43 Kapitola 7 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1 Úvod Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Jako normální tíhové zrychlení g n se definuje hodnota g n =9.80665 m s 2, což je tíhové zrychlení na 45 severní zeměpisné šířky při hladině moře. Mezi jednoduché, ale přesné metody stanovení jeho velikosti patří měření pomocí kyvadel. Kyvadla je možné rozdělit na dvě základní skupiny. 7.1.1 Matematická kyvadla Jde hmotný bod zavěšený na nehmotném závěsu. Pro periodu kyvu T matematického kyvadla, za předpokladu, že výchylka kyvadla nepřesáhne 4, platí: l T =2π g, kde { g = tíhové zrychlení l = délka kyvadla. (7.1) V praxi je možné matematické kyvadlo aproximovat zavěšením velmi malé, těžké koule na co nejlehčí, dobře ohebný závěs. Takto realizovaným kyvadlem je možné tíhové zrychlení měřit podle vztahu (7.1) s přesností okolo 1 %. 7.1.2 Fyzikální kyvadla Fyzikální kyvadlo může být každé tuhé těleso libovolného tvaru, které se může volně otáčet okolo osy neprocházející jeho těžištěm. Pohybová rovnice fyzikálního
44 Bartoň, Křivánek, Severa kyvadla je: J d2 φ(t) dt 2 = mgd sin φ(t), kde J = moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení d = vzdálenost těžiště tělesa od osy otáčení φ(t) = výchylka kyvadla, závisí na čase t, měří se od klidové polohy (7.2) Pokud se omezíme na malé výchylky, φ(t) 4, je možné ve vztahu (7.2) nahradit sin φ(t) φ(t) a získáme tak rovnici d 2 φ(t) + ω 2 φ(t) =0, kde ω 2 = mgd, ω = úhlová frekvence. (7.3) dt 2 J Vyřešením diferenciální rovnice (7.3) je možné získat vztah pro periodu kyvu: T = 2 π J ω =2π mgd. (7.4) Problém ale je s určením momentu setrvačnosti kyvadla J. Pokud se použije zvláštní, reverzní kyvadlo, není jej nutné znát. 7.1.3 Reverzní kyvadlo Obrázek 7.1: Reverzní kyvadlo Reverzní kyvadlo je znázorněno na obrázku 7.1. Jde o kyvadlo, které se může kývat okolo dvou rovnoběžných os, ležících v rovině obsahující hmotný střed kyvadla. Pokud osy nejsou okolo hmotného středu položeny symetricky a přitom doba kyvu pro obě osy je shodná, pak vzdálenost obou os je rovna délce matematického kyvadla, které má stejnou dobu kyvu. Vzdálenosti os se říká redukovaná délka l r reverzního kyvadla a osy se nazývají sdružené. 7.2 Experimentální uspořádání V praxi je reverzní kyvadlo tyč opatřená dvěma rovnoběžnými břity O 1 a O 2 vzdálenými o vzdálenost l r. Na jednom konci je posuvný těžký přívažek Z, zajišt ující
Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 45 asymetrii os vůči hmotnému středu kyvadla. Dá se nalézt taková poloha závaží Z, při které budou doby kyvu pro oba břity shodné. Přívažek Z se posouvá rotací po uvolnění aretačního šroubu. Po přesunu do nové polohy je nutné přívažek opět zajistit dotažením aretačního šroubu. Určit přesnou polohu přívažku je možné grafickou metodou. Měříme doby kyvu T 1 a T 2 kolem os R 1 a R 2 v závislosti na poloze = počtu otáček n přívažku Z od jeho nulové polohy, tedy od dorazu u břitu R 2. Dobu kyvu určíme pomocí optické závory a programu ISES. Obslužný program spustíme kliknutím na ikonu s popisem ISES. Po startu programu vybereme z menu Experiment možnost Nový experiment. Program otevře okno Parametry experimentu, znázorněné ne obrázku 7.2. Dobu měření nastavíme na 180 s. Dále nasta- Obrázek 7.2: Parametry experimentu víme Start měření z podmenu vybereme Trigger. Zkontrolujeme, zda program rozpoznal optickou závoru Vstupní kanál A. Kyvadlo zavěsíme na břit R 1, vychýlíme jej k dorazu na optické závoře a necháme kývat. Kliknutím na ikonu OK se toto menu uzavře. Měření se spustí automaticky a zastaví se po uplynutí nastaveného času.
46 Bartoň, Křivánek, Severa Po ukončení měření stanovíme následujícím způsobem frekvenci kyvů f. V Menu zvolíme možnost Zpracování, dále Zpracování dat. Poté stiskneme ikonu na levé straně okna se symbolem Sinusovka. Kurzorem myši najedeme na pole měření a to na střed levé strany a stiskneme a držíme levé tlačítko myši. Následným pohybem kurzoru myši doprava označíme celé měření a uvolníme tlačítko. V pravém okně se zobrazí hodnota vypočtené frekvence kyvů, viz obrázek 7.3. Skutečná frekvence Obrázek 7.3: Určení frekvence kyvů kyvů f je poloviční, protože optická závora změří během periody dva průchody kyvadla! Odtud se již pomocí vztahu T =1/f vypočte doba kyvu. Nyní se kyvadlo beze změny polohy přívažku zavěsí na osu R 2,opět se vychýlí a nechá se kývat. V hlavním menu měřícího programu stiskneme Experiment a vybereme možnost Nový experiment. Nastavení nového experimentu zachovává parametry experimetu předchozího. Stiskem OK se spustí nové měření. Po změření frekvence způsobem popsaným výše a vypočtení periody kyvu na ose R 2 provedeme změnu polohy otáčením přívažku, zavěsíme kyvadlo na osu R 1 a celý postup zopakujeme. Do grafu vyneseme na vodorovnou osu polohu přívažku, tedy počet otáček od krajní polohy dorazu a na svislou osu příslušné doby kyvu pro každou osu. Získáme
Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 47 tak dvě křivky, jejich průsečík pak určuje takovou polohu n 0 přívažku, pro niž je doba kyvu T 0 v rámci chyb měření stejná pro obě osy. Pokud se budou doby kyvu při nastavení přívažku do n 0 přesto lišit, provedeme nové měření v okolí hodnoty n 0 a stanovíme její novou a přesnější polohu. V případě nutnosti přesnějšího stanovení n 0 je nutné zvýšit i přesnost určení doby jednoho kyvu, což provedeme zvýšením počtu kyvů, jejichž dobu měříme. 7.3 Měření a vyhodnocení Změříme doby kyvu kolem obou os alespoň pro pět různých poloh přívažku Z, vždy po cca dvaceti otáčkách. Hodnoty zapíšeme do tabulky a vyneseme do grafu, který využijeme pro stanovení polohy n 0 přívažku. n [ot] T 1 [s] T 2 [s] 1 x 1 T 11 T 21.... N x N T 1N T 2N Obrázek 7.4: Grafické určení polohy přívažku Přívažek nastavíme tuto polohu, změříme a vypočteme periodu jednoho kyvu T 0 opět pomocí programu ISES a optické závory. Pro zvýšení přesnosti měření nastavíme v okně Parametry experimentu dobu měření 600 s.
48 Bartoň, Křivánek, Severa Dále změříme vzdálenost břitů os redukovanou délku kyvadla l r. Tíhové zrychlení poté vypočteme ve vztahu: g = 4 π2 l T0 2 r. Pokud určí vedoucí cvičení, pak způsobem naznačeným v části 1.4 určíme krajní chybu κ g tíhového zrychlení g. K výpočtu použijeme krajní chyby měření doby kyvu κ T0 a redukované délky κ lr. 7.4 Závěr a diskuse V závěru uvedeme naměřenou hodnotu g spolu s krajní chybou κ g a relativní chybou měření η g. Provedeme diskusi přesnosti měření a porovnáme naměřenou hodnotu s tabelovanými hodnotami. 7.5 Kontrolní otázky 1. K čemu je vhodné znát přesně tíhové zrychlení? 2. Co je moment setrvačnosti? 3. Proč se v rovnici (7.3) musíme omezit na maximální výkyv do 4? 4. Lze přesně změřit dobu velkého množství kyvů, aniž bychom je museli počítat? 5. Jak určit počet kyvů, jejichž dobu lze změřit i bez jejich počítání? 6. Jaká je souvislost mezi matematickým a reverzním kyvadlem? 7. Je reverzní kyvadlo i fyzikálním kyvadlem? 8. Co je fyzikální kyvadlo? 9. Proč osa závěsu fyzikálního kyvadla nesmí procházet jeho těžištěm? 10. Víte co je to Foucaltovo kyvadlo? 11. Délka závěsu matematického kyvadla se zdojnásobí. Jak se změní jeho perioda?