A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti
|
|
- Olga Lišková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky
2 Markovovy modely motivace Robot se pohybuje po dvou pásech, každý pás řídí jeden motor. Řídicí jednotka se občas porouchá (střední doba mezi poruchami je hodin). Lze ji opravit resetem, což trvá průměrně T s = min. Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba pásy funkční? Jaká je pravděpodobnost, že ani jeden nefunguje? Databázový server ukládá data na 4 discích zapojených do RAID 3. MTBF disků je 6 hodin a obnova dat při připojení nového disku trvá průměrně 2 hod. Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke ztrátě dat? Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke ztrátě dat, pokud výměna disku trvá obsluze průměrně hod?
3 Markovovy modely rozdělení Prvek má n stavů, X(t) je stav v čase t Stav X(t) je náhodná proměnná Pravděpodobnost stavu i je P i (t) = P [(X(t) = i] Markovovská podmínka: P [X(t) = A n X(t n ) = A n, X(t n 2 ) = A n 2,..., X(t ) = A ] = P [X(t) = A n X(t n = A n )] Markovův model je definován A.6.3. C B.3 Stavy Množinou pravděpodobností přechodu mezi stavy λ t Markovův řetězec: Diskrétní stavy, Diskrétní čas Markovův proces: Diskrétní stavy, Spojitý čas A λ 2 t α t C B µ t
4 Markovovy procesy Prvek se dvěma stavy (funkční/nefunkční) Intenzita poruch λ je konstatní Prvek se neopravuje λ t λ t A B Stav "A" prvek je funkční Stav "B" prvek je rozbitý P A (t) pravděpodobnost, že je prvek ve stavu "A" λ t pravděpodobnost přechodu z "A"do "B" V čase je systém ve stavu "A"
5 Markovův model Stav "A" prvek je funkční Stav "B" prvek je rozbitý P A (t) pravděpodobnost, že je prvek ve stavu "A" λ t pravděpodobnost přechodu z "A"do "B" Předpokládejme, že je prvek ve stavu "A": S pravděpodobností λ t se stav změní na "B" S pravděpodobností λ t se stav nezmění Předpokládejme, že je prvek ve stavu "B": S pravděpodobností zůstane v tomto stavu. λ t A λ t B
6 Markovův model Stav "A" prvek je funkční Stav "B" prvek je rozbitý P A (t) pravděpodobnost, že je prvek ve stavu "A" λ t pravděpodobnost přechodu z "A"do "B" λ t A λ t B Pravěpodobnost, že v čase t + t budeme ve stavu "A"a "B": P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t)
7 Markovův model λ t λ t A B P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t) Maticový zápis: [ ] PA (t + t) P B (t + t) [ ] PA (t + t) P B (t + t) [ λ t = λ t [ ] PA (t) = P P B (t) ] [ PA (t) P B (t) ] Matice P je matice pravděpodobností.
8 Odvození matice intenzit λ t λ t A B P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t) Limita t : P A (t) = λp A (t) P B (t) = λp A (t)
9 Odvození matice intenzit λ t λ t A B Rovnice upravíme: Limita t : P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t) P A (t + t) P A (t) t P B (t + t) P B (t) t = λp A (t) = λp A (t) P A (t) = λp A (t) P B (t) = λp A (t)
10 Odvození matice intenzit λ t λ t A B P A (t) = λp A (t) P B (t) = λp A (t) Maticový zápis: [ ] P A (t) P B (t) [ ] P A (t) P B (t) = [ λ λ = P [ PA (t) P B (t) ] [ PA (t) P B (t) ] ] Matice P je matice intenzit.
11 Markovův model Vývoj systému je popsán maticí pravděpodobností P [ ] [ ] [ ] PA (t + t) λ t PA (t) = P B (t + t) λ t P B (t) λ t A λ t nebo maticí intenzit P : [ ] [ P A (t) λ P = B (t) λ Počáteční podmínky: P A () =, P B () = Předpoklady: ] [ PA (t) P B (t) Nemůže nastat více jak jeden přechod najednou Pozn.: hromadná oprava/sloučení akcí je možné Stav "B"je tzv. absorbční stav. ] B
12 Markovův model Obecné řešení: P (t) = n c i x i e v it i= P (t) je vektor pravděpodobností stavů c i R je konstanta v i je vlastní číslo matice intenzit P x i je vlastní vektor matice P příslušející vlastnímu číslu v i
13 Systém s opravou Porucha nastává s intenzitou λ K opravě dojde s intenzitou µ Zápis s maticí pravděpodobností: [ ] [ PA (t + t) λ t µ t = P B (t + t) λ t µ t Zápis s maticí intenzit [ P A (t) P B (t) Poznámka: ] = [ λ µ λ µ ] [ PA (t) P B (t) λ t A λ t µ t ] [ PA (t) P B (t) ] ] B µ t µ = MTTR λ = MTBF
14 Systém s opravou Porucha nastává s intenzitou λ K opravě dojde s intenzitou µ [ ] [ P A (t) λ µ P = B (t) λ µ ] [ PA (t) P B (t) λ t ] A λ t µ t B µ t Vlastní čísla matice intenzit: v = (λ + µ), v 2 = Vlastní vektory: x = [, ] T, x 2 = [, λ µ ]T P (t) = c [ ] e (λ+µ)t + c 2 [ λ µ ] e t P A (t) = c e (λ+µ)t + c 2 P B (t) = c e (λ+µ)t + c 2 λ µ
15 Systém s opravou λ t λ t µ t P A (t) = c e (λ+µ)t + c 2 P B (t) = c e (λ+µ)t λ + c 2 µ Počáteční podmínky: P A () =, P B () =. A µ t B P A (t) = µ λ + µ + λ λ + µ e (λ+µ)t P B (t) = λ λ + µ λ λ + µ e (λ+µ)t Součinitel pohotovosti: lim t P A(t) = lim P B(t) = t µ λ + µ λ λ + µ P A = µ λ + µ = MTTF MTTR + MTTF
16 Systém s opravou λ t λ t µ t P A (t) = c e (λ+µ)t + c 2 P B (t) = c e (λ+µ)t λ + c 2 µ Počáteční podmínky: P A () =, P B () =. A µ t B P A (t) = P B (t) = µ λ + µ + λ λ + µ λ λ + µ e (λ+µ)t λ λ + µ e (λ+µ)t P A (t) P B (t) Graf pro: λ =.2, µ = time
17 Příklad paralelní obvod a b
18 Příklad paralelní obvod 2 a b a b λa t λ b t 3 b a λ b t λa t 4
19 Příklad paralelní obvod a b P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) = a b λa t λ b t λ a λ b λ a λ b λ b λ a λ b λ a 2 3 b a λ b t λa t 4 P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t)
20 Příklad paralelní obvod P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) = Vlastní čísla a vektory: λ a λ b λ a λ b λ b λ a λ b λ a P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) x = (λ a + λ b ) x 2 = λ b x 3 = λ a x 4 = v = v 2 = v 3 = v 4 = Řešení soustavy: P (t) P 2 (t) P 3 (t) =c P 4 (t) e (λa+λ b)t +c 2 e λ bt +c 3 e λat +c 4 et
21 Příklad paralelní obvod Řešení soustavy: P (t) P 2 (t) P 3 (t) =c P 4 (t) e (λa+λ b)t +c 2 e λ bt +c 3 e λat +c 4 Konstanty c =, c 2 =, c 3 = a c 4 = určíme z počátečních podmínek. et P (t) = e (λa+λ b)t P 2 (t) = e (λa+λb)t + e λ bt P 3 (t) = e (λa+λb)t + e λat P 4 (t) = + e (λa+λb)t e λat e λ bt Pravděpodobnost, že systém funguje je R(t) = P (t) + P 2 (t) + P 3 (t) R(t) = e λat + e λbt e (λa+λ b)t
22 Slučování stavů Počet stavů rychle roste (k n ), pro n k stavových prvků Výpočet Mark. modelů vede na výpočet matic n n Časově náročné Pro zjednodušení lze některé stavy sloučit Stavy lze sloučit pokud Jejich výstupní hrany vedou do stejných uzlů se stejnými cenami Vstupní intenzity mohou být různé Pro nový stav platí: Vstupní pravděpodobnost je součet vstupních pravděpodobností sloučených stavů Výstupní pravděpodobností je výstupní pravděpodobností sloučených stavů
23 Slučování stavů příklad Dva dvou-stavové prvky, intenzita poruchy každého je λ. λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t Stavy a lze sloučit
24 Slučování stavů příklad Dva dvou-stavové prvky, intenzita poruchy každého je λ. λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t Stavy a lze sloučit
25 Slučování stavů příklad Dva dvou-stavové prvky, intenzita poruchy každého je λ. λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t Stavy a lze sloučit Výsledný model: 2λ t 2λ t λ t λ t
26 Příklad RAID 3 Databázový server ukládá data na 4 discích zapojených do RAID 3. MTBF disků je 6 hodin a obnova dat při připojení nového disku trvá průměrně 2 hod. Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke ztrátě dat, pokud výměna disku trvá obsluze průměrně hod? 4λ t 3λ t µ t P = 4λ µ 4λ 3λ µ 3λ Jaké předpoklady musí platit, aby šel tento model použít?
27 Příklad RAID 3 Data se rozdělují na dva disky + paritu Při výpadku jednoho disku řadič může dopočítat chybějící data Při výpadku více než jednoho disku jsou data ztracena MTBF disků známo. Jak rychle se musejí kopírovat data? data controller HDD HDD2 HDD3 parita λ λ λ
28 Příklad RAID 3 Data se rozdělují na dva disky + paritu Při výpadku jednoho disku řadič může dopočítat chybějící data Při výpadku více než jednoho disku jsou data ztracena MTBF disků známo. Jak rychle se musejí kopírovat data? data controller HDD HDD2 HDD3 parita λ λ λ P = 3λ µ 3λ µ 2λ 2λ
29 Příklad RAID 3 Řešení: [ ] m x =, 2 + l m + l 2 + m l m, 2 + l m + l 2 m l 2 m 2 m [ ] m x 2 =, 2 + l m + l 2 m + l m, 2 + l m + l 2 + m + l 2 m 2 m x 3 = [,, ] v = m 2 + l m + l 2 + m + 5 l m v 2 = 2 + l m + l 2 m 5 l 2 v 3 = 2
30 Příklad RAID 3.8 p(x) p2(x) p3(x) kontrola ok stav m=., l=.
31 Příklad RAID 3.8 p(x) p2(x) p3(x) kontrola ok stav m=.5, l=.
Statistika a spolehlivost v lékařství Markovovy modely
Statistika a spolehlivost v lékařství Markovovy modely Markovovy modely Markovovy modely lze použít pro výpočet spolehlivosti složitých soustav jak s opravami, tak bez oprav. Předpokladem je, že doby poruch/oprav
VíceA6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2
A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2 Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky
VíceA6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti
A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky Vícestavové
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VíceTestování a spolehlivost. 4. Laboratoř Spolehlivostní modely 1
Testování a spolehlivost ZS 2011/2012 4. Laboratoř Spolehlivostní modely 1 Martin Daňhel Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologí ČVUT v Praze Příprava studijního programu Informatika
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
Víceintenzitu příchodů zákazníků za čas t intenzitu obsluhy (průměrný počet obsloužených) za čas t
Ukázka - Systémy hromadné obsluhy Příklad: Pan Pumpička se rozhodl postavit samoobslužnou čerpací stanici u obce Česká Bříza. Na základě průzkumu ví, že by čerpací stanici mohlo průměrně navštívit 32,
VíceSpolehlivost. INP 2008 FIT VUT v Brně
Spolehlivost INP 2008 FIT VUT v Brně 1 Obsah Definice, ukazatele Kombinatorické modely Zvyšování spolehlivosti systému - Bezpečné systémy a Systémy odolné proti poruchám Poznámky Příklady na cvičení 2
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceMarkovovy řetězce se spojitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain)
Markovovy řetězce se soitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain) 3 5 1 4 Markovovy rocesy X Diskrétní stavový rostor Soitý obor arametru t { } S e1, e,, en t R t 0 0 t 1 t t 3 t Proces e Markovův
VíceStochastické modely Informace k závěrečné zkoušce
Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce Jan Zouhar Katedra ekonometrie, FIS VŠE v Praze, zouharj@vse.cz 10. února 2015 Průběh zkoušky. Zkouška je ústní s přípravou na potítku. Každý si vylosuje
VíceSIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY. Michal Dorda. VŠB - TU Ostrava, Fakulta strojní, Institut dopravy
SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY Michal Dorda VŠB - TU Ostrava Fakulta strojní Institut dopravy 1 Úvod V běžné technické praxi se velice často setkáváme s tzv. systémy hromadné obsluhy aniž
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceDisková pole (RAID) 1
Disková pole (RAID) 1 Architektury RAID Důvod zavedení RAID: reakce na zvyšující se rychlost procesoru. Pozice diskové paměti v klasickém personálním počítači vyhovuje pro aplikace s jedním uživatelem.
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceProstorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)
Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl) Opakování: Geometrické
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceStatistika pro informatiku (MI-SPI) Cvičení č. 6
Statistika pro informatiku (MI-SPI) Cvičení č. 6 Přednášející: Rudolf Blažek Cvičící: J. Hrabáková, K. Klouda, M. Kupsa, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl
Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceA B = A A B P A B C = P A P B P C = =
9..8 Nezávislé jevy II Předpoklady: 907 Jsou-li nezávislé jevy a. Jsou nezávislé i jevy a? Z obrázku je vidět, že platí: ( ) ( ) = ( ( ) ) ( ( ) ) = ( ) ( ) P P P P P = použijeme nezávislost jevů, : P
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceTeorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa
Teorie informace: řešené příklady 04 Tomáš Kroupa Kolik otázek je třeba v průměru položit, abychom se dozvěděli datum narození člověka (den v roce), pokud odpovědi jsou pouze ano/ne a tázaný odpovídá pravdivě?
VícePearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
Více14. cvičení z PSI. 9. ledna Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost.
4. cvičení z PSI 9. ledna 09 4. rozdělení po mnoha krocích) Markovův řetězec je dán obrázkem: 8 9 4 7 6 Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost. a) Klasifikujte
VíceDIPLOMOVÁ PRÁCE Nelineární řízení magnetického ložiska
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav mechaniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Nelineární řízení magnetického ložiska 2004 Jan KRYŠTŮFEK Motivace Účel diplomové práce: Porovnání nelineárního řízení
VíceZnačení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceAnalytické pravděpodobnostní modely, Markovské procesy
Analytické pravděpodobnostní modely, Markovské procesy Výkonnost a spolehlivost programových systémů KIV/VSS Richard Lipka Motivace Andrej Markov (1856-1922) Budoucnost je nezávislá na minulosti, pokud
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram,
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceStochastické procesy - pokračování
Stochastické procesy - pokračování Úvodní pojmy: Stochastické procesy jsou to procesy (funkce) jejichž hodnoty jsou náhodné veličiny závislé na parametru t stav systému souhrn vlastností a charakteristik,
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VícePetr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo
MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VíceDisková pole (RAID) 1
Disková pole (RAID) 1 Architektury RAID Důvod zavedení RAID: reakce na zvyšující se rychlost procesoru. Pozice diskové paměti v klasickém personálním počítači vyhovuje pro aplikace s jedním uživatelem.
VícePA152: Efektivní využívání DB 2. Datová úložiště. Vlastislav Dohnal
PA152: Efektivní využívání DB 2. Datová úložiště Vlastislav Dohnal Optimalizace přístupu na disk Omezení náhodných přístupů Velikost bloku Diskové pole PA152, Vlastislav Dohnal, FI MUNI, 2013 2 Omezení
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Víceotázka body 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 10
Test z odborného základu studijního programu BSV AR 05/06 Identifikační číslo: Počet bodů Hodnocení Počet otázek: 0 Čas : 60 minut Bodové hodnocení otázek: OTÁZKY: otázka body 0 0 3 0 0 5 0 6 0 7 0 8 0
VíceK velkým datům přes matice a grafy
K velkým datům přes matice a grafy Miroslav Tůma Katedra numerické matematiky, MFF UK mirektuma@karlin.mff.cuni.cz MFF UK, 10.4.2019 1 / 70 Outline 1 Motivace 2 Šíření infekční choroby 3 Jiné motivace
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceCVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4.
CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného
Více1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
VíceMatematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí
Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceVýpočty spolehlivost chodu sítí
Výpočty spolehlivost chodu sítí Ing.Zdeněk Pistora, CSc. Přehled používaných metod Metody analytické Postupné zjednodušení Metody simulační Monte Carlo Metoda postupného zjednodušení Vhodná zejména pro
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více14. cvičení z PSI. 9. ledna 2018
cvičení z PSI 9 ledna 08 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Příslušný
VíceStavební fakulta Katedra mechaniky. Jaroslav Kruis, Petr Štemberk
České vysoké učení technické v Praze Stavební fakulta Katedra mechaniky Fuzzy množiny, fuzzy čísla a jejich aplikace v inženýrství Jaroslav Kruis, Petr Štemberk Obsah Nejistoty Teorie pravděpodobnosti
VíceOdhad stavu matematického modelu křižovatek
Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národní informační středisko pro podporu kvality Matematický model kontrolního stanoviště montážní linky RNDr. Jiří Michálek, CSc CQR při ÚTIA AVČR Motivace Tvorba modelu je motivována výrobou zdravotnické
VíceŘízení jakosti a spolehlivosti. ŘÍZENÍ SPOLEHLIVOSTI - IV Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček
Řízení jakosti a spolehlivosti ŘÍZENÍ SPOLEHLIVOSTI - IV Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček Obsah prezentace Logické operace Pravidla pro práci s pravděpodobností Objekty
Vícečasovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)
cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi
VíceKendallova klasifikace
Kendallova klasifikace Délka obsluhy, frontový režim, Littleovy vzorce Parametry obsluhy Trvání obsluhy - většinou předpokládáme, že trvání obsluhy jsou nezávisl vislé náhodné proměnné, se stejným rozdělením
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceŠíření tepla. Obecnéprincipy
Šíření tepla Obecnéprincipy Šíření tepla Obecně: Šíření tepla je výměna tepelné energie v tělese nebo mezi tělesy, která nastává při rozdílu teplot. Těleso s vyšší teplotou má větší tepelnou energii. Šíření
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
Více3. Vícevrstvé dopředné sítě
3. Vícevrstvé dopředné sítě! Jsou tvořeny jednou nebo více vrstvami neuronů (perceptronů). Výstup jedné vrstvy je přitom připojen na vstup následující vrstvy a signál se v pracovní fázi sítě šíří pouze
Více