Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Transkript

1 Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

2 Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet stupňů volnosti tělesa v Euklidovském prostoru je i = 6 Typy pohybů v rovině (2D): posuvný rotační obecný rovinný (ORP) Pohyby v prostoru (3D) sférický šroubový pohyb obecný prostorový

3 Posuvný pohyb tělesa definice: 2 nerovnoběžné přímky nemění svůj směr trajektorie všech bodů jsou shodné navzájem posunuté křivky v každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů těles navzájem stejné existují dva pohyby: přímočarý posuvný křivočarý posuvný posuvný křivočarý rotační

4 Posuvný pohyb kinematika Posuvný pohyb je určen pohybem jednoho bodu dva body tuhého tělesa A, B polohový vektor bodu B je dán rovnicí B A BA (1) r = r + r r BA v = r = 0 ɺ má konstantní směr i velikost, rychlost je dána derivací vektorové rovnice (1) v = rɺ = v B B A BA BA zrychlení je dáno derivací a = vɺ = a B B A v B

5 Posuvný pohyb kinematika Pokud všechny body tělesa mají v daném okamžiku pohybu shodné kinematické veličiny, pak stačí určit kinematické veličiny 1 bodu (rychlost a zrychlení) k výpočtu použijeme vztahy pro přímočarý resp. křivočarý pohyb

6 Rotační pohyb tělesa jedna přímka tělesa zůstává trvale v klidu = osa rotace (otáčivý pohyb osa otáčení) trajektorie všech bodů jsou kružnice ležící v rovinách kolmých k ose rotace a mají střed na této ose, soustředné kružnice rotační pohyb je pohybem rovinným (vyšetřujeme v rovině kolmé k ose rotace)

7 Rotační pohyb kinematika rotační pohyb je určen úhlem φ úhlová rychlost [ s -1 ] ϕ = ϕ ( t) dϕ ω = =ɺ ϕ dt 2-2 dω d ϕ úhlové zrychlení [ s ] α = = ɺ ω = = ɺɺ ϕ 2 dt ( 2 ω ) dt d ωdω α = = 2dϕ dϕ

8 Rotační pohyb pohyb obecného bodu Pohyb obecného bodu A tělesa vyjádříme v souřadnicovém systému základního prostoru (0,x,y) s pomocí souřadnic bodu A v prostoru tělesa (0,ξ,η). Uvažujeme, že počátek obou souřadnicových systémů je shodný. ϕ = ϕ ( t) určuje pohyb tělesa. x y = ξ cosϕ η sin ϕ, = ξ sin ϕ + η cos ϕ, (1)

9 Rotační pohyb pohyb obecného bodu Rychlost obecného bodu A má složky v v x y ( ) ( ) ɺ = ξ sin ϕ + η cos ϕ ɺ ϕ, = ξ cosϕ η sin ϕ ϕ, Zrychlení obecného bodu a a x y ( ) ɺɺ ( ) ( ) ɺɺ ( ) ɺ = ξ ϕ + η ϕ ϕ ξ ϕ η ϕ ɺ ϕ 2 sin cos cos sin, 2 cos sin sin cos. = ξ ϕ η ϕ ϕ ξ ϕ + η ϕ ϕ kde ɺ ϕ = ω je úhlová rychlost ɺɺ ϕ = α = ɺ ω je úhlové zrychlení

10 Rotační pohyb -rotace kolem pevné osy vektorové vyjádření Úhel pootočení, úhlová rychlost a úhlové zrychlení jsou vektory ležící na ose rotace ϕ = ϕe ω = ɺ ϕ = ɺ ϕe α = ɺ ω = ɺɺ ϕ = ɺ ωe = ɺɺ ϕe e je jednotkový vektor na ose o, orientovaný tak, že při pohledu proti němu se jeví narůstání úhlu v kladném smyslu (proti smysli chodu hodinových ručiček dr v = = ω r dt i j k v = ω r = ω ω ω = zω yω i + xω zω j + yω xω k Rychlost bodu rotujícího tělesa ( ) ( ) ( ) x y z y z z x x y x y z

11 Rotační pohyb rotace kolem pevné osy Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí i j k v = ω r = 0 0 ω = yωi + xω j x y 0 dv Zrychlení bodu rotujícího tělesa a = = α r + ω v dt kde α r = a t je tečné zrychlení ω v = a je normálové zrychlení n

12 Rotační pohyb rotace kolem pevné osy dv a = = α r + ω v dt Složky vektoru zrychlení vyjádříme obdobně jako u rychlosti: : i j k a = α r = α α α = zα yα i + xα zα j + yα xα k ( ) ( ) ( ) t x y z y z z x x y x y z i j k a = ω v = ω ω ω = v ω yω i + v ω zω j + v ω xω k ( ) ( ) ( ) n x y z z y z x z x y x y v v v x y z

13 Rotační pohyb rotace kolem pevné osy Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí i j k a = α r = 0 0 α = yα i + xα j ( ) ( ) t z z x y 0 i j k a = ω v = 0 0 ω = v ω i + v ω j 0 ( ) ( ) n y x v x v y

14 Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření Rovinný případ: vyjdeme z rovnic (1) pro analytické vyjádření polohy bodu rotujícího těles x = y r = Tρ kde r je polohový vektor bodu v základním prostoru, ξ ρ = η je polohový vektor bodu v prostoru tělesa, cosϕ sinϕ T = sinϕ cosϕ je transformační matice rotačního pohybu

15 Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření Rychlost je dána derivací polohového vektoru vx v = y v = rɺ = Tρ ɺ kde v je vektor rychlosti bodu v základním prostoru, sin ϕ cos ϕ ɺT = ω cosϕ sinϕ Zrychlení je dáno derivací vektoru rychlosti T ɺɺ 2 = + a=r=tρ ɺɺ ɺɺ cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ ω α sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ