2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

Transkript

1 KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. a =,011 b = 0,79. Největší společný dělitel dvou neznámých čísel je a nejmenší společný násobek těchto čísel je 8. Určete, o která dvě neznámá čísla se jedná.. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: a 9b. b c 5c. a 5c : a studentů mělo možnost přihlásit se do matematického nebo fyzikálního semináře. Z celkového počtu studentů se jich 9 7 přihlásilo alespoň do jednoho ze seminářů. Pouze do matematického semináře se přihlásilo třikrát více studentů než do obou seminářů současně. Pouze do fyzikálního se přihlásilo 7 studentů. Kolik se jich přihlásilo do fyzikálního a kolik do matematického semináře? 6. Určete dvě čísla, nichž jedno je o 10 větší než druhé, víte-li, že rozdíl druhých mocnin obou čísel je Vydělte a proveďte zkoušku: (5x +17x 6x +6 1x ) : (1 + x x) = Rozložte následující výrazy na součin: a. 9(m n) 9(m + n) = b. x - (b +6)x + (b ) = 8. Řešte v množině R soustavu nerovnic: 1 x 8 x x x 1 x 1 x x

2 9. V množině Z řešte soustavu nerovnic: 1 5x x 7 x 5x 1 x x 10. S využitím vhodné substituce řešte v R:. x x. x 1 x Řešte v R rovnici : 1 x. x x 1 1. Řešte v R nerovnici : 1 x 1. Řešte v R nerovnici: x _ 1< x 1. Jsou dány úsečky délek a, b. Sestrojte úsečku délky a x. b a b 15. Je dán trojúhelník ABC, c = 8 cm, = 60 o, tc = 5 cm. Trojúhelník sestrojte, zapište konstrukci a sestrojte libovolný obdélník a čtverec, které budou mít stejné obsahy jako trojúhelník ABC. 16. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dáno: a = 8 cm, vc = 6 cm, ta = 5 cm. Zapište konstrukci a uveďte počet řešení. 17. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a,b tak, že jejich vzdálenost je,5 cm. Uvnitř rovnoběžkového pásu je dán bod M tak, že vzdálenost bodu M od přímky a je 1,5 cm. Sestrojte všechny kružnice k, které se dotýkají přímek a, b a procházení bodem M. Zapište konstrukci a uveďte počet řešení 18. Sestrojte úsečku délky 1.

3 SEXTA úlohy k opakování 1. Je dána funkce f: y = -x x 1. a) sestrojte graf funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm b) stanovte definiční obor a obor hodnot fukce f c) určete, pro která x R platí 0 f(x) d) do téhož obrázku zakreslete graf funkce g: y = x a řešte graficky nerovnici f(x) g(x). Určete definiční obor funkce f: y = x x 5x x 1 x 1. Je dána funkce f: y = x 1 a) sestrojte graf funkce f b) určete definiční obor a obor hodnot funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm c) vypočtěte, pro která x D(f) platí: f(x) = d) určete průsečíky grafu se souřadnými osami x, y. Je dána funkce f: y = x 1 x a) sestrojte graf funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm b) určete definiční obor a obor hodnot funkce f x 5. Je dána funkce f: y =. x 1 a) sestrojte graf funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm b) stanovte definiční obor a obor hodnot funkce f c) určete souřadnice průsečíků grafu funkce s osami x,y 6. Určete definiční obor funkce f: y = log ( x ) log( x 9) 7. Řešte v množině R rovnici a proveďte zkoušku: 65. x1 x Řešte v množině R rovnici: log(x-) log(-x) = 1 0, 9. Řešte v množině R rovnici: cos x 5sin x

4 10. Řešte v množině R rovnici: sin x.cos x 1 x x x 11. Určete hodnotysin x,cos x, tg x,sin,cos, tg je-li dáno cos x < 0 sin x 5 1. V rovnoběžníku ABCD je dáno AB = a = 7cm, BC = b = cm a velikost úhlu DAB = = 55 o. Vypočítejte výšku rovnoběžníka a jeho obsah. Zaokrouhlujte na dvě desetinná místa. 1. Sestrojte graf funkce f: y = sin x. cotg x. Stanovte definiční obor a obor hodnot. 1. Je dána krychle ABCDEFGH s dolní podstavou ABCD. Na hraně BC je dán bod X tak, že BX =.CX. Bod Y je středem hrany EH. Bod Z leží na polopřímce DH (nad bodem H) tak, že platí ZH = 1 DH. Sestrojte řez krychle rovinou = XYZ. Viditelnost vyznačte tak, že z krychle zůstane jen seříznutá část s vrcholem A. 15. V kvádru ABCDEFGH s rozměry AB = cm, BC = cm a AE = 6 cm vypočtěte odchylku přímek: a) BD a EF b) BG a AC 16. V krychli ABCDEFGH s dolní podstavou ABCD je X bodem polopřímky HG (vpravo od bodu G) tak, že platí HX =.GX. Vypočítejte odchylku přímky AX od roviny ABC. 17. Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu BC = 5 cm. Odchylka pobočné hrany AV a roviny ABC je = 60 o. Vypočítejte objem a povrch jehlanu.

5 SEPTIMA úlohy k opakování 1. Je dána přímka p: x y + = 0 a body A = [, 0], B = [1, -], které na ní neleží. Na přímce p určete souřadnice bodu P, který má od obou bodů A, B stejnou vzdálenost.. Je dán trojúhelník ABC, A = [-, 0], B = [, 1], C = [1, 6]. a) určete obecnou rovnici přímky, ve které leží těžnice na stranu b = AC b) napište parametrické vyjádření přímky, ve které leží výška na stranu c = AB c) vypočítejte velikost vnitřního úhlu = BAC trojúhelníka ABC (bez počítačky). V rovině jsou dány dva body K = [-1, ], L = [5, ]. Světelný paprsek prochází bodem K, odrazí se od osy x a projde bodem L. a) určete obecnou rovnici přímky k, ve které leží dopadající paprsek (ten, který prochází bodem K) b) určete souřadnice bodu M na ose x, kde se paprsek odrazí c) určete obecnou rovnici přímky, ve které leží paprsek odražený (procházející bodem L). V rovině jsou dány přímky p: x y -15 = 0 a q: x = 5 - t y = - - 6t t R. a) vyšetřete vzájemnou polohu těchto dvou přímek b) napište vyjádření poloroviny určené přímkou p a bodem X = [6, ] c) leží v této polorovině body R = [5, -10], Q = [, -]? d) leží v této polorovině přímka q? 5. Jsou dány body A=[,1], B=[-1,7], C=[,0], D=[-,] a) napište obecné rovnice přímek p=ab, q=cd b) určete směrnice přímek p,q c) vypočtěte odchylku přímek p,q 7b. 6. Je dána rovnice k: x + y 6x +y + 5 = 0. a) zjistěte, zda se jedná o rovnici kružnice (určete střed a poloměr kružnice) b) určete všechna c R, pro která je přímka t: -x +y + c =0 tečnou kružnice k b. 7. V rovině jsou dány body S=[,1] a A=[,0]. a) napište rovnici kružnice se středem S, která prochází bodem A b) vypočtěte souřadnice průsečíků této kružnice se souřadnou osou y 8. Napište obecné rovnice tečen kružnice k: x + y + y 8 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou p: x y + 5 = Obecnou rovnicí je dána kuželosečka M: x y 8x y 0 0. a) Identifikujte rovnicí danou kuželosečku. b) Napište obecné rovnice tečen dané kuželosečky v jejích bodech T = [?, ] b.

6 10. Obecnou rovnicí je dána elipsa E: 9x 5y 18x 100y Z bodu Q = [ -, 7] veďte tečny k dané elipse a napište jejich obecné rovnice. Na tečnách stanovte rovněž příslušné body dotyku. 11. Identifikujte a narýsujte kuželosečku K: x y x y 8 0. (Podle definice dané kuželosečky sestrojte několik jejích bodů, řádně v obrázku popište její určující prvky). 1. Napište rovnice parabol, které mají vrchol V = [, -7], prochází bodem M = [, -5] a jejich osa je rovnoběžná se souřadnou osou. x 1. Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu 15 x obsahuje x? x 1 x 1. Řešte rovnici a proveďte zkoušku: 9 x x 15. V obchodě mají pět druhů kávy balené vždy v sáčcích po 50g. Kolika způsoby je možno koupit 1 kg kávy, když od jednoho druhu kávy mají pouze dva sáčky? Ostatní druhy jsou k dispozici v dostatečném množství. 16. Z osmi mužů, mezi kterými je pan Jiří a pan Pavel a z šesti žen, mezi kterými jsou paní Elvíra a Ivana budeme vybírat skupinu složenou z pěti mužů a čtyřech žen. Kolika způsoby je to možně udělat, když : a. mezi vybranými má být pan Jiří i paní Elvíra? b. mezi vybranými nemá být pan Pavel a má tam být paní Elvíra i Ivana? 17. Kolik existuje šesticiferných čísel, která : a. mají uprostřed dvojčíslí 59? b. začínají i končí stejnou číslicí? c. mají na místě tisíců sudou a na místě jednotek lichou číslici? 1

7 OKTÁVA úlohy k opakování 1. Zjednodušte a výsledné komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru: 1 i 1 i 1 i 1 i. V Gaussově rovině komplexních čísel vyznačte množinu: M = {z C ; z - i + i z - i }.. V množině C řešte rovnici : i.( z z 1) ( i).( z z i ). a) Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru: i 1 i 1 b) V Gaussově rovině komplexních čísel jsou dány obrazy komplexních čísel a,b. Sestrojte obraz čísla z = a.b. 5. Řešte v oboru C rovnici: x ( i). x i 0 6. Řešte v oboru C rovnici: x 9x Vypočtěte: 5 10 ( i i i i ) a) 1 i

8 1 b) 1 i 1 i 8. Určete kr tak, aby číslo z i k. i (5 k). i bylo a) reálné, b) ryze imaginární, c) bylo z Řešte v R: x x x 8x... 1 x x Kolik Kč naspoří střadatel za 7 let, ukládá-li vždy počátkem měsíce, na účet úročený úrokovou mírou ročně, částku 1 00,- Kč? (Úrokovací období je jeden měsíc, úrok se počítá vždy koncem měsíce a daň z úroku se platí 15. Vypočtený kvocient nezaokrouhlujte!) Jaký je střadatelův celkový výnos z tohoto spoření? 11. Sečtěte prvních deset členů aritmetické posloupnosti n n1 a, ve které platí : a, a7 1,. Sečtěte rovněž prvních deset členů posloupnosti, která má stejný první člen, ale poloviční diferenci. 1. Zjistěte, které z následujících nekonečných řad jsou geometrické. Ty z nich, které jsou konvergentní, sečtěte. a) n1 5 n b) n n 1 1 n1 n c) 1