KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 009/00 MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Zpracoval: Schválil: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne.. 008 pod č. j. 4/008-/CERMAT

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 009/00 MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Zpracoval: Schválil: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne.. 008 pod č. j. 4/008-/CERMAT

Obsah Úvod Požadavky k maturitní zkoušce Základní specifikace zkoušky Příklady testových úloh

Úvod Účel a obsah katalogu Katalogy požadavků k maturitní zkoušce poskytují všem jejich uživatelům informace o požadavcích kladených na žáky vzdělávacích programů v oborech středního vzdělání s maturitní zkouškou. Maturitní zkouška z matematiky má charakter didaktického testu a je připravována ve dvou úrovních obtížnosti. Rozdíly mezi úrovněmi obtížnosti jsou vymezeny rozsahem a hloubkou ověřovaných znalostí a dovedností a odlišnostmi v typu použitých testových úloh s otevřenou odpovědí. Tento katalog vymezuje požadavky k maturitní zkoušce vyšší úrovně obtížnosti. Zkouška z matematiky ve vyšší úrovni obtížnosti má mimo jiné též splňovat vstupní požadavky vysokých škol. Pedagogické dokumenty ke katalogu a k maturitní zkoušce Základem pro zpracování katalogu jsou stávající platné pedagogické dokumenty: Učební dokumenty pro gymnázia. Praha, Fortuna 999. Standard vzdělávání ve čtyřletém gymnáziu. Praha, Fortuna 999. Učební osnovy pro SOŠ a SOU, č. 07/000 ze 6. 6. 000, a dále učební osnovy matematiky pro technická, přírodovědná a ekonomická lycea. Zpracovatelé katalogu využili jako podpůrné prameny také publikované standardy a didaktické materiály. Při zpracování katalogu byla zohledněna skutečnost, že na některých středních školách jsou již ověřovány rámcové vzdělávací programy. () FUCHS, E., BINTEROVÁ, H. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80 796 94 5. () FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol.. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 998. ISBN 80 796 095 0. () FUCHS, E., PROCHÁZKA, F. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborné školy. Praha: Prometheus, 998. ISBN 80 796 097 7. (4) Měření vědomostí a dovedností nová koncepce hodnocení žáků. Praha: ÚIV, 999. 78 s. ISBN 80 0 7. Přel. z: Measuring Student Knowledge and Skills. Paris: OECD, 999. 8 pp.

Požadavky k maturitní zkoušce Očekávané znalosti a dovednosti pro zkoušku matematika ve vyšší úrovni obtížnosti jsou v prvé části uvedeny pěti hlavními kategoriemi kompetencí, které by během výuky matematiky na střední škole měly být zohledňovány. Osvojení matematických pojmů a dovedností Žák dovede: užívat správně matematické pojmy (definovat pojmy a určit jejich obsah, charakterizovat pojem různými způsoby, třídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi, zobecňovat pojmy a vztahy mezi nimi) numericky počítat a užívat proměnnou (provádět základní početní operace, odhadnout výsledek výpočtu, využít efektivní způsoby výpočtu, upravit výrazy s čísly a proměnnými, stanovit definiční obor výrazu, na základě reálné situace sestavit výraz s proměnnými) pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů, měřit a odhadovat výsledek měření, řešit početně geometrickou úlohu, řešit konstrukčně geometrickou úlohu) matematicky argumentovat (používat různé typy tvrzení, rozlišit definici a větu, rozumět logické stavbě matematické věty, dokázat jednoduchou matematickou větu, vytvořit, ověřit, zdůvodnit nebo vyvrátit hypotézu) Matematické modelování Žák dovede: 4 matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvořit matematický model reálné situace) pracovat s matematickým modelem ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace (vyjádřit výsledek řešení modelu v kontetu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelované situace) kombinovat různé modely téže situace Vymezení a řešení problému Žák dovede: vymezit problém analyzovat problém zvolit vhodnou metodu řešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus, vytvořit algoritmus řešení) vyřešit problém diskutovat o výsledcích aplikovat osvojené metody řešení problémů v jiných tématech a oblastech Komunikace Žák dovede: číst s porozuměním matematický tet vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd. přesně se vyjádřit (užívat jazyk matematiky včetně symboliky a terminologie, zdůvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní řešení problému, prezentovat výsledky řešení úlohy (geometrické konstrukce, na dobré grafické úrovni)

prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafů, diagramů, tabulek atd., použít různé formy znázornění matematických situací) Užití pomůcek Žák dovede: využít informační zdroje (odborná literatura, internet atd.) efektivně řešit problémy pomocí kalkulátoru a PC použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení problémů použít tradiční prostředky grafického vyjadřování Druhá část požadavků obsahuje již konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků tak, jak byly týmem spolupracovníků v zastoupení všech typů středních škol a odborných ústavů určeny.. Číselné obory Žák dovede:. Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele užít pojem dělitelnosti přirozených čísel a znaky dělitelnosti určit největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel. Celá čísla provádět aritmetické operace s celými čísly užít pojem opačné číslo. Racionální čísla pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody provádět operace se zlomky provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla řešit praktické úlohy na procenta a užitím trojčlenky znázornit racionální číslo na číselné ose.4 Reálná čísla zařadit číslo do příslušného číselného oboru provádět aritmetické operace v číselných oborech užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo znázornit reálné číslo nebo jeho aproimaci na číselné ose určit absolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam zapisovat a znázorňovat intervaly, jejich průnik, sjednocení a doplněk užít druhé a třetí mocniny a odmocniny provádět operace s mocninami s celočíselným eponentem užít mocninu s racionálním eponentem a ovládat početní výkony s mocninami a odmocninami

.5 Komplení čísla užít Gaussovu rovinu k zobrazení kompleních čísel vyjádřit komplení číslo v algebraickém i goniometrickém tvaru vypočítat absolutní hodnotu a argument kompleního čísla a chápat jejich geometrický význam sčítat, odčítat, násobit a dělit komplení čísla v algebraickém tvaru násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat komplení čísla v goniometrickém tvaru užitím Moivreovy věty. Algebraické výrazy Žák dovede:. Algebraický výraz určit hodnotu výrazu určit nulový bod výrazu. Mnohočleny provádět početní operace s mnohočleny rozložit mnohočlen na součin užitím vzorců a vytýkáním. Lomené výrazy provádět operace s lomenými výrazy stanovit definiční obor lomeného výrazu.4 Výrazy s mocninami a odmocninami provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny. Rovnice a nerovnice Žák dovede:. Lineární rovnice a jejich soustavy, rovnice s neznámou ve jmenovateli stanovit definiční obor rovnice řešit lineární rovnice o jedné neznámé a rovnice s neznámou ve jmenovateli řešit rovnice obsahující výrazy s neznámou v absolutní hodnotě vyjádřit neznámou ze vzorce užít rovnice při řešení slovní úlohy řešit rovnice s parametrem řešit početně i graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řešit soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých. Kvadratické rovnice řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy řešit kvadratické rovnice s parametrem

řešit kvadratické rovnice s reálnými koeficienty v oboru kompleních čísel řešit soustavy lineární a kvadratické rovnice o dvou neznámých. Rovnice s neznámou pod odmocninou řešit rovnice s neznámou pod odmocninou, při řešení rovnic rozlišit ekvivalentní a neekvivalentní úpravy.4 Lineární a kvadratické nerovnice a jejich soustavy řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy řešit rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru řešit nerovnice obsahující lineární výrazy s neznámou v absolutní hodnotě řešit početně i graficky kvadratické nerovnice

4. Funkce Žák dovede: 4. Základní poznatky o funkcích užít různá zadání funkce v množině reálných čísel a užít s porozuměním pojmy: definiční obor, obor hodnot, hodnota funkce v bodě, graf funkce určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic, sestrojit graf funkce, přiřadit předpis funkce y = f() ke grafu funkce rozhodnout, zda je funkce sudá nebo lichá, prostá, omezená, periodická, stanovit definiční obory a obory hodnot funkcí, intervaly monotonie a body, v nichž funkce nabývá lokální a globální etrémy sestrojit z grafu funkce y = f() grafy funkcí y = f( m ) n, y = f(), y = f( ) určit funkci inverzní k dané funkci (načrtnout její graf), užít poznatky o složené funkci modelovat reálné závislosti pomocí funkcí 4. Lineární funkce užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti určit lineární funkci, sestrojit její graf, využívat geometrický význam parametrů a, b v předpisu funkce y = a b určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce sestrojit graf lineární funkce s absolutními hodnotami a určit vlastnosti funkce řešit reálné problémy pomocí lineární funkce 4. Kvadratické funkce určit kvadratickou funkci, vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, upravit předpis funkce, sestrojit graf stanovit definiční obor a obor hodnot funkce, najít bod, v němž nabývá funkce etrému, určit intervaly monotonie sestrojit graf kvadratické funkce s absolutní hodnotou a určit její vlastnosti řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce 4.4 Mocninné funkce určit mocninnou funkci s celočíselným eponentem, funkce druhá a třetí odmocnina, sestrojit grafy těchto funkcí stanovit definiční obor a obor hodnot, určit intervaly monotonie 4.5 Lineární lomená funkce užít pojem a vlastností nepřímé úměrnosti určit lineární lomenou funkci, upravit předpis funkce, určit asymptoty, načrtnout graf lineární lomené funkce posunutím grafu nepřímé úměrnosti stanovit definiční obor a obor hodnot lineární lomené funkce, určit intervaly monotonie sestrojit graf lineární lomené funkce s absolutní hodnotou a určit její vlastnosti řešit reálné problémy pomocí lineární lomené funkce 4.6 Eponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice určit eponenciální funkci a sestrojit její graf užívat s porozuměním pojmu inverzní funkce pro definování logaritmické funkce, určit logaritmickou funkci a sestrojit její graf stanovit definiční obor a obor hodnot u obou funkcí, určit typ monotonie v závislosti na hodnotě základu, 8

řešit eponenciální a logaritmické rovnice a jednoduché nerovnice, užít logaritmu a jeho vlastností aplikovat poznatky o eponenciálních a logaritmických funkcích při řešení reálných problémů 4.7 Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice užít pojmu orientovaný úhel a jeho hodnoty v míře stupňové a obloukové definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku definovat goniometrické funkce v oboru reálných čísel, užít jednotkové kružnice načrtnout grafy goniometrických funkcí y=f() a grafy funkcí y=a f(bc)d, určit jejich definiční obor, obor hodnot, užít vlastností užít vztahy mezi goniometrickými funkcemi řešit goniometrické rovnice a jednoduché nerovnice aplikovat poznatky o goniometrických funkcích při řešení reálných problémů 5. Posloupnosti a řady, finanční matematika Žák dovede: 5. Základní poznatky o posloupnostech aplikovat znalosti o funkcích při úvahách a řešení úloh o posloupnostech určit posloupnost vzorcem pro n tý člen, rekurentně, graficky 5. Aritmetická posloupnost určit aritmetickou posloupnost a používat pojem diference užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost 5. Geometrická posloupnost určit geometrickou posloupnost a používat pojem kvocient užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost 5.4 Limita posloupnosti a nekonečná geometrická řada s porozuměním užívat pojmy vlastní a nevlastní limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost využít věty o limitách posloupnosti k výpočtu limity posloupnosti určit podmínky konvergence nekonečné geometrické řady a vypočítat její součet 5.5 Využití posloupností pro řešení úloh z prae využít poznatků o posloupnostech v reálných situacích, zejména v úlohách finanční matematiky a dalších praktických problémech

6. Planimetrie Žák dovede: 6. Planimetrické pojmy a poznatky správně užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné, středové a obvodové, znázornit objekty užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek) rozlišit konvení a nekonvení útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti při řešení úloh využívat množiny všech bodů dané vlastnosti 6. Trojúhelníky pojmenovat základní objekty v trojúhelníku, správně užít jejich vlastností, pojmů užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, těžnice, střední příčky, kružnice opsaná a vepsaná) při řešení úloh argumentovat s využitím poznatků vět o shodnosti a podobnosti trojúhelníků aplikovat poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, výška, Pythagorova a Euklidovy věty, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie aplikovat poznatky o trojúhelnících v úlohách konstrukční geometrie řešit praktické úlohy užitím trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku 6. Mnohoúhelníky rozlišit základní druhy čtyřúhelníků, popsat a správně užít jejich vlastnosti (různoběžníky, rovnoběžníky, lichoběžníky), pravidelné mnohoúhelníky pojmenovat, znázornit a správně užít základní objekty ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky), popsat a užít vlastností konveních mnohoúhelníků užít poznatky o čtyřúhelníku (obvod, obsah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsaná nebo vepsaná) a mnohoúhelníku v úlohách početní geometrie využít poznatky o mnohoúhelnících v úlohách konstrukční geometrie 6.4 Kružnice a kruh pojmenovat, znázornit a správně užít základní objekty v kružnici a kruhu, popsat a užít jejich vlastnosti (tětiva, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží) užít polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah, velikost obvodového a středového úhlu) v úlohách početní geometrie aplikovat poznatky o kružnici a kruhu v úlohách konstrukční geometrie 6.5 Geometrická zobrazení popsat a určit shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti popsat a určit stejnolehlost nebo podobnost útvarů a užít jejich vlastnosti aplikovat poznatky o shodnosti a podobnosti v úlohách konstrukční geometrie 0

7. Stereometrie Žák dovede: 7. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru určit vzájemnou polohu bodů, přímek, přímky a roviny, rovin rozhodnout o kolmosti nebo rovnoběžnosti přímek a rovin zobrazit jednoduchá tělesa ve volném rovnoběžném promítání konstruovat rovinné řezy hranolu a jehlanu 7. Metrické vlastnosti útvarů v prostoru určit vzdálenost bodu od přímky a roviny, odchylku dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin 7. Tělesa charakterizovat jednotlivá tělesa, vypočítat jejich objem a povrch (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části) využít poznatků o tělesech v praktických úlohách 8. Analytická geometrie Žák dovede: 8. Souřadnice bodu a vektoru v rovině i prostoru určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky užít pojmy: vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární a vektorový součin vektorů) určit velikost úhlu dvou vektorů 8. Přímka a rovina užít parametrické vyjádření přímky v rovině a prostoru, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině užít parametrické vyjádření roviny a obecnou rovnici roviny určit a aplikovat v úlohách polohové a metrické vztahy bodů, přímek a rovin 8. Kuželosečky charakterizovat jednotlivé druhy kuželoseček, použít jejich vlastnosti a analytické vyjádření. určit vzájemnou polohu přímky a kuželosečky

9. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Žák dovede: 9. Kombinatorika rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, a kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích počítat s faktoriály a kombinačními čísly užít binomickou větu při řešení úloh 9. Pravděpodobnost použít pojmy náhodný jev, jistý jev, nemožný jev, opačný jev, nezávislost jevů, sjednocení a průnik jevů určit pravděpodobnost náhodného jevu, vypočítat pravděpodobnost sjednocení nebo průniku dvou jevů 9. Statistika vysvětlit a použít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak, četnost a relativní četnost vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit tabulku četností, graficky znázornit rozdělení četností určit charakteristiky polohy a variability (průměry, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka) vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách

Základní specifikace zkoušky z matematiky Maturitní zkouška matematika ve vyšší úrovni obtížnosti bude ověřovat matematické znalosti a dovednosti žáků formou didaktického testu, který bude tvořen úlohami uzavřenými, otevřenými se stručnou odpovědí a několika otevřenými úlohami se širokou odpovědí. V uzavřených úlohách je vždy právě jedna alternativa v nabídce správná. V průběhu didaktického testu budou mít žáci k dispozici Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, budou moci používat kalkulátor bez grafického režimu a rýsovací potřeby. Následující tabulka uvádí přibližné procentuální zastoupení jednotlivých témat v testu. Tematické okruhy %. Číselné množiny 5 0. Algebraické výrazy 0 0. Rovnice a nerovnice 5 5 4. Funkce 0 0 5. Posloupnosti a řady, finanční matematika 5 0 6. Planimetrie 0 5 7. Stereometrie 5 5 8. Analytická geometrie 0 0 9. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 5 0

6. Planimetrie 0 5 7. Stereometrie 5 5 8. Analytická geometrie 0 0 9. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 5 0 Příklady testových úloh Testové úlohy jsou uvedeny jen jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Příklady testových úloh Soubor ukázek proto nelze považovat za sestavený test. Testové úlohy jsou uvedeny jen jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Soubor ukázek proto nelze považovat za sestavený test. ukázkách uzavřených úloh jsou autorská řešení označena tučnou sazbou písmena uvádějícího správnou V ukázkách uzavřených úloh jsou autorská řešení označena tučnou sazbou písmena, uvádějícího danou odpověď. otevřených úloh je správné řešení připojeno pod úlohou. odpověd. U otevřených úloh je správné řešení připojeno pod úlohou... Číselné Číselné množiny množiny Úloha Na divadelní představení byly byly zakoupeny dva dva druhy druhy vstupenek. vstupenek. Jistý Jistý počet počet vstupenek vstupenek prvního prvního druhu druhu za za 48 Kč 48 a o Kč pět a o vstupenek pět vstupenek po 68 po Kč 68 více. Kč více. Za vstupenky Za vstupenky bylo bylo celkem celkem zaplaceno zaplaceno 500 500 Kč. Kolik Kč. Kolik vstupenek vstupenek každého druhu každého bylo zakoupeno? druhu bylo zakoupeno? Řešení: Řešení: 0 0 a 5. 5. Úloha Úloha Výnosy Výnosy z vkladní vkladní knížky knížky jsou jsou sníženy sníženy vždy vždy o 5% 5% daň. daň. Vklad Vklad ve ve výši výši 55 55 000 000 Kč Kč vynesl vynesl za za rok rok čistý čistý úrok úrok 740 Kč. Jaká byla 740 roční Kč. Jaká úroková byla roční míra? úroková Výsledek míra? zaokrouhlete Výsledek na zaokrouhlete desetiny procenta. na desetiny procenta. Řešení: 8,0 % Řešení: 8,0 % Úloha Vypočítejte 5.7 5 4.9 8 : 4 9 7 a výsledek zapište pomocí mocnin s racionálním eponentem. Řešení: 4 9 Úloha 4 Kolejnice délky 5 m se při zvýšení teploty vzduchu o 0 C prodlouží o 6 mm. Nejnižší teplota ( 5 C) byla naměřena. února a nejvyšší teplota 5 C 8. července téhož roku. Jaký byl největší rozdíl v délkách této kolejnice v průběhu roku, jestliže délka kolejnic se mění v závislosti na teplotě vzduchu lineárně? A) 6 mm B) mm C) 5 mm D) 8 mm 4

B) mm D) 8 mm C) 5 mm D) 8 mm Úloha 5 V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla z, pro která platí: z i =. Úloha 5 Řešení: V Gaussově rovině zobrazte všechna y komplení čísla z, pro která platí: z i =. Řešení: iy i i i i Úloha 6 Úloha Výraz 6 i je roven: 5 Výraz i je roven: A) i A) i B) i B) i C) i C) i D) i D) i 5 0i -i 0 -i 5

.. Algebraické Algebraické výrazy výrazy. Algebraické výrazy Úloha Rovnost ( )( a) = b platí pro všechna R. Úloha Určete hodnoty parametrů a, b. Rovnost ( )( a) = b platí pro všechna R. Určete hodnoty parametrů a, b. Řešení: a =, b = 5 Řešení: a =, b = 5 Úloha Upravte Úloha výraz Řešení: Upravte výraz ; Řešení: ; R \{ } R \{ } 4 4 a určete jeho definiční obor. 4 4 ; a určete jeho definiční obor. ; Úloha y y Výraz Úloha y : lze pro všechna > 0, y > 0 upravit na tvar: y y y y Výraz : y lze pro všechna > 0, y > 0 upravit na tvar: y y y A) y y y y A) y B) y y y C) B) y y C) D) y y D) y y Úloha 4 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). Úloha 4 4. Pro libovolná dvě reálná čísla a, b platí a b = b a. (ANO NE) Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). 500 50 500 50 499 4. 4. Pro libovolná 499 = 5 dvě reálná čísla a, b platí a b = b a. (ANO (ANO NE) NE) 500 50 500 50 499 499 4. = 5 (ANO NE) 4. Pro každá dvě nezáporná čísla a, b platí a b = a b. (ANO NE) 80 80 80 80 4.4 0 5 5 45 55 = 4. Pro každá dvě nezáporná čísla a, b platí a b = a b. (ANO (ANO NE) NE) 80 80 80 80 4.4 0 5 5 45 55 = (ANO NE) 4 4 4 6

. Rovnice Rovnice a nerovnice a nerovnice. Rovnice a nerovnice Úloha. Úloha Rovnice a nerovnice Na cestě mezi městy leží město B. Vzdálenost měst A, je 0 km a vzdálenost měst B, C je 50 km. Z měst A a B Úloha Na cestě mezi městy A a C leží město B. Vzdálenost měst A, B je 0 km a vzdálenost měst B, C je 50 km. současně vyjeli dva cyklisté směrem k městu C. Rychlost cyklisty vyjíždějícího z města A byla 5 km.h -, rychlost Na cyklisty Úloha Z měst cestě A mezi a B současně městy A vyjeli a C leží dva město cyklisté B. Vzdálenost směrem k městu A, C. B Rychlost je 0 km cyklisty a vzdálenost vyjíždějícího měst B, z C města je 50 km. A byla 5 km.h vyjíždějícího -, rychlost cyklisty z města vyjíždějícího B 0 km.h - z. První města dohonil B 0 km.h druhého. -. První Ve dohonil které vzdálenosti druhého. Ve od které města vzdálenosti A to bylo? Z Na měst cestě A mezi a B současně městy A vyjeli a C leží dva město cyklisté B. Vzdálenost směrem k městu A, C. B Rychlost je 0 km cyklisty a vzdálenost vyjíždějícího měst B, z C města je 50 km. A byla od A) 5 Z města měst km.h 45 km A - to a, rychlost B bylo? současně cyklisty vyjeli vyjíždějícího dva cyklisté z směrem města B k 0 městu km.hc. -. První Rychlost dohonil cyklisty druhého. vyjíždějícího Ve které z města vzdálenosti A byla od B) města 5 A) km.h 50 A km45 - to, rychlost km bylo? cyklisty vyjíždějícího z města B 0 km.h -. První dohonil druhého. Ve které vzdálenosti od C) A) města B) 55 A km 45 50 to km bylo? D) A) B) C) 60 km 45 50 55 km C) B) D) 50 55 60 km km D) C) 55 60 km D) Úloha 60 km Úloha Řešte v R rovnici = 4. Řešte Úloha v R rovnici 5 = 4. 5 Řešte v R rovnici = 4. Řešení: = 9; = 4 5 Řešení: = 9; = 4 Řešení: Úloha = 9; = 4 Řešte v Úloha R nerovnici 4 8 <. Řešte Úloha v R nerovnici 4 8 <. Řešte Řešení: v R ( nerovnici 6; ) 4 8 <. Řešení: ( 6; ) Řešení: Úloha 4 ( 6; ) Úloha Kvadratická 4 rovnice ( m) m 7 = 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: Kvadratická Úloha A) 4 m rovnice, ( m) m 7 = 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: A) Kvadratická B) m ( rovnice,, ) (, ( ) m) m 7 = 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: A) B) C) m ({,, } ) (, ) B) C) D) m ({,, }) ) (, ) m, C) D) {( }) D) m (, ) 5 5 5 7

4. Funkce 4. Funkce Úloha Úloha Automobil Automobil má má na na počátku počátku jízdy jízdy 0 0 litrů litrů benzinu benzinu v v nádrži. nádrži. Průměrná Průměrná spotřeba spotřeba je je 8 litrů litrů na na 00 00 km. km. Automobil Automobil jede po jede dálnici po dálnici průměrnou průměrnou rychlostí rychlostí 80 km.h 80 - km.h. Který -. z Který grafů z grafů by mohl by mohl znázorňovat znázorňovat lineární lineární funkci, funkci, která určuje která určuje závislost objemu závislost benzinu objemu v benzinu nádrži b (v v nádrži litrech) b na (v litrech) době jízdy na době auta t jízdy (v hodinách)? auta t (v hodinách)? b l A) A) b B) B) l 0 0 0 0 0 0 0 4 5 t h 0 4 5 t h b l 0 0 0 C) C) b D) l 0 0 0 0 4 5 t h 0 4 5 t h Úloha Úloha Teplota se měří v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Teplota f ve Fahrenheitových stupních je Teplota lineární se funkcí měří teploty v Celsiových c v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Přitom stupních. hodnotě Teplota 8 C odpovídá f ve Fahrenheitových 46,4 F a 4 C odpovídá stupních je lineární funkcí 75, F. teploty Určete c hodnotu v Celsiových ve Fahrenheitových stupních. Přitom stupních, hodnotě která 8 C odpovídá 046,4 C. F a 4 C odpovídá 75, F. Určete hodnotu ve Fahrenheitových stupních, která odpovídá 0 C. Řešení: Řešení: 68,0 68,0 F F 6 8

Úloha Závislost Úloha hmotnosti m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem t Závislost m = m 0, 5 T 0 hmotnosti, kde m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem 0 značí počáteční hmotnost látky v čase t = 0 a T je tzv. poločas přeměny (doba, za t kterou m m se mt 0 zmenší na polovinu). Poločas přeměny radionuklidu jodu 0 0, 5 m 0 značí počáteční hmotnost látky v čase t = 0 a T je tzv. I je poločas 8 dní. Vypočítejte přeměny (doba, hmotnost za zbylého kterou se radionuklidu m za 5 dní, jestliže m 0 = 0, g. 0 zmenší na polovinu). Poločas přeměny radionuklidu jodu I je 8 dní. Vypočítejte hmotnost zbylého A) 65 radionuklidu mg za 5 dní, jestliže m 0 = 0, g. A) B) 65 6,5 mg mg C) B) 0,65 6,5 mg mg D) C) 0,065 0,65 mg mg D) 0,065 mg Úloha 4 Řešte Úloha následující 4 nerovnice v daných oborech a výsledek zapište intervalem. 4. Řešte následující nerovnice pro v daných 0, 0oborech a výsledek zapište intervalem. 4. 4. pro R 0, 0 4. 4. log 0 pro R 4.4 4. log cos < sin 0 pro R 0, π 4.4 cos < sin pro 0, π π 5π Řešení: 0, 6, 0,,, ),, π4 5π 4 Řešení: 0, 6, 0,,, ),, 4 4 7 7 9

5. Posloupnosti a řady, a řady, finanční finanční matematika matematika Úloha Firma zvyšovala za posledních pět let výrobu každý rok o 0 0 % oproti předcházejícímu roku. O kolik procent firma zvýšila firma zvýšila výrobu výrobu za posledních za posledních pět let? pět Výsledek let? Výsledek zaokrouhlete zaokrouhlete na celá na procenta. celá procenta. Řešení: 6 % Řešení: 6 % Úloha V posloupnosti ( a ) n n= je a = 0, a = a pro všechna n N platí a n = an an. Šestý člen této posloupnosti je roven: A) 4 A) B) 4 49 B) C) 49 5 C) 5 D) 58 D) 58 Úloha Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát Úloha firmy MOULA & spol., v němž stálo: Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát firmy MOULA & spol., v němž stálo: Naše firma zhodnotí Vaše peníze! Za 00 dnů si splníte své sny! Za jednorázovou Naše investici firma v zhodnotí hodnotě Vaše 0 000 peníze! korun Za a více 00 garantujeme dnů si splníte 6% své zisk sny! za 00 dnů. Za jednorázovou Dokonce investici i investice v pod hodnotě 0 000 0 korun 000 korun Vám přinese a více garantujeme za 00 dnů % 6% zisk. zisk za 00 dnů. Dokonce Chybí i Vám investice peníze? pod Půjčíme 0 000 Vám korun až Vám 0 000 přinese korun za na 00 dnů! % zisk. Teprve Chybí až uplyne Vám peníze? celých 00 Půjčíme dnů, zaplatíte Vám až 0 5% 000 úrok korun z půjčené na 00 částky. dnů! Hermína by ráda investovala Teprve až 0 uplyne 000 korun, celých a proto 00 dnů, zvažovala zaplatíte možnost 5% úrok půjčky. z půjčené Zodpovězte částky. následující otázky za předpokladu, že firma dostojí svým slibům.. Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku 8 500 korun? Hermína by ráda investovala 0 000 korun, a proto zvažovala možnost půjčky. Zodpovězte následující otázky za. O kolik korun se zvýší její zisk, pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje 0 000 korun? předpokladu, že firma dostojí svým slibům.. Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě. Jaký vyplatit. bude zisk Naopak Hermíny, pro nízké pokud částky si žádné je výhodnější peníze nepůjčí investice a investuje bez půjčky. jen částku Pro jakou 8 500 částku korun? přinášejí obě. O kolik možnosti korun (investice se zvýší její částky zisk, s pokud půjčkou si chybějící i bez půjčky) peníze stejný od zisk? firmy půjčí a investuje 0 000 korun?. Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě vyplatit. Řešení: Naopak.: pro 55 nízké Kč,.: částky Zisk se je výhodnější zvýší o 0 Kč. investice.: Možnosti bez půjčky. jsou Pro stejné jakou pro částku částku přinášejí 7500 Kč. obě možnosti (investice částky s půjčkou i bez půjčky) stejný zisk? Řešení:.: 55 Kč,.: Zisk se zvýší o 0 Kč..: Možnosti jsou stejné pro částku 7500 Kč. 8 0

Úloha 4 Výchozí Úloha 4 tet k úlohám 4. a 4. Čísla Výchozí, 6 tet a 6 k úlohám jsou tři členy 4. a 4. konečné aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první a Čísla poslední, 6 a člen 6 jsou posloupnosti. tři členy konečné aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první a poslední člen posloupnosti. 4. Určete interval, do do něhož patří patří největší možná diference d takové takové posloupnosti. posloupnosti. A) ( 0 ;,5 ) B),5; 4 ) C) 4 ; 5,5) D) Do žádného z uvedených intervalů. 4. Kolik 4. členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d=0,5? A) Kolik 4. 40 členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d = 0,5? B) A) Kolik 4 členů 40 by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d = 0,5? C) B) A) 47 4 40 D) C) B) Pro danou 4 47 diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. D) C) Pro 47 danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. D) Pro danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. Úloha 5 Úloha 5 k n 4n Pro kterou hodnotu k R je lim =? n k( n 4) n Pro kterou hodnotu k R je lim =? A) 0 n A) 0 ( n ) B) B) A) 0 C) 4 C) B) 4 D) C) D) 8 84 D) 8 Úloha 6 Která Úloha z 6 uvedených řad nemá součet? Která z uvedených řad nemá součet? A)... 4 8 6 A)... 4 8 6 B)... 9 7 8 B) 4 8... C) 9 7 8... 94 7 8 C)... D) 9 7... 4 8 6 D)... 4 8 6 9