ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 0 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. Testový sešit První část didaktického testu obsahuje otevřené úlohy. Ve druhé části jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je-li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Poznámky zapsané do testového sešitu nebudou předmětem hodnocení. Hodnoceny budou pouze odpovědi vyznačené v záznamovém archu. Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Pokyny pro vyplňování záznamového archu Pište modrou nebo černou propisovací tužkou. Odpověď na otevřenou úlohu pište čitelně do vyznačeného pole záznamového archu. Zápisy uvedené mimo vyznačená pole se nenačítají a nebudou vyhodnoceny. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis bude považován za chybné řešení. Je-li v poli záznamového archu uvedeno Řešení, uveďte kromě odpovědi celý postup řešení. Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném poli záznamového archu. 14 A B C D Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D 14 Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání - CERMAT, www.cermat.cz, www.novamaturita.cz Jeruzalémská 957/1, 110 00 Praha 1 Tel.: 4 507 111
Úloha 1 max. b. Najděte nejmenší přirozené číslo c takové, aby nejmenší společný násobek čísel c, 4 a 1 byl 5, tedy n c, 4,1 =. ( ) 5 Úloha max. b. 0 16 Vypočtěte číslo q, kde q = ( 6 10 + 10 ) :1. Číslo q zapište rozvinutým zápisem v desítkové soustavě, podobně jako je zapsán dělenec. Úloha max. b. Určete nejmenší hodnotu proměnné R, z + 1 = z+ 5 z+ 5+. z pro níž platí: ( ) ( ) Úloha 4 max. b. V x = x x+ 1 je definován pro všechna x R. Výraz ( ) ( ) ( ) 4.1 Pro která x je hodnota výrazu V ( x) nulová? 4. Určete nejmenší hodnotu výrazu V ( x).
Úloha 5 max. b. t Určete hodnotu neznámé t R v rovnici 0,5 = 4. Úloha 6 max. b. Upravte výraz a vypočtěte r, kde r =, 5 log 100 log 5. 0 4 4 Úloha 7 max. b. 1 π Určete hodnotu y R, kde y = sin α + cos α, jestliže je sin α = a α ; π. Úloha 8 max. b. Určete souřadnice středu S úsečky PQ dané parametrickým vyjádřením: PQ : x= 1 t y= t, kde t 5;1.
Úloha 9 max. b. Desátý člen aritmetické posloupnosti je nulový ( a 10 = 0 ). Určete podíl p nenulových členů a 0 a a 0 : a0 p=. a 0 Úloha 10 max. b. Vypočtěte číslo s : 006! 005! 004!! 1! s = + K+. 005! 004! 00! 1! 0! Úloha 11 max. b. V polorovině ABS najděte a vyznačte vrchol C trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhel při vrcholu C má velikost 45 a délka strany a ( = BC ) je shodná s délkou těžnice t c na stranu c ( = AB ). Všechna řešení vyznačte v obrázku uvedeném v záznamovém archu. S A B 4
Úloha 1 max. 4b. Pozemek tvaru obdélníka má výměru 1 hektar. Jedna jeho delší strana je ohraničena řekou, pouze tři zbývající strany jsou oploceny. Délka plotu je 85 metrů. Jaké jsou rozměry pozemku? Do záznamového archu uveďte celé řešení. S = 1 ha 5
Úloha 1 max. 5b. Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát firmy MOULA&spol., v němž stálo: aše firma zhodnotí Vaše peníze! Za 100 dnů si splníte své sny! Za jednorázovou investici v hodnotě 10 000 korun a více garantujeme 6% zisk za 100 dnů. Dokonce i investice pod 10 000 korun Vám přinese za 100 dnů % zisk. Chybí Vám peníze? Půjčíme Vám až 10 000 korun na 100 dnů! Teprve až uplyne celých 100 dnů, zaplatíte 15% úrok z půjčené částky. Hermína by ráda investovala 10 000 korun, a proto zvažovala možnost půjčky. Zodpovězte následující otázky za předpokladu, že firma dostojí svým slibům. 1.1 Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku 8 500 korun? 1. O kolik korun se zvýší její zisk, pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje 10 000 korun? 1. Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě vyplatit. Naopak pro nízké částky je výhodnější investice bez půjčky. Pro jakou částku přinášejí obě možnosti (investice částky s půjčkou i bez půjčky) stejný zisk? Do záznamového archu uveďte celé řešení. 6
Úloha 14 max. 4b. V R R jsou dány funkce : y= ( x+ 4) g : y= 4 log x. Určete následující množiny: 14.1 definiční obor D f funkce f, 14. obor hodnot H f funkce f, 14. definiční obor D g funkce g, f a funkce ( ) 14.4 obor hodnot H g funkce g. Příslušné množiny vybírejte z následujících nabídek A F: A) R \{ 4} B) ( ; 4) C) ( ; 4 D) 4 ; ) E) ( 4 ; ) F) jiná možnost Úloha 15 max. 4b. Na kuželosečce s ohnisky E, F leží bod X. Umístění bodů je v náčrtku. Z hodnot uvedených v A F vyberte: 15.1 velikost delší poloosy, je-li kuželosečkou elipsa, 15. velikost kratší poloosy, je-li kuželosečkou elipsa, 15. velikost delší poloosy, je-li kuželosečkou hyperbola, 15.4 velikost kratší poloosy, je-li kuželosečkou hyperbola. A) B) C) D) E) 8 F) jiná hodnota Pozor! U hyperboly nemusí být hlavní poloosa delší než vedlejší. 6 X E 10 F 7
Úloha 16 b. Stěnová a tělesová úhlopříčka v krychli vycházejí z téhož vrcholu. Jejich odchylka je ϕ. Které z následujících tvrzení je pravdivé? A) B) C) D) tg ϕ = sin ϕ = cos ϕ = cotg ϕ = Úloha 17 b. Za půl roku zaplatila domácnost s Kč za celkové náklady na spotřebovanou elektrickou energii. Měsíční poplatek za pronájem elektroměru byl přitom r Kč a spotřeba 1 kwh stála t Kč. Kolik kwh domácnost za toto období spotřebovala? s+ 6r A) kwh t t B) kwh 6 s r s 6r C) kwh t 6r s D) kwh t 8
Úloha 18 b. Průměry kružnic jsou úsečky KL a AB. Určete koeficient podobnosti k (0 < k < 1) daných trojúhelníků. A) B) k k = = 8 15 5 C) k = D) jiná hodnota L 9 M 15 α K A C 8 α B Úloha 19 b. Které z následujících tvrzení je pravdivé? A) B) C) D) + n lim = n 4+ n lim n lim n n 4 = ( n+ 4) 4 n 4n = 4 ( n+ 1) ( 4n+ 1) 4 n lim = n 4n 9
Úloha 0 max. b. Hází se dvěma hracími kostkami s 1, až 6 oky na stěnách. Označme následující jevy: J: Počty ok, které padnou na obou kostkách, se liší o jednotku. D: Počty ok, které padnou na obou kostkách, se liší o dvě. T: Počty ok, které padnou na obou kostkách, se liší o tři. S: Na obou kostkách padne stejný počet ok. P J, P D, P T, P S. Pravděpodobnosti jednotlivých jevů označme po řadě ( ) ( ) ( ) ( ) Rozhodněte, jsou-li následující tvrzení pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE). 0.1 ( ) 1 P S = (ANO NE) 6 0. ( J) P( D) P > (ANO NE) 0. ( S) P( T) P (ANO NE) 0.4 ( D) P( T) P = (ANO NE) KO EC TESTU 10