Citlivost kořenů polynomů
|
|
- Zdenka Kovářová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Citlivost kořenů polynomů Michal Šmerek Univerzita obrany v Brně, Fakulta ekonomiky a managementu, Katedra ekonometrie Abstrakt Článek se zabývá studiem citlivosti kořenů na malou změnu polynomu. Je všeobecně známo, jak získat kořeny polynomů, jak je získat s předepsanou přesností. Méně se ale klade důraz na přesné určení polynomu, resp. jeho koeficientů. Práce dokládá, že i malá nepřesnost, byť i jen v jednom koeficientu polynomu, může významným způsobem ovlivnit hodnoty kořenů. Je zde popsána závislost změny kořenů na malé změně některého z koeficientů polynomu. V souvislosti s tím je definován pojem špatně podmíněný polynom. 1 Úvod Problém řešení algebraických rovnic se může zdát zcela vyřešený. Známe algoritmy pro určení všech kořenů libovolného polynomu. Přesto i v této problematice existují dosud nepříliš probádané oblasti. Zájemcům o základní studium numerické matematiky lze doporučit publikace [1, 2, 4, 5, 11]. Příspěvek se zabývá problematikou špatně podmíněných polynomů, tj. polynomů, u nichž malá změna některého z koeficientů vede k velké změně v kořenech. Tomuto speciálnímu tématu se věnují práce [1, 3, 4, 6, 7, 10, 12]. 2 Podmíněnost polynomů Uvažujme polynom p stupně n 2 s reálnými koeficienty tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. (1) Označme kořeny polynomu (1) ξ i, pro i = 1, 2,..., n. Platí tedy p(ξ i ) = 0, pro i = 1, 2,..., n. Budeme se zabývat tím, jak se změní kořeny polynomu, pokud se polynom (1) mírně změní. Budeme určovat kořeny polynomu p(x) + δp(x) p(x) + δa r x r, r = 0, 1, 2,..., n, (2) tj. uvažujeme pouze změnu koeficientu u mocniny x r, a to z a r na a r +δa r. Označíme-li δξ i změnu kořene ξ i při přechodu od polynomu (1) k polynomu (2), platí Odtud můžeme vyjádřit kde přibližný vztah je platný za podmínky δξ i ξ i. Taylorův rozvoj funkce p(x) v bodě x = ξ i je p(ξ i + δξ i ) + δa r (ξ i + δξ i ) r = 0. (3) p(ξ i + δξ i ) = δa r (ξ i + δξ i ) r = δar ξ r i, (4) p(ξ i + δξ i ) = p(ξ i ) + p (ξ (ξ i )δξ i + p i ) (δξ i ) 2 +. (5) 2! Platí p(ξ i ) = 0. Pokud ξ i je jednoduchý kořen, platí také p (ξ i ) 0. Jestliže δξ i 1, můžeme ostatní členy Taylorova rozvoje (5) zanedbat. Nyní, odtud porovnáním se vztahem (4) získáme vyjádření změny δξ i jednoduchého kořene ξ i δξ i = ξr i p (ξ i ) δa r. (6) Pokud u nějakého polynomu malá změna koeficientu (změna na vstupu) způsobí mnohem větší změnu jeho kořenů (změna na výstupu), nazýváme takový polynom špatně podmíněným polynomem. Vyjádřeme podíl absolutní změny δξ j kořene ξ j a absolutní změny δa r koeficientu a r. Tento podíl budeme nazývat absolutní koeficient podmíněnosti a označovat C jr. Tedy C jr = δξ j δa r pro j = 1, 2,..., n a r = 0, 1,..., n. (7)
2 Pro jednoduchý kořen, ze vztahu (6), platí ξr j C jr = δξ j = δa r p (ξ j ) pro j = 1, 2,..., n a r = 0, 1,..., n. (8) Podmíněnost polynomu lze definovat také jako podíl relativní změny na výstupu a relativní změny na vstupu. K tomu účelu definujme koeficient podmíněnosti k ir jakožto podíl relativní změny kořene ξ i (i = 1, 2,..., n) a relativní změny koeficientu a r (r = 0, 1,..., n), tzn. k ir = δξ i ξ i δa r pro i = 1, 2,..., n a r = 0, 1,..., n. (9) a r Vezmeme-li v úvahu vztah (6), můžeme (pro jednoduchý kořen) psát k ir = ξr 1 i p (ξ i ) a r pro i = 1, 2,..., n a r = 0, 1,..., n. (10) Číslo podmíněnosti C p polynomu definujeme jako maximum z absolutních hodnot všech koeficientů podmíněnosti, tj. C p = max k ir. (11) i,r Pomocí čísla podmíněnosti můžeme definovat špatně podmíněný polynom jako polynom, jehož číslo podmíněnosti je mnohem větší než jedna, tj. C p 1. Poznámka: Pojmy absolutní koeficient podmíněnosti, koeficient podmíněnosti a číslo podmíněnosti, i s použitým označením, byly poprvé užity autorem v pracech [8, 9]. 3 Příklady polynomů druhého stupně Příklad 1 Uvažujme jednoduchý polynom p(x) = x 2 3x + 2. (12) Jeho kořeny jsou ξ 1 = 1 a ξ 2 = 2, viz obr. 1. Prozkoumejme, jak bude vypadat polynom (12) a jeho kořeny, pokud změníme postupně všechny jeho koeficienty o hodnotu +0,1 resp. 0,1. Na obrázku 2 jsou grafy polynomů Obrázek 3 znázorňuje polynomy a obrázek 4 zobrazuje polynomy p + 0 (x) = x2 3x + 2,1 a p 0 (x) = x2 3x + 1,9. p + 1 (x) = x2 2,9x + 2 a p 1 (x) = x2 3,1x + 2 p + 2 (x) = 1,1x2 3x + 2 a p 2 (x) = 0,9x2 3x + 2. Vypočítejme kořeny takových polynomů a odchylky těchto kořenů od původních kořenů. Jejich přibližné hodnoty u všech těchto polynomů uvádí tabulka 1. Podobně můžeme uvažovat i změnu polynomu (12) např. desetkrát menší, tj. změnu koeficientu a r (r = 0, 1, 2) o hodnotu +0,01; resp. 0,01; viz tabulka 2. Aplikací vzorce (6) pro polynom (12) získáme ξr i δξ i = 2ξ i 3 δa r, pro i = 1, 2, r = 0, 1, 2. (13)
3 Obr. 1: p(x) = x 2 3x + 2 Obr. 2: δa 0 = ±0,1 Obr. 3: δa 1 = ±0,1 Obr. 4: δa 2 = ±0,1 Konkrétně 1r δξ 1 = δa r = δa r, pro r = 0, 1, 2 ; (14) δa 0 δξ 2 = 2r δa r = 2 r δa r = 2δa 1. (15) 4δa 2 Pro změnu δa 0 = ±0,1 dostáváme změny kořenů δξ 1 = ±0,1 a δξ 2 = 0,1. Podobně pro δa 1 = ±0,1 je δξ 1 = ±0,1 a δξ 2 = 0,2; resp. pro δa 2 = ±0,1 je δξ 1 = ±0,1 a δξ 2 = 0,4. Změně δa r = ±0,01 odpovídá změna kořenů úměrně menší. Není bez zajímavosti srovnání těchto teoretických výsledků (jejich první aproximace) s empirickými, viz srovnání výsledků (14) a (15) pro δa r = ±0,1; resp. δa r = ±0,01; s údaji v tabulce 1, resp. s údaji v tabulce 2. Ze vztahu (10) můžeme určit koeficienty podmíněnosti k ir pro i = 1, 2, r = 0, 1, 2 (viz tabulka 3). Číslo podmíněnosti je potom C p = 3, tzn. polynom (12) je dobře podmíněným polynomem. Příklad 2 Mějme polynom p(x) = x 2 201x , (16)
4 p(x) ξ 1 ξ 2 δξ 1 δξ 2 x 2 3x x 2 3x + 2, 1 1, , , , 1127 x 2 3x + 1, 9 0, , , , 0916 x 2 2, 9x + 2 1, , , , 2298 x 2 3, 1x + 2 0, , , , , 1x 2 3x + 2 1, , , , , 9x 2 3x + 2 0, , , , 4120 Tab. 1: Hodnoty kořenů a změn kořenů pro δa r = ±0,1 p(x) ξ 1 ξ 2 δξ 1 δξ 2 x 2 3x x 2 3x + 2, 01 1, , , , 0101 x 2 3x + 1, 99 0, , , , 0099 x 2 2, 99x + 2 1, , , , 0202 x 2 3, 01x + 2 0, , , , , 01x 2 3x + 2 1, , , , , 99x 2 3x + 2 0, , , , 0400 Tab. 2: Hodnoty kořenů a změn kořenů pro δa r = ±0,01 i/r Tab. 3: Koeficienty podmíněnosti k ir pro polynom p(x) = x 2 3x + 2 viz obrázek 5. Jeho kořeny, ξ 1 = 100 a ξ 2 = 101, se liší opět o jedničku (jako v příkladu 1), jen jsou mnohem větší. Prozkoumejme, jak bude vypadat polynom (16) a jeho kořeny, pokud postupně nepatrně změníme všechny jeho koeficienty. Tyto změněné polynomy jsou graficky znázorněné na obrázcích 6, 7 a 8. V tabulce 4 jsou vypočteny koeficienty podmíněnosti k ir. Z tabulky můžeme zjistit hodnotu čísla podmíněnosti polynomu (16), C p = 201, a tudíž polynom (16) považujeme za špatně podmíněný polynom. i/r Tab. 4: Koeficienty podmíněnosti k ir pro polynom p(x) = x 2 201x i/r Tab. 5: Koeficienty podmíněnosti k ir pro polynom p(x) = x 2 3, 01x + 2, 265 Příklad 3 Zkoumejme polynom p(x) = x 2 3,01x + 2,265. (17) Jeho kořeny, ξ 1 = 1,5 a ξ 2 = 1,51, jsou na rozdíl od příkladu 1 vzájemně mnohem bližší. Koeficienty podmíněnosti k ir jsou uvedeny v tabulce 5.
5 Obr. 5: p(x) = x 2 201x Obr. 6: δa 0 = ±10 1 Obr. 7: δa 1 = ±10 3 Obr. 8: δa 2 = ±10 5 Z tabulky můžeme odečíst hodnotu čísla podmíněnosti polynomu (17), C p = 301, a tedy polynom (17) je špatně podmíněným polynomem. 4 Polynom vyššího stupně V následujícím příkladu budeme studovat podmíněnost polynomu osmého stupně. Příklad 4 Mějme polynom p(x) = 8 (x i) = x 8 36x x x x 4 + i= x x x (18) Je to polynom osmého stupně s kořeny ξ 1 = 1, ξ 2 = 2,..., ξ 8 = 8, viz obr. 9. Pro vyjádření změn δξ j (viz vztah (6)) kořenů ξ j, j = 1, 2,..., 8, polynomu (18) si nejdříve vyjádříme hodnoty p (ξ j ), j = 1, 2,..., 8.
6 Obr. 9: Polynomy p, p 1, p 2 Obecně pro každý polynom s kořeny ξ 1, ξ 2,..., ξ n platí n p (x) = ξ i ), x R. i j(x j=1 Proto p (ξ j ) = i j(ξ j ξ i ), pro j = 1, 2,..., n, a konkrétně pro polynom (18) dostáváme p (ξ) = ( 1) ξ (ξ 1)!(8 ξ)! pro ξ = 1, 2,..., 8. Proto vztah (6) dává pro kořen ξ j, j = 1, 2,..., 8, polynomu (18) změnu ξ r j δξ j = ( 1) ξj 1 (ξ j 1)!(8 ξ j )! δa r. (19) Odtud, anebo přímo ze vztahu (8), můžeme vyjádřit hodnoty absolutních koeficientů podmíněnosti C jr = δξ j = ( 1) ξj 1 δa r (ξ j 1)!(8 ξ j )! Tyto hodnoty jsou obsaženy v tabulce 6. (Pouze z důvodu úspory místa jsou v tabulce zobrazeny absolutní koeficienty podmíněnosti C jr jen pro r = 0, 1, 3, 5, 7, 8.) ξ r j
7 j/r ,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0, ,0014-0,0028-0,0111-0,0444-0,1778-0, ,0042 0,0125 0,1125 1,0125 9, , ,0069-0,0278-0,4444-7, , , ,0069 0,0347 0, , , , ,0042-0,0250-0, , , , ,0014 0,0097 0, , , , ,0002-0,0016-0,1016-6, , ,8127 Tab. 6: Absolutní koeficienty podmíněnosti C jr polynomu (18) j/r ,000 21,743 13,350 0,900 0,007 0, , , , ,800-3,200 0, , , , , ,350-9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,000-21, , , , ,102 Tab. 7: Koeficienty podmíněnosti k jr polynomu (18) Pokud vyčíslíme koeficienty podmíněnosti k jr podle vztahu (10), viz tabulka 7, snadno stanovíme číslo podmíněnosti C p polynomu (18), tj. C p = max j,r k jr = k 65 = 24494, 4. Polynom (18) je tedy špatně podmíněným polynomem. Uvažujme nyní dva další polynomy p 1 (x) = p(x) x 7, p 2 (x) = p(x) x 7, viz obrázek 9. Vzhledem k polynomu (18) se jedná pouze o relativně malou změnu v koeficientu a 7 (a 7 = 36, a tedy δa7 a 7 =. 5,6.10 6, resp. δa7 a 7 =. 1, ). Budeme se zajímat o to, jak se tato změna projeví na změně kořenů ξ j, j = 1, 2,..., 8. Tabulka 8 obsahuje aproximované hodnoty ξ j skutečných kořenů ξ j polynomů p 1 a p 2. Pro tyto hodnoty, viz vztah (7), platí ξ j (p i ) = ξ j (p) + C jr δa r (p i ), i = 1, 2, j = 1, 2,..., 8, r = 0, 1, 2,..., 8. Zde ξ j (p) značí kořeny polynomu p, δa r (p i ) značí změnu koeficientu a r polynomu p i a C jr jsou hodnoty absolutních koeficientů podmíněnosti. Srovnejme aproximované hodnoty ξ j (p i ), i = 1, 2, se skutečnými hodnotami kořenů ξ j (p 1 ) a ξ j (p 2 ) (viz tabulka 8). V případě polynomu p 1 je jeho změna vůči polynomu p natolik malá, že všechny kořeny zůstávají reálné a relativní chyba aproximovaných hodnot kořenů od skutečných hodnot je menší než V případě polynomu p 2 je jeho změna vůči polynomu p již natolik závažná, že se dva kořeny změnily v komplexní.
8 j = ξ j (p) ξ j (p 1 ) ξ j (p 1 ) ξ j (p 2 ) ξ j (p 2 ) 1 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 2,0000 1,9999 1, ,0018 3,0018 3,0037 3, ,9782 3,9772 3,9581 3, ,1284 5,1085 5,4141 0,1151i 5, ,7714 5,7667 5, ,1151i 5, ,2194 7,2288 7,5124 7, ,9005 7,9168 7,6973 7,8336 Tab. 8: Skutečné hodnoty ξ j a aproximované hodnoty ξ j kořenů polynomů p 1 a p 2 5 Závěr V případě špatně podmíněných polynomů může i malá změna byť jen jednoho koeficientu způsobit velkou změnu v jeho kořenech. Je třeba mít toto na paměti při přibližném určování koeficientů polynomu, při jejich zaokrouhlování, apod. Domnívám se, že problematika špatně podmíněných polynomů může být vhodným tématem jako rozšiřující učivo i pro střední školy s rozšířenou výukou matematiky. Studium této problematiky umožní lépe si uvědomit krásu i záludnost polynomů. Literatura [1] BULIRSCH, R.; STOER, J. Introduction to Numerical Analysis. New York : Springer-Verlag, s. ISBN [2] HOROVÁ, I. Numerické metody. 1. vyd. Brno : MU v Brně, s. ISBN [3] ORTEGA, J. M.; RHEINBOLDT, W. C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York : Academic Press, [4] RALSTON, A. Základy numerické matematiky. 1. vyd. Praha : Academia, s. [5] ŠMEREK, M. Výpočet kořenů polynomu. In XIX. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Vyškov : VVŠ PV, s ISBN [6] ŠMEREK, M. Špatně podmíněné polynomy. In XX. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Vyškov : VVŠ PV, s ISBN [7] ŠMEREK, M. Citlivost polynomů a podmíněnost matic. XXI. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu : sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD-ROMu. [CD-ROM]. Vyškov : VVŠ PV, 2003 [cit ]. ISBN Adresář: /clanky/1sxmerem.pdf. [8] ŠMEREK, M. Citlivost kořenů polynomů. Učitel matematiky. 2005, roč. 13, č. 2, s ISSN [9] ŠMEREK, M. Řešení nelineárních rovnic : závěrečná výzkumná zpráva projektu specifického výzkumu za rok Brno : Univerzita obrany, s., 3 příl. [10] ŠMEREK, M. Numerické řešení nelineárních rovnic. Rigorózní práce. Brno : PřF MU, s. [11] VITÁSEK, E. Numerické metody. Praha : SNTL, [12] WILKINSON, J. H. The evaluation of the zeros of ill-conditioned polynomials. Part I. Numerische Mathematik 1, 1959, vol. 1, s
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_143_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceVYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt
VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující
VíceAPROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka,
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu.
Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceV tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),
L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VícePARAMETRICKÁ STUDIE VÝPOČTU KOMBINACE JEDNOKOMPONENTNÍCH ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ
PARAMETRICKÁ STUDIE VÝPOČTU KOMBINACE JEDNOKOMPONENTNÍCH ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ Ing. David KUDLÁČEK, Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TUO, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Poruba, tel.: 59
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
VíceŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických
Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceHorner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc
Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Proč historická metoda v dnešní počítačové době? Dnes údajně počítače
VíceDiskrétní řešení vzpěru prutu
1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceSouth Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD
South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 1. Úvod do ANM doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VícePRAKTIKUM... Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Odevzdal dne: Seznam použité literatury 0 1. Celkem max.
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM... Úloha č. Název: Pracoval: stud. skup. dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceNUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VíceSpeciální numerické metody 4. ročník bakalářského studia. Cvičení: Ing. Petr Lehner Přednášky: doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D.
Speciální numerické metody 4. ročník bakalářského studia Cvičení: Ing. Petr Lehner Přednášky: doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. 1 Základní informace o cvičení Předmět: 228-0210/01 Speciální numerické metody
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceDISKRÉTNÍ PROCESY V ELEKTROTECHNICE
Výuka předmětu DISKRÉTNÍ PROCESY V ELEKTROTECHNICE Jaromír Baštinec, Ústav matematiky, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, VUT v Brně e-mail: bastinec@feec.vutbr.cz Irena Hlavičková Ústav
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceTvorba grafů v programu ORIGIN
LICENČNÍ STUDIUM GALILEO STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Tvorba grafů v programu ORIGIN doc.dr.ing.vladimír Pata Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Fakulta technologická Ústav výrobních technologií
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceGRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VíceDerivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
VíceTEMATICKÝ PLÁN VÝUKY
TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu
VíceAlgoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceFyzikální laboratoř. Kamil Mudruňka. Gymnázium, Pardubice, Dašická /8
Středoškolská technika 2015 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT Fyzikální laboratoř Kamil Mudruňka Gymnázium, Pardubice, Dašická 1083 1/8 O projektu Cílem projektu bylo vytvořit
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
VíceSoustavy rovnic pro učební obory
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy rovnic
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Více