ZÁKLADY MATEMATICKÉ LOGIKY (Provizorní text) 1. Úvod, výroková logika Logika je vda o správném usuzování, o umní správné argumentace. Obecn mžeme úsudek charakterizovat následujícím schématem: Na základ pravdivosti tvrzení v 1,, v n usoudíme, že je pravdivý i výrok v. Zapisujeme schématicky: v 1 v 2 pedpoklady neboli premisy v n v závr V praxi používáme rzné druhy takovýchto úsudk, ovšem ne všemi se zabývá logika. Nap. se obecn nezabývá tzv. pravdpodobnostními úsudky, nap.: Slunce doposud vyšlo každý den. Slunce (pravdpodobn) vyjde i zítra. Podobn se nezabývá úsudky generalizací: Všechny labut, které jsme dosud vidli, jsou bílé. Všechny labut jsou bílé. V tchto pípadech je závrem jen hypotéza (tvrzení, jehož pravdivost nemáme ovenou), tato metoda vytváení hypotéz se nazývá neúplná indukce. Intuitivní, neformální, živé myšlení vtšiny lidí vtšinou dodržuje zákony logiky, aniž by lidé tyto zákony nutn znali a jejich používání si explicitn uvdomovali. Podobn lidé dokáží gramaticky správn se vyjadovat ve svém mateském jazyce, aniž by nutn znali a umli formulovat gramatická pravidla, jimiž se používání jazyka ídí. Pirozený jazyk je nenahraditelným nástrojem bžné komunikace, má však své slabiny,které vyniknou, chceme-li formulovat vdecké poznatky. Mezi typické rysy pirozeného jazyka patí významová nejednoznanost jeho mnohých termín (nap. slova velký, dobro, apod.). Homonymie: jedno a totéž slovo nabývá více význam (nap. zámek,... ). Synonymie: jediný nositel denotát je oznaován rznými termíny, nap. Venuše, Jitenka a Veernice jsou rzná oznaení téže planety. V logice užíváme formální jazyky, které využívají symbol a jejich zetzení podle pesn vymezených pravidel. - 1 -
Výrok je každé srozumitelné sdlení, o kterém má smysl íci, že je bu pravdivé a nebo nepravdivé. (Není dležité, zda to mohu rozhodnout práv te, ale zda má smysl o pravdivosti rozhodovat.) 1.1. Píklady výrok: Venku padá sníh. Baví m matematika. Na Marsu existují živé organismy. Zítra bude v eských Budjovicích pršet. íslo 7 je dlitelné 4. Výroky oznaujeme výrokovými promnnými, používáme malá písmena: a, b, p, q, r,... Výroková promnná je symbol, který zastupuje njaký možný jednoduchý výrok. Výroková konstanta je symbol, kterým zapisujeme konkrétní jednoduchý výrok. Výroky mohou být bu pravdivé nebo nepravdivé. Jednotlivým výrokm piadíme jejich pravdivostní hodnotu. Výrok pravdivý má pravdivostní hodnotu 1 Výrok nepravdivý má pravdivostní hodnotu 0 Ke každému výroku lze vytvoit jeho negaci. Je-li p pvodní výrok, pak jeho negaci znaíme p a definujeme pomocí pravdivostní tabulky: Negace výroku je výrok, který je nepravdivý, je-li výrok p pravdivý, a který je pravdivý, je-li výrok p nepravdivý. Negování výroku znamená, že z výroku p utvoíme výrok p. Je to unární operace s výrokem p. p p 1 0 0 1 1.2. a) Pro každý ádek tabulky rozhodnte, zda je výrok v pravém sloupci negací výroku v levém sloupci. Není-li tomu tak, zformulujte správnou negaci. Prší. Aspo ti žáci dnes chybí. Dané dv pímky v rovin jsou rovnobžné. Dané dv pímky v prostoru jsou rovnobžné. Dané íslo je záporné. Všichni lžou. Pijdu nejpozdji v deset hodin. Nkdo kií. Svítí slunce. Aspo ti žáci dnes nechybí. Dané dv pímky v rovin jsou rznobžné. Dané dv pímky v prostoru jsou rznobžné. Dané íslo je kladné. Nikdo nelže. Pijdu nejdíve v 11 hodin. Nkdo nekií. b) Co lze zjistit o Kréanech, jestliže Kréan ekne: Nevte Kréanm, všichni Kréané lžou. Jestliže dva výroky spojíme v jediný pomocí vhodné logické spojky, hovoíme o binární operaci s výroky. Analogicky definujeme ternární operaci pro ti výroky, obecn pak m-ární operaci pro m výrok. Složené výroky tedy vznikají ze dvou a více výrok pomocí logických spojek (výrokotvorných funktor). - 2 -
Konjunkce: teme: p a q. Konjunkce výrok p, q je výrok, který je pravdivý pouze tehdy, jsou-li pravdivé oba výroky p, q. p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Disjunkce: teme: p nebo q. Disjunkce výrok p, q : Výrok, který je pravdivý práv tehdy, když je alespo jeden z výrok p, q pravdivý. Ostrá disjunkce: teme: Bu p nebo q. Ostrá disjunkce výrok p, q : Výrok, který je pravdivý práv tehdy, když je pravdivý práv jeden z výrok p, q. p q p q p q p q 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Význam spojek a a nebo se mže v hovorovém jazyce lišit od významu ve výrokové logice! Napíklad: Vty Petr se udeil do hlavy a upadl a Petr upadl a udeil se do hlavy znamenají ve výrokové logice totéž, kdežto v hovorovém jazyce je mezi nimi rozdíl. (První vtu si v hovorovém jazyce vyložíme tak, že Petr se nejprve udeil do hlavy a v dsledku toho upadl. Podle druhé vty však Petr nejprve upadl a v dsledku toho se udeil do hlavy.) Implikace: => teme: Jestliže p, pak q nebo: p implikuje q nebo: platí-li p, pak platí q Výrok q nkdy oznaujeme jako pedpoklad, výrok q jako závr. íkáme také, že z pedpokladu p plyne závr q. Implikace je však výrok. Nemli bychom ji ztotožovat s úsudkem o vyplývání. P q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Implikace výrok p, q : Výrok, který je nepravdivý pouze tehdy, když je výrok p pravdivý a výrok q nepravdivý. (Z nepravdivého pedpokladu plyne jakýkoliv závr.) 1.3. a) Pomocí pravdivostní tabulky dokažte, že z následujících úsudk jsou správné jen ty, které jsou vytištné tun. p platí p neplatí q platí q neplatí pq platí pq platí pq platí pq platí q platí q neplatí p platí p neplatí - 3 -
b) Svdek vyslovil výrok Jestliže je vinen obžalovaný A, pak je vinen i obžalovaný B. Ve kterých z následujících ty možných situací ml svdek pravdu? ) A je vinen a B je vinen, ) A je vinen a B není vinen, ) A není vinen a B je vinen, ) A není vinen a B není vinen. c) Úlohy o padouších a poctivcích. Na jednom ostrov žijí jen padouši a poctivci. Padouši za všech okolností lžou, poctivci vyslovují vždy jen pravdivé výroky. Uvažujme libovolné dva obyvatele ostrova, ozname je A, B. ) [S 109] A íká: Pokud jsem poctivec, pak B je taky poctivec. Lze jednoznan urit, co je A a co je B? ) [S 110] Zeptáte se A: Jste poctivec? A odpoví: Když jsem poctivec, tak sním svj klobouk! Dokažte, že A musí sníst svj klobouk. ) [S 111] A ekne: Jestliže jsem poctivec, pak dv a dv jsou tyi. Je to poctivec, nebo padouch? ) [S 112] A ekne: Jestliže jsem poctivec, pak dv a dv je pt. Je to poctivec, nebo padouch? ) [S 113] A ekne: Pokud je B poctivec, tak já jsem padouch. Co je A a co je B? ) [S 115] Máme ti obyvatele ostrova: A, B a C. A ekne B je poctivec a B íká: Pokud je A poctivec, tak je poctivec i C. Dá se urit, co jsou A, B a C za? c) Logika a láska. ) [S 116] Víme,že jsou pravdivé výroky: (1) Miluji Btku nebo miluji Janu. (2) Pokud miluji Btku, pak miluji Janu. Vyplývá z nich, že miluji Btku? Vyplývá z nich, že miluji Janu? ) [S 117] Dejme tomu, že se m kdosi zeptá: "Je to vážn pravda, že pokud miluješ Btku, pak taky miluješ Janu?" Odpovím mu podle pravdy: "Jestliže je to pravda, tak miluji Btku." Vyplývá z toho, že miluji Btku? Vyplývá z toho, že miluji Janu? ) [S 118] Tentokrát máme dv dívky, Evu a Markétu. Nkdo se m zeptá: "Je to vážn pravda, že pokud miluješ Evu, miluješ i Markétu?" Odpovím mu podle pravdy: "Jestliže je to pravda, miluji Evu, a jestliže miluji Evu, je to pravda." Kterou z dívek miluji? ) [S 119] Tentokrát máme ti dívky, lvu, Marii a Danu. Situace je složitá: (1) Miluji aspo jednu z tch tí dívek. (2) Pokud miluji lvu, ale ne Danu, pak miluji Marii. (3) Bu miluji Danu i Marii, nebo nemiluji ani jednu z nich. (4) Pokud miluji Danu, pak taky miluji lvu. Kterou z dívek miluji? - 4 -
Ekvivalence: <=> teme: p práv tehdy, když q p, práv když q p tehdy a jen tehdy, když q p je ekvivalentní s q p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ekvivalence výrok p, q : Výrok, který je pravdivý pouze v pípadech, kdy oba výroky p, q mají stejnou pravdivostní hodnotu. Všimnte si, že ekvivalenci lze chápat jako oboustrannou implikaci. p q pq qp (pq) (qp) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Abeceda výrokové logiky uruje, jaké symboly mžeme používat k vytváení složitjších výrok. 1) Znaky pro výrokové promnné p, q, r, s,... 2) Znaky pro funktory,,,,, 3) Pomocné znaky ( ), [ ], { }... závorky Pomocí tchto znak mžeme tvoit výrokové formule. Napíklad: (p q) r je výroková formule (p ) není výroková formule (Jsou použity znaky z abecedy výrokové logiky, ale nejsou uspoádány podle daných pravidel.) Následující definice uruje, kdy užitím znak výrokové logiky vznikne výroková formule. Výroková formule: a) Každá výroková promnná p, q, r,... je výrokovou formulí. b) Jestliže njaké výrazy α, β jsou výrokovými formulemi, potom i výrazy α, α β, α β, α β, α β a α β jsou výrokové formule. c) Žádné jiné výrazy nejsou výrokové formule. - 5 -
Aby byly složené výrokové formule jednoznan ureny, používáme v zápisech závorky. Tyto zápisy lze zjednodušit podle tchto pravidel: 1. Spojka má pednost ped všemi ostatními logickými spojkami. 2. Znaky, jsou rovnocenné a mají pednost ped rovnocennými znaky,. Pravdivostní ohodnocení výrokové formule Podle definice každá výroková formule obsahuje výrokové promnné. Napíklad formule ( p q) ( q p) obsahuje promnné p, q. Provedeme pravdivostní ohodnocení výrokové formule, promnným piadíme možné pravdivostní hodnoty. Všechny vzájemné možnosti pravdivostního ohodnocení uvedeme v tabulce. Jestliže výroková formule obsahuje n promnných, bude mít tabulka 2 n ádk. p q p q p q q p ( p q) ( q p) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 Pi vyhodnocení mohou nastat 3 možnosti: a) Pro všechny pravdivostní hodnoty výrokových promnných vznikne z výrokové formule výrok za všech okolností pravdivý. Taková výroková formule se nazývá tautologie. b) Pro všechny pravdivostní hodnoty výrokových promnných vznikne z výrokové formule výrok za všech okolností nepravdivý. Taková výroková formule se nazývá kontradikce. c) Pro nkteré pravdivostní hodnoty vznikne výrok pravdivý a pro nkteré nepravdivý. Taková výroková formule se nazývá splnitelná formule. Jaký typ formule je uveden v píkladu? Pro které hodnoty výrokových promnných dostaneme pravdivý výrok? 1.4 Zjistte, zda jsou následující výrokové formule tautologie, kontradikce i splnitelné formule. a) ( a) a, b) (a b) (a b), c) ( a b) (a b), d) ( a b) ( a b), e) a (b c) (a b) c f) a (b c) (a b) c g) a (b c) (a b) (a c) h) a (b c) (a b) (a c) i) {a (b c)} {(ab) (ac)} j) {a (b c) } { (ab) (ac)} - 6 -
k) {a (bc)} {(a b) c} m) {a (b c) } {(ab) (ac)} Oznaíme-li po ad písmeny u, v formule v levém sloupci a pravém sloupci libovolného ádku pedchozí tabulky, pak u v je tautologie. íkáme též, že u a v jsou logicky ekvivalentní formule. Definice. ekneme, že výrokové formule p, q jsou logicky ekvivalentní, když platí: (a) Každá výroková promnná, která se vyskytuje v p, se vyskytuje i ve q a každá výroková promnná, která se vyskytuje v q, se vyskytuje i v p. (b) Zadáme-li libovoln pravdivostní hodnoty všech výrokových promnných, které se ve formulích p, q, vyskytují, platí p q. Jsou-li formule p, q, logicky ekvivalentní, píšeme p q. Logicky ekvivalentní výroky mžeme navzájem zamovat. Pro libovolnou výrokovou formuli lze mechanicky sestrojit tabulku pravdivostních hodnot této formule. Dále ukážeme, že platí i obrácené tvrzení: Nech n je pirozené íslo. Pak existuje 2n navzájem rzných n-lenných posloupností utvoených z nul a jedniek. Jestliže uspoádáme všechny tyto posloupnosti do tabulky o 2n ádcích a n sloupcích a pidáme k takto vzniklé tabulce ješt jeden sloupec libovoln utvoený z nul a jedniek. Jestliže prvním n sloupcm tabulky piadíme výrokové promnné p1, p1, p n, pak lze z tchto promnných a logických spojek zkonstruovat výrokovou formuli, jejíž pravdivostní hodnoty jsou jednoznan ureny vzniklou tabulkou. Tato výroková formule není urena jednoznan. Píklady P1. Pro n = 1 máme pro p1 p tabulku o dvou ádcích a jednom sloupci. Pidáme druhý sloupec, pro njž máme celkem tyi možnosti volby nul a jedniek jako pravdivostních hodnot. Pro jednotlivé situace lze napíklad zvolit q následujícím zpsobem: p q p q p q p q 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 q: p p q: p p q: p q: p p - 7 -
P2. Pro n = 2 máme pro p1 a p 2 tabulku o tyech ádcích a dvou sloupcích. Pidáme tetí sloupec, pro njž máme celkem 16 možností volby nul a jedniek jako pravdivostních hodnot. Pro jednoduchost uvádíme pehled všech možností do jediné tabulky, v níž pro formule odpovídající pidaným sloupcm piazujeme oznaení q 1 až q 16. p 1 p 2 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 q 9 q 10 q 11 q 12 q 13 q 14 q 15 q 16 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 Nkteré formule již známe: q 2 : p 1 p 2, q 4 : p 1 p 2, q 8 : p 1 p 2, q 12 : p 1 p 2, : q 9 : p 1 p 2 Abychom nalezli postup, jak nalézt obecný postup vyjádení formule q i pomocí formulí p1 a p 2, povšimnme si, že formule u: ( a b) ( a c) sestavená z promnných a, b, c, má tuto vlastnost: Pokud a neplatí, je u b, pokud a platí, je u c. (v) Tvrzení je zejmé z tabulky pravdivosti: a b c a b a c u: ( a b) ( a c) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pomocí tvrzení (v) nyní ukážeme postup vyjádení formule q 5 pomocí formulí p1 a p 2. - 8 -
Formule q 5 je definována tabulkou: p 1 p 2 q 5 1 1 0 1 0 1 Pemístíme v ní ádky a vybarvíme: p 1 p 2 q 5 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 Dále si pedstavíme p 2 jako formuli a z vty (v) a formule b, c budou dány tabulkami pravdivosti sestavenými z vybarvených sloupc: p 1 b p 1 c 1 1 1 0 0 1 0 1 Z P1 již víme p p c: p a 1 b: 1 1 Položme ješt u q. 5 Podle (1) platí q5 : ( p2 ( p1 p1 )) ( p2 p1 ) Nalezenou formuli mžeme zjednodušit na tvar q : p ( p p ).. 5 2 2 1 Je totiž p1 p1 tautologie, proto mají formule p2 ( p1 p1 ) a p2 za stejných podmínek stejnou pravdivostní hodnotu. Stejným zpsobem postupujeme pi vyjadování kterékoliv jiné formule q i (definované tabulkou v horní ásti pedchozí stránky) pomocí formulí p1 a p 2. Tímto zpsobem dokážeme postupn vyjádit všechny formule q 1, q 2,..., q 16. Když tak uiníme, mžeme analogicky sestavit tabulku pravdivosti všech možností pro p1, p2, p3, a vyjadovat tabulkou definované formule jako formule vytvoené z p1, p2 a p 3 pomocí výrokotvorných funktor. 1.5. Vyjádete q 13 a q 3, resp. další zbývající formule q i z tabulky jako formule složené z formulí p a p. 1 2 Negace složených výrok Pro každý ádek tabulky dokažte, že výrok pravém sloupci je negací výroku v levém sloupci. - 9 -
p q p q p q p q pq p q p q p q p q p q, resp. (p q) ( p q) 1.6 Podle pravidel pedchozí tabulky vyslovte negace výrok: a: Pijde Petr nebo Pavel. b: Jestliže pijde Jana, pijde i Michal. c: Karel pijde práv tehdy, když pijde Jan. d: Pijde Anna a Hana. p: Koupím si pomerane a banány. q: Jestliže bude pršet, zstanu doma. r: Mám hlad a nemám žíze. s: Dané íslo je dlitelné šesti, práv když je dlitelné dvma a temi. t: Pjdeme dál, jestliže nikdo není unaven. u: Pijde nejvýše jeden z dvojice Petr, Pavel. v: Jana nepojede bez Hany. m: Milan pojede, pojede-li Honza. Obmna a obrácení implikace. Obrácením implikace p q nazýváme implikaci q p. Obmnou implikace p q nazýváme implikaci q p. Dokažte, že Implikace a její obmna jsou logicky ekvivalentní: (p q) ( q p). Implikace a její obrácení nejsou logicky ekvivalentní. - 10 -
1.7 Vyslovte obmnu, obrácení a negaci tchto výrok: a) Je-li pirozené íslo dlitelné šesti, pak je sudé. b) Jestliže budík nezazvoní, nepijdu do školy vas. c) Jestliže je pirozené íslo n složené a není druhou mocninou, pak má aspo tyi dlitele. d) Jestliže má tyúhelník ABCD aspo ti strany stejn dlouhé a jeho úhlopíky se plí, pak je to kosotverec nebo tverec. Následující tabulka obsahuje pehled nkterých dležitých tautologií výrokové logiky. erveným symbolem jsou definovány logicky ekvivalentní výroky. p p zákon totožnosti (1) p p zákon vylouení tetího p je bu pravdivé, nebo nepravdivé, neexistuje tetí možnost. (p p) zákon sporu, kontradikce - 11 - není možné, aby výrok a jeho negace byly zárove pravdivé ( p) p zákon dvojí negace dvojitá negace dává pvodní výrok ( p p) p (p p ) p reductio ad absurdum (Claviatv zákon) (5) (p p) q zákon Dunce Scotta z nemožného plyne cokoliv (6) p (q p) zákon simplifikace (7) (pq)( q p) zákon kontrapozice (8) [p (qr)] (p qr) spojování pedpoklad (9) [(pq) (qr)] (pr) hypotetický sylogismus (tranzitivita implikace) (10) p q q p komutativnost konjunkce (11) p q q p komutativnost disjunkce (12) (p q) r p (q r) asociativnost konjunkce (13) (p q) r p (q r) asociativnost disjunkce (14) p (q r) (p q) (p r) vzájemná distributivnost konjunkce a disjunkce (15) p (q r) (p q) (p r) (16) (p p) p idempotence konjunkce (17) (p p) p idempotence disjunkce (18) [(p q) p] p (19) p [q (p q)] (20) (2) (3) (4)
Zjistili jsme, že logické spojky,,,,, nám umožují zkonstruovat libovoln komplikované výrokové formule. Možná jste si již uvdomili, že by na totéž staily jen funktory, a. Formuli a b je totiž možno nahradit ekvivalentní formulí (a b) ( a b), formuli a b je možno nahradit ekvivalentní formulí a b a formuli a b je možno nahradit ekvivalentní formulí ( a b) (a b). Dokonce vystaíme jen s funktory,, protože (a b) ( a b). (Pesvdte se vyplnním pravdivostní tabulky.) Definujme nyní funktory a pravdivostní tabulkou Funktor se nazývá Shefferova spojka a staí k vyjádení jakéhokoliv složeného výroku, nebo platí: 1. a a a 2. a b (a b) (a b) a b a b a b 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1.8 Výrokový kalkul lze tedy vybudovat užitím pouze Schefferovy spojky. Ovte poslední dva vztahy a dokažte, že analogicky umožuje výrokový kalkul také vybudovat pouze užitím tak zvané Pierceovy spojky. - 12 -
ešení složitjších slovních logických úloh pomocí pravdivostní tabulky Z ešení nkterých výše uvedených úloh plyne tento postup: I. Na základ analýzy textu úlohy zvolíme výrokové promnné a vyjádíme slovní podmínky úlohy pomocí výrokových formulí. II. Sestavíme pravdivostní tabulku, jejím vyplnním vyešíme úlohu. III. Vyjádíme výsledek v termínech slovní úlohy. Píklad 1. V díln jsou ti stroje, které pracují podle tchto podmínek: a) pracuje-li první stroj, pracuje i druhý, b) pracuje druhý nebo tetí stroj nebo pracují oba tyto stroje, c) nepracuje-li první stroj, nepracuje ani tetí. Jaké jsou možnosti pro práci stroj? I. Základní výrokové formule: a: Pracuje první stroj. b: Pracuje druhý stroj. c: Pracuje tetí stroj. Z textu úlohy víme, že platí: a b, (b c) (b c), a c II. Tabulka: a b c b c b c a b (b c) (b c) a c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 III. Závr. Mže nastat práv jedna z tchto tí situací: 1. Pracují všechny ti stroje souasn. 2. Pracují jen první dva stroje 3. Pracuje jen druhý stroj - 13 -
Píklad 2. Architekt má vypracovat návrh stny do obývacího pokoje z element sektorové sestavy. Ve stn má být zaazena knihovnika a prádelník nebo se v ní musí vyskytovat zásuvková skí a likérník. Zákazník si nepeje, aby ve stn byly spolen knihovnika a zásuvková skíka, práv tak by se mu nelíbilo zaazení knihovniky a likérníku. Architekt navrhl stnu, v níž je krom jiných element zaazen prádelník, zásuvková skí a likérník, není zaazena knihovnika. Splnil všechny zákazníkovy požadavky? Ml ješt jiné možnosti pro sestavení stny, aby pitom vyhovl všem zákazníkovým požadavkm? ešení. I. Zvolíme základní formule: k: Do stny bude náležet knihovnika. p: Do stny bude náležet prádelník. z: Do stny bude náležet zásuvková skí. l: Do stny bude náležet likérník. Požadavky: Má platit (k p) (z l) a souasn k z a k l. II. Tabulka: k p z l a: k p b: z l a b k z k l 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 III. Závr. Architekt zákazníkovy požadavky splnil, jak vidíme z devátého (zelen vybarveného) ádku tabulky. Žlut vybarvené ádky ukazují další dv možnosti vyhovující požadavkm zákazníka. - 14 -
1.9 Cviení 1) Jan, Petr Jan, Karel a Petr se dohodli, že se zúastní výletu, za tchto podmínek a) Pjde-li na výlet Karel, pjde i Petr. b) Nepjde-li Jan, nepjde ani Petr. c) Na výlet pjde Jan nebo Karel Jaké jsou možnosti úasti chlapc na výletu? 2) Jana se chystá na maturitní ples. Práv probhla porada o doplcích k šatm. Hlavní rádci jsou dv tety a matka. První teta: Doporuuji brož nebo náhrdelník. Druhá teta: Nejlépe by bylo vzít si náramek nebo brož. Matka: Já jsem pro náhrdelník nebo náramek. Jana se na plese objevila s náramkem, náhrdelníkem i broží, i když se jí zdálo, že je píliš ovšena. Chtla však udlat matce i obma tetám radost. Splnila skuten všechna jejich pání? Musela si vzít všechny ti doplky, aby všem vyhovla? 3) I do msta Kocourkova pronikl v poslední dob turistický ruch. Mstská rada projednávala, jak co nejvíce zvýšit píliv turist. Byly pedloženy tyto návrhy: vybudovat na námstí kašnu, postavit pomník zakladateli msta, vystavt vyhlídkovou vž. Mstská pokladna však není píliš plná, a tak se radní dohodli realizovat nejvýše dva z pedložených návrh. V diskusi vystoupili ti radní. První radní: Jsem pro jakékoliv ešení, nebudu souhlasit jenom s rozhodnutím stavt pomník a nestavt vž. Druhý radní: Budu protestovat jenom tehdy, kdybychom v našem mst stavli kašnu a nepostavili pomník. Tetí radní: Mn by nevyhovovalo jedin to ešení, kdyby v našem mst stála vyhlídková vž a chybla kašna. Mstská rada usoudila, že všem tem radním je teba vyhovt. Co asi v Kocourkov postaví? 4) Zájemkyn o zájezd do Stedomoí má velmi nároné a ponkud podivínské požadavky na výbr dopravních prostedk. Chtla by lett letadle, nebo jet lodí, ale nechce použít obou dopravních prostedk. Navíc by chtla jet lodí a pitom už necestovat vlakem nebo by si pála jet vlakem a pitom už nelett letadlem. Zoufalý úedník edoku jí nabídl dva zájezdy. V prvním byla pouze jízda lodí a vlakem, v druhém pouze let letadlem. Paní si vzala spokojen druhý z nabídnutých zájezd. Sploval všechna její pání? Vyhovoval by první z nabídnutých zájezd všem jejím požadavkm? 5) Petr je lenem školních družstev v házené, kopané, košíkové a lehké atletice. Vzhledem k tomu, že není schopen stihnout své povinnosti ve škole a jeho prospch není práv nejlepší, rozhodl se, že alespo jedno z družstev opustí. Nezstane již lenem tí družstev, tj. košíkové, kopané a lehké atletiky, ale aspo v jednom z nich bude. I nadále zstane lenem družstva házené nebo družstva košíkové, ale v obou zárove nezstal. Navíc ješt odešel z družstva košíkové nebo opustil družstvo lehké atletiky. Dnes je Petr ve tech školních družstvech z tch, jejichž lenem byl pvodn. Která to jsou, pedpokládáme-li, že splnil všechna svá pedsevzetí? Jaké možnosti by se mu naskýtaly, kdyby chtl hrát jenom ve dvou z nich a pitom splnil svá pedsevzetí? 6) Rozhodnte, kteí žáci ze tveice A, B, C, D pojedou na výlet, mají-li být dodrženy tyto zásady: Pojede aspo jeden z dvojice B, D, nejvýše jeden z dvojice A, C, aspo jeden z dvojice A, D a nejvýše jeden z dvojice B, C. Dále je jisto, že B nepojede bez A a že C pojede, pojede-li D. - 15 -
7) Trenér chce postavit štafetu na 4x 100 m. Z pvodn uvažovaných atlet pichází do úvahy atleti A, B, C, D pi souasném splnní tchto podmínek: a) pobží práv jeden z dvojice A,B a práv jeden z dvojice A,C b) závodník B nepobží bez D c) atleti A, D nebudou uvolnni oba souasn d) jistá je úast alespo jednoho z atlet C,D 8) Pi stavb silnice, která má spojovat dv msta se rozhodovalo, kterými obcemi A, B, C, D má cesta vést. Musí být splnny následující podmínky: a)silnice povede obcí B, jestliže povede obcí A. b)obcemi A a C silnice povede, jestliže povede obcí D. c)silnice povede alespo jednou z obcí B a C d)obcemi C a D povede bu souasn nebo žádnou z nich. Jak silnice povede, aby byly splnny všechny podmínky? Výsledky. 1) Všechny podmínky jsou splnny v tchto pípadech: (a) Na výlet pjdou všichni ti spolen. (b) Pjde Jan s Petrem a Karel nepjde. (c) Pjde jenom Jan. 2) Jana všechny požadavky splnila. Jsou i jiné varianty, ke plnní všech požadavk staí vzít libovolné dva doplky. 3) Tabulka pravdivosti vyhovuje všem požadavkm jen v prvním a posledním ádku. Nepostavili tedy nic (vzhledem k tomu, že na splnní všech tí projekt nemají dost penz). 4) Všechny požadavky spluje pouze první z nabídnutých zájezd. 5) Je v družstvu házené, fotbalu a atletiky. Možné dvojice: basketbal a fotbal, fotbal a házená, atletika a házená. 6) Dv možnosti: pojede bu A s B, nebo C s D. 7) Závodníci pobží takto: pobží B, C, D + 1 náhradník. 8) Mže nastat nkterá z tchto situací: (a) Cesta povede všemi obcemi A,B,C,D (b) Cesta povede obcemi jen A a B. (c) Cesta povede jen obcí B. 2. Základní poznatky z predikátové logiky Na rozdíl od výrokové logiky si predikátová logika všímá struktury vt samotných. Rozlišuje v každé vt individuum, resp. individua, o nmž, resp. o nichž, se nco vypovídá (predikuje) - predikát intuitivn chápeme jako vlastnost nebo vztah. V školské matematice se pro predikát užívá termín výroková forma. Je to tvrzení, které obsahuje individuové promnné, piemž po dosazení individuových konstant za promnné se toto tvrzení mže stát výrokem. Predikátový symbol je výraz, oznaující predikát, tedy vlastnost nebo vztah, který lze predikovat (vypovídat) o individuu, nebo individuích. Jako predikátové symboly budeme volit velká písmena abecedy, abychom je rozlišili od symbol pro individuální promnn a konstanty, jež budeme znaovat malými písmeny. Obor promnných O( U ) výrokové formy U je množina všech hodnot (individuových) promnných, které dosazujeme do U. Obor promnné je bu pedem dán, nebo si jej zvolíme. - 16 -
Defininí obor D( U ) výrokové formy U je množina všech konstant z oboru promnné, po jejichž dosazení do U dostáváme výrok (pravdivý nebo nepravdivý). 0bor pravdivosti P( U ) výrokové formy U je množina všech konstant z oboru promnné, po jejichž dosazení do U dostáváme pravdivý výrok. Píklady výrokových forem jedné promnné 1. U(x): Osoba x se narodila v Protivín. Zvolíme O( U ) = D( U ) jako množinu všech lidí, kteí žijí, nebo žili na Zemi. P( U ) je množina všech lidí, kteí se narodili v Protivín. 2. V(x): x 2, ( x R). O( V ) = R, D( V ) = 0, ), nebo pro záporná ísla není výraz x definován a proto nemá smysl tvrdit, že je nerovnost x 2 pravdivá nebo nepravdivá. P( V ) = 0, 4. Píklady výrokových forem dvou promnných 1. Na obrázku je schéma rodiny Novákových, Jan a Marie jsou manželé, Petr, Karel, Iva, Hana a Dana jejich dti. V zájmu strunosti budeme oznaíme každou osobu i poátením písmenem jejího jména. Množina rodiny Novákových je tedy M = j, m, p, k, i, h, d. { } Výrokovou formou je napíklad tvrzení U(x, y): x je syn y. Množinou O( U ) a zárove i množinou D( U ) je množina všech uspoádaných dvojic z množiny M: D U = O U = {[ x y] x M y M} Oborem pravdivosti je P( U ) = {[ p, j], [ p, m], [ k, j], [ k, m] }. ( ) ( ),,. Urete výtem obory pravdivosti výrokových forem a) V(x, y): x je sestra y, b) H(x, y): y je matka x. 2 2 2. ( ) ( ) A( x, y) : x + y = 1, kde x, y R. Urete O( A), D( A ) a v kartézské soustav souadnic znázornte P( A ). Termínem kvantifikátory obecn oznaujeme údaje o potu, patí mezi n ísla, slova a slovní spojení jako mnoho, málo, nkolik, aspo dva, žádný, všichni, libovolný, nkde, njak, jakkoliv.... V matematice a logice nejastji užíváme dva základní kvantifikátory: Obecný kvantifikátor, který pedstavuje slovní spojení pro každé... platí a kterému se také nkdy íká velký kvantifikátor, a Existenní (ástený, malý) kvantifikátor, který pedstavuje slovní spojení existuje aspo jedno... pro které platí. Pidáním obecného i existenního kvantifikátoru se z výrokové formy stává výrok. - 17 -
Abeceda predikátové logiky 1) Symboly pro individuové promnné x, y, z,... 2) Symboly pro individuové konstanty a, b, c,... 3) Symboly pro predikáty U, V,... 4) Znaky pro funktory,,,,, 5) Znaky pro obecný a ástený kvantifikátor, 6) Pomocné znaky ( ), [ ], { }... závorky Výrokotvorné funktory se v predikátové logice užívají stejným zpsobem jako ve výrokové logice. Pozor na negace výrokových forem s kvantifikátory: Výroková forma Její negace x: U ( x) x: U ( x) x: U ( x) x: U ( x) Úlohy (nkteré jsou i s ešením, ostatní vyešte) 1. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím vtám. (Zavete si nejprve vhodné symboly.) Rozhodnte také, zda jde o výrok, nebo výrokovou formu. a) Nkteré dti nerady okoládu. ešení. Tvrzení je výrok, slovo nkteré je zde ve významu existenního kvantifikátoru - existují. Nech D je množina všech dtí a C( x ) : x má rád okoládu je výroková forma. Pak má dané tvrzení tvar x D: C( x). Jiné ešení. Zavedeme formule: D( x ) : x je dít C( x ) : x má rád okoládu. Pak lze pvodní tvrzení zapsat ve tvaru: x ( D x C x ) : ( ) ( ). b) Pirozené íslo je dlitelné šesti, práv když je dlitelné dvma a temi. ešení. Tvrzení je výroková forma (teprve po pidání obecného, resp. existenního kvantifikátoru by se stalo výrokem), defininí obor i obor pravdivosti je množina všech pirozených ísel. - 18 -
Poznamenejme, že autoi uebnic obvykle takto formulovaná tvrzení uvádí jako matematické vty, tebaže by se mli vyjadovat pesnji. V našem pípad napíklad takto: Pro každé pirozené íslo platí, že je dlitelné šesti, práv když je dlitelné dvma a temi. Ozname N množinu všech pirozených ísel a pro tvrzení x dlí y zavedeme obvyklý zápis x y. Pak x N 6 x x N 2 x 3 x. lze dané tvrzení zapsat ve tvaru: ( ) ( ) c) Jestliže je libovoln zvolené pirozené íslo dlitelné devíti, pak je dlitelné temi. d) Nikdo, kdo nebyl pouen o bezpenosti práce, nesmí pracovat v laboratoi. e) V nkterých jihoeských mstech jsou cenné historické stavby. f) Nkdo má hudební sluch a nkdo nemá hudební sluch. g) Žádný rybník neobsahuje istou vodu. 2. Utvote negace všech tvrzení z úlohy 1 (pvodních slovních formulací i výsledných formulí). 3. Pro následující vty uvete predikáty, konstantní symboly a funkní symboly, které potebujete k formalizaci a napište formule odpovídajících vt. a) Eva mluví anglicky i francouzsky. b) Každý, kdo mluví nmecky, mluví i anglicky. c) Každý mluví anglicky nebo nmecky. d) Nkdo mluví anglicky i nmecky. e) Nkteí studenti neumí ani nmecky ani anglicky. 4. Pro následující vty uvete predikáty, konstantní symboly a funkní symboly, které potebujete k formalizaci a napište formule odpovídajících vt. a) Karel vidl Shakespearovu hru Hamlet. b) Karel vidl nkterou Shakespearovu hru. c) Nkdo vidl Shakespearovu hru Hamlet. d) Nkdo vidl nkterou Shakespearovu hru. e) Ne každý vidl nkterou Shakespearovu hru. f) Karel vidl pouze hry od Shakespeara. g) Lucernu nenapsal Shakespeare. ešení. Objekty jsou lidé a hry. Pro první tyi vty by staila tato formalizace: Máme jeden predikátový ternární symbol V (x; y; z), který má význam osoba x vidla hru y od autora z. (Na druhém místì trojice (x; y; z) musí být hra, na prvním a tetím musí být osoba.) Dále máme ti konstanty k pro osobu Karla, h pro hru Hamlet a s pro autora Shakespeara. Formule mají tvar: a) V (k; h; s); b) y : V (k; y; s); c) x : V (x; h; s); d) x : V (x; y; s). Chceme-li popsat všechny vty, zavedeme jiné predikátové symboly: Objekty jsou opt lidé a hry. Máme unární predikáty H: být hrou, O: být osobou, binární predikáty V (x; y): osoba x vidla hru y a N(x; y): osoba x napsala hru y a tyi konstantní symboly - 19 -
k: Karel, h: Hamlet, s: Shakespeare a l: Lucerna. Zápisy formulí provete sami. 5. Zavete vhodné predikátové symboly, funkní symboly a konstanty, pak zformalizujte následující vty. a) Druhá mocnina libovolného lichého ísla je vždy liché íslo. b) Je-li libovolné íslo dlitelné šesti, je dlitelné i dvma. c) Existují ísla a, b, c taková, že souet tverc ísel a a b je roven tverci ísla c. d) Každý tyúhelník, jehož úhlopíky se plí, je rovnobžník. 6. Jsou dány predikátové symboly P, Q a funkní symboly f, g. Dále je dána interpretace D, I, kde obor promnné D je množina všech lidí, f odpovídá otci, tj. I(f(x)) piazuje osob x jejího otce, g odpovídá matce, tj. I(g(x)) piazuje osob x její matku, P odpovídá vlastnosti hrát na piano, Q odpovídá vlastnosti hrát na kytaru. Napište slovy vty, kterým v této interpretaci odpovídají následující formule: a) x ( P ( f x ) Q ( g x )) : ( ) ( ), b) x ( P ( g x ) Q( f x )) : ( ) ( ), (( ) ( )) c) ( ) ( ) x : P f ( x) Q g( x) P( x) Q( x), ( ( )) d) x P g ( f x ) : ( ), ( ( )) e) z P z Q f ( g z ) : ( ) ( ). 7. Speciální symboly jazyka predikátové logiky jsou tyto: Predikátové symboly P a Q, funkní symboly f, g a konstantní symboly a; b; c, kde P a f jsou unární a Q a g binární. Je dána interpretace N, I, kde N je množina pirozených ísel; I( a ) = 0, I( b ) = 1, I( c ) = 3, I f n n 2 ( ) :, tj. f odpovídá umocnní na druhou, [ ] I( g) : m, n m + n, tj. g odpovídá soutu, = { } tj. P odpovídá vlastnosti být sudým, = [ ] I( P) 2 n, n N, tj. Q odpovídá relaci dlitelnosti. Rozhodnte o pravdivosti nebo nepravdivosti následujících sentencí: a) P(c), b) P(f(a)), c) P ( g ( a f b )), ( ), d) Q ( a, f ( b )), e) Q ( f ( b), a ), f) x Q ( x x) :,, g) x Q( f x x) : ( ),, { } I( Q) m, n, m je dlitelem ísla n, - 20 -
h) x ( Q( c x) Q ( b x) ) :,,, i) x ( Q( b x) Q( c x) ) :,,, j) x P ( f x P x ) : ( ) ( ), k) x y ( P x P y P ( g x y )) : ( ) ( ) (, ), l) x y ( P x P y P ( g x y )) : ( ) ( ) (, ), Výsledky. a) Nepravdivá, b) pravdivá, c) nepravdivá, d) nepravdivá, e) pravdivá, f) nepravdivá; g) pravdivá, h) pravdivá, i) nepravdivá, j) pravdivá, k) pravdivá, l) pravdivá. - 21 -
Literatura [SE] Šedivý J.: O modernizaci školské matematiky [S] Smullyan R. M.: Jak se jmenuje tahle knížka? http://www.uloz.to/xkd8ftr/smullyan-jak-se-jmenuje-tahle-knizka-pdf Pravidla Omluvy z neúasti na pednášce nechci slyšet. Podmínkou zápotu je úspšn napsat závrenou písemnou práci, v níž lze získat maximáln 100 bod. Základní hranice úspšnosti 65 bod. Tato hranice se za každou neúast na pednášce zvyšuje o 2 body. Na zaátku tém každé pednášky bude krátký test z dosud probraného uiva. Za úspšn napsaný test snižuji hranici závreného testu o 1 až 2 body. Za neúspšn napsaný test zvyšuji hranici závreného testu o bod. - 22 -