Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Návrh polarizujících filtrů, McNeillův hranol Jaromír Křepelka Olomouc 2014
1 Úvod V této části se podíváme na vlastnosti polarizujícího MacNeillova filtru, jehož princip ukazuje obr. 1. Tento filtr tvoří zatmelená soustava čtvrtvlnových tenkých vrstev s indexy lomun 1,n 2, tzn., že změna fáze elektromagnetické vlny při jednom průchodu vrstvou v šikmém dopadu je π/2. Vrstvy jsou umístěny v hranolu tak, že vnitřní úhel dopadu na jejich rozhraní je právě roven Brewsterově úhlu. V takovém případě je totiž odraznost p polarizované vlny na každém rozhraní nulová a odraznosti s polarizované vlny na jednotlivých rozhraních se nasčítají na hodnotu přibližující se s rostoucím počtem vrstev jedné. Obr. 1 Schéma funkce MacNeillova polarizátoru 2 Analýza Označíme-li index lomu materiálu hranolu n g a úhel dopadu θ g vlny na soustavu vrstev nanesených na vnitřním řezu hranolu (úhel je měřený ve skle), odvodíme nutné podmínky pro indexy lomu vrstevn i a jejich tloušt ky h i, i = 1, 2, symbolem λ c je označena centrální vlnová délka. Nejdříve podmínka pro fázové tloušt ky vrstev: π 2 = ϕ i = 2π ( ) 2 ng sinθ g n i h i 1, i = 1, 2. (1) λ c n i 3
K ní přidáme podmínku pro Brewsterův úhel dopadu a zákon lomu: tanθ B = n 2 n 1, n g sinθ g = n 1 sinθ B. (2) Z těchto podmínek pak dostaneme potřebné vztahy použitelné pro konstrukční návrh: n g sinθ g = n 1n 2, c i = 4n ih i n 2 1 +n 2 2 =, i = 1, 2. (3) n 2 1 +n 2 λ c n i 2 Jak je z těchto vztahů vidět, relativní optické tloušt kyc i a skutečné fyzikální tloušt ky h i vrstev MacNeillova polarizátoru nezávisejí na úhlu dopadu. 3 Návrh Pro návrh potřebujeme vybrat čtyři parametry (θ g, n 1, n 2 a n g ), zatímco stačí splnit pouze dvě podmínky. Proto lze vždy některé parametry polarizátoru zvolit a ostatní dopočítat. Navíc lze předpokládat, že bychom ještě mohli mít k dispozici náhradu neexistujícího indexu lomu třívrstvou symetrickou strukturou, která se efektivně chová jako jedna vrstva s určitým ekvivalentním indexem lomu a fázovou tloušt kou. Pro výkonovou propustnost τ (p) p polarizované a výkonovou odraznost ρ (s) s polarizované vlny takové soustavy N vrstev na centrální vlnové délce λ c odvodíme výrazy ( τ (p) = 1, ρ (s) (n2 /n 1 ) 2N (n 1 /n 2 ) 2N ) 2 =, (4) (n 2 /n 1 ) 2N +(n 1 /n 2 ) 2N takže se opravdu odraznost s polarizované vlny s rostoucím počtem vrstev blíží 100 %, zatímco propustnost p polarizované vlny je přesně rovna 100 % (avšak bez započtení vlivu přední a zadní či boční strany hranolu, pokud tyto plochy nejsou antireflektovány dalšími tenkými vrstvami). V následujícím příkladu se pokusíme navrhnout MacNeillův polarizátor pracující přednostně s úhlem dopaduθ g = 45. Přitom využijeme materiálů s indexy lomu n L = 1,49 a n H = 2,22 a zkusíme najít pro hranol vhodný skleněný materiál, případně navrhnout parametry tak, aby bylo možno hranol vyrobit ze skla BK7 s indexem lomu n g = 1,52. 4
Z podmínky, v níž vystupuje index lomu hranolu, zjistíme ze vztahu n g = n 1 n 2 sinθ g n 2 1 +n 2 2 (5) jeho potřebnou velikost n g = 1,7496. Přestože sklo s tímto indexem lomu se běžně nevyrábí, můžeme namísto něj použít sklo SF14 s indexem lomu n SF14 = 1,756 blízkým požadované hodnotě. Z druhé podmínky pak spočteme relativní optické tloušt ky periodické soustavy vrstev c 1 = n 1h 1 λ c /4 = 1,794, c 2 = n 2h 2 λ c /4 = 1,204, což při přepočtu na úhel dopadu 45, volbě osmi vrstev a po mírném rozladění tlouštěk počítačovým optimalizačním algoritmem vede k následující soustavě vrstev (zápis platí pro libovolnou pracovní vlnovou délkuλ c ). 1,756/1.802L 1,210H 1,804L 1,207H 1,804L 1,207H 1,804L 1,208H/1,756, = λ c 4, h i = λ c 4n i, i = 1, 2. Graficky je tento výsledek znázorněn na obr. 2 proλ c = 550 nm. Obr. 2 Propustnost s a odraznost p polarizované vlny MacNeillova polarizátoru Vyššího stupně polarizace MacNeillovým hranolem bychom dosáhli zvětšením počtu tenkých vrstev. 5
Vyjdeme-li z požadavku na materiál hranolu, to je zvolíme-li sklo BK7, pak musíme najít vhodný úhel dopadu, který se již bude lišit od45. Ze zadaných indexů lomun 1 = 1,49, n 2 = 2,22, n g = 1,52 spočteme potřebný úhel dopaduθ g a relativní optické tloušt ky θ g = 54,48, c 1 = 1,794, c 2 = 1,204. Výslednou sestavu pak můžeme zapsat symbolicky 1,52/(1,794L 1,204H) 4 /1,52, = λ c 4. Výsledek v grafické podobě je demonstrován na obr. 3 pro centrální (pracovní) vlnovou délkuλ c = 550nm. Obr. 3 Propustnost s a odraznost p polarizované vlny MacNeillova polarizátoru Můžeme se také pokusit zachovat úhel dopadu45 a materiál hranolu BK7, což se ale neobejde bez změny indexu lomu alespoň jednoho materiálu periodické soustavy vrstev. Máme-li k dispozici jen materiály s indexy lomu n L = 1,49, n H = 2,22, n g = 1,52 a navíc požadujeme, aby hranol byl zkonstruován s vnitřním úhlem θ g = 45, můžeme přesto zvolit jeden materiálů s indexem lomu n 1 = 1,49 (druhá možnost s hodnotou 2,22 je také přípustná a hodná prozkoumání). Spočteme pak n 2 = n 1 n g sinθ g n 2 1 n 2 gsin 2 θ g = 1,552, c 1 = 1,4439, c 2 = 1,3863. 6
Požadovaný index lomu n 2 = 1,552 vrstvy s relativní optickou tloušt kou c 2 = 1,3863 nahradíme ekvivalentní symetrickou třívrstvou strukturou 0,4093H 0,5246L 0,4093H, (rovněž varianta LHL stojí za prozkoumání, ta by dokonce mohla vést k nižšímu počtu vrstev výchozí sestavy před počítačovou optimalizací), takže dostaneme výslednou sestavu například s 24 vrstvami 1,52/(1,4439L 0,4093H 0,5246L 0,4093H) 6 /1,52, θ g = 45. Takovou sestavu lze považovat za výchozí či nultou iteraci počítačové optimalizace, která po několika průchodech způsobí, že tloušt ky některých vrstev se nastaví na své minimální (nulové) hodnoty a počet vrstev celého systému se tak sníží dokonce na 12: 1,52/1,496L 1,013H 1,334L 0,889H 1,238L 0,884H 1,218L 0,894H1,245L 0,899H 1,334L 1,000H/1,52, θ g = 45, = λ c 4. Graficky je tento výsledek znázorněn na obr. 4 pro λ c = 550nm. Jak je Obr. 4 Propustnost s a odraznost p polarizované vlny MacNeillova polarizátoru vidět z poměrně ostrých průběhů v okolí centrální vlnové délky, nezdá se být tento přístup, využívající pojmu ekvivalentního indexu lomu symetrické trojvrstvy, příliš vhodný. Důvodem je, že vztahy, jež mají platit mezi indexy 7
lomu, byly odvozeny již za předpokladu šikmého dopadu, kdežto ekvivalentní třívrstvá symetrická struktura byla použita pro návrh indexu lomu v kolmém dopadu. Proto by bylo potřeba probádat rozšíření pojmu třívrstvé symetrické struktury v šikmém dopadu a rozlišit oba polarizační stavy. 4 Závěr V tomto modulu jsme prozkoumali možnosti návrhu polarizujícího filtru MacNeillova typu, jehož princip spočívá ve vícenásobném použití rozhraní pracujícího pod Brewsterovým úhlem dopadu. Ukazuje se, filtry tohoto typu jako levnější varianta mohou často nahradit polarizační hranoly konstruované z anizotropních materiálů. Literatura [1] Vašíček, A. Optics of thin films. North Holland, Amsterdam, 1960. [2] Holland, L. Vacuum deposition of thin films. Chapman & Hall, London, 1969. [3] Eckertová, L. Fyzika tenkých vrstev. SNTL, Praha, 1974. [4] Knittl, Z. Optics of thin films. John Wiley&Sons, London - New York - Sydney - Toronto, 1976. [5] Křepelka, J. Optika tenkých vrstev. Vydavatelství Univerzity Palackého v Olomouci, ISBN-80-7067-319-2, 1993. [6] Bach, H., Krause, D. (Eds.). Thin films on glass. 1997. ISBN 978-3- 540-58597-8. [7] Pulker H. K.: Coatings on glass, Elsevier Science B.V., second revised edition 1999. [8] Willey, R. R., Dekker, M. Practical design and production of optical thin films. 2002. ISBN 0-8247-0849-0. [9] Weber, J. M. Handbook of optical materials. CRC, 2003. ISBN 0-8493-3512-4. 8
[10] Kochergin,V. Omnidirectional optical filters. Kluwers, 2003. ISBN 1-4020-7386-0. [11] Kaiser, N., Pulker, H. K. (Eds.). Optical interference coatings. Springer Series in Optical Sciences 88, 2003. ISBN 3-5400-0364-9. [12] Baumeister, W. P. Optical coating technology. SPIE, 2004. ISBN 0-8194-5313-7. [13] Willey, R. R. Field guide to optical thin films. SPIE, 2006. ISBN 0-8194-6218-7. [14] MacLeod, H. A. Thin-film optical filters. Taylor and Francis Group, LLC, 2010. ISBN 978-1-4200-7302-7. [15] Piegari A., Flory F. (Eds.), Optical thin films and coatings - From materials to applications, Woodhead Publishing Series in Electronic and Optical Materials: Number 49, 2013. ISBN 978-0-85709-594-7. 9