1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

Transkript

1 1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně rozložená (ρ = konst.), lze vypočíst podle následujících vztahů: kde y T = S z = z T = S y = y a z jsou prostorové souřadnice [m], y T a z T jsou souřadnice těžiště plochy [m], y d d, (1) z d d, () S y a S z jsou statické momenty 1.stupně (lineární) [m 3 ] a je obsah plochy [m ]. 1

2 Kvadratický, deviační a polární moment průřezu Hojně využívanou charakteristikou geometrie plochy je kvadratický (. stupně) moment průřezu. Tato charakteristika je využívaná zejména při výpočtech průhybu nosníků. Kvadratické momenty vzhledem k daným osám a deviační moment lze vypočíst následujícím způsobem: J y = J z = D yz = z d, (3) y d, (4) yz d, (5) kde y a z jsou prostorové souřadnice[m], J y,j z a D yz jsou kvadratické momenty průřezu a deviační moment průřezu [m 4 ] a je obsah plochy [m ]. Další charakteristikou, kterou lze s výhodou užít zejména v případě kruhového průřezu, je polární kvadratický moment průřezu J p = (y + z ) d = J y + J z, (6) kde y a z jsou prostorové souřadnice [m], J y,j z jsou kvadratické momenty průřezu [m 4 ], J p je polární kvadratický moment průřezu[m 4 ] a je obsah plochy [m ].

3 Steinerova věta Stejně jako v případě momentů setrvačnosti lze odvodit vztahy pro výpočet kvadratických momentů k posunutým osám oproti osám procházejícím těžištěm. kde y a z jsou prostorové souřadnice [m], J y = J yt + a, (7) J z = J zt + b, (8) D yz = D yt z T + ab, (9) y T a z T jsou souřadnice těžiště plochy [m], a a b vzdálenosti mezi jednolitými osami [m], J y,j z a D yz jsou kvadratické momenty a deviační moment průřezu vzhledem k posunutým osám [m 4 ], J yt,j zt a D yt z T jsou kvadratické momenty a deviační moment průřezu vzhledem k osám procházejícím těžištěm plochy [m 4 ] a je obsah plochy [m ]. Momenty vzhledem k pootočeným osám (Culmanova kružnice) Zopakujme nyní dva velmi důležité pojmy, které byly vysvětleny v kapitole věnované charakteristikám rozložení hmoty v tělese. Hlavní osy jsou takové osy které jsou natočeny v bodě takovým způsobem, že je deviační moment roven nule. Hlavní centrální osa je taková osa, která navíc prochází těžištěm. Platí vztahy pro počítání s goniometrickými funkcemi: sin α = 1 cosα, (10) cos α = 1 + cosα, (11) sinαcosα = 1 sinα. (1) 3

4 Obrázek : Pootočení systému souřadnic. Transformační vztahy mezi systémy souřadnic mají tvar: ξ = zcosα + ysinα (13) η = zsinα + ycosα (14) Proveďme nyní odvození vztahu pro kvadratický moment průřezu vzhledem k ose ξ. Kvadratický moment průřezu vzhledem k ose η a deviační moment lze odvodit analogickým způsobem. J ξ = = = sin α η d = ( zsinα + ycosα) d = (z sin α yzsinαcosα + y cos α) d = z d sinαcosα yz d + cos α = sin J y sinαcosαd yz + cos αj z = = 1 cosα J y sinαd yz cosα J z = = J y + J z J η = J y + J z y d = J y J z cosα D yz sinα (15) + J y J z cosα + D yz sinα (16) 4

5 D ξη = J y + J z sinα + D yz cosα (17) Postup konstrukce Culmanovy kružnice Culmanova kružnice umožňuje graficky určit hodnoty momentů setrvačnosti a deviačního momentu pro souřadnicové osy natočené o určitá úhel vzhledem kosám pro něž jsou momenty již známé. Rovněž je možné určit směr hlavních os. Na Obr.3 je zakrasleno těleso a souřadnicové osy x a y, zároveň jsou zde ukázány hlavní osy, tedy osy, pro které vyjde deviační moment nulový. Obrázek 3: Těleso, systém souřadnic O(x, y) a systém hlavních os O(I, II). Nechť jsou známy (vypočteny) kvadratické momenty J y a J z vzhledem k osám y a z a deviační moment D yz. Ukažme si nyní jakým způsobem sestrojit Culmanovu kružnici. 1. Na vodorovnou osu vynášíme kvadratické momenty a na svislou osu deviační momenty.. Vynesme tedy hodnotu J z a do kladné části svislé osy hodnotu D yz. Tím získáme bod kružnice, který je obrazem roviny dané směry os z a x (osa kolmá k osám y a z). 3. Vynesením J y a D yz tak jak je uvedeno v Obr.5 dostaneme druhý bod kružnice. Spojením těchto dvou bodů dostaneme střed kružnice. Hlavní 5

6 Obrázek 4: Vynesení J z a D yz. osy a osy x a y svírají úhel ϑ, do Culmanovy kružnice se vynáší úhel dvojnásobný ϑ. Obrázek 5: Vynesení J y a D yz. Nalezení středu kružnice a zobrazení úhlu který svírají hlavní osy a osy y a z. 4. Nyní lze zkonstruovat celou kružnici. Je-li Culmanova kružnice zkonstruovaná, lze zjistit hodnoty kvadratických momentů a deviačního momentu pro libovolně natočený svazek rovin. 6

7 Vzorové příklady Obrázek 6: Culmanova kružnice. Hodnoty momentů pro vybrané jednoduché typy průřezu Kruhový průřez Obrázek 7: Kruhový průřez. K vyjádření jednotlivých kvadratických momentů kruhového průřezu vzhledem k souřadnicovým osám procházejícím těžištěm s výhodou vy- 7

8 užijeme tzv. kvadratický polární moment (6), do kterého dosadíme následující. Za diferenciál plochy d = πρdρ (18) a za člen v závorce (x + y ) = ρ. (19) Do (6) dosadíme (18) a (19) a tento integrál vyřešíme J p = r 0 ρ πρdρ = πr4 = πd4 3. (0) Kde d je průměr kruhového průřezu. Pak tedy bude J z = J p = πd4 64. (1) Stejným způsobem vyjádříme i J y. Deviační moment je v tomto případě nulový pro libovolně natočené osy procházející těžištěm. Výsledné momenty tedy budou: Obdélníkový průřez J p = πd4 3, J y = πd4 64, J z = πd4 64, D yz = 0. Odvoďme vztah pro výpočet kvadratického momentu obdélníkového průřezu J z zobrazeného na Obr.8. 8

9 Obrázek 8: Obdelníkový průřez. J z = y d = b h b h y dydz = b b [ y 3 3 ] h h dz = = b b h 3 h3 dz = 1 1 [y] b b = 1 1 bh3 () Stejným způsobem se odvodí i vztah pro J y. Výpočet deviačního momentu lze provést takto: D yz = yz d = b h b h yz dydz = b b [ y ] h h dz = 0 (3) Na závěr uveďme ještě jednou výsledné vztahy: J y = 1 1 b3 h, J z = 1 1 bh3, D yz = 0. 9

10 H profil Obrázek 9: H profil. Zadání Vypočtěte následující veličiny, pro průřez nosníku, který je zobrazen na Obr.9: J yt, J zt a D yt z T - Kvadratické momenty a deviační moment vzhledem k osám procházejícím těžištěm. J yp, J zp a D yp z P - Kvadratické momenty a deviační moment vzhledem k osám posunutým o vzdálenost a resp. b vzhledem k osám y T resp. z T. 10

11 Dáno Řešení a = 0 mm b = 15 mm d = 40 mm h = 100 mm t = 10 mm Určení J yt, J zt a D yt z T. Hodnoty momentů J yt, J zt a D yt z T lze stanovit několika způsoby. Zde budou ukázány dva. Obrázek 10: H profil rozdělený na části jedním způsobem. Nejprve ukažme způsob, kdy rozdělíme H profil na základní obdélníky (viz Obr.10). Vyjádřeme hodnoty momentů jednotlivých obdélníků vzhledem k jejich težištím: J y1 = 1 1 ht3, J y = 1 1 td3, J y3 = 1 1 ht3, J z1 = 1 1 th3, J z = 1 1 dt3, J z3 = 1 1 th3, D y1 z 1 = 0, D y z = 0, D y3 z 3 = 0. (4) 11

12 Dále je nutné vyjádřit hodnoty momentů jednotlivých obdélníků vzhledem k osám procházejícím těžištěm celého H profilu. K tomu s výhodou využijeme Steinerovu větu. Pak tedy: J yt1 = 1 1 ht3 + 1ht (t + 4 d), J yt = 1 1 td3, J yt3 = 1 1 ht3 + 1ht (t + 4 d), J zt1 = 1 1 th3, J zt = 1 1 dt3, J zt3 = 1 1 th3, D yt1 z T1 = 0, D yt z T = 0, D yt3 z T3 = 0. (5) Hodnoty momentů celého H profilu vzhledem k osám procházejícím těžištěm vyjádříme jako: J yt = J yt1 + J yt + J yt3, J zt = J zt1 + J zt + J zt3, (6) D yt z T = D yt1 z T1 + D yt z T + D yt3 z T3. Po dosazení bude J yt = 1 6 ht3 + 1 ht (t + d) td3, J zt = 1 6 th dt3, (7) D yt z T = 0. Nyní ukažme způsob, kdy budeme počítat vždy hodnoty momentů vzhledem k težišti celého H profilu. to tak, že spočteme nejdříve hodnotu příslušného momentu obdélníku o rozměrech (t + d) x h (na Obr.11 označen jako 1), od toho odečteme hodnotu momentu vnitřku H profilu o rozměrech d x h (na Obr.11 označen jako ) a nakonec připočteme hodnotu momentu příčky o rozměrech d x t (na Obr.11 označena jako 3). J yt = 1 1 h (t + d)3 1 1 hd td3 = = 1 1 h ( 8t 3 + 1t d + 6td + d 3) 1 1 hd td3 = = 8 1 ht ht d htd hd3 1 1 hd td3 = = 1 ht ht ht d htd td3 = = 1 6 ht3 + 1 ht ( t + td + d ) td3 = 1

13 Obrázek 11: H profil rozdělený na části druhým způsobem. = 1 6 ht3 + 1 ht (t + d) td3 (8) J zt = 1 1 (t + d) h3 1 1 dh dt3 = = 1 th dh3 1 1 dh dt3 = = 1 6 th3 1 1 dt3 (9) D yt z T = 0 (30) Po vyčíslení bude J yt = mm 4, J zt = mm 4, D yt z T = 0 mm 4. Určení J yp, J zp a D yp z P. K určení těchto momentů s výhodou využijeme Steinerovu větu. Vypočtěme nejprve obsah H profilu. 13

14 = ht + dt (31) nyní můžeme vyjádřit momenty vzhledem k osám y P a z P jako J yp = J yt + b, (3) J zp = J zt + a, (33) D yp z P = D yt z T + ab. (34) Po vyčíslení bude J yp = mm 4, J zp = mm 4, D yp z P = mm 4. 14