Modelování spolehlivosti kompresorové stanice tranzitního plynovodu užitím spojitých markovských procesů

Modelování spolehlivosti kompresorové stanice tranzitního plynovodu užitím spojitých markovských procesů Pavel Praks, Josef Chudoba, Radim Briš Abstrakt. Cílem práce je modelování spolehlivosti konkrétní kompresorové stanice tranzitního plynovodu, která se nachází na území ČR. Pro matematické modelování spolehlivosti jsou k dispozici data o vytíženosti stanice, o poruchovosti komponent systému, o režimech oprav komponent systému a expertní informace o metodách řízení stanice dispečerem. V souvislosti s uspokojováním měnících se požadavků zákazníků na objem přepravovaného plynu použitý model zohledňuje i efekt změny hardwarové konfigurace kompresorové stanice, což je v příspěvku rovněž demonstrováno. 1. Úvod Tato práce se zabývá modelováním spolehlivosti konkrétní kompresorové stanice tranzitního plynovodu, která se nachází na území ČR. Práce se skládá ze dvou vzájemně propojených hlavních částí. První část práce se zabývá sestavením matematického modelu kompresorové stanice tranzitního plynovodu markovskými řetězci. Pro modelování je uvažován vícestavový markovský model, neboť řídící systém kompresorové stanice v závislosti na měnící se požadavky dispečera a na případné poruchové stavy komponent stanice přirozeně mění svou systémovou (hardwarovou) konfiguraci (např. zapínání nebo vypínání příslušných kompresorů). Druhá část práce se věnuje matematickému modelování dynamického chování dispečera. Požadavky na změnu systémové konfigurace kompresorové stanice (tj. na změnu tzv. scénáře) přicházejí z dispečinku tranzitního plynovodu v souvislosti s uspokojováním měnících se požadavků zákazníků na objem přepravovaného plynu. K dispozici je databáze změn systémových konfigurací, které proběhly v minulosti, a také soupis pravidel, kterými se řídí jednání dispečera. Například změny v systémové

konfiguraci jsou vždy postupné, tj. není např. možné, aby v době, kdy je systémová konfigurace stanice v tzv. minimálním energetickém stavu, přišel požadavek dispečera na okamžité zapnutí všech kompresorů. Pro modelování dynamického chování dispečera je využit simulační přístup. Parametry matematického modelu jsou nastaveny na základě statistického vyhodnocení dat z kompresorové stanice a na základě expertních informací z průmyslu. Výsledkem modelování bude statistický odhad pohotovosti stanice ve zvoleném čase. Tento odhad je zajímavý pro hledání úzkých míst v systému a pro případnou změnu politiky údržby, která může implikovat významné finanční úspory provozních nákladů kompresorové stanice tranzitního plynovodu při zachování vysoké kvality a spolehlivosti dodávek tranzitního média v ČR. 2. Formulace úlohy Na základě vhodných předpokladů [7, 13] lze evoluci určitých fyzikálních systémů popsat systémem Chapman-Kolmogorových diferenciálních rovnic: kde symbol v označuje počáteční hustotu pravděpodobnosti (initial probability distribution). Analytické řešení má tvar w(t) = etav a reprezentuje hustotu pravděpodobnosti Markovského řetězce. Matice koeficientů představuje infinitezimální generátor řádu n, kde n je počet stavů Markovského řetězce s elementy aij 0 pro i j a. Dále, i-tá komponenta vektoru w(t) představuje pravděpodobnost, že fyzikální systém bude v čase t ve stavě označeném symbolem i. Maticovou exponenciálu čtvercové matice A lze sice teoreticky vypočítat pomocí rozvoje, nicméně tento výpočet je numericky nestabilní i pro malé úlohy, viz [7], [13].

Pro reálné úlohy je matice A velká a řídká. Přibližné řešení hledáme ve tvaru, pomocí elementů Krylovského podprostoru, kde dimenze Krylovského podprostoru m je rozhodně menší než počet stavů n. 3. Popis modelu Předkládaný model předpokládá 10 výkonových konfigurací kompresorové stanice tranzitního plynovodu. Konfigurace jsou označeny čísly 1, 2,, 10, viz Obr. 1-20. Veškeré pojistné ventily, ventily, potrubí, budeme nazývat výrazem linie a obdobně kompresor, turbínu, energetické hospodářství, chladící hospodářství, mazací hospodářství budeme nazývat pod uceleným názvem turbokompresor. Linie rozdělujeme na vstupní a výstupní. Odhadujeme intenzitu poruch linií a turbokompresorů v konstantním čase. Například konfigurace 1 označuje nejpravděpodobnější stav, ve kterém jsou požadavky na transfer plynu minimální. V tomto stavu stačí pro bezporuchový provoz kompresorové stanice pouze činnost jedné vstupní linie, jednoho turbokompresoru a jedné výstupní linie, viz Obr. 1. Změna systémové konfigurace kompresorové stanice Požadavky na změnu systémové konfigurace kompresorové stanice přicházejí z dispečinku rozvodné sítě v souvislosti s uspokojováním měnících se požadavků zákazníků na objem přepravovaného plynu. Předkládaný model předpokládá s maximálně jedním požadavkem na změnu výkonu kompresorové stanice za 24 hodin. K častějším požadavkům na změnu výkonu kompresorové stanice v praxi nedochází. Model předpokládá, že číslo konfigurace se může měnit maximálně o dvě. Povolené změny scénáře mohou být např. 1 2, 2 3, 3 2, 1 3, nikoliv však 1 10. Tento předpoklad opět vychází z reálného chování kompresorové stanice v praxi.

Příklady povolených posloupností na změnu systémové konfigurace kompresorové stanice: 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 1,. (celkem 365 čísel za rok provozu) 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1,.. (celkem 365 čísel za rok provozu) Implementační detaily Požadavky na změnu konfigurací (posloupnost 365 čísel reprezentující konfigurace kompresorové stanice během jednoho roku) jsou v modelu generovány náhodně metodou Monte Carlo. Protože v současnosti nemáme k dispozici data o vytíženosti stanice, parametry rozdělení byly odhadnuty na základě předpokládaného chodu stanice. Jak již bylo uvedeno v úvodu, stanice se nejčastěji nachází ve stavu nejmenšího výkonu (konfigurace 1). Pro modelování scénářů byl použit markovovský model, viz Obr. 1 - Obr. 20. Pro snížení počtu stavů markovovského modelu používáme zjednodušených podmínek, ve kterých předpokládáme, že porucha dvou nebo tří linií na vstupu či výstupu vyvolá poruchu celého systému a obdobně porucha pěti a více turbokompresorů vyvolá také poruchu celého systému. Poznámka: Pro automatické generování pravděpodobnosti přechodů bylo použito následujícího značení scénářů. Příklad: Pokud je využito linií jedním směrem 1 druhým směrem 2 a zároveň jsou využity tři kompresory, dostáváme scénář: [1+2,3] = 33. (Zobrazení čísla scénáře a čísla konfigurace je jednoznačné.) Vzorce pro násobící koeficienty intenzit poruch v závislosti na čísle scénáře [dj]. Násobící koeficienty intenzit poruch budou celá kladná čísla. Vstup: číslo aktuálního stavu markovova řetězce [SDJ] (Vstup algoritmu: [dj], [SDJ]) Pro vstupní linii : min[3-s,d] Pro turbokompresory : min[7-d,j] Pro výstupní linii : min[3-j,d] Intenzity oprav jsou pro všechny scénáře shodné. Uvažuje se µ1 pro oba typy linie (tj. µ1= µ3) a µ2 pro turbokompresory. (např.

přechod do 010 znamená opravu jednoho turbokompresoru ), a intenzita oprav je µ2. Šipka směrem vlevo znamená opravu, šipka směrem vpravo označuje poruchu. Vzorce pro definování poruchového stavu: Pro každý scénář a pro každý stav tohoto scénáře. (Vstup algoritmu: [dj], [SDJ]) Pro vstupní linii : Pokud 3-d-S <0, tak je [SDJ] poruchový Pro turbokompresory : Pokud 7-j-D <0, tak je [SDJ] poruchový Pro výstupní linii : 3-d-J <0, tak je [SDJ] poruchový Poznámka: Pokud nastane pro libovolně zvolený [SDJ] porucha, je tento stav poruchový. 4. Zpracování výsledků Jeden běh metody Monte Carlo vytvoří jeden soubor výsledků, které se vyhodnocují statisticky v časové závislosti, neboť poruchové stavy závisí na scénáři, tj. i na čase. Pohotovost je (pro opravitelné výrobky) dána součtem pravděpodobností funkčních stavů. Na Obr. 21 je ukázán efekt změny konfigurace kompresorové stanice na pohotovosti. Výpočet byl proveden užitím knihovny pro Markovské řetězce MEX, která počítá aproximaci řešení maticové exponenciály užitím Krylovských metod [13]. 5. Závěr Na závěr je třeba zdůraznit důležitost modelování spolehlivosti tranzitních sítí. Stojí za připomenutí, že 25. července trval v České republice celých devět hodin stav elektrické nouze, který byl vyhlášen kvůli mimořádně velkému výpadku proudu, největšímu za posledních 30 let. Přenos média se řídí podobnými zákonitostmi, ať už máme na mysli plyn nebo elektřinu. Jedná se o dálkové přenosy, v nichž ČR je často jen tranzitní zemí. Několik poruch může vyvolat poruchu celého systému.

1 ze 3 1 ze 7 1 ze 3 Obr. 1. Blokový diagram bezporuchovosti (RBD reliability block diagram) kompresorové stanice pro konfiguraci č. 1 v provozu jedna linie na vstupu a výstupu (= potrubí a pojistný ventil) a v provozu jeden turbokompresor (=vstupní ventil, turbokompresor a výstupní ventil. Šipky označují pohotovostní zálohu. V případě poruchy zařízení s pohotovostní zálohou nastartuje a nahradí zařízení s poruchou. Označení 1 ze 3 znamená, že pro splnění funkce systému je potřeba alespoň jedno zařízení v provozuschopném stavu. Model předpokládá, že komponenta naběhne okamžitě a vždy. Model však umožňuje vzít v úvahu i možnosti selhání funkce zařízení při náběhu. Obr. 2. Markovský model kompresorové stanice bez uvažování intenzity přechodů pro konfiguraci č. 1. Tyto intenzity přechodů závisí na konkrétním scénáři. Např. stav reprezentuje poruchu jedné linie na vstupu, 3 turbokompresory v poruše a dvě porouchané linie na výstupu. Červeně jsou označeny poruchové stavy pro konfiguraci 1. V ostatních scénářích jsou poruchové stavy jiné.

1 ze 3 2 ze 7 1 ze 3 Obr. 3. Blokový diagram bezporuchovosti (RBD reliability block diagram) kompresorové stanice pro konfiguraci č. 2. Obr. 4 Markovský model kompresorové stanice bez uvažování intenzity přechodů pro konfiguraci č. 2.

2 ze 3 2 ze 7 2 ze 3 Obr. 5 Blokový diagram bezporuchovosti (RBD reliability block diagram) kompresorové stanice pro konfiguraci č. 3. Obr. 6 Markovský model kompresorové stanice bez uvažování intenzity přechodů pro konfiguraci č. 3.

3 ze 3 4 ze 7 3 ze 3 Obr. 13 Blokový diagram bezporuchovosti (RBD reliability block diagram) kompresorové stanice pro konfiguraci č. 7. Řešený scénář (34). Obr. 14 Markovský model kompresorové stanice bez uvažování intenzity přechodů pro konfiguraci č. 7.

Obr. 21 Pohotovost systému ve scénáři 34 po dobu jednoho roku se změnou konfigurace v čase t=8760 hodin na scénářř 24. V modelu je uvažováno µ = 1/720 a λ = 1/87600. Literatura [1] Briš R.: One Computation Algorithm for Multiobjective Maintenance Optimization. In Proceedings of European Safety and Reliability Conference ESREL 5. Ed. Krzysztof Kolowrocki, London:Taylor & Francis Group, 5, pg. 249-255, ISBN 0-415-38340-4 [2] Briš R., Praks P.: Simulation Approach for Modeling of Dynamic Reliability using Time Dependent Acyclic Graph. Special Issue of the International Journal of Polish Academy of Sciences Maintenance and Reliability Nr 2(30)/6. Ed. I. B. Frenkel, A. Lisnianski, pg. 26-28. ISSN 1507-2711; Also at http://darmaz.pollub.pl/ /ein/fultext/30.pdf (as of March 13th, 6).

[3] Briš R., Praks, P.: Reliability assessment of a parallel system with six reliable components using direct Monte Carlo and Importance Sampling. In 6-th Int. Sci. Conf. Electric Power Engineering 5. VŠB-TU Ostrava, pg. 1-7, ISBN 80-248-0842-0 [4] Chudoba J.: Evaluation of dependability by using Markov analysis. International Workshop on Electronics, Control, Measurement and Signals. Toulouse, 5. [5] Chudoba J.: Analysis of the probability of car accidents. In: The second international conference Reliability, safety and diagnostics of transport structures and means 5. Pardubice, 5. [6] Lisnianski A., Levitin G., Multi-State System Reliability. Assessment, Optimization, Applications. World Scientific, New Jersey, London, Singapore, Hong Kong, 3 [7] Moler C., Loan C. V.. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later. SIAM REVIEW 3; Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 45, No. 1, pp. 3 49 [8] Praks P., Machala L., Snášel V.: On SVD-free Latent Semantic Indexing for Iris Recognition of Large Databases. In V. A. Petrushin and L. Khan (Eds.) Multimedia Data mining and Knowledge Discovery (Part V, Chapter 24); Springer Verlag. To appear (6); [invited contribution] [9] Praks P., Konečný P.: Direct Monte Carlo Method vs. improved methods considering applications in designers every day work. Chapter 23 in book: Marek P., Brozzetti J., Guštar M., Tikalsky P. (eds): Probabilistic Assessment of Structures using Monte Carlo Simulation. Basics, Exercises, Software (Sec. edition). ITAM - Academy of Sciences of the Czech Republic, 3, ISBN: 80-86246-19-1 [10] Praks P., Černohorský J., Svátek V., Vacura M.: Human Expert Modelling Using Semantics-Oriented Video Retrieval for Surveillance in Hard Industry. ACM MobiMedia 6: 2nd International Mobile Multimedia Communications Conference. K-Space special session on Automatic Annotation and Retrieval of Multimedia Content. 18-20 September 6, Alghero, Sardinia, Italy [11] Praks P., Černohorský J., Briš R.: Linear Algebra for Monitoring of Industrial Processes in Heavy Industry. A one-day meeting in honor of prof. Miroslav Fiedler. J. Rohn et al. (eds). The Institute

of Computer Science jointly with the Mathematical Institute Academy of Sciences of the Czech Republic, Prague, June 12, 6, pg. 6-7. Also at http://www.cs.cas.cz/~fiedler80/book.pdf [12] Praus P., Praks P.: Information retrieval in hydrochemical data using the latent semantic indexing approach. Journal of Hydroinformatics. 7. IWA Publishing, London, UK, ISSN 1464-7. In print. [13] Roger B. Sidje. Expokit: A Software Package for Computing Matrix Exponentials. In ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 24, No. 1, March 1998, Pages 130-156. [14] Žežula L., Heřmanský B., Praks P.: Methodology for Evaluation of Projects of Nuclear Power Plants Generation III. (Metodika pro hodnocení projektů jaderných elektráren III. generace, in Czech). Report No. UJV Z 1475 T, Nuclear Research Institute Řež plc, December 5 Adresy autorů: Ing. Pavel Praks, Ph.D., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, fakulta elektrotechniky a informatiky, katedra aplikované matematiky, Tř.17.listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba. e-mail: Pavel.Praks@vsb.cz Ing. Josef Chudoba, Technická univerzita v Liberci, Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií, Katedra modelování procesů, Hálkova 6, 461 17 Liberec 1 e-mail: Josef.chudoba@tul.cz Doc. Ing. Radim Briš, CSc., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, fakulta elektrotechniky a informatiky, katedra aplikované matematiky, Tř.17.listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba. e-mail: radim.bris@vsb.cz Tato práce byla vytvořena v rámci projektu MŠMT 1M06047 - CQR.