MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

Transkript

1 MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD0C0T0 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 2 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. Testový sešit První část (úlohy 0) didaktického testu tvoří úlohy otevřené. Ve druhé části (úlohy 2) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Poznámky zapsané do testového sešitu nebudou předmětem hodnocení. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Pokyny pro vyplňování záznamového archu Pište modrou nebo černou propisovací tužkou. Výsledky otevřených úloh pište čitelně do vyznačených polí záznamového archu. 7 Je li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení. Zápisy uvedené mimo vyznačená pole se nenačítají a nebudou vyhodnoceny. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis bude považován za chybné řešení. V úlohách s nabídkou odpovědí vyberte správnou odpověď a vyznačte ji křížkem v příslušném poli záznamového archu. A B C D E 4 Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D E 4 Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

2 Úlohy vyřešte a výsledky zapisujte do příslušných polí v záznamovém archu. Úloha max. 2 body Jsou dána čísla 9 0, Ve stejném tvaru (součin co nejmenšího přirozeného čísla a mocniny deseti) uveďte čísla, : Úloha 2 max. 2 body Pro 0 zjednodušte výraz: Úloha 3 max. 2 body Posloupnost je určena vzorcem.. Kolik členů posloupnosti je větších než? 2. Vypočtěte limitu pro. Úloha 4 max. 2 body V řešte: log4 x log 8

3 Úloha 5 max. 2 body Je dán čtyřúhelník (viz obrázek). Strana má délku, strana délku, velikosti úhlů a jsou a, vnitřní úhly při vrcholech a jsou pravé. Vyjádřete délku v závislosti na veličinách, a. D C d x A B Úloha 6 max. 2 body V nádobě tvaru válce o poloměru podstavy 5 cm sahá voda do výšky 20 cm. Ponořením ocelové krychle hladina stoupne o 4 cm. Kolik centimetrů měří hrana krychle? Údaj zaokrouhlete na jedno desetinné místo.

4 Úloha 7 max. 2 body Ze vztahu x 2 y vyjádřete pro přípustné hodnoty proměnnou. x 3 Úloha 8 Reálná funkce s reálnou proměnnou je dána předpisem: max. 3 body 3. Určete průsečíky a grafu funkce s osami souřadnic a. 2. Sestrojte graf funkce. y O x

5 Úloha 9 Kružnice se středem je vepsána do čtverce s vrcholy 4; 0, 2; 2, 4; 4 a 2; 6.. Proveďte náčrtek. 2. Určete souřadnice středu, poloměr a rovnici kružnice. Do záznamového archu uveďte celý postup řešení včetně náčrtku! max. 4 body

6 Úloha 0 max. 4 body Během prvních 5 dnů se vyrobilo denně v průměru o čtvrtinu výrobků méně, než se vyrobilo v každém z 0 následujících dnů. Celkem se vyrobilo výrobků. Kolik výrobků z tohoto počtu připadá na prvních 5 dnů? Do záznamového archu uveďte celý postup řešení!

7 Každou z následujících úloh vyřešte, vyhledejte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu. Úloha K výrazům 3 přiřaďte ekvivalentní vyjádření z nabídky A E pro libovolné.. cos sin A) 2. cos sin B) 3. cos2 C) sin2 D) 2sin E) není uvedeno max. 3 body Úloha 2 max. 3 body V předpisech zobrazení 3 doplňte podle obrázku chybějící symboly z nabídky A E. D C P B J E F R A O I G H. Ve středové souměrnosti se středem se úsečka zobrazí na. A) 2. V osové souměrnosti s osou se úsečka zobrazí na úsečku. B) 3. V otočení se středem o úhel 60 se úsečka zobrazí na. C) D) E)

8 Úloha 3 2 body Bod je vnitřním bodem hrany krychle. Na které přímce určené vrcholy krychle leží průsečík přímky s rovinou? A) na přímce H G B) na přímce C) na přímce E F D) na přímce E) na jiné přímce M D C A B Úloha 4 2 body Jaká je odchylka přímky : 3 0 a přímky : 3? A) 90 B) 60 C) 45 D) 30 E) Přímky jsou rovnoběžné.

9 Úloha 5 Určete součet nekonečné geometrické řady, kde pro všechna přirozená čísla platí: 4 2 A) součet neexistuje 2 body B) C) D) E) jiná reálná hodnota Úloha 6 Pro všechny reálné hodnoty proměnné platí: 2 body 2 8 Který zápis bude po dosazení vypočtených hodnot, pravdivý? A) 2 B) C) 2 0 D) 0 E) 2 Úloha 7 2 body Značka automobilu se skládá ze šesti znaků. První tři znaky jsou některá z písmen ABCDEF a po nich následuje trojčíslí z číslic 0 až 9. (Znaky se mohou ve značce opakovat, takže existuje například značka ABA020.) Jaký maximální počet aut lze takto označit, když žádná dvě auta nesmí mít stejnou značku? A) 26 B) C) D) E)

10 Úloha 8 2 body Ve firmě jsou zaměstnanci rozděleni do dvou skupin. V první skupině mají zaměstnanci průměrný měsíční plat korun, ve druhé pobírají průměrně korun. Průměrný měsíční plat všech zaměstnanců firmy je korun. Kolik procent zaměstnanců je zařazeno do druhé skupiny? A) méně než 75 % B) alespoň 75 %, ale méně než 80 % C) alespoň 80 %, ale méně než 85 % D) alespoň 85 %, ale méně než 90 % E) nejméně 90 % Úloha 9 Martin si půjčil částku korun. Na konci každého úrokovacího období splatil korun. Po pěti splátkách se dlužná částka snížila na korun. Kolik procent z dosud zaplacených peněz šlo na platbu úroků? A) téměř 24 % B) téměř 27 % C) 30 % D) asi 33 % E) jiný počet 2 body

11 Úloha 20 2 body Hledáme komplexní číslo, jehož druhá mocnina je rovna číslu i (tj. imaginární jednotce). Na kterém z obrázků jsou zobrazena obě komplexní čísla, s touto vlastností? A) B) y i y i O x O x C) D) y i y i O x O x E) y i O x

12 Úloha 2 max. 3 body Přirozené číslo n má na předposledním místě pětku a zbývajících 29 cifer tvoří dvojky. O každém z následujících tvrzení 4 rozhodněte, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne).. Číslo n je dělitelné čtyřmi. 2. Číslo n je dělitelné osmi. 3. Číslo n je dělitelné devíti. 4. Číslo n je dělitelné šesti. ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDLI VŠECHNY ODPOVĚDI

13 ŘEŠENÍ MAGVD0C0K0 MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti celkem uzavřených otevřených počet úloh 2 0 včetně podúloh počet svazků typ úlohy úloha podúloha správné řešení bodování poznámky k hodnocení O (u) O (u) O (u) lim 0 0 O (u) 4 (2 3 0),, 2 0 O (u) 5, sin sin 2 0 sin sin O (u) 6 00π 6, ,8 cm 2 0 O (u) 7, resp ; 0 0; O (u) graf funkce O (u) 9 náčrtek čtverce, 0; 2 ; 0; : MAGVD0C0K0

14 typ úlohy úloha podúloha správné řešení bodování poznámky k hodnocení O (u) výrobků SU (p)..2 C A Max. 3 body 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b..3 D podúloha b. 0 podúloh 0 b SU (p) 2 2. C 2.2 A 2.3 E Max. 3 body 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. podúloha b. 0 podúloh 0 b U 3 A 2 0 U 4 D 2 0 U 5 D 2 0 U 6 B 2 0 U 7 E 2 0 U 8 C 2 0 U 9 B 2 0 U 20 E 2 0 SU (d) 2 CELKEM 2. ANO Max. 3 body 2.2 NE 4 podúlohy 3 b. 3 podúlohy b. 2.3 ANO 2 podúlohy 0 b. podúloha 0 b. 2.4 ANO 0 podúloh 0 b. 50 bodů Vysvětlivky: U uzavřená úloha U multiple choice SU (p) svazek přiřazovacích úloh SU (d) svazek dichotomických úloh O otevřená úloha O (u) úzce otevřená úloha MAGVD0C0K0 2

15 MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MAGZD0C0T0 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 20 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. Testový sešit První část (úlohy 0) didaktického testu tvoří úlohy otevřené. Úlohy 20 jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Poznámky zapsané do testového sešitu nebudou předmětem hodnocení. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Pokyny pro vyplňování záznamového archu Pište modrou nebo černou propisovací tužkou. Výsledky otevřených úloh pište čitelně do vyznačeného pole záznamového archu. 7 Zápisy uvedené mimo vyznačená pole se nenačítají a nebudou vyhodnoceny. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis bude považován za chybné řešení. Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení. V úlohách s nabídkou odpovědí vyberte správnou možnost a vyznačte ji křížkem v příslušném poli záznamového archu. A B C D E 4 Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D E 4 Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

16 Úlohy 0 vyřešte a výsledky zapisujte do příslušných polí v záznamovém archu. Úloha max. 2 body Vyznačte na číselné ose obrazy čísel a Úloha 2 Zjednodušte výrazy: L max. 3 body pro

17 Úloha 3 Řešte nerovnici: Výsledek zapište intervalem. max. 2 body Úloha 4 max. 2 body Z obou následujících vztahů vyjádřete proměnnou :. 0,5 2. 2

18 Úloha 5 max. 3 body Funkce je dána předpisem.. V tabulce doplňte chybějící hodnoty funkce Sestrojte graf funkce pro 0. O 3. Pro kterou hodnotu proměnné je? Úloha 6 Řešte rovnici s neznámou :. log 000 log max. 4 body

19 Úloha 7 max. 2 body Body 5; 2 a 0; 5 jsou sousedními vrcholy čtverce. Vypočtěte obsah čtverce. Úloha 8 max. 2 body Měřítko mapy (viz obrázek) vyjádřete ve tvaru :. (Tedy cm na mapě představuje cm ve skutečnosti.) cm 0 7,5 km

20 Úloha 9 max. 3 body Kolik kroků ušetříte (zaokrouhlete na desítky), přejdete-li čtvercový pozemek úhlopříčně, místo abyste jej obcházeli po dvou stranách jeho obvodu celkem třemi sty kroky? Úloha 0 V kódu je na prvním místě jedno z písmen,, nebo. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné číslo od do 45. (Existují např. kódy 22, 45 apod.) Určete počet všech takto vytvořených kódů. max. 2 body

21 Každou z následujících úloh vyřešte, vyberte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu. Úloha max. 4 body Ke každé rovnici 4 přiřaďte některý z intervalů (A F), v němž je obsaženo řešení dané rovnice A) ; B) ; 0 C) 0, 5; 0, 5 D) 0; E) ; F) rovnice nemá řešení

22 Úloha 2 Vycházejme z následujících předpokladů: max. 4 body Mezi dětmi, které mají k paní hospodářce chodit po jednom, jsou malí a velcí chlapci i malá a velká děvčata. Častěji než chlapci přicházejí děvčata, malé děti chodí více než velké. Pravděpodobnost, že k hospodářce přijde dívka, je 0,6. Pravděpodobnost, že přijde malá dívka, je 0,4. Malí chlapci přicházejí s pravděpodobností 0,3. Jaká je pravděpodobnost,. že k hospodářce přijde chlapec (malý nebo velký), 2. že k hospodářce přijde velká dívka, 3. že k hospodářce přijde malé dítě (chlapec nebo dívka), 4. že k hospodářce nepřijde malá dívka? Ke každé otázce 4 vybírejte správnou odpověď z nabídky A F. A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 F) 0,7 Úloha 3 2 body Firma si účtuje za vybavení kanceláře žaluziemi celkem Kč. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kč dražší než jejich instalace. Kolik procent z účtované částky tvoří instalace žaluzií? A) 42 % B) 37,5 % C) 36 % D) 32 % E) 26,5 %

23 Úloha 4 Pozemek tvaru půlkruhu je třeba oplotit. Na rovnou část plotu se použije 28 metrů pletiva. Kolik celých metrů pletiva bude nejméně potřeba na zbytek plotu po oblouku? 2 body A) 44 metrů B) 48 metrů C) 52 metrů D) 56 metrů E) jiný počet 28 m Úloha 5 L 2 body Rovnoramenný trojúhelník má při základně úhel velikosti 75 a délky ramen 0. Jakou délku má základna? A) přibližně 4,9 B) přibližně 5,2 C) přibližně 5,5 D) přibližně 5,8 E) jinou délku C 0 A 75 c B

24 Úloha 6 Jaká je výška nádoby tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm 2, kterou tři čtvrtlitrové hrnky vody naplní až po okraj? A) 37,5 cm B) 7 cm C) 5 cm D),5 cm E) jiný výsledek 2 body Úloha 7 Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem? A) devětkrát B) osmkrát C) šestkrát D) třikrát E) méně než třikrát 2 body

25 Úloha 8 L 2 body Jsou dány funkce a : : 0,5 : 2 0,5 Na kterém z obrázků A E jsou správně sestrojeny grafy obou funkcí? A) B) y y O x O x C) D) y y O x O x E) y O x

26 Úloha 9 Přímka procházející bodem 0; 2 má směrový vektor ;. Vyberte odpovídající rovnici přímky. A) 2 0 B) 2 0 C) 2 0 D) 2 0 E) body Úloha 20 max. 3 body Posloupnost tvoří sedmnáct po sobě jdoucích přirozených lichých čísel seřazených vzestupně od nejmenšího k největšímu. Prostřední člen je číslo 23. O každém z následujících tvrzení rozhodněte, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne).. Rozdíl mezi dvěma sousedními členy je Všechny členy jsou větší než Součet čtyř nejmenších členů je 40. ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDLI VŠECHNY ODPOVĚDI

27 ŘEŠENÍ MAGZD0C0K0 MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti celkem uzavřených otevřených počet úloh včetně podúloh počet svazků typ úlohy úloha podúloha správné řešení bodování poznámky k hodnocení O (u)() O (u) O (u) 3 5; 2 0 O (u) 4 O (u) graf funkce O (u) O (u) O (u) 8 : O (u) O (u) MAGZD0C0K0

28 typ úlohy úloha SU (p) SU (p) 2 podúloha správné řešení bodování. A Max. 4 body 4 podúlohy 4 b..2 D 3 podúlohy 3 b..3 F 2 podúlohy 2 b. podúloha b..4 C 0 podúloh 0 b C A Max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2.3 F 2 podúlohy 2 b. podúloha b. 2.4 E 0 podúloh 0 b pozn. k hodnocení U 3 D 2 0 U 4 A 2 0 U 5 B 2 0 U 6 C 2 0 U 7 B 2 0 U 8 E 2 0 U 9 D 2 0 SU (d) 20 CELKEM 20. NE Max. 3 body 20.2 ANO 4 podúlohy 3 b. 3 podúlohy b ANO 2 podúlohy 0 b. podúloha 0 b ANO 0 podúloh 0 b. 50 bodů Vysvětlivky: U uzavřená úloha U multiple choice SU (p) svazek přiřazovacích úloh SU (d) svazek dichotomických úloh O otevřená úloha O (u) úzce otevřená úloha MAGZD0C0K0 2

29 MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD2C0T0 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Odpovědi pište do záznamového archu. Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení. První část didaktického testu (úlohy 2) tvoří úlohy otevřené. Ve druhé části (úlohy 3 23) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. 2 Pravidla správného zápisu odpovědí Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně. U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, obtáhněte čáry a křivky následně propisovací tužkou. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. 2. Pokyny k otevřeným úlohám Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení. Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny. Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku. 7 Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. 7 A B C D E A B C D E Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv.

30 max. 2 body Najděte nejmenší sudé číslo tak, aby součin 5 3 byl třetí mocninou nějakého přirozeného čísla. 2 Existují dvě různá komplexní čísla taková, že = a současně. Vypočtěte součet těchto dvou čísel. bod Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

31 3 Pro řešte: 2 +2 max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 3

32 4 Pro řešte: max. 2 body 5 = 5 Zjednodušte pro : = bod Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 4

33 6 V geometrické posloupnosti je =64. bod Vypočtěte: = 7 Přímky, jsou rovnoběžné. Platí: max. 2 body : =0, : +3 2=0, kde představuje reálné číslo. Určete vzdálenost přímek,. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 5

34 8 Kružnice, se středy 4; 2 a 3;9 se vzájemně dotýkají (může jít o vnější nebo vnitřní dotyk). Bod dotyku leží na souřadnicové ose nebo. Zapište rovnici kružnice ( nebo ), která vyhovuje uvedeným podmínkám a má nejmenší možný poloměr. max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 6

35 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 9 0 Středy stěn krychle s hranou tvoří vrcholy pravidelného osmistěnu. F E B D C a A (CERMAT) 9 Vyjádřete délku lomené čáry v závislosti na veličině. bod 0 Vypočtěte, jakou část objemu krychle vyplní osmistěn, a výsledek vyjádřete zlomkem. max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 7

36 Pro je definován výraz: =log2 log2 +log2 + log2 max. 5 bodů. Vyjádřete jediným členem 3..2 Vypočtěte podíl..3 Vypočtěte rozdíl V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 8

37 VÝCHOZÍ TEXT A PLÁNEK K ÚLOZE 2 Dvě místa a, jejichž skutečná vzdálenost je =350 m, jsou pozorována z neznámého místa pod zorným úhlem =30. X ϕ A B (CERMAT) 2 2. Na plánku (viz záznamový arch) k dané úsečce sestrojte množinu všech bodů vyhovující uvedené podmínce, a to pouze v jedné polorovině s hraniční přímkou. 2.2 V sestrojené množině umístěte bod, který má největší vzdálenost od bodu, a zdůvodněte jeho umístění. 2.3 S přesností na celé metry určete skutečnou vzdálenost, uveďte postup výpočtu. max. 4 body V záznamovém archu používejte při konstrukci rýsovací potřeby a vše obtáhněte propisovací tužkou. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 9

38 3 Je dána rovnice s neznámou a parametrem : = + 2 Přiřaďte ke každé z uvedených hodnot parametru (3. 3.3) odpovídající řešení dané rovnice (A E): 3. = 3.2 = 3.3 \ ; max. 3 body A) Prázdná množina. B) Jednoprvková množina. C) Množina všech reálných čísel. D) Množina všech reálných čísel různých od čísel a. E) Množina všech reálných čísel různých od čísla 2. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 0

39 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 V osudí je 6 koulí označených písmeny K, L, M, N, O, P. Koule se postupně vytahují a žádná z nich se do osudí nevrací. (CERMAT) max. 3 body 4 Přiřaďte ke každému jevu (4. 4.3) pravděpodobnost (A E), s níž může nastat: 4. Druhá v pořadí bude tažena koule M. 4.2 Mezi prvními třemi taženými koulemi bude koule M. 4.3 Mezi prvními třemi bude tažena koule M, avšak ne první v pořadí. A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202

40 VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 5 V grafu jsou uvedeny změny počtu obyvatel Kocourkova (v tisících) v letech 993 až NAROZENÍ ZEMŘELÍ 5 tisíce obyvatel ÚBYTEK PŘÍRŮSTEK Na počátku r měl Kocourkov 5 milionů obyvatel. (CERMAT) 5 Jaký je celkový procentní přírůstek počtu obyvatel Kocourkova za období tří let ? A) přibližně 23 % B) přibližně 7 % C) přibližně 2,3 % D) přibližně 0,7 % E) přibližně 0,23 % 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

41 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Po výměně ředitele multikina se zvýšila celková návštěvnost o 5 %. Počet dětských návštěvníků, kteří dříve odebírali desetinu prodaných vstupenek, se díky účasti škol zvýšil o 45 %, naopak počet důchodců, kteří dříve odebírali pětinu prodaných vstupenek, se nezměnil. (CERMAT) 6 O kolik procent se zvýšil počet ostatních návštěvníků? A) méně než o 3 % B) o 3 % C) o 4 % D) o 5 % E) více než o 5 % 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 3

42 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Předpokládejme, že 25 % vzdělaných lidí je bohatých a mezi bohatými je polovina vzdělaných. Předpokládejme dále, že 25 % lidí není ani bohatých ani vzdělaných. (CERMAT) 7 Kolik procent lidí je vzdělaných a zároveň bohatých? A) 2,5 % B) 5 % C) 7,5 % D) 20 % E) Žádný z uvedených výsledků není správný. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 4

43 8 Elipsa, jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadnic,, se jedné z nich dotýká v bodě 2;0 a druhou osu protíná v bodech 0; 2 a 0; 4. Jaká je vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu elipsy? A) větší než 3 B) přesně 3 C) přesně 2,9 D) přibližně 2,9 E) menší než 2,9 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 5

44 VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 9 V kartézské soustavě souřadnic je sestrojen graf funkce. y f O x Hodnoty funkce jsou převrácenými hodnotami funkce, tedy platí: : = (CERMAT) 9 Který z následujících grafů je grafem funkce? 2 body A) y g O x Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 6

45 B) y g O x C) y g O x D) y g O x E) žádný z uvedených grafů Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 7

46 20 Pro vnitřní úhel obecného trojúhelníku platí, že hodnoty sin, tg, cos tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jaký je kvocient této posloupnosti? 2 body A) = 2 B) = 3 C) =2 3 D) = E) Ze zadaných údajů nelze kvocient určit. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 8

47 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 V orientačním závodě je cíl umístěn východně od startu. Na obrázku jsou zakreslena obě stanoviště a, uvedené vzdálenosti jsou v km. 30 D 60 4 P 3 S C (CERMAT) 2 S přesností na celé metry uveďte vzdálenost od prvního ke druhému stanovišti, tj.. A) 55 m B) 96 m C) 732 m D) m E) jiná vzdálenost 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 9

48 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Pokud se válec naplněný kapalinou nakloní o 60, polovina objemu válce se vyprázdní. (CERMAT) 22 V jakém poměru jsou poloměr podstavy a výška válce? 2 body A) : = 3 : 2 B) : = 3 : 4 C) : = 3 : 6 D) : = : 2 E) : = : 4 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT),

49 23 Je dán mnohočlen s proměnnou a koeficienty,, : = Platí: 0 =; =0; =2. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): max. 3 body 23. Právě jeden z koeficientů,, je nulový Právě jeden koeficient je záporný Platí 2 =5. A N ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

50

51 Maturitní zkouška 202 jarní termín Úloha Správné řešení Body 2 (max. 4 b. ) S 2. max. 2 b. A B Větší oblouk bez krajních bodů. X A Koncový bod 0 průměru 0 kružnice, neboť nejdelší tětivou kružnice je průměr. S B m 3 max. 3 b. 3. A 3 podúlohy 3 b. 3.2 E 2 podúlohy 2 b. 3.3 B podúloha b. 0 podúloh 0 b. 4 max. 3 b. 4. A 3 podúlohy 3 b. 4.2 E 2 podúlohy 2 b. 4.3 C podúloha b. 0 podúloh 0 b. 5 D 2 6 D 2 7 B 2 8 B 2 9 C 2 20 A 2 2 A 2 22 C 2 23 max. 3 b. 23. ANO 3 podúlohy 3 b ANO 2 podúlohy b CELKEM ANO podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů Obsah klíče správných řešení je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

52 MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAIVDC0T0 ILUSTRAČNÍ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 2 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je 20 minut. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Odpovědi pište do záznamového archu. Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení. První část didaktického testu (úlohy 0) tvoří úlohy otevřené. Ve druhé části (úlohy 2) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. 2 Pravidla správného zápisu odpovědí Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně. U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, následně obtáhněte čáry propisovací tužkou. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, Pokyny k otevřeným úlohám Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení. Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny. Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku. Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D E Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 2. března 20, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 2/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon). 7 7 A B C D E

53 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Marek se snažil zapamatovat čtyřmístný kód. Shledal, že jde o největší číslo, v jehož zápise jsou vedle sebe dvě různá dvoumístná prvočísla, kde ciferný součet každého z nich je 8. (CERMAT) Zapište Markův kód. max. 2 body POKYN K ÚLOHÁM 2 A 3 Číselné výrazy vyjádřete jediným členem s mocninou o stejném základu jako v zadání. 2 bod 3 bod 4 V oboru je dán výraz. /. max. 3 body 4. Určete, pro které hodnoty má výraz smysl. 4.2 Výraz zjednodušte. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 2

54 5 Pro veličiny a platí a současně. max. 2 body Pro * + určete hodnotu výrazu. 6 Pravidelný -úhelník má pětkrát větší počet úhlopříček než počet stran. Určete počet jeho vrcholů ( ). max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 3

55 7 V je dána funkce. 7. V intervalu určete minimum funkce. 7.2 Určete maximum funkce v jejím definičním oboru. max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Krajním bodem úsečky je, -. Body rozdělují úsečku na třetiny. A V X B (CERMAT) 8 Doplňte chybějící souřadnice bodů, - a V, -. max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 4

56 9 Zápisy dvou přímek a obsahují neznámé reálné číslo. ( ) max. 5 bodů 9. Pro které hodnoty jsou přímky a na sebe kolmé? 9.2 Pro každou dvojici kolmých přímek a určete jejich průsečík. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení úlohy 9. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 5

57 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 0 Lomená čára je složena z výšek nekonečně mnoha podobných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků. Největší trojúhelník má velikost výšky a přeponu délky. (CERMAT) 0. Určete druhý úsek lomené čáry. max. 4 body 0.2 Určete délku celé lomené čáry, výraz usměrněte. 0.3 O kolik větší je součet délek všech lichých úseků než součet délek všech sudých úseků? Výsledek nezaokrouhlujte. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení úlohy 0. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 6

58 Každou z následujících úloh vyřešte, vyhledejte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE Uvažujme všechny polopřímky s počátečním bodem, -, které mají společný bod s úsečkou ;, - a, -. y A B P O x (CERMAT) max. 3 body Přiřaďte na vynechaná místa ( ) v zápisech (..3) takové hodnoty (A E), aby bylo pravdivé tvrzení: Libovolná množina bodů, - roviny vyhovující rovnici představuje některou z uvažovaných polopřímek, právě když jsou splněny podmínky (..3):. Pro všechny hodnoty proměnné platí )..2 Směrnice je z intervalu..3 Pro veličiny platí. A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 7

59 max. 3 body 2 Přiřaďte ke každé z kuželoseček (2. 2.3) souřadnice (A E) jejího středu, u paraboly souřadnice vrcholu: A) [ ] B) [ ] C), - D) [ ] E) jiné řešení Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 8

60 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Tětiva délky je kolmá k průměru kružnice a rozděluje jej na dva úseky. Poměr délek obou úseků je. x k d (CERMAT) 3 Vyjádřete délku tětivy v závislosti na průměru. 2 body A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 9

61 VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 4 D 8 cm C 6 cm 4 cm A 2 cm B (CERMAT) 4 Kolik procent obsahu lichoběžníku ABCD tvoří obsah trojúhelníku ACD? A) % B) % C) % D) % E) jiné řešení 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 0

62 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Kvádr se čtvercovou podstavou má podstavné hrany délky, tělesová úhlopříčka svírá s podstavou úhel. H G E F v x D C A a B a (CERMAT) 5 Ve kterém zápisu jsou uvedeny oba správné vztahy pro výpočet výšky kvádru a výpočet vzdálenosti vrcholu od tělesové úhlopříčky? 2 body A), B), C), D), E) v žádném z uvedených Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20

63 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Vodní hladina nádrže by měla mít rozlohu 4000 m 2. Zatím je vytvořen pouze přesný model nádrže. Vejde se do něj 375 litrů vody a vodní hladina má rozlohu 2,5 m 2. (CERMAT) 6 Jaký objem má mít skutečná nádrž? 2 body A) m 3 B) m 3 C) m 3 D) m 3 E) jiný objem VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Melodie bude mít 7 tónů, má začínat tónem C a končit tónem G. Třikrát se má použít tón A a dvakrát tón E. (CERMAT) 7 Kolik různých melodií je možné vytvořit? A) B) C) D) E) jiný počet 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 2

64 VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 8 Zkouška se skládá ze tří částí ( ), v každé části je možné získat nejvýše 8 bodů. V tabulce jsou uvedeny výsledky pěti žáků. Jejich průměrný výsledek byl v každé ze tří částí zkoušky stejný. Žák Bodové hodnocení části zkoušky Výsledek (CERMAT) 8 Porovnejte směrodatné odchylky výsledků v jednotlivých částech zkoušky ( ). 2 body A) B) C) D) Směrodatné odchylky se alespoň u dvou částí shodují. E) Žádné z uvedených tvrzení (A D) není pravdivé. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pořizovací cena přístroje je Kč. Po uplynutí každého roku se hodnota přístroje snižuje o čtvrtinu hodnoty z předcházejícího roku. Klesne-li hodnota pod % pořizovací ceny, je možné vyměnit přístroj na konci roku za nový. (CERMAT) 9 Po kolika letech je možné přístroj vyměnit za nový? A) po 3 letech B) po 4 letech C) po 5 letech D) po 6 letech E) po 7 letech nebo později 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 3

65 20 Ze dvou shodných kruhů neznámé velikosti byl vystřižen největší možný čtverec a největší možný rovnostranný trojúhelník. 2 body U kterého tvrzení nelze určit pravdivostní hodnotu bez předchozího měření? A) Trojúhelník má menší obsah než čtverec. B) Trojúhelník má krát větší obsah než čtverec. C) Trojúhelník má o % menší obvod než čtverec. D) Trojúhelník má o cm 2 menší obsah než čtverec. E) U každého z uvedených tvrzení A D je možné určit pravdivostní hodnotu i bez předchozího měření. VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 2 V souřadném systému je vyznačeno všech šest bodů grafu funkce dané výčtem prvků: {, -, -, -, -, - [ ]}. y O x (CERMAT) max. 3 body 2 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 2. Hodnota patří do definičního oboru funkce. 2.2 Hodnota patří do oboru hodnot funkce. 2.3 Pokud by se pouze u prvku, -, změnilo znaménko první souřadnice, množina by byla stále funkcí. A N ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 4

66 KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ ILUSTRAČNÍ TEST 20 MATEMATIKA - vyšší úroveň obtížnosti MAIVDC0T0 Celkem Uzavřených Otevřených Počet úloh 2 0 Úloha Správné řešení Body n 0 4 max. 3 b. 4. x R\ ; x 2x p s = n = max. 3 b. 7. minimum je f = maximum je f = a = ; v = max. 5 b. 9. k = 5; k 2 = ; 3 0 ; 9 34 ; Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20

67 Úloha Správné řešení Body 0 max. 4 b. 0. v 2 = d = rozdíl je max. 3 b.. A 3 podúlohy 3 b..2 D 2 podúlohy 2 b..3 E podúloha b. 0 podúloh 0 b. 2 max. 3 b. 2. C 3 podúlohy 3 b. 2.2 B 2 podúlohy 2 b. 2.3 D podúloha b. 0 podúloh 0 b. 3 C A B A E B C D max. 3 b. 2. NE 3 podúlohy 3 b. 2.2 ANO 2 podúlohy b. 2.3 CELKEM NE podúloha b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 20 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 2. března 20, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 2/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

68 MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAIVD2C0T0 ILUSTRAČNÍ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je 20 minut. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Odpovědi pište do záznamového archu. Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení. První část didaktického testu (úlohy 2) tvoří úlohy otevřené. Ve druhé části (úlohy 3 23) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. 2 Pravidla správného zápisu odpovědí Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně. U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, obtáhněte čáry a křivky následně propisovací tužkou. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), Pokyny k otevřeným úlohám Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení. Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny. Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku. A B C D E Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 23. března 202, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 2/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon). 7 7 A B C D E

69 Přirozené číslo je dělitelné pěti. Totéž číslo dává při dělení třemi zbytek 2. Určete nejmenší číslo, které je třeba přičíst k číslu, aby byl součet dělitelný patnácti. bod 2 Platí: bod ( ) Zapište v algebraickém tvaru komplexní číslo. 3 Pro komplexní sdružená čísla platí: bod Zapište v algebraickém tvaru komplexní číslo. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

70 4 Pro řešte: ( )( ) bod 5 Pro řešte: max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 3

71 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Ve čtyřúhelníku známe délky tří ze čtyř stran (30, 46 a 54). Čtyřúhelník je rozdělen na čtyři menší čtyřúhelníky (deltoidy), z nichž dva jsou shodné. D x x x C x 46 z 30 y A z 54 y B (CERMAT) 6 Vypočtěte délky vyznačených úseků. max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 4

72 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 7 8 Adam přečte celou knihu za o 2 dny dříve. dnů. Kdyby denně přečetl o 6 stran více, knihu by dočetl (CERMAT) 7 Vypočtěte, kolik stran má kniha, jestliže 8. max. 2 body 8 Vyjádřete počet stran ( ) knihy v závislosti na parametru. max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 5

73 9 Pro řešte: ( ) ( ) ( ) max. 2 body 0 Pro je dána uspořádaná trojice: max. 2 body [ ] Vypočtěte, pro kterou hodnotu aritmetickou posloupnost. tvoří uspořádaná trojice Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 6

74 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE Parabola je určena rovnicí. Kružnice má střed na ose ve vnitřní oblasti paraboly a prochází vrcholem paraboly (poloměr kružnice je ). Kromě bodu mohou existovat ještě další dva průsečíky kružnice s parabolou. o P k A r S r V B (CERMAT). Vypočtěte souřadnice průsečíků kružnice s parabolou pro..2 Vyjádřete souřadnice průsečíků v závislosti na poloměru a určete podmínky řešitelnosti ( ). V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. max. 5 bodů Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 7

75 2 Je dán rovnoramenný trojúhelník. Uvnitř základny leží bod, pro nějž platí: ( ) cm; cm 2. Proveďte náčrtek situace. 2.2 Vypočtěte výšku na základnu. 2.3 Vypočtěte obsah trojúhelníku. max. 4 body V záznamovém archu náčrtek obtáhněte propisovací tužkou a uveďte postup řešení úlohy. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 8

76 max. 3 body 3 Je dán trojčlen s proměnnou a parametrem. Ke každému z následujících dvojčlenů (3. 3.3) najděte takovou hodnotu parametru (A E), aby byl daný trojčlen dělitelný dvojčlenem beze zbytku A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 9

77 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Balíček deseti karet obsahuje čtyři esa a karty 5, 6, 7, 8, 9 a 0. (CERMAT) max. 3 body 4 Přiřaďte ke každému jevu (4. 4.3) pravděpodobnost (A E), s níž může nastat. 4. Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří po sobě jdoucí čísla. 4.2 Ve čtveřici náhodně vybraných karet není žádné eso. 4.3 Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří dvě po sobě jdoucí čísla a dvě esa. A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 0

78 VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 5 V Kocourkově se jedenkrát za 5 let vyhlašuje Kolotoč. V tento den všichni občané ve věku 6-65 let přestávají pracovat a odcházejí do důchodu a všichni občané ve věku 2 26 let jdou do zaměstnání. Věková skupina 66 let a více před Kolotočem Počet obyvatel po Kolotoči nepracující pracující důchodci nepracující pracující důchodci let let let let a méně Každý pracující odvádí měsíčně 200 kocourkovských zlaťáků (KZ) na důchody svých spoluobčanů. Všechny vybrané peníze se rozdělí na důchody. (CERMAT) 5 Jak se změní průměrný měsíční plat důchodce po uskutečnění uvedeného Kolotoče? 2 body A) klesne o 200 KZ B) klesne o 00 KZ C) nezmění se D) vzroste o 00 KZ E) změní se o jinou částku Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202

79 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Jedno balení čokolády stojí 20 Kč. Uvnitř každého balení je jedna čokoláda a prémiový kupón. Po předložení tří prémiových kupónů dostane zákazník zdarma jedno další balení čokolády. (CERMAT) 6 Jaký největší počet čokolád lze postupně získat za 300 Kč? A) 5 B) 20 C) 2 D) 22 E) jiný počet 2 body 7 Výraz ( ) je možné vypočítat pro všechny reálné hodnoty kromě hodnot: 2 body A), kde B), kde C) ( ), kde D) ( ), kde E) ( ), kde Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

80 VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 8 V kartézské soustavě souřadnic je umístěn graf funkce, jejíž definiční obor je. y 2 f O 2 x (CERMAT) 8 Hodnoty funkce jsou druhými mocninami hodnot funkce, tedy platí: ( ) Jaký předpis má funkce? max. 2 body A) B) C) ( ) D) ( ) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 3

81 9 Přímka prochází body [ ] a [ ]. Přímka je obrazem přímky v posunutí určeném vektorem ( ). 2 body Jaká je vzdálenost přímek? A) větší než B) C) nenulová vzdálenost menší než D) E) Nelze určit, přímky jsou různoběžné. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 4

82 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20 Umyvadlo má tvar kulové úseče s výškou voda, musí být nakloněno nejméně o 60. cm. Aby z umyvadla vytekla všechna 60 d v (CERMAT) 20 Jaký je vnitřní průměr nejširší části umyvadla vypočtený s přesností na mm? A) 48,0 cm B) 50,0 cm C) 52,0 cm D) 96,0 cm E) 2,0 cm 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 5

83 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Ve Škole čar a kouzel v Bradavicích se každou hodinu mění nastavení chodby, která vede z místa A v přízemí do místa B v pátém patře. Patra mají čtvercový půdorys a jsou od sebe stejně vzdálena. I II III B B B A A A (CERMAT) 2 Při kterém nastavení chodby je cesta mezi místy A a B nejkratší? 2 body A) pouze při nastavení I B) pouze při nastavení II C) pouze při nastavení III D) při nastavení I a II E) při nastavení I a III Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 6

84 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Obvod trojúhelníku je. Trojúhelník je rozdělen třemi úsečkami rovnoběžnými se stranou na čtyři rovinné útvary (jeden trojúhelník a tři lichoběžníky). Velikosti výšek jsou ve všech útvarech shodné ( ). v s (CERMAT) 2 body 22 Obvody ( ) jednotlivých útvarů tvoří rostoucí posloupnost. Jaký je rekurentní vztah pro členy této posloupnosti, kde * +? A), B), C), D), E) žádný z uvedených Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 7

85 23 V geometrické posloupnosti ( ) s kvocientem platí Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). A N max. 3 body ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 8

86 KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ ILUSTRAČNÍ TEST 202 Matematika - vyšší úroveň obtížnosti MAIVD2C0T0 Celkem Uzavřených Otevřených Počet úloh 23 2 Úloha Správné řešení Body k = 0 2 8i 3 2 i 2 4 x = ; 2 max. 2 b. 6 x = ; y = 9; z = 35 max. 2 b stran max. 2 b. 8 p = 3d 2 6d; d N d > 2 max. 2 b. 9 x = 0 max. 2 b. 0 k = 6 max. 2 b. max. 5 b.. A 4; 4 ; B 4; 4 (max. 2 b.).2 A 2 2r 4; 2r 4 ; B 2 2r 4; 2r 4 ; r 2; + (max. 3 b.) 2 (max. 4 b. ) 2. C φ A M B 2.2 v c = 3 cm cm 2 max. 2 b. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202

87 Úloha Správné řešení Body 3 max. 3 b. 3. D 3 podúlohy 3 b. 3.2 C 2 podúlohy 2 b. 3.3 A podúloha b. 0 podúloh 0 b. 4 max. 3 b. 4. E 3 podúlohy 3 b. 4.2 B 2 podúlohy 2 b. 4.3 A podúloha b. 0 podúloh 0 b. 5 A 2 6 D 2 7 B 2 8 B 2 9 D 2 20 C 2 2 E 2 22 C 2 23 max. 3 b. 23. NE 3 podúlohy 3 b ANO 2 podúlohy b CELKEM ANO podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 23. března 202, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 2/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon). 2

88 MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. Odpovědi pište do záznamového archu. Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení. Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení. První část didaktického testu (úlohy 5) tvoří úlohy otevřené. Ve druhé části (úlohy 6 26) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná. 2 Pravidla správného zápisu odpovědí Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně. U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, následně obtáhněte čáry propisovací tužkou. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. MAMZD2C0T0 2. Pokyny k otevřeným úlohám Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny. Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku. 7 Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. 7 A B C D E A B C D E Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv.

89 Pro upravte: max. 2 body 2 Pro řešte: max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 2

90 3 Pro řešte: 00 0,0 max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 3

91 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 4 6 První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 57; Vypočtěte padesátý člen posloupnosti. (CERMAT) bod 5 Vypočtěte součet prvních padesáti členů posloupnosti. bod 6 Kolik prvních členů posloupnosti je třeba sečíst, aby byl součet co největší? bod Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 4

92 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Graf nepřímé úměrnosti s předpisem, kde 0, prochází bodem 2; 2. y A O x (CERMAT) 7 7. Vypočtěte konstantu. max. 3 body 7.2 Vypočtěte souřadnici bodu ; 0,5 a souřadnici bodu ;. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 5

93 VÝCHOZÍ TEXT A NÁČRTEK K ÚLOHÁM 8 9 Rovnoběžné přímky, protínají přímku v bodech,. Vzdálenost rovnoběžek je 5, odchylka přímek, je 30. p P Q r q (CERMAT) 8 Určete vzdálenost bodu od přímky. bod 9 Vypočtěte vzdálenost bodů,. max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 6

94 0 Velikosti dvou vnitřních úhlů trojúhelníku jsou 2 5 π a 4 π. bod Vypočtěte velikost třetího vnitřního úhlu trojúhelníku. V rovině je dána přímka : 2. max. 2 body Zapište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 0; 0 a je kolmá k přímce. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 7

95 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Hmotnostní procento zlata ve slitině je přímo úměrné počtu karátů. Slitina obsahující 75 % zlata se označuje 8 karáty. (CERMAT) 2 Kolik procent zlata obsahuje 24karátový prsten? bod Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 8

96 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Cesta do školy je dlouhá 0 km a na kole se ujede za půl hodiny. Stejnou cestou zpět se jede o 0 minut déle. (CERMAT) 3 O kolik km/h se liší průměrná rychlost na cestě tam a zpět? max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Z pečlivě promíchaného balíku 52 karet bylo odebráno sedm karet. Mezi zbývajícími kartami v balíku zůstává devět srdcových karet. 4 Jaká je pravděpodobnost, že v dalším tahu z balíku nebude vytažena srdcová karta? (CERMAT) max. 2 body Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 9

97 max. 2 body 5 Kvádr se čtvercovou podstavou má výšku cm. Podstavná hrana je o 3 cm kratší než dvojnásobek výšky kvádru. Napište vztah pro výpočet objemu V kvádru v závislosti na proměnné a upravte jej do tvaru mnohočlenu. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202 0

98 6 Trojúhelník má vrcholy v bodech ;, 2; 8, 6; 2. max. 2 body Trojúhelník narýsujte a rozhodněte o každém z následujících tvrzení (6. 6.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 6. Trojúhelník je rovnoramenný. 6.2 Trojúhelník je ostroúhlý. 6.3 Pata výšky spuštěné z bodu se shoduje se středem strany. 6.4 Pata výšky spuštěné z bodu se shoduje se středem strany. A N Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 202