Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146
Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to, kdy jsem si asi poprvé z celého studia na naší univerzitě uvědomila, jak je s matematikou úzce propojen právě obchod, neboli byznys. V jednom z nižších ročníků mého studia mi pan doc.vávra zadal za úkol mé semestrální práce simulační studii investic do akcií společnosti ČEZ. Do té doby byl můj názor na investování do akcií poněkud zkreslený a touto studií jsem pochopila, jak je matematika pro praxi důležitá. Cílem mé studie bylo zhodnocení jednotlivých variant investic do akcií a následný výběr varianty nejlepší za předpokladu, že máme jako fyzická osoba k dispozici 2 mil.. Vstupními daty byly uzavírací kurzy akcií společnosti ČEZ zveřejňované na hlavním trhu Burzy cenných papírů Praha, dále objem a počet obchodovaných akcií. Podle vybraných pravidel kup-prodej jsem simulovala varianty obchodu s akciemi s cílem zjistit jejich vnitřní míru investice (IRR) a také jejich riziko, spočtené pomocí směrodatné odchylky z mezidenního výnosu. Investice byly simulovány v těchto variantách: Prodávám, když můj výnos z investice dosáhne hodnoty 3%. Kupuji hned. Prodávám, když můj výnos z investice dosáhne hodnoty 5%. Kupuji hned. Prodávám, když můj výnos z investice dosáhne hodnoty 7%. Kupuji hned. Prodávám a kupuji ve dnech, které stanovím pomocí ukazatelů MACD. Koupím na začátku sledovaného období a prodám na konci. STRATEGIE INVESTIC Investice se od sebe liší tím, podle kterých pravidel je obchodováno, resp. na kdy je stanoven nejvhodnější okamžik, kdy akcie koupit a kdy prodat. Den prodeje je hledán samozřejmě tak, aby byl zajištěn výnos z investice. Tento výnos byl v prvních čtyřech variantách kalkulován tak, že jsem upravila vzorec pro běžný výnos o náklady spojené s prodejem, tedy konečný vzorec, s nímž bylo pracováno měl podobu:
Běžný výnos: r bt W W W t 0, kde W t... tržní cena portfolia v čase t 0 W 0... tržní cena portfolia v čase t 0 = v čase pořízení r bt...běžný výnos za období (t 0, t) Upravený vzorec: X poplatky daň r, kde X... počet akcií ( C ) t C0 X C0 C t... cena akcie v čase prodeje C 0... cena akcie v čase nákupu Objem akcií, které jsou nakupovány, je vždy co nejvyšší, tj. takové množství, aby objem peněz, který mám k dispozici, pokryl veškeré náklady na pořízení akcií, tedy i potřebné poplatky. Do nákupu investuji buď celý objem peněz na účtu, nebo je investováno pouze oněch 2 milióny Kč a vydělané peníze jsou ukládány na účet a dále s nimi není neobchodováno. Pod pojmem účet uvažuji ING Konto s úrokem 2% p.a. Prodávám vždy celý objem akcií. TECHNICKÁ ANALÝZA V páté variantě jsem užila nástroje zvaného technická analýza. Technická analýza a její indikátory jsou s úspěchem využívány k predikci budoucího vývoje celkového trhu či jednotlivých akcií. Jedním z hojně využívaných indikátorů v aplikacích používaných na naší i na světových burzách je indikátor MACD. Ukazetelé MACD: MOVING AVERAGE CONVERGENCE DIVERGENCE (MACD) MACD Je často považován za nejspolehlivější indikátor. Počítá se odčítáním dlouhodobého (26denního) exponenciálního klouzavého průměru (EMA) od středně-dlouhého (12denního). K němu se konstruuje krátký (9denní) klouzavý průměr indikátoru MACD, který se nazývá spoušť (trigger line), která generuje nákupní/prodejní signály. Indikátor MACD osciluje kolem nuly.
Nákupní/prodejní signál se generuje ve chvíli, kdy se MACD dostane nad svou spouštěcí úroveň, a je tím silnější, čím dále od nuly se MACD vychýlí. Exponenciální průměry EMA: EXPONENTIAL MOVING AVERAGE Obecně klouzavé průměry (MA) stanoví a hodnotí konstrukci ceny z minulosti na základě různých, především lineárních kombinací, přičemž využívají různé koeficienty. Jejich součet je vždy roven jedné. MA jsou jednou z nejpoužívanějších a nejhodnotnějších metod technické analýzy. MA dobře mapují prudké výkyvy cen a skvěle identifikují dané trendy. Konkrétně u EMA jsou váhy rozděleny exponenciálně. Největší váhu mají aktuální hodnoty MA, nejmenší váhu mají nejstarší hodnoty. Vzorec pro výpočet exponenciálních klouzavých průměrů:, kde a N je délka období Kupní signál je hledán pomocí tohoto indikátoru MACD, a to tak, že se k němu zkonstruuje krátký klouzavý průměr indikátoru MACD, který se nazývá spoušť (trigger line). Když MACD protne spoušť zdola nahoru v dolíku pod nulovou vodorovnou linií, je generován nákupní signál. Použijeme exponenciální vážené průměry o délce 9, 12 a 26 dní. Pro potvrzení signálu jsem ještě zjišťovala, zda kurz v konkrétním dni překročí hodnotu ukazatelů EMA 38 a EMA 50. Ve většině případů EMA potvrdila volbu vhodného dne, v několika málo případech se však ukázalo, že EMA poukazuje na volbu koupit o zhruba 10 dní později. Stávalo se tak vždy, když křivky MACD vypadaly jako na obr.1, tedy pokud křivky ukazovaly prudký a dlouhý vzestup. Pak EMA poukazovala na den, nacházející se v polovině mezi místy, kdy se křivky MACD protnou pod vodorovnou linií a kdy této linie dosáhnou. Ukazuje to bod ve dni 6. 12. 2000 na obr.1. Při pohledu na cenu akcií kolem těchto dní jsem zjistila, že výhodnější kurz je vždy ve dni, který doporučuje ukazatel MACD.
obr 1. Prodejní signál jsem opět hledala v grafech, nicméně jsem ještě zohlednila výnosnost, kterou konkrétní investice měla přinést. Ukázka toho, jak lze odečíst vhodné datum pro prodej ukazuje obr. 2.. Vhodné datum pro prodej je v místě, konkrétně kde se protnou křivky MACD nad vodorovnou linií. obr. 2
Objem akcií, které byly nakupovány, byl vždy co nejvyšší, tj. takové množství, aby objem peněz, který mám k dispozici, pokryl veškeré náklady na pořízení akcií, tedy i potřebné poplatky. Do nákupu investuji buď celý objem peněz na účtu, nebo je investováno pouze oněch 2 milióny Kč a vydělané peníze jsou ukládány na účet a dále s nimi není neobchodováno. Pod pojmem účet jsem uvažovala ING Konto tehdy s úrokem 2% p.a. Prodávala jsem vždy celý objem akcií. RIZIKO INVESTICE U každé strategie jsem také zvažovala dané riziko. K měření rizika investic je použita směrodatná odchylka z mezidenních výnosů, vypočtená. Směrodatná odchylka vyjadřuje rozptyl hodnot kolem střední hodnoty, tj. vypovídá o tom, jak se hodnoty od této střední hodnoty liší, resp. jak hustě jsou kolem tohoto průměru seskupeny. Směrodatná odchylka: Směrodatná odchylka je jednou z nejpoužívanějších měr kolísavosti výkonnosti fondu. Vyjadřuje rozptyl hodnot kolem střední hodnoty, tj. vypovídá o tom, jak se hodnoty od této střední hodnoty (průměru) liší, resp. jak hustě jsou kolem tohoto průměru seskupeny. Obecně se vypočítá dle vzorce: n xi x i1, n 1 2 kde x i...hodnota i-tého pozorování n... počet pozorování x...průměrná hodnota všech pozorování. Ve finanční sféře se používá směrodatná odchylka k měření rizika spojeného s investováním do určitého instrumentu, resp. s držbou určitého portfolia a odhaduje nám míru nejistoty budoucích výnosů. K výpočtu je nejprve sestrojen vývoj celkového majetku. Jako majetek rozumíme součet finančních prostředků uložených na účtu a aktuální hodnota držených akcií. Z těchto dat je sestaven mezidenní výnos jako podíl majetku v čase T ku majetku v čase T-1.
Směrodatná odchylka, resp. riziko investice v konkrétní den, je vždy konstruována z dat z minulého roku. Rokem rozumíme počet dní, kdy lze na burze obchodovat, což je kolem 250 dní. Riziko pro celé sledované období i pro jednotlivé roky je potom spočteno pomocí mediánu. Pro medián platí, že nejméně 50 % hodnot je menších nebo rovných a nejméně 50 % hodnot je větších nebo rovných mediánu. Výhodou u mediánu je fakt, že není ovlivněný extrémními hodnotami, což je v tomto případě vhodnější než obyčejný průměr. Výsledkem buď pro celé období, nebo pro konkrétní rok je potom tedy riziko udané v procentech, které nám říká, o kolik může výnos z celkového majetku klesnout. Vypočtené hodnoty pro jednotlivé strategie udává tabulka tab. č.1. Strategie IRR riziko 1 21% 1,873% 2 26% 1,992% 3 38% 1,936% 4 77% 1,268% 5 47% 2,037% 1A 8% 1,863% 2A 15% 1,701% 3A 33% 1,701% 4A 101% 2,044% Tab. č. 1 Tabulka ukazuje výše zmiňované riziko v porovnání s vnitřní mírou výnosnosti dané investice. Vnitřní výnosové procento: INTERNAL RATE OF RETURN - IRR Vnitřní výnosové procento je míra zisku, při které je čistá současná hodnota peněžních toků rovna nule. Udává předpokládanou roční výnosnost investice. Hodnota IRR je řešením následující rovnice: CF 0, kde CF i je peněžní tok za i-té období N i n n0 (1 IRR)
Investice je přijatelná, je-li IRR větší než volně dostupná úroková míra i (za předpokladu, že NPV uvažovaných peněžních toků je rostoucí funkce i). V případě více variant je preferována ta s vyšší hodnotou IRR. ZÁVĚR Srovnání ukázané v tabulce jen prokazuje obecně známou pravdu, že nejvýnosnější investice je také nejrizikovější. Touto studií jsem tedy matematicky dokázala vyjádřit to, co ví každý investor. Práce na tomto tématu mne do problematiky investic vtáhla a jsem ráda, že jsem v této oblasti získala alespoň zlomek potřebných informací. Určitě bych jich v budoucnu ráda využila.