1. července 2010

Transkript

1 Optimální výrobní program Radka Zahradníková 1. července 2010

2 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení grafickou metodou Řešení simplexovou metodou 5 Literatura

3 nejjednoduší úloha matematického modelování aplikace: optimalizace výrobních plánů, dělení materiálu, míšení surovin, dopravních plánů při zásobování atd. algoritmy řešení úlohy LP založeny na využití numerických metod řešení SLAR odvozených od Gaussovy eliminační metody

4 Geometrická interpretace množina přípustných řešení V úlohy LP je podmnožina prostoru R n, vymezená nerovností Av b cíl úlohy LP - najít přípustné řešení v V, které maximalizuje (minimalizuje) danou lineární funkci z = cv max, (příp. cv min) na přípustné množině V neprázdná množina přípustných řešení vytváří v R n vždy uzavřený konvexní polyedr každý uzavřený konvexní polyedr je jednoznačně popsán svými vrcholy každý z vrcholů polyedru přípustných řešení úlohy LP - bazické řešení optimální řešení úlohy LP leží v některém z vrcholů polyedru

5 Kanonický tvar Úloha LP bývá obvykle specifikována jako: Av b, b 0 v 0 z = cv + d max v Tento tvar úlohy LP se nazývá kanonický. - předpoklad nezápornsti přípustných řešení - počátak soustavy souřadnic - bazické řešení

6 obecná metoda řešení úlohy LP pro úlohu v kanonickém tvaru transformace úlohy zavedením vektoru pomocných proměnných v R m, definovaného způsobem: v = b Av nerovnost Av b splněna pokud v 0 řešení v přípustné pokud v 0 a v 0 simplexový tvar: Av + v = b, b 0, v 0, v 0 z cv = d z max v,v dále iterativní využití Gaussovy eliminace

7 Simplexový algoritmus Předpokládejme, že máme úlohu lineárního programování ve standardním tvaru. Tj. Av b v 0 cv max v kde z = cv je cílová funkce, Av b jsou omezující podmínky a v 0 je podmínka nezápornosti.

8 Simplexový algoritmus Nalezení výchozího bazického řešení Zavedením pomocných proměnných v převedeme danou úlohu do kanonického tvaru, který potřebujeme pro aplikaci této metody. Av + v = b z cv = d z max v,v Výchozím bazickým řešením zvoĺıme počátek soustavy souřadnic, tzn. v = 0, v = b

9 Simplexový algoritmus Sestavení simplexové tabulky v 1 v 2... v n v 1 v 2... v m a 1,1 a 1,2... a 1,n b 1 e a 2,1 a 2,2... a 2,n b a m,1 a m,2... a m,n b m z c 1 c 2... c n d

10 Simplexový algoritmus Nalezení bazického řešení s vyšší hodnotou cílové funkce Podoba simplexové tabulky a bazického řešení v k-tém kroku algoritmu: v e k A k b k z c k d k v k i = b k i i e k v k i = 0 i / e k

11 Simplexový algoritmus Nalezení bazického řešení s vyšší hodnotou cílové funkce výběr nové bazické proměnné (kĺıčového sloupce) na základě hodnoty prvků vektoru c k výběr bazické proměnné, která bude vyřazena z báze (kĺıčového řádku) na základě hodnoty podílu: bk i a k i,j přepočet nového bazického řešení a vyčíslení hodnoty cílové funkce využitím Gaussovy eliminace

12 Simplexový algoritmus Počet řešení Simplexový algoritmus může být ukončen jedním z následujících výsledků: existuje právě jedno řešení poslední řádek simlexové tabulky neobsahuje žádné záporné a nulové prvky existuje nekonečně mnoho řešení poslední řádek tabulky neobsahuje žádné záporné prvky a navíc je prvek i vektoru c end odpovídající nebazické proměnné v end i nulový. řešení je v nekonečnu sloupec odpovídající nově vybrané bazické proměnné neobsahuje žádný kladný prvek

13 Popis metody Pro všechny omezující podmínky zaneseme do grafu hraniční přímky definující poloroviny a označíme směr polorovin. Najdeme průnik jednotlivých polorovin - polyedr ohraničující množinu přípustných řešení úlohy. Nalezneme extremální vrchol. Určíme proměnné úlohy LP a hodnotu cílové funkce v extremálním vrcholu.

14 Zadání problému Beaver Creek Pottery Company je malá firma, která vyrábí originální hrnky a misky. Společnost přitom využívá dva základní zdroje - speciální hrnčířskou hĺınu a kvalifikovanou práci. Na vyrobení 1 hrnku je potřeba 3 libry hĺıny a 2 hodiny práce. Na vyrobení misky 4 libry hĺıny a hodina práce. Hrnek se prodává za 50 dolarů, miska za 40 dolarů. Společnost chce zjistit, kolik misek a kolik hrnků má každý den vyrobit, aby dosáhla maximálního zisku, pokud má na každý den k dispozici 120 liber hĺıny a pracovní kapacita je 40 hodin.

15 Řešení grafickou metodou Formulace úlohy x 1...počet misek x 2...počet hrnků Cílem úlohy je najít takový počet vyráběných kusů jednotlivých výrobků, aby bylo dosaženo maxima cílové funkce: z = 40x x 2, Omezující podmínka pro práci: 1x 1 +2x Omezující podmínka pro hĺınu: 4x 1 + 3x Podmínky nezápornosti: x 1 0 x 2 0

16 Řešení grafickou metodou Množina přípustných řešení Pokud nyní pro obě omezující podmínky zaneseme do grafu hraniční přímky definující poloroviny, označíme směr polorovin a najdeme jejich průnik, dostaneme množinu přípustných řešení (viz obr. 1) x 1 +3x 2 = x 2 20 x 1 +2x 2 = x 1 Obrázek: Množina přípustných řešení

17 x 2 x 1 Řešení grafickou metodou Extremální vrchol Z teorie víme, že funkce nabývá svého optima vždy v jednom z vrcholů polyedru. Pokud vykresĺıme přímku cílové funkce pro různá z (např. z=800, 1200, viz obr. 2) zjistíme, že cílová funkce nabývá svého maxima na množině přípustných směrů v bodě, který je nejdál od počátku x 1 +50x 2 = x 1 +50x 2 = x 1 +50x 2 = Obrázek: Cílové funkce pro různé hodnoty z

18 x 2 x 1 Řešení grafickou metodou Extremální vrchol Postup pro určení maxima (viz obr. 3): Nakresĺıme přímku cílové funkce pro libovolné z, např. z=800 Nakresĺıme přímku rovnoběžnou s přímkou z=800 dotýkající se množiny přípustných řešní v bodě nejvíce vzdáleném od počátku - extremální vrchol Obrázek: Hledání extremálního vrcholu

19 Řešení grafickou metodou Řešení v extremálním vrcholu Řešíme soustavu 2 rovnic: 1x 1 + 2x 2 = 40 x 1 = 40 2x 2 4x 1 + 3x 2 = 120 4(40 2x 2 ) + 3x 2 = 120 5x 2 = 40 tedy x 2 =8 x 1 =24. a z = 40x x 2 =40*24+50*8= 1360 dolarů.

20 x 2 x 1 Řešení grafickou metodou Shrnutí Hodnoty ve všech vrcholech polyedru Pro vrchol A dostaneme: x 1 =0 misek, x 2 =20 hrnků, z=1000 dolarů. Pro vrchol B dostaneme: x 1 =24 misek, x 2 =8 hrnků, z=1360 dolarů. Pro vrchol C dostaneme: x 1 =30 misek, x 2 =0 hrnků, z=1200 dolarů. Zjistili jsme tedy, že optimální výrobní program firmy je vyrobit každý den 24 misek a 8 hrnků, zisk firmy bude 1360 dolarů denně. 20 A B C Obrázek: Množina přípustných řešení s vyznačenými vrcholy

21 Řešení simplexovou metodou Formulace úlohy Dáno: cílová funkce: z = 40x x 2 omezující podmínky: 1x 1 +2x 2 40, 4x 1 +3x podmínky nezápornosti: x 1 0, x 2 0

22 Řešení simplexovou metodou Kanonický tvar Úlohu LP přepíšeme do kanonického tvaru, abychom mohli použít simlexovou metodu, tj. zavedeme přídavné proměnné s 1 a s 2. 1x 1 + 2x 2 + s 1 = 40 4x 1 + 3x 2 + s 2 = 120 z 40x 1 50x 2 = 0 kde x 1 0, x 2 0, s 1 0, s 2 0 a z 40x 1 50x 2 = 0 je přepsaná cílová funkce, kterou chceme maximalizovat.

23 Řešení simplexovou metodou Simplexová tabulka Jako výchozí bazické řešení voĺıme počátek soustavy souřadnic, tj. x 1 = 0, x 2 = 0 a dopočteme hodnoty s 1, s 2. Tedy dostaneme: x (0) = (x 1, x 2, s 1, s 2 ) = (0, 0, 40, 120). Výchozí simplexová tabulka má následující tvar: x 1 x 2 s 1 s 2 b s s z Bazické proměnné jsou v prvním sloupci (s 1, s 2 )

24 Řešení simplexovou metodou Hledání nového bazického řešení-krok 1 Kĺıčový sloupec - nalezení nové bazické proměnné Použijeme pravidlo výběru proměnné s největší absolutní hodnotou záporného prvku v posledním řádku - tj. x 2. Kĺıčový řádek - nalezení vyřazované bazické proměnné Pro všechny nezáporné prvky kĺıčového sloupce spočteme podíl posledního sloupce tabulky a odpovídajícího prvku kĺıčového sloupce. Řádek s nejmenším podílem je kĺıčovým řádkem - tj. s 1. x 1 x 2 s 1 s 2 b podíl 40 s = s = 40 z

25 Řešení simplexovou metodou Hledání nového bazického řešení-krok 1 Kĺıčový prvek Průsečík kĺıčového sloupce a kĺıčového řádku definuje kĺıčový prvek (2). Proměnná x 2 nahradí bazickou proměnnou s 1. Přepočet nového bazického řešení Využitím Gaussovy eliminační metody nahradíme bazickou proměnnou odpovídající kĺıčovému řádku s 1 proměnnou odpovídající kĺıčovému sloupci x 2. Řídícím prvkem eliminace je kĺıčový prvek, ke každému řádku přičteme takový násobek kĺıčového řádku, aby hodnoty všech prvků v kĺıčovém sloupci byly rovny 0. Kĺıčový řádek upravíme tak, aby na pozici kĺıčového prvku byla 1. násobek x 1 x 2 s 1 s 2 b s s z

26 Řešení simplexovou metodou Hledání nového bazického řešení-krok 1 Zisk nového bazického řešení Provedením úprav dostaneme novou simplexovou tabulku: x 1 x 2 s 1 s 2 b 1 1 x s z Novým bazickým řešením je x (1) = (0, 20, 0, 60) a hodnota cílové funkce vzrostla na z=1000.

27 Řešení simplexovou metodou Hledání nového bazického řešení-krok 2 Kĺıčový sloupec - nalezení nové bazické proměnné Záporná hodnota v posledním řádku je pouze u x 1, tedy jen pro tento prvek může dojíz k nárůstu cílové funke, tj. x 1 bude novou bazickou proměnnou. Kĺıčový řádek - nalezení vyřazované bazické proměnné Vypočteme podíl posledního sloupce tabulky a odpovídajícího prvku kĺıčového sloupce a zjistíme minimální hodnotu s 2 bude vyřazenou proměnnou. x 1 x 2 s 1 s 2 b podíl 1 1 x s z

28 Řešení simplexovou metodou Hledání nového bazického řešení-krok 2 Kĺıčový prvek Průsečík kĺıčového sloupce a kĺıčového řádku definuje kĺıčový prvek ( 5 2). Proměnná x1 nahradí bazickou proměnnou s 2. Přepočet nového bazického řešení Gaussovou eliminací zajistíme, aby proměnná x 1 nahradila bazickou proměnnou s 2. násobek x 1 x 2 s 1 s 2 b x s z

29 Řešení simplexovou metodou Hledání nového bazického řešení-krok 2 Zisk nového bazického řešení Provedením úprav dostaneme novou simplexovou tabulku: x 1 x 2 s 1 s 2 b 4 x x z Novým bazickým řešením je x (2) = (24, 8, 0, 0) a hodnota cílové funkce vzrostla na z=1360. Nyní už nemůžeme vybrat proměnnou, která by zvýšila hodnotu cílové funkce, tedy algoritmus skončil a stávající bazické řešení je optimálním řešením úlohy.

30 x A x 1 +2x 2 +s 1 =40 4x 1 +3x 2 +s 2 =120 x 1 B C Řešení simplexovou metodou Shrnutí Hodnoty ve všech vrcholech polyedru Pro vrchol A dostaneme: x 1 =0, x 2 =20,s 1 =0, s 2 =60, z=1000 Pro vrchol B dostaneme: x 1 =24, x 2 =8,s 1 =0, s 2 =0, z=1360 Pro vrchol C dostaneme: x 1 =30, x 2 =0,s 1 =10, s 2 =0, z=1200 Opět jsme tedy zjistili, že optimální výrobní program firmy je vyrobit každý den 24 misek a 8 hrnků, zisk firmy bude 1360 dolarů denně Obrázek: Množina přípustných řešení s vyznačenými vrcholy

31 Zdroje skripta k předmětu Operační analýza internetový zdroj: hlineny/teaching/ou/ou-lect 6.pdf