GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

Transkript

1 GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai v programech Microsot Word XP, Texas Instruments Derive v6.0 a Malování. V Chebu dne 9. kvtna 006 Podpis ešitele

3 Obsah Prohlášení.. Obsah.. Úvod.. 3 Metodika Deinice Absolutní hodnota Binární relace Deinice kartézského souinu Deinice binární relace Rozdíl mezi relací a unkcí Deinice unkce Gra. 6 4 ešení píklad Rovnice Nerovnice Soustavy nerovnic. 3 5 Závr Seznam obrázk Bibliograie. 38

4 Úvod V rámci pedmtu Seminá z matematiky studenti na konci septimy vypracovávají seminární práci. Zatímco v pedchozích letech bylo téma volné a každý student si mohl vybrat to, co mu nejvíce vyhovovalo, v tomto školním roce nám zadání bylo ureno. Každý student z naší skupiny obdržel zadání, které bylo zameno vždy na jeden druh unkcí a jevy s nimi souvisejícími. Dle zámru našeho vyuujícího bude spojením všech našich seminárních prací vytvoen jakýsi sborník ešených píklad s komentái, který by ml pomáhat s uivem o unkcích zejména mladším studentm. 3

5 Metodika V této práci jsem se ml zamit na princip ešení úloh typu: Sestrojte gra binární relace. Systém ešení jsem ml pedvést na typových píkladech, které mi byly zadány. Pro pehlednost jsem si je rozdlil na ti ásti. a) Rovnice (viz. 4.) x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3 x y = 3 x + y = 3 x y = 3 x + x = y + y x y = x + y b) Nerovnice (viz. 4.) x + y 3 c) Soustavy nerovnic (viz. 4.3) x + y x + y = 3 9 První píklad každé ásti je ešen s rozsáhlejšími komentái. U dalších píklad bych se však musel asto opakovat, tak jsem komentoval pouze tu ást ešení, která je zajímavá nebo jinak odlišná. Nejprve je nutné vymezit si základní pojmy a deinice (viz. 3). Bhem ešení se na tyto deinice odkazuji. 4

6 3 Deinice 3. Absolutní hodnota [ 3] Libovolnému reálnému íslu a piazujeme reálné íslo a, které nazýváme absolutní hodnota ísla a tak, že platí: a) je-li a 0, pak a = a b) je-li a < 0, pak a = a 3. Binární relace Ze všeho nejdíve je nutno si stanovit, co binární relace (asto pouze relace) vbec je. Na to je ale poteba vdt, co je kartézský souin. 3.. Deinice kartézského souinu [ 3] Kartézský souin množin A, B (psáno A B ) je množina všech uspoádaných dvojic [ a; b ], kde a A b B. 3.. Deinice binární relace [ ] Dáno: množiny A, B Binární relací R mezi množinami A, B se rozumí libovolná podmnožina kartézského souinu množin A, B (viz 3..) Pokud x A y B tvaru xry. R A B, potom uspoádaná dvojice [ x; y] Rozlišujeme relaci v množin A - deininí obor je podmnožinou A relaci na množin A - deininí obor je celá množina A R, což je možno též zapsat ve 5

7 3.3 Rozdíl mezi binární relací a unkcí Funkcí rozumíme podmnožinu binární relace, která každému íslu z množiny A piadí práv jedno íslo z množiny B. Rozdíl mže být patrný i z tvaru grau binární relace a unkce. Vlastnost, že unkce piazuje íslu x práv jednu unkní hodnotu (viz. 3..), se projevuje tím, že gra unkce se protíná se všemi rovnobžkami se souadnicovou osou y vždy v práv jednom bod, který má souadnice [ x; ( x )]. Graem unkce tedy nesmí být nap. kružnice, dvojice rovnobžek, pímka rovnobžná s osou y atd Deinice unkce [ ] Funkce je zobrazení, které každému reálnému íslu x D( ) piadí práv jedno reálné íslo y = ( x) H ( ). kde: D( ) nazýváme deininí obor unkce H ( ) nazýváme obor hodnot unkce y = ( x) unkní hodnota ísla x 3.4 Gra [ 3] Gra unkce (resp. relace) je množina všech bod o souadnicích [ x; y ], kde hodnoty x,y vyhovují pedpisu unkce (resp. relace). 6

8 4 ešení píklad U píklad, ve kterých máme za úkol sestrojit gra binární relace, postupujeme tak, že se snažíme dopracovat rznými úpravami pedpisu relace k tvaru pedpisu njaké unkce. Relace bývá zpravidla zadána rovnicí nebo nerovnicí o dvou neznámých x, y. Jedna nebo ob se pitom vyskytují v absolutní hodnot, což má za následek rozdlení na nkolik ešení. Podle deinice absolutní hodnoty totiž platí: a = ± a a ( ;0) a = a a 0; + ) a = + a Pokud se nachází v absolutní hodnot neznámá x, dojde k rozdlení deininího oboru. Pokud se v absolutní hodnot nachází y = (x), dojde k rozdlení oboru hodnot. V obou pípadech dojde k rozdlení na dv ešení. Pokud se však v absolutní hodnot nachází souasn x i y, dojde k rozdlení na tyi ešení. Výsledek je tudíž sjednocení všech ešení. Pokud máme za úkol ešit soustavu rovnic i nerovnic, ešíme ji tak, že soustavu rozdlíme na jednotlivé rovnice, piemž každou ešíme oddlen podle principu uvedeného výše. Získáme tak ešení každé rovnice i nerovnice zvláš. Víme ale, že v soustav musí všechny rovnice platit. Z toho vyplývá, že celkovým výsledkem bude prnik výsledných gra jednotlivých rovnic. 7

9 4. Rovnice Píklad. x + y = 3 Tento pedpis je možno upravit do pijatelnjšího tvaru: y = 3 x Jak bylo psáno výše, ešení je nutno rozdlit a) x ( ;0) x = x místo absolutní hodnoty x mžeme tedy napsat x. y = 3 ( x) y = x + 3 Pro interval x ( ;0) je tedy graem relace gra unkce : y = x + 3 Obr. a b) x 0; + ) x = + x místo absolutní hodnoty píšeme +x. y = 3 ( + x) y = 3 x 8

10 Pro interval x 0; + ) je tedy graem relace gra unkce : y = x + 3 Obr. b ešením je tedy sjednocení obou gra. V prseíku grau s osou y dochází ke spojení dvou gra. Zatímco v ešení a) bod o souadnicích [ 0;3 ] nebyl z dvodu omezení deininího oboru souástí ešení, v pípad b) tento bod souástí ešení je. Z toho vyplývá, že sjednocením ešení a) i b) vzniká spojitý gra, jehož deininím oborem je množina všech reálných ísel. Obr. c 9

11 Z grau je možno usoudit, že se jedná o unkci, která má tyto vlastnosti. D( ) = R H ( ) = ; + 3 ( Rostoucí pro x ( ;0), klesající pro x (0; + ) Omezená shora, globální maximum v bod [ 0;3 ], minimum nemá. Prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { 3; + 3} Sudost: Podle deinice sudosti musí platit V daném pípad tedy platí: Z toho vyplývá, že daná unkce je sudá. y x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y = 0 = 3 = { + 3} prseík je bod [ 0; + 3] x y P y x D( x) : ( x) = ( x) 3 x = 3 x x = x 0 = 0 0

12 Píklad. x + y = 3 Zatímco v pedchozím píkladu došlo k rozdlení deininího oboru, v tomto pípad budeme rozdlovat obor hodnot. Je tedy pravdpodobné, že výsledkem již nebude unkce, nýbrž binární relace. a) y = ( x) ( ;0) y = y b) y = ( x) 0; + ) y = + y x + ( y) = 3 : y = x 3 x + ( + y) = 3 : y = x + 3 Obr.

13 V tomto pípad z tvaru grau zcela jasn vyplývá, že se nejedná o unkci. Napíklad pro x = 0 existují dv unkní hodnoty ( x ) = + 3 a ( ) 3 x =, což odporuje deinici unkce (viz. 3.3.), která piazuje každému x práv jednu unkní hodnotu (x). Jedná se tedy o binární relaci. U binárních relací nemluvíme o deininím oboru a oboru hodnot, nýbrž tyto množiny nazýváme prvým a druhým oborem binární relace, piemž platí: x O y O Jelikož se nejedná o unkci, nemá zde smysl mluvit o vlastnostech unkce. Je jen patrné, že: ( O = ; + 3 O = R Další vlastnosti: rostoucí pro ( x) = y ;0), klesající pro ( x) = y (0; + ) prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { + 3} prseík je bod [ 3;0 ] y x P x b) osa y = 0 = 3 = { 3; + 3} x y P y prseíky jsou body [ 0; + 3] a [ 0; 3]

14 Píklad. 3 x + y = 3 Tento píklad je jiný. V absolutní hodnot se nachází jak x, tak y. ešení bude tedy nutno rozdlit na tyi ásti. Výsledný gra vznikne tedy jejich sjednocením. a) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) = 3 : y = x 3 b) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) = 3 : y = x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) = 3 : y = x d) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) = 3 : y = 3 x 4 3

15 3 4 Obr. 3 Gra této relace je velmi zvláštní, mžeme si všimnout, že se jedná o tverec o stran a = 3 s vrcholy v prseících s osami. Vlastnosti: O = 3; + 3 O = 3; + 3 rostoucí pro x ( 3;0) y ( 0; + 3) a x ( 0; + 3) y ( 3;0) klesající pro x ( 0; + 3) y ( 0; + 3) a x ( 3;0) y ( 3;0) prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { 3; + 3} y x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y = 0 = 3 = { 3; + 3} x y P y prseíky jsou body [ 0; 3] a [ 0; + 3] 4

16 Píklad. 4 x + y = 3 Pi ešení postupujeme stejn jako v pedcházejícím píkladu. a) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) = 3 x 3 : y = b) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) = 3 : y = x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) = 3 : y = 3 x + 3 d) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) = x : y = 5

17 3 4 Obr. 4 Zde je výsledným graem kosotverec. Vlastnosti: O = 3; + 3 O 3 3 = ; + rostoucí pro x ( ) klesající pro x ( ) 3 3;0 y 0; + 3 0; + 3 y 0; + a ( ) 3 x + y 0; 3 ;0 a ( ) 3 x y 3;0 ;0 prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { 3; + 3} y x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y 3 3 x = 0 y = 3 P y = ; + prseíky jsou body 3 0; a 3 0; + 6

18 Oproti pedcházejícímu píkladu, kde vznikl tverec, je vzájemná vzdálenost prseík grau s osou y poloviní. Existuje závislost mezi koeicientem u y a vzdáleností obou prseík s osou y. To samé platí i o koeicientu ped x. V obecném tvaru a x + b y = c tedy platí: d x c c = d y = a b kde: d x vzájemná vzdálenost prseík s osou x d y vzájemná vzdálenost prseík s osou y 7

19 Píklad. 5 x y = 3 ešení opt rozdlujeme na tyi ásti podle deinice absolutní hodnoty (viz. 4) a) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x ( y) = 3 : y = x + 3 b) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) ( ;0) y = y} + x ( y) = 3 : y = 3 x c) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x ( + y) = 3 : y = x 3 3 d) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} + x ( + y) = 3 : y = x Obr. 5 8

20 Vlastnosti: O O ( ; 3 3; ) = + + = 3; + 3 rostoucí pro x ( ; 3 ) y ( ;0) a x ( + 3; + ) y ( 0; + ) klesající pro x ( ; 3) y ( 0; + ) a x ( + 3; + ) y ( ;0) prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { 3; + 3} y x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y x = 0 y = 3 Py = gra se neprotíná s osou y 9

21 Píklad. 6 x + y = 3 ešení budeme opt dlit. Podle deinice absolutní hodnoty budeme tedy diskutovat, kdy je výraz v absolutní hodnot záporný a kdy je nezáporný. a) x + y < 0 y < x x + y = x y x y = 3 : y = x 3 b) x + y 0 y x x + y = x + y x + y = 3 : y = x + 3 Obr. 6 Každá ást je ešena na jiné ásti souadnicového systému. Zatímco v pedcházejících pípadech byl systém rozdlen osami x, y. V tomto pípad je však rozdlen osou prvního a tetího kvadrantu (na Obr. 6 znázornna perušovanou arou). Samozejm se opt nejedná o unkci. 0

22 Vlastnosti: O O = R = R klesající prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { 3; + 3} y x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y = 0 = 3 = { 3; + 3} x y P y prseíky jsou body [ 0; 3] a [ 0; + 3]

23 Píklad. 7 x y = 3 Již na první pohled je tento píklad velmi podobný píkladu pedcházejícímu. I ešení je analogické. Výsledný gra bude osov soumrný podle osy y s graem pedcházejícího píkladu. a) x y < 0 x < y x y = x + y x + y = 3 : y = x + 3 b) x y 0 x y x y = x y x y = 3 : y = x 3 Obr. 7 Souadnicový systém je opt rozdlen perušovanou arou (osou prvního a tetího kvadrantu). Opt se jedná o binární relaci.

24 Vlastnosti: O O = R = R rostoucí prseíky s osami: a) osa x = 0 = 3 = { 3; + 3} y x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y = 0 = 3 = { 3; + 3} x y P y prseíky jsou body [ 0; 3] a [ 0; + 3] 3

25 Píklad. 8 x + x = y + y V tomto píklad bude opt ešení rozdleno na tyi ásti, ale bude rozdleno souadnicovými osami podle kvadrant (stejn jako v píkladech 3 5). a) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x x = y y : 0 = 0 tento výsledek napovídá, že ve tetím kvadrantu je graem množina všech reálných ísel. Jedná se tedy o kartézský souin (viz. 3..) množin A, B, kde x ( ;0) = A y ( ;0) = B b) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x + x = y y : x = 0 Ve tvrtém kvadrantu je ešením polopímka splývající se zápornou poloosou y. c) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x x = y + y : y = 0 3 Ve druhém kvadrantu je ešením polopímka splývající se zápornou poloosou x. d) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x + x = y + y : y = x 4 A konen v kvadrantu prvním je ešením osa soumrnosti prvního kvadrantu. 4

26 4 3 Obr. 8 Výsledek není možno popsat jednoduše geometricky jako píklady pedcházející. Prost se jedná o sjednocení ty gra na rzných deininích oborech a oborech hodnot. Vlastnosti: O O = R = R prseíky s osami: a) osa x y = 0 x + x = 0 x = x P x = ( ;0 V daném intervalu gra splývá s osou x. b) osa y x = 0 y + y = 0 y = y P y = ( ;0 V daném intervalu gra splývá s osou y. 5

27 Píklad. 9 x y = x + y ešení bude opt rozdleno na tyi ásti, piemž intervaly, na kterých budeme gray ešit, od sebe nebudou oddleny souadnicovými osami, nýbrž navzájem kolmými osami prvního a tetího kvadrantu a druhého a tvrtého kvadrantu. { } { } a) x y < 0 x < y x + y < 0 y < x x y = x + y x + y = x y x + y = x y : y = 0 { } { } b) x y < 0 x < y x + y 0 y x x y = x + y x + y = x + y x + y = x + y : 0 x y 0 x y x + y < 0 y < x c) { } { } x y = x y x + y = x y x y = x y : x = 0 3 { } { } d) x y 0 x y x + y 0 y x x y = x y x + y = x + y x y = x + y : y = 0 4 6

28 4 3 Obr. 9 Zde je ešení opt pomrn zajímavé. Sjednocením všech ty ástí ešení totiž vznikne gra, který splývá se souadnicovými osami x, y. Perušované áry oznaují hranice oblastí, na které bylo ešení rozdleno. V pedcházejícím píkladu bylo ale rozdleno souadnicovými osami. Mžeme proto íci, že když se v pedpisu unkce (resp. relace), vyskytují v absolutní hodnot samotné leny x nebo y, tak je ešení rozdleno souadnicovými osami. Avšak pokud se v jedné absolutní hodnot nachází zárove leny x i y, ešení je rozdleno jinými kivkami. Vlastnosti: O O = R = R 7

29 prseíky s osami: a) osa x y = 0 x = x 0 = 0 Px = R Gra splývá s osou x. b) osa y x = 0 y = + y 0 = 0 Py = R Gra splývá s osou y. 8

30 4. Nerovnice Pi ešení nerovnic postupujeme obdobn jako u ešení klasické rovnice, jen výsledkem v každé ásti je nerovnice, z toho vyplývá, že graem nebude jen pímka nebo jiná kivka, ale njaká ást roviny. Pokud je tvar nerovnice lineární, výsledkem je polorovina urená hraniní pímkou, která má pedpis ve stejném tvaru jako je nerovnice, avšak místo znaménka nerovnosti použijeme rovnost. Píklad. 0 x + y 3 Už ze zadání je vidt uritá podobnost s tvarem píkladu.3. Mžeme tedy íci, že hraniními pímkami polorovin, které budou ešeními jednotlivých ástí ešení budou pímky, na kterých leží strany tverce na obr. 3. Výsledkem bude opt sjednocení všech ty ástí ešení. a) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) 3 : y x 3 Podmínky íkají, že tato ást ešení se odehrává jen ve tetím kvadrantu. Hraniní pímkou je pímka p : y = x 3. Výsledná polorovina je urena pímkou p a poátkem souadnicového systému, protože nerovnice je ve tvaru y x 3. Kdyby tvarem nerovnice bylo y x 3, byla by ešením polorovina opaná. Ve tetím kvadrantu však z této množiny leží pouze trojúhelník tvoený body [ 3;0 ],[ 0; 3] a[ 0;0]. 9

31 p Obr. 0a V dalších ástech ešení budeme postupovat velmi podobn, ve všech budou ešeními shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. ešením bude sjednocení všech ástí. b) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) 3 : y x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) 3 : y x d) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) 3 : y x

32 3 4 Obr. 0b ešením je stejn jako v píkladu. 3 tverec, ovšem z dvodu, že se jednalo o nerovnici je graem krom obrysu tverce ješt jeho vnitek, tj. ta ást roviny, která je ohraniena obrysem tverce. Vlastnosti: O = 3; + 3 O = 3; + 3 prseíky s osami: a) osa x y = 0 x 3 P x = 3; + 3 V daném intervalu gra protíná osu x. b) osa y x = 0 y 3 P y = 3; + 3 V daném intervalu gra protíná osu y. 3

33 4.3 Soustavy nerovnic Pi ešení soustav nerovnic postupujeme opt obdobn, avšak s tím rozdílem, že musíme ešit každou rovnici zvláš. Výsledný gra vznikne prnikem obou gra. Píklad. x + y x + y 3 9 Nejprve budeme ešit první nerovnici. Je velice podobná nerovnici v píkladu. 0. ešením bude opt tverec jako v píkladu. 3, ale gra bude doplnn o množinu, která vznikne odetením vnitku tverce od množiny všech reálných ísel. Pi ešení postupujeme stejn jako v pedcházejícím píkladu. Sjednocení všech ty ástí ešení vznikne výsledný gra první rovnice. x + y 3 a) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) 3 : y x 3 b) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) 3 : y x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) 3 : y x d) { x 0; + ) x = + x} { y = ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) 3 : y x

34 3 4 Obr. a Nyní pistoupíme k ešení druhé nerovnice. x + y 9 Zde nemusíme nic dlit nebo vypoítávat. Rovnice x + y = 9 je analytické vyjádení (tzv. stedová rovnice) kružnice, která má obecný tvar pro sted S [ m; n ] a polomr r ( x m) + ( y n) = r Z rovnice je možno vyíst, že daná kružnice má sted v poátku souadnicového systému a má polomr 3 jednotky. Graem rovnice by tedy byla kružnice se stedem v bod [ 0;0 ] o polomru 3. Jelikož jde o nerovnici, znamená to, že polomr kružnice má být menší nebo roven 3 jednotkám. Z toho vyplývá, že graem bude kruh o polomru 3 s poátkem v bod [ 0;0 ] 33

35 Obr. b Sjednocením obou tchto gra tedy vznikne ešení. Výsledný gra je opt velmi atypický. Jedná se o kruh, z kterého je vyíznut jeden jeho ttivový tverec. Obr. c 34

36 Vlastnosti: O = 3; + 3 O = 3; + 3 prseíky s osami: a) osa x = = { 3; + 3} y x x P x prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] b) osa y = = { 3; + 3} x y y P y prseíky jsou body [ 0; 3] a [ 0; + 3] 35

37 5 Závr Jak jste jist vidli, tvary gra jsou nkdy velice zajímavé. Z tohoto dvodu se binárních relací nepoužívá jen k muení studentstva. Vlastnosti, že binární relace mohou teoreticky tvoit jakoukoli kivku, ást roviny nebo prostoru, se využívá i v poítaové graice. Jelikož popsání prostorového útvaru podle rastrové mížky bod po bodu by bylo píliš nároné na objem dat, je možno použít k vyjádení kivky rovnic, popípad k vyjádení plochy nerovnic. Zápis rovnic nezabírá v porovnání s rastrovou metodou prakticky žádné datové místo, protože výsledný obrazec vzniká až v poítai vyešením daných rovnic (resp. nerovnic). Tmito problémy se zabývají i vdci na Katede graiky Fakulty aplikovaných vd Západoeské univerzity v Plzni, kde jsem byl na exkurzi. Na píkladu tchto relací je možno názorn ukázat potebnost i základní jednoduché matematiky v lidském život. 36

38 6 Seznam obrázk Obr. a Gra unkce y = x 3 pro D( ) = ( ;0) 8 Obr. b Gra unkce y = x + 3 pro D( ) = 0; ) 9 Obr. c Gra unkce x + y = 3 9 Obr. Gra relace x + y = 3 Obr. 3 Gra relace x + y = 3 4 Obr. 4 Gra relace x + y = 3 6 Obr. 5 Gra relace x y = 3 8 Obr. 6 Gra relace x + y = 3 0 Obr. 7 Gra relace x y = 3 Obr. 8 Gra relace x + x = y + y 5 Obr. 9 Gra relace x y = x + y 7 Obr. 0a Gra relace y x 3 pouze ve tetím kvadrantu 30 Obr. 0b Gra relace x + y 3 3 Obr. a Gra relace x + y 3 33 Obr. b Gra relace x + y = 9 34 Obr. c Prnik gra z obr a, b - ešení soustavy nerovnic x y x y

39 7 Bibliograie [ ] cs.wikipedia.org [ ] Doc. RNDr. Oldich Odvárko, DrSc, Matematika pro gymnázia Funkce, Prometheus, Praha, 003 ISBN [ 3 ] Jose Polák, Pehled stedoškolské matematiky 6. vydání Prometheus, Praha, 99 ISBN X. 38