Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Transkript

1 Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr r = 5. Př. 2: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí body A = *-2; 1+, B = *1; 4+ a mají střed na přímce p: x y 2 = 0. Př. 3: Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, kde A = *2; 3+; B = *-4; 9]. Př. 4: Úpravou rovnice na středový tvar určete, zda se jedná o kružnici a určete její charakteristiky: 4x 2 + 4y 2 24x 32y + 51 = 0 Př. 5: Je dána kružnice l: (x 4) 2 + y 2 = 5 a její bod A*3; -2+. Určete na kružnici l bod B tak, aby směrnice přímky AB byla k = -3. Př. 6: Určete rovnici kružnice, která má střed na přímce 2x + y 10 = 0 a dotýká se přímek 4x 3y + 10 =0 a 4x 3y 30 = 0. Př. 7 Napište obecnou rovnici tečny kružnice, která má střed S *2; -5+, jestliže bod dotyku T*5; -1]. Př. 8 Napište rovnice tečen kružnice x 2 + y 2 = 5, jestliže body dotyku jsou průsečíky této kružnice s přímkou x 3y + 5 = 0. Určete odchylku tečen. Př. 9 Určete rovnici kružnice, na které leží body A*-2; -1], B [-2; 5+ a která se dotýká přímky x + 6,5 = 0. Př. 10 Vypočítejte vzdálenost středů dvou kružnic k 1 : x 2 + y 2 + 6x 10y + 9 = 0 S 1 [-3; 5] k 2 : x 2 + y x + 4y + 21 = 0 S 2 [-9; -2] Př. 11 Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem kružnice k: x 2 + y 2-6x + 10y + 30 = 0 a je kolmá na vektor (2; r), kde r je poloměr kružnice. Př. 12 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x 2 + y 2 + 4x + y 2 8y = 0 s přímkou SP, kde S je střed Př. 13 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x 2 + y 2 4x + 2y 15 = 0 s přímkou SP, kde S je střed Př. 14 Napište rovnici kružnice, která prochází body A*5; 3+, B*6; 2+ a její střed leží na přímce p: 3x 4y 3 = 0. Př. 15: Napište rovnici kružnice k s poloměrem r = 1 a středem S ve III. kvadrantu, jestliže se kružnice k dotýká přímek p a q:

2 Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr r = 5. Vyjdeme ze středové rovnice kružnice: k: (x m) 2 + (y n) 2 = r 2, kde souřadnice m a n jsou souřadnicemi středu kružnice a r je poloměr kružnice. Víme, že střed kružnice leží na přímce p. Potom rovnici přímky upravíme: m + 3n 18 = 0. Máme tedy: m = 18 3n a dosadíme do rovnice kružnice: k p: (x n) 2 + (y n) 2 = r 2 Dosadíme bod A a poloměr r: ( n) 2 + (9 n) 2 = n + 9n n + n 2 = n 18 n + 10n 2 = 25 10n 2 90n = 0 n 2 9n + 20 = 0 a na základě rozkladu trojčlenu dostaneme: (n 4)(n 5) = 0 Dostáváme dva středy kružnice: a) n = 4 m = 6 b) n = 5 m = 3 Takové kružnice existují dvě: k 1 : (x 6) 2 + (y 4) 2 = 25 k 2 : (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25 Př. 2: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí body A = *-2; 1], B = [1; 4] a mají střed na přímce p: x y 2 = 0. Opět vyjdeme ze středové rovnice kružnice: k: (x m) 2 + (y n) 2 = r 2, kde souřadnice m a n jsou souřadnicemi středu kružnice a r je poloměr kružnice. Víme, že střed kružnice leží na přímce p. Potom rovnici přímky upravíme: m = n + 2 a dosadíme di středové rovnice kružnice: (x n 2) 2 + (y n) = r 2 Dosadíme postupně oba body : A: (-2 n 2) 2 + (1 n) 2 = r 2 B: (1 n 2) 2 + (4 n) 2 = r 2 Dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: (1) ( - 4 n) 2 + (1 n) 2 = r 2 (2) (-1 n) 2 + (4 n) 2 = r 2 (-1 n) 2 + (4 n) 2 ( - 4 n) 2 (1 n) 2 = 0.vyloučili jsme r 1 + 2n + n n + n n n n n 2 = 0-12n + 0 = 0 n = 0 Střed kružnice k: S *2; 0+ Rovnice kružnice k: (x 2) 2 + y 2 = r 2 +Vezmeme jeden bod ze dvou zadaných a dosadíme do rovnice kružnice k a tím určíme druhou mocninu poloměru hledané kružnice.

3 A: (-2 2) = r 2 r 2 = 17 rovnice kružnice k: (x 2) 2 + y 2 = 17 Pozn.: je také možné vyjít z toho, že body S a A tvoří vzdálenost těchto dvou bodů a lze z nich určit poloměr kružnice: SA = (-4; 1), potom SA = r = r 2 = 17 Př. 3: Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, kde A = *2; 3+; B = *-4; 9]. Střed úsečky AB je středem kružnice AB: S = tj. S [-1; 6] Dále poloměr kružnice r =. Velikost průměru AB je: = 6 Poloměr: r = 3, tedy r 2 = 18 Rovnice kružnice k: (x + 1) 2 + (y -6) 2 = 18 Př. 4: Úpravou rovnice na středový tvar určete, zda se jedná o kružnici a určete její charakteristiky: 4x 2 + 4y 2 24x 32y + 51 = 0 Upravíme tak, abychom mohli dostat středový tvar kružnice: 4x 2 24x + 4y 2 32y = (x 2 6x) + 4(y 2 8y) = -51 Doplníme na čtverec : 4(x 2 6x + 9) + 4 (y 2 8y + 16) = (x 3) 2 + 4(y 4) 2 = 49 /. (x 3) 2 + (y 4) 2 = S[3; 4]; r = Jedná se o kružnici. Př. 5: Je dána kružnice l: (x 4) 2 + y 2 = 5 a její bod A*3; -2+. Určete na kružnici l bod B tak, aby směrnice přímky AB byla k = -3. Směrnicový tvar přímky AB: y= -3x + q Touto přímkou prochází bod A: -2 = q q = 7 Přímka AB má tvar: y = - 3x + 7 Tato přímka je tětivou kružnice l. Jestliže tato přímka je tětivou kružnice l, pak musí existovat dva body: l AB: (x 4) 2 + (-3x + 7) 2 = 5 x 2 8x x 2 42x + 49 = 5 10x 2 50x + 60 = 0

4 x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 x 1 = 2, y 1 = 1 x 2 = 3, y 2 = -2 souřadnice bodu A Bod B má souřadnice *2; 1+ Př. 6: Určete rovnici kružnice, která má střed na přímce 2x + y 10 = 0 a dotýká se přímek 4x 3y + 10 =0 a 4x 3y 30 = 0. Přímky 4x 3y + 10 =0 a 4x 3y 30 = 0 jsou navzájem rovnoběžné, potom střed hledané kružnice leží na ose pásu tvořené těmito přímkami. Hledejme tedy body A, B, které leží na ose x a určeme bod S AB, kterým prochází osa pásu: y 1 = 0, potom: 4x + 10 = 0, tj. x 1 = -2,5 y 2 = 0, potom: 4x + 30 = 0, tj. x 2 = 7,5 A[-2,5; 0] a B[7,5; 0] S AB = S AB = [2,5; 0] Tímto bodem prochází osa pásu: 4x 3y + c = 0 tj. c = - 10 Střed hledané kružnice leží na průsečíku přímek 4x -3y 10 = 0 a 2x + y 10 = 0 4x -3y 10 = 0 2x + y 10 = 0 /3 10x 40 = 0 x = 4, y = 10 2x tj. y = 2 Střed kružnice S *4; 2+, poloměr kružnice je dán jako vzdálenost bodu S od přímky např. 4x 3y + 10 =0 r = r = Rovnice hledané kružnice má tvar: (x 4) 2 + (y 2) 2 = 16 Př. 7 Napište obecnou rovnici tečny kružnice, která má střed S *2; -5+, jestliže bod dotyku T*5; -1]. Přímka procházející středem kružnice a bodem dotyku tečny je kolmá na tečnu. Proto stačí určit směrový vektor přímky ST, který je současně normálovým vektorem tečny. ST = T S = (3; 4) Rovnice tečny: 3x + 4y + c = 0, kde c určíme dosazením bodu T: c = -11 t: 3x + 4y 11 = 0 obecná rovnice tečny Př. 8 Napište rovnice tečen kružnice x 2 + y 2 = 5, jestliže body dotyku jsou průsečíky této kružnice s přímkou x 3y + 5 = 0. Určete odchylku tečen. Určíme průnik přímky s kružnicí: x 3y + 5 = 0 x = 3y 5 x 2 + y 2 = 5

5 (3y 5) 2 + y 2 = 5 9y 2 30y y 2 = 5 10y 2 30y + 20 = 0 y 2 3y + 2 = 0 (y 2)(y 1 ) = 0 T 1 = [1; 2] T 2 = [-2; 1] S = [0; 0] ST 1 = (1; 2) ST 2 = (-2;1) Skalární součin těchto vektorů: 1. (-2) = 0, tudíž tečny procházející body T 1 a T 2 jsou navzájem kolmé. Odchylka těchto tečen je 90. Př. 9 Určete rovnici kružnice, na které leží body A*-2; -1], B [-2; 5+ a která se dotýká přímky x + 6,5 = 0. Střed úsečky AB: S AB = V tomto případě body AB jsou nad sebou a přímka jimi procházející je rovnoběžná s osou y a jejich osa prochází S AB S AB = [-2; 2] Střed kružnice leží na y = 2 tj. S*x; bod C leží na průsečíku přímek: y = 2 a x = - 6,5 C [ -6,5; 2 ] A: a b + c = 0 5 2a b + c = 0 B: a + 5b + c = a + 5b + c = 0 C: 42, ,5a + 2b + c = 0 46,25 6,5a + 2b + c = 0 Řešením soustavy tří rovnic dostaneme: b = 0 tj. b = ,25 4,5a + 3b = 0 tj. a = 6,5 c = ,5 4 c = 4 Obecná rovnice kružnice: x 2 + y y + 4 = 0 (x + ) 2 + (y 2) 2 = (x + ) 2 + (y 2) 2 = středová rovnice kružnice Př. 10 Vypočítejte vzdálenost středů dvou kružnic k 1 : x 2 + y 2 + 6x 10y + 9 = 0 S 1 [-3; 5] k 2 : x 2 + y x + 4y + 21 = 0 S 2 [-9; -2] vzdálenost těchto středů: d = Př. 11

6 Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem kružnice k: x 2 + y 2-6x + 10y + 30 = 0 a je kolmá na vektor (2; r), kde r je poloměr kružnice. Určíme středovou rovnici kružnice: (x 3) 2 + (y + 5) 2 = (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 4 r = 2 Vektor: (2; 2) a na tu je kolmá hledaná přímka procházející bodem S*3; -5+. Daný vektor je normálový vektor hledané přímky. 2x + 2y + c = c = 0 c = 4 Hledaná rovnice přímky: x + y + 2 = 0 Př. 12 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x 2 + y 2 + 4x + y 2 8y = 0 s přímkou SP, kde S je střed S[-2; 4] P[0; 0] SP = (2; - 4) směrový vektor hledané přímky: -4x 2y + c = 0 P: c = 0 tj. 4x + 2y = 0 a úpravou dostaneme: 2x + y = 0 Dosadíme do rovnice kružnice za y = - 2x: x 2 + 4x 2 + 4x + 16x = 0 5x x = 0 x 2 + 4x = 0 tj. x 1 = 0 a x 2 = -4 A[0; 0]; B [-4; 8] jsou hledané body průsečíku přímky a kružnice. Př. 13 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x 2 + y 2 4x + 2y 15 = 0 s přímkou SP, kde S je střed S[2; -1] P[0; 0] PS =(2; -1). Přímka p: -x 2y + c = 0 Položíme li za souřadnice za P: c = 0 P: x + 2y = 0 x = - 2y Za x dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme: 4y 2 + y 2 + 8y + 2y 15 = 0 5y y 15 = 0 y 2 + 2y 3 = 0 (y + 3)(y 1) = 0 A[6; -3]; B[-2; 1+.hledané průsečíky přímky s kružnicí Př. 14 Napište rovnici kružnice, která prochází body A*5; 3+, B*6; 2+ a její střed leží na přímce p: 3x 4y 3 = 0. Středem tětivy AB prochází přímka, která je kolmá na tětivu a musí procházet středem kružnice.

7 S AB = S AB = AB = (1; -1). Normálový vektor procházející bodem S AB q: x y + c = 0 c = -3 q: x y 3 = 0 a nyní hledáme průsečík s přímkou p, na které leží střed kružnice k: 3x 4y 3 = 0 x y 3 = 0 /(-3) - y + 6 = 0 y = 6.S *9; 6+ r = = 5 (x 9) 2 + (y 6) 2 = 25. Hledaná kružnice k Př. 15 Napište rovnici kružnice k s poloměrem r = 1 a středem S ve III. kvadrantu, jestliže se kružnice k dotýká přímek p a q: p: y x ( 1 + ) = 0 q: y + x (1 ) = 0 S [m; n] 1 = 2 = 1 = 2 = Typy řešení: +; + 2n 2 = 4 tj. n = 3.nevyhovuje -; - 4 = - 2n + 2 tj. n = - 1. Vyhovuje. m = -1 +; - 0 = -2m. - 2 tj. m = -1 -; + 0 = 2m. + 2 tj. m = -1 střed kružnice S*-1; -1 ] (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 1