Napište rovnici tečny k elipse + 6 y+ = v jejím bodě A = ; ay + 5 y = Určete 5 Je dána elipsa 6 a bod A = Dokažte, že bod A leží ve vnější oblasti elipsy, a napište rovnice tečen vedených z tohoto bodu k dané elipse 6 Najděte rovnice tečen elipsy 9( ) + 6( y+ ) =, které mají směrnici rovnou 7 Elipsa je dána dvěma hlavními vrcholy V = [ a ] a V = [ a ] a vedlejším vrcholem B [ ; b] ; ; = Do této elipsy je vepsán rovnostranný trojúhelník, jehož jedna strana je rovnoběžná s osou Určete délku jeho strany Vypočítejte délku tětivy v elipse jdoucí jejím středem a svírající s hlavní poloosou elipsy úhel 5 9 V kartézské soustavě souřadnic je dána elipsa tak, že její hlavní osa splývá s osou a střed elipsy je v počátku soustavy souřadnic Hlavní poloosa má velikost 5, vedlejší poloosa má velikost Určete průsečíky tečen elipsy, jejímiž dotykovými body jsou krajní body tětiv elipsy procházejících ohnisky kolmo k hlavní ose elipsy Analytická geometrie - hyperbola Napište osovou rovnici hyperboly, jejíž hlavní poloosa má velikost, vedlejší a střed je totožný s počátkem soustavy souřadnic Napište rovnici hyperboly, která má velikost hlavní poloosy 5, výstřednost a ohniska: F = [ e;] a F = [ e ] ; Hyperbola, která je souměrná podle os kartézského systému souřadnic, prochází bodem M = 6; a velikost vedlejší poloosy je Napište její rovnici a určete souřadnice vrcholů hyperboly Napište rovnici hyperboly v osové poloze (tj střed v počátku soustavy souřadnic), u níž vzdálenosti jednoho z jejích vrcholů od ohnisek jsou rovny 9 a
3 5 Hlavní vrcholy elipsy mají souřadnice A = [ ; ] a [ ; ] B = a velikost její vedlejší poloosy je Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy v ohniskách elipsy a ohniska ve vrcholech elipsy 6 Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy v ohniskách a ohniska ve vrcholech elipsy ( ) ( ) y + = Zjistěte souřadnice středu, vrcholů a ohnisek hyperboly y = 576 Určete také její výstřednost a velikost poloos Určete velikost hlavní a vedlejší poloosy a souřadnice ohnisek hyperboly, která prochází bodem ; S = ; A = [ ], její výstřednost je a má střed v bodě [ ] 9 Zjistěte vzájemnou polohu přímky y = a hyperboly asymptotu, napište i rovnice asymptot Zjistěte vzájemnou polohu přímky y 6= a hyperboly y = 9 Zjistěte vzájemnou polohu přímky 9y = a hyperboly 6 9y = y = 6 Pokud se nejedná o Napište rovnici tečny k hyperbole 9 5 y 5 v jejím bodě T = ; yt Je dána hyperbola ( + ) ( ) = [ ] = Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem [ ; ] 9y hyperbolou společný právě jeden bod Napište rovnice tečen k hyperbole y vedených z bodu A = = 6 [ ; ] 5 Vypočtěte úhel asymptot hyperboly y = 7 Jaká je vzdálenost ohniska od asymptoty? M = a mají s 6 Najděte průsečíky asymptot hyperboly y = s kružnicí, která má střed v pravém ohnisku hyperboly a prochází počátkem soustavy souřadnic 7 Napište osovou rovnici hyperboly, která prochází bodem N = [ 5; ] a jedna z jejích asymptot má rovnici + y = Určete velikosti poloos hyperboly Je dána hyperbola 9 6y y 5= Určete vzdálenost ohniska této hyperboly od její asymptoty Vypočtěte délku tětivy hyperboly, která prochází jejím ohniskem kolmo na hlavní osu hyperboly 9 Hyperbola prochází bodem M = 6; 5, je souměrná podle os soustavy souřadnic a velikost hlavní poloosy je Napište rovnice kolmic spuštěných z levého (resp horního) ohniska hyperboly na její asymptoty Bod M dělí vzdálenost mezi ohnisky hyperboly 9 6y = v poměru FM : FM = :, kde F je levé ohnisko hyperboly Bodem M je vedena přímka svírající s kladnou částí osy úhel 5 Najděte průsečíky této přímky s asymptotami hyperboly Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejímiž asymptotami jsou souřadnicové osy a která prochází bodem A = ; [ ] Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejímiž asymptotami jsou souřadnicové osy a která prochází bodem A = ; Zjistěte velikost jejích poloos a souřadnice ohnisek [ ] Napište rovnici rovnoosé hyperboly, která má střed v bodě S = [ ; ] a velikost hlavní poloosy je Určete souřadnice ohnisek Napište rovnici rovnoosé hyperboly, která má střed v bodě S = [ ; ] a jedno z ohnisek má souřadnice F = [ ; ] 5 Napište rovnici rovnoosé hyperboly, která má výstřednost, prochází bodem B = [ ; ] a jedna její asymptota je přímka = 6 Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejíž hlavní osa leží na přímce y+ =, jedna asymptota je přímka y = a prochází bodem C = [ ; 5] 7 Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsek přímky + y 6= vyťatý hyperbolou y = Analytická geometrie - parabola Je dána parabola = y Určete souřadnice jejího ohniska a napište rovnici její řídící přímky Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F = [ ; ] Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = [ ; ] Napište rovnici paraboly, která má vrchol V = [ ; ], prochází bodem [ 6; ] y Určete souřadnice jejího ohniska a napište rovnici její řídící přímky B = a osu rovnoběžnou s osou
4 5 Napište rovnici paraboly, jejíž ohnisko má souřadnice F = [ ; ] a řídící přímka d je dána rovnicí y = 6 Napište rovnici paraboly, která má vrchol v bodě V = [ ; n ] a prochází body A = [ ; ] a [ ; 6] Určete souřadnice jejího ohniska a napište rovnici její řídící přímky 7 Napište rovnici paraboly, která a) prochází body O = [ ; ] a [ ; ] prochází body O = [ ; ] a B = [ ; ] a je souměrná podle osy y B = A = a je souměrná podle osy ; b) Sestavte rovnici geometrického místa bodů stejně vzdálených od počátku soustavy souřadnic a od přímky = Určete průsečíky této křivky s osami souřadnic 9 Napište rovnici paraboly a její řídící přímky, jestliže parabola prochází průsečíky osy prvního a třetího kvadrantu s kružnicí + y + 6 = a je souměrná podle jedné osy kartézského systému souřadnic Napište rovnici kružnice, která má střed v ohnisku paraboly y = p a která se dotýká řídící přímky paraboly Určete průsečíky paraboly a kružnice Napište rovnici paraboly a její řídící přímky, jestliže parabola prochází průsečíky přímky + y = a kružnice + y + y = a je souměrná podle osy y Zrcadlová plocha světlometu vznikla otáčením paraboly kolem její osy souměrnosti Průměr skla reflektoru je cm a hloubka reflektoru je cm V jaké vzdálenosti od vrcholu parabolického zrcadla je třeba umístit bodový zdroj dálkového světla? Určete vzájemnou polohu přímky p: 7y+ = a paraboly y Určete vzájemnou polohu přímky q: = a paraboly 5 Určete vzájemnou polohu paraboly ( ) parametru k = 6y = 9 y = a přímky p: y = k+ v závislosti na reálném 6 Parabole y = je vepsán rovnostranný trojúhelník, jehož jeden vrchol je počátek soustavy souřadnic Určete souřadnice jeho ostatních vrcholů 7 Napište rovnice tečen vedených k parabole y = z bodu A = [ ; ] Napište rovnice tečen vedených k parabole ( ) = ( y + ) bodem [ 5; ] 9 Je dána parabola ( ) ( A = [ ; 5] a B = [ ; ] A = y+ = 6 ) Napište rovnici tečny, která je rovnoběžná s přímkou určenou body Napište rovnici paraboly, která se dotýká přímky p: y 7 =, má ohnisko rovnoběžná s osou y 5 F = ; a její osa je Ohniskem paraboly ( y ) = ( + ) je vedena přímka svírající s kladnou částí osy úhel Napište rovnici této přímky a určete délku vzniklé tětivy
5 ŘEŠENÍ Analytická geometrie - kružnice + y = ( + ) + ( y ) =6, y y ( ) 5 ( ) = ( y ) + + = ( ) + + y 5 = 5 y y = a) sečna: P = [ ; ] = [ ; ] ; b) sečna: [ ; ] 6 a) S = [ ; ], r = ; b) není kružnice 7 ( ) ( y ) + + = 5 ( ) ( ) 9 + y 6 = 5 9 ( ) ( ) + y+ = 9 k ( ) + ( y ) =, k ( ) ( y ) : : = 5 P = = ; 7 7 ; c) vnější přímka kružnice tečna: c =± 5, sečna: c ( 5; 5), vnější přímka: c 5; 5 ( ) ( y ) + + = 5 + y = 5 + y = 6 ( ) + y = 5 y 5=, y+ 5= + y =, y Analytická geometrie - elipsa + y = 6, F = ;, 5 + 6y = ( ) + + = = [ ] = [ ] ; F = ; 5 + y =, A = ; 5, B = ; 5 [ ; ] 7 A = [ ; ], B = [ ; ], C = [ 6; ], D = [ ; 6] + y+ =, + y = = [ ; ] 9 + y 7 =, + y 6= y 9=, y = ; A =, B = ; 5, C = ; 5, D = ; 5 a =, b =, F = ; + 7, F = ; 7 5 je to elipsa: [ ; ], C = [ ; ], [ ; ] y+ 5 =, D = ; ( ), A = [ ; ], B = [ ; 5], C = [ ; ], D = [ 6; ] S =, a = 6, b = ; F = ;, F = + ; D = ; C = [ ; ], [ ] 6 elipsa: + 9y = 6 7 ( ) ( ) y+ = y = 6, A = [ ; ], [ ; ] sečna: P = [ ; ] = [ ; ] 9 sečna: P = [ ; ] = [ ; ] B =, m ; - tečna; m ; ; - sečna; m ; - vnější přímka elipsy ( ) ( ) a) + y = 9; b) F = 6;, G = 6; ; c) pro libovolný bod X elipsy (vyjma bodů A a B) má trojúhelník konstantní obvod; d) jedná se o bod C nebo D; e) nelze - bod M leží uvnitř elipsy 5 P = ; + y =, y = 5 + y =, 5y 9= 6 y+ =, y+ 9= Analytická geometrie - hyperbola 9y 7 d = d = ab b + a ab a + b 9 P 5 = ;, 5 P = ; = 6 9 6y = [ ] = ; 5 = [ ; 5]
6 9 5y = 975 y =, A = ;, B = ; 7 a =, b = 6, ; a = 5, 9 9 tečna: [ 5; 6] 5 ( ) ( y ) = 6 9 6y = e = S = [ ; ], A = [ ; 6], B = [ ; ], F = [ ], F = [ ] b = ; F = [ ], F = [ ] 5; T = ; asymptoty: y =± 5 9 tečna: T = ; vnější přímka hyperboly = 5y =, + y 6= 9 + y+ =, y+ = P = ; 7 7 y = [ ] = ; y =, a b, ; = = F = [ ], F = [ ] ; y + =, [ 5; ] ; F =, F = [ ] ; 6 Analytická geometrie - parabola F = ; y =6 ; d: y =,5 y =9 nebo = y 9 + =, ( ) ( y ) F = ;, d: 65 y = p p + y = p = ; p, p P = ; p,5 cm = y, d: y = ; ; y =, + y+ = 5 6, 6 P = O = 6; = 6; 7 9y = 6, a =, v( F, a) = ; y + = ( + ) y = nebo + y = 7 ( ) ( ) + y = 5 ( ) ( = y ) b = y = + 6 ( y+ ) = 6( ), [ 5; ] 7 a) y =, b) F =, d: = = y y = ( + ) ; s : P V [ ; ] P = [ ; ] = [ ; ] 9 y =, d: = ; = = ; s y: = y, d: sečna: P = [ 5;5] = [ ; 6] rovnoběžka s osou: P = ; y = k ; - tečna; k ; ; sečna; k ; ; vnější přímka; k = - rovnoběžka s osou paraboly 6 A = 6;, B = 6; 9 y = 7 =, + y+ = ( ) = ( y + ) y + =, y 6= + y + = ; 6 6
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
Důkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
Gymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
Obrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
RNDr. Zdeněk Horák IX.
Jméno RNDr. Zdeněk Horák Datum 8. 10. 2014 Ročník IX. Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA Tematický okruh KRUH, KRUŽNICE Téma klíčová slova Opakování učiva z tematického
Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (III/2)
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiál ve škole, registrační číslo projektu CZ..07/.5.00/3.057 Střední zdravotnická škola a Všší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 37 60 České Budějovice Název
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů
Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
PLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
14 Kuželosečky v základní poloze
4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými
KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
Shodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
Obsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová
Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina
DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v
Cyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková
KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a
- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové
Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky
Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b
Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.
Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)
Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová
Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....
Fergusnova kubika, která je definována pomocí bodu P1, vektoru P1P2, bodu P3 a vektoru P3P4
Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Zelená c. Modrá d. Červená Úloha 2 Jakým minimálním počtem bodů je jednoznačně určena interpolační křivka 5. řádu? a. 6 b. 3 c. 5 d. 7
Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
P L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název
Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
Parabola a přímka
755 Parabola a přímka Předpoklad: 755, 756, 75, 75, 753 Pedagogická poznámka: Na probrání celého obsahu je třeba tak jeden a půl vučovací hodin Pokud tolik času nemáte, je potřeba buď rchle proběhnout
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
Maturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
Maturitní témata od 2013
1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy
půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.
Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková
[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY
Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [
Kulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT