Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: 00 5 Experimentální ověření metody pro výpočet indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek různých tvarů Experimental verification of the method for calculating the inductance of coaxial cylindrical air coils of various shapes Vítězslav Pankrác pankrac@fel.cvut.cz Katedra elektromagnetického pole ČVUT v Praze Abstrakt: V článku je měřením na modelech charakteristických tvarů ověřena správnost prezentované metody pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek. Abstract: To verify the correctness of the presented method for calculating the self- and mutual inductance of the coaxial cylindrical coils in air, the set of measurements on the coils of the characteristic shapes have been performed and described in this article.
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 TLUMIVKY V SILNOPROUDÉ ELEKTROTECHNICE ČÁST 4 EXPERIMENTÁLNÍ OVĚŘENÍ METODY PRO VÝPOČET INDUKČNOSTÍ KOAXIÁLNÍCH VÁLCOVÝCH VZDUCHOVÝCH CÍVEK RŮZNÝCH TVARŮ Ing. Vítězslav Pankrác, CSc. Katedra elektromagnetického pole České vysoké učení technické v Praze Technická, 66 7 Praha 6 Email: pankrac@fel.cvut.cz V článku je měřením na modelech charakteristických tvarů ověřena správnost prezentované metody pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek... ÚVOD V článku je na základě měření ověřena metoda výpočtu vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek. Metoda byla podrobně popsána v [] a předložena k volnému použití v podobě počítačového programu v []. Je ukázáno, že dává velmi dobré výsledky pro všechny tvary cívek daného typu. Měření je realizováno na řadě modelů, které zahrnují jak cívky mezních tvarů (ploché diskové cívky, tenké válcové cívky), tak i válcové cívky obecného tvaru. Modely jsou v textu podrobně popsány a rovněž i postup měření a metodika použitá pro vyhodnocení výsledků. Při porovnání naměřených a vypočtených hodnot je poukázáno na faktory, které ovlivňují přesnost výpočtu. Jedním z faktorů je nerovnoměrné rozložení závitů v průřezu cívky. Pro posouzení tohoto vlivu a případné další užití byl sestaven počítačový program [3], který používá beze změny výpočtových prvků metody [],[]. Tento program umožňuje stanovit indukčnost reálné válcové cívky s respektováním mezer mezi prvky v radiálním i axiálním směru. Indukčnost v tomto programu je vyčíslena na základě kombinací vlastních a vzájemných indukčností všech prvků. Na základě měření a porovnání s výpočtem se ukazuje, že vliv rozmístění závitů není příliš podstatný ani pro cívky, mezi jejichž části jsou vloženy mezery značně přesahující jejich vlastní rozměry. Další z možných faktorů, který by mohl ovlivnit přesnost výpočtu, vyplývá ze skutečnosti, že metoda výpočtu [],[] používá jako základní výpočtový element tenkou válcovou cívku (solenoid), jejíž indukčnost je stanovena pomocí rychlých a přesných algoritmů. Vzájemný vztah u a výšky elementární cívky dobu výpočtu ani jeho přesnost neovlivňuje. Možný zdroj nepřesností se objevuje až u reálné cívky při integraci v radiálním směru viz (odst. 3.4). V textu je ukázáno, že lze stejně dobré výsledky očekávat nejen u cívek rozměrově stejných jako prezentované modely, ale i u cívek rozměrově podstatně menších (cívky v radiotechnice) a rovněž i u cívek podstatně větších (cívky v silnoproudé elektrotechnice). To je dáno skutečností, že je indukčnost přímo úměrná veličině, která je závislá pouze na poměrech základních rozměrů (výška, střední, tloušťka). Tato veličina nabývá pro všechny tvarově podobné cívky stejné hodnoty.. POPIS MODELŮ CÍVEK V této části jsou kompletně popsány modely cívek, na kterých bylo provedeno srovnávací měření... MODEL : PLOCHÁ DISKOVÁ CÍVKA (VARIATA A) Model reprezentuje tvar cívky, pro kterou je charakteristický podstatně větší radiální rozměr (vnitřní a vnější ), než axiální rozměr ( výška respektive tloušťka cívky). Plochá disková cívka s celkovým počtem 90 závitů je navinuta měděným lakovaným vodičem o u 0.9/ mm. Závity jsou vinuty v radiálním směru těsně na sobě na podkladovou desku z dielektrického materiálu. Vinutí je rozděleno do šesti sekcí po 5 závitech. Na (Obr.) je rozměrový obrázek s orientačním schématem zapojení a označením jednotlivých částí. Prostorové uspořádání cívky je na obrázku (Obr.). V tabulce (Tab.) jsou uvedeny všechny rozměry částí. Obr.) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Rozměrový obrázek. 63-
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 Model : Plochá disková cívka (Varianta B) Sekce vnitřní vnější tloušťka cívky počet závitů d [mm] d [mm] t [mm] N A 7 67.5 0 B 67.5 08 0 Obr.) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Geometrické uspořádání. Tab.) Model : Plochá disková cívka (Varianta B). Rozměrové údaje. Sekce Model : Plochá disková cívka (Varianta A) vnitřní vnější tloušťka cívky počet závitů číslo d [mm d [mm] t [mm] N 7 57.5 5 57.5 88 5 3 88 8.5 5 4 8.5 49 5 5 49 79.5 5 6 79.5 0 5 Tab.) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Rozměrové údaje..3. MODEL 3: TENKÁ VÁLCOVÁ CÍVKA (SOLENOID) Model 3 reprezentuje tvar cívky, pro kterou je charakteristický podstatně větší axiální rozměr (délka cívky), než radiální rozměr (tloušťka cívky). Tenká válcová cívka je navinuta měděným vodičem o u 0.45/0.55mm a je rozdělena do čtyř stejných sekcí po 90 závitech. Závity jsou navinuty bez mezer na plastový válec s vnějším em mm. Na (Obr.4) je rozměrový obrázek se schématem zapojení a označením jednotlivých částí. Prostorové uspořádání cívky je na (Obr.5). V tabulce (Tab.3) jsou uvedeny všechny rozměry částí... MODEL : PLOCHÁ DISKOVÁ CÍVKA (VARIATA B) Model představuje plochou diskovou cívku, která je tvarově podobná cívce Modelu. Cívka je rovněž navinuta měděným vodičem s lakovanou izolací o u 0.9/mm, závity jsou umístěny těsně na sobě bez mezer. Cívka má celkový počet 40 závitů a je rozdělena do dvou sekcí po 0 závitech. Na (Obr.3) je rozměrový obrázek se schématem zapojení a označením jednotlivých částí cívky. V tabulce (Tab.) jsou uvedeny všechny rozměry částí. Obr.4) Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid). Rozměrový obrázek. Obr.3) Model : Plochá disková cívka (Varianta B). Rozměrový obrázek. Obr.5) Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid). Geometrické uspořádání. 63-
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid) Sekce Tab.3) d [mm] d [mm] počet závitů N h [mm] 3 90 50 3 90 50 3 3 90 50 4 3 90 50 Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid). Rozměrové údaje..4. MODEL 4: VÁLCOVÁ CÍVKA SLOŽENÁ Z DISKOVÝCH SEKCÍ Model 4 reprezentuje obecný tvar válcové cívky s rozměrově srovnatelným em, výškou i tloušťkou. Válcová cívka je sestavena z 0 dílčích plochých diskových cívek, umístěných za sebou v axiálním směru. Každá disková cívka je samonosná a je navinuta z měděného vodiče o u.5/.7mm, který má lakovanou izolaci a je opředen bavlnou napuštěnou impregnačním lakem. Cívky jsou spojeny do série a jejich axiální vzdálenost x viz (Obr.6) je libovolně nastavitelná. Každá disková cívka má 30 závitů. Na (Obr.6) je rozměrový obrázek se schématem zapojení a označením jednotlivých částí. Prostorové uspořádání cívky je na (Obr.7). V tabulce (Tab.4) jsou rozměrové údaje jedné diskové cívky. Obr.7) Model 4: Válcová cívka složená z diskových sekcí. Geometrické uspořádání. Model 4: Válcová cívka složená z diskových sekcí Sekce Tab.4) vnitřní vnější tloušťka cívky počet závitů d [mm] d [mm] t [mm] N 8 30 Model 4: Válcová cívka složená z diskových sekcí. Rozměrové údaje..5. MODEL 5: VÁLCOVÁ CÍVKA S KOAXIÁLNÍMI VRSTVAMI Model 5 reprezentuje obecný tvar válcové cívky se srovnatelným em, výškou i tloušťkou stěny. Válcová cívka je tvořena 5 tenkými samonosnými koaxiálními válcovými cívkami (vrstvami), které mohou být libovolně propojeny a vzájemně vůči sobě axiálně posunuty. Každá z vrstev má 80 závitů a je navinuta z měděného vodiče o u.5/.7 mm, který má lakovanou izolaci a je opředen bavlnou. Vrstvy byly po na impregnovány izolačním lakem. Na (Obr.8) je rozměrový obrázek se schématem zapojení a označením jednotlivých částí. Prostorové uspořádání cívky je na (Obr.9). V tabulce (Tab.5) jsou rozměrové údaje všech dílčích vrstev. Obr.6) Model 4: Válcová cívka složená z diskových sekcí. Rozměrový obrázek. Obr.8) Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami. Rozměrový obrázek 63-3
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 Obr.9) Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami. Geometrické uspořádání. Vrstva Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami vnitřní vnější výška cívky počet závitů číslo d [mm d [mm] h [mm] N 06 0 5 80 Tab.5) 8 3 5 80 3 5 56 5 80 4 77 8 5 80 5 03 07 5 80 Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami. Rozměrové údaje. 3. POSTUP POUŽITÝ PŘI MĚŘENÍ INDUKČNOSTÍ A POROVNÁNÍ NAMĚŘENÝCH A VYPOČTENÝCH HODNOT 3.. METODA MĚŘENÍ Všechny indukčnosti byly měřeny digitálním LCR měřičem Motech MIC-4070D, který umožňuje měřit hodnoty indukčností v rozsazích 00µH, mh, 0mH a 00mH se zaručovanou přesností % a s rozlišením 0.µH. 3.. MĚŘENÍ VLASTNÍCH A VZÁJEMNÝCH NDUKČNOSTÍ CÍVEK Modely jsou pro usnadnění měření navrženy jako vzduchové cívky s několika částmi (sekcemi), které je možno propojit do série. Pro stanovení vlastních a vzájemných indukčností jednotlivých částí cívek byl zvolen postup, při kterém byly postupně měřeny vlastní indukčností všech částí a následně i jejich kombinace. Příklad tohoto postupu je pro cívku se čtyřmi sekcemi naznačen na schématu v (Obr.0). Postupným dopočítáváním v několika krocích jsou potom stanoveny všechny prvky matice indukčností. Obr.0) Postup měření indukčnosti na modelech V prvním kroku jsou změřeny vlastní indukčnosti všech částí a tím jsou stanoveny prvky na hlavní diagonále matice indukčností (Obr.): L 0 0 0 0 L 0 0 0 0 L 33 0 0 0 0 L 44 Obr.) Tvar matice indukčností po prvním kroku Ve druhém kroku jsou změřeny hodnoty vlastních indukčností sousedních dvojic částí podle (Obr.0). Z naměřených hodnot a hodnot stanovených v předchozím kroku jsou vypočteny prvky, které jsou v (Obr. ) zvýrazněny: L L L = = = L = + 3 = L3 + 3 43 = L34 3+ 4 ( L L L ) ( L L L ) 33 ( L L L ) L L 0 0 L L L 3 0 0 L 3 L 33 L 43 0 0 L 34 L 44 Obr.) Tvar matice indukčností po druhém kroku Ve třetím kroku jsou měřeny hodnoty vlastních indukčností trojic sousedících částí podle (Obr.0). Z naměřených hodnot a hodnot stanovených v předchozích krocích jsou vypočteny zvýrazněné prvky v (Obr.3). L ( L L L L L L ) 3 = L3 = + + 3 33 33 44 3. 63-4
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 L ( L L L L L L ) 4 = L4 = + 3+ 4 33 44 3 L L L 3 0 L L L 3 L 4 L 3 L 3 L 33 L 43 0 L 4 L 34 L 44 Obr.3) Tvar matice indukčností po třetím kroku Ve čtvrtém posledním kroku je měřena vlastní indukčnost celé cívky a pomocí hodnot stanovených v předchozích krocích jsou vypočteny zbývající prvky indukční matice viz (Obr.4) : L L L4 = ( L+ L L 4 = + 3+ 4 3 3 4 L L 34 L ) L 33 L 44 L 34 vyčísluje vlastní indukčnost válcové cívky počítačový program, který je dán k volnému užití v [3]. Tento program využívá beze změny prvky počítačového programu []. Vstupním údajem je celkový počet výpočtových elementů v radiálním a axiálním směru, rozměry jednoho elementu a počet závitů. Jednodušší je samozřejmě počítat indukčnost skutečné cívky pomocí ekvivalentní cívky viz (Obr.6), u které jsou zachovány vnější rozměry (celková výška, tloušťka, y) a celkový počet závitů je pomyslně rozložen rovnoměrně po celém průřezu. Je třeba náležitě posoudit, zda detailní výpočet přispěje podstatně ke zlepší přesnosti výsledků, či zda nemá podstatný význam. Vliv tohoto faktoru je ukázán na výsledcích měření u několika modelů L L L 3 L 4 L L L 3 L 4 L 3 L 3 L 33 L 43 L 4 L 4 L 34 L 44 Obr.4) Tvar matice indukčností po čtvrtém kroku Výsledný tvar matice se všemi prvky vlastních a vzájemných indukčností bude potom jako na (Obr.5): L L L 3 L 4 L L L 3 L 4 L 3 L 3 L 33 L 43 L 4 L 4 L 34 L 44 Obr.5) Výsledný tvar matice indukčností 3.3. VLIV ROZMÍSTĚNÍ ZÁVITŮ V PRŮŘEZU CÍVKY, POČÍTAČOVÝ PROGRAM Výpočet vlastních a vzájemných indukčností popsaný v [] předpokládá stejnou proudovou hustotu ve všech místech, respektive stejnoměrné rozložení závitů v průřezu ideální válcové cívky. Tento předpoklad však není možné u reálné cívky nikdy dokonale splnit. Vždy je nutné počítat minimálně s izolací vlastních závitů, popřípadě i s izolačními či chladícími kanály v cívce. Při výpočtu je obecně možné rozdělit cívku na elementy, u kterých je předpoklad rovnoměrného rozložení proudové hustoty dobře splněn. Výsledná indukčnost by potom byla počítána pomocí vlastních a vzájemných indukčností všech elementů. V krajním případě mohou být za výpočtové elementy považovány i jednotlivé závity. To však vede ke komplikovanému zadání vstupních údajů a také k prodloužení doby výpočtu. Uvedeným způsobem Obr.6) Rozmístění závitů v průřezu válcové cívky 3.4. KOEFICIENT INTEGRACE Při výpočtu vlastních a vzájemných indukčností metodou popsanou v [] je základním výpočtovým prvkem tenká válcová cívka (solenoid), jejíž magnetické pole je integrováno v radiálním směru ( ve směru šířky válcové stěny). Integrace je vyčíslena modifikovanou obdélníkovou metodou (Rombergova integrace), při které je interval integrace postupně rozdělen na npodintervalů (Obr.7). Aby bylo možné při výpočtu přesnost integrace ovlivnit a tím zohlednit skutečnost, že integrace radiálně rozměrné cívky bude náročnější než integrace cívky s relativně tenkou stěnou, je vstupním parametrem počítačového programu [] koeficient k, který udává podle [] počet iteračních kroků Rombergovy metody a s koeficientem n je vázán vztahem: k n = V následujícím textu bude při popisu výsledků měření prezentován vliv integračního koeficientu na přesnost vypočtených hodnot metodou [],[]. 63-5
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 Obr.7) Rozdělení cívky na integrační elementy. 4. NAMĚŘENÉ A VYPOČTENÉ HODNOTY PRO JEDNOTLIVÉ MODELY Pro modely popsané v odst. (.) až (.5) bylo provedeno měření indukčností postupem popsaným v odst. (3.) a (3.). Naměřené hodnoty byly porovnány s hodnotami vypočtenými metodou popsanou v [] a vyneseny do tabulek. Pro každou hodnotu byla stanovena diference: Lměř Lpoč [%] = 00 Lpoč Pro modely či jejich vybrané části byl při výpočtu posouzen vlivů faktorů podle odst. (3.3) a (3.4). 4.. MODEL : PLOCHÁ DISKOVÁ CÍVKA (VARIATA A) 4... NAMĚŘENÉ A VYPOČTENÉ HODNOTY Model, jehož parametry jsou popsány v odst. (.), byl měřen v šesti krocích v souladu s odst. (3.). V tabulce naměřených hodnot (Tab.6) je použito označení úseků v souladu s (Obr.). Pro stejné části modelu byly počítány hodnoty indukčností metodou [] s koeficientem integrace k=8 viz odst. (3.4). Model : Plochá disková cívka (Varianta A) 3 4 5 L(++3) 9 3.46 -.87 L(+3+4) 7 6.79 0.09 L(3+4+5) 336 334.7 0.38 L(4+5+6) 45 45.0 0.00 L(++3+4) 65 68. -.6 L(+3+4+5) 49 48.9 0.9 L(3+4+5+6) 6 608. 0.46 L(++3+4+5) 473 474.79-0.38 L(+3+4+5+6) 76 74.8 0.7 6 L(++3+4+5+6) 764 765.86-0.4 Tab.6) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Tabulka naměřených hodnot indukčností Z tabulky (Tab.6) je patrná velice dobrá shoda naměřených a vypočtených údajů. Odchylka přesahuje % pouze u několika hodnot a to převážně u sekcí s menšími y. S velkou pravděpodobností to není způsobeno chybou výpočtu, ale chybou, s jakou jsou stanoveny rozměry cívky a dodrženy kruhové geometrické tvary. Při výpočtu podle [] je však pro dosažení dobrých výsledků nutné správně volit koeficient pro integraci ( viz odst. 4..). Z naměřených hodnot je postupem shodným s odst. (3.) možné vypočítat všechny prvky matice indukčností (Tab.7). Model : Plochá disková cívka (Varianta A) Mi,k 3 4 5 6 [µh] 7.5 4 3 7.5 4 6 0.5 8 6 3 4 6 39 7.5 7.5 5 4 0.5 7.5 56 38.5 5.5 5 3 8 7.5 38.5 74 5 6 6 5 5.5 5 9 Tab.7) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Matice indukčností. krok zapojené úseky L měř L poč [µh] [µh] [%] L().8 -.6 L() 4 4.64 -.60 L(3) 39 39.99 -.48 L(4) 56 56.66 -.6 L(5) 74 74.3-0.43 L(6) 9 9.79-0.85 L(+) 50 50.54 -.07 L(+3) 95 96.7 -.77 L(3+4) 50 49.3 0.46 L(4+5) 07 06.5 0.3 L(5+6) 68 67.36 0.4 4... VLIV KOEFICIENTU PRO INTEGRACI Pro posouzení vlivu integračního koeficientu k viz odst. (3.4) byla postupně vypočtena hodnota indukčnosti celé cívky (6 sekcí spojených do série - L(++3+4+5+6) ). Indukčnost byla počítána pro různé hodnoty integračního koeficientu a je to stejná indukčnost, která byla v (Tab.6), počítána v 6. výpočtovém kroku pro k=8. Vypočtené hodnoty a odchylky od naměřené hodnoty jsou zapsány v tabulce (Tab.8). Tento tvar cívky je s ohledem na logiku, se kterou pracuje metoda [], nejméně vhodný (viz odst. 3.4). Při malých hodnotách integračního koeficientu dochází vzhledem ke tvaru cívky ke značným odchylkám od měřené hodnoty. Z tabulky je patrné, že 63-6
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 relativně přijatelná odchylka je až pro koeficient k=8, což odpovídá rozdělení integračního intervalu - radiálního rozměru cívky na 56 podintervalů. Se stejným koeficientem byly počítány i hodnoty v tabulce (Tab.6). Doba výpočtu se tím relativně prodlouží, což ale nemá u jednotlivých počítaných hodnot indukčností velký význam, výpočet je i tak velmi rychlý. Více by se tato skutečnost projevila při výpočtu induktivních vazeb velkého množství prvků podobného typu. Tab.8) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). k koeficient pro integraci počítaná indukčnost [µh] odchylka od měřené indukčnosti [%] 867 44.37 86 68.3 3 979 8.4 4 846 0.73 5 793 3.80 6 774.3 7 768 0.5 8 766 0.6 9 765 0.3 Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Vliv integračního koeficientu na přesnost výpočtu. 4..3. VLIV ROZLOŽENÍ ZÁVITŮ U ploché cívky (Model ) je mezi závity vložena pouze velmi tenká vrstva lakové izolace. Předpoklad rovnoměrného rozložení závitů v průřezu je dobře splněn. Aby bylo možno u cívek s podobnou konfigurací posoudit vliv hustoty závitů na počítané hodnoty indukčností, byly měřeny hodnoty indukčností cívek, které byly vytvořeny z Modelu vynecháním části sekcí viz (obr.8, a,b,c,d). Naměřené hodnoty byly porovnány s hodnotami počítanými pro ekvivalentní cívky, které měly stejný počet závitů a vnější rozměry jako skutečné, ale závity pomyslně rovnoměrně rozdělené mezi vnitřním a vnějším em (viz 3.3). Hodnoty byly vyneseny do tabulky (tab.9). Obr.8) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Cívky s vynechanou částí. viz Obr. 8 a b Model : Plochá disková cívka (Varianta A). zapojené úseky L měř L poč [µh] [µh] [%] L(+3+5) 65 57.3 -.9 L(+4+6) 73 70.9 -. L(+4) 7 67-5.63 L(+5) 4 07-6.4 L(3+6) 6 5-5.59 L(+5) 9 76-6.48 c L(+6) 8 4-0.94 d L(+6) 07 85-0.56 Tab.9) Model : Plochá disková cívka (Varianta A). Měřené hodnoty indukčností cívek s vynechanými částmi. Z (Tab.9) je patrné, že ani po vložení mezery o velikosti celé sekce nevznikne při zjednodušeném výpočtu podstatná chyba (viz. Obr.8 zapojení a). Úměrně s počtem vynechaných sekcí se chyba zvětšuje. 4.. VZÁJEMNÁ INDUKČNOST DVOU PLOCHÝCH DISKOVÝCH CÍVEK Pro ověření počítaných hodnot indukčností diskových, axiálně navzájem posunutých cívek, bylo provedeno měření vzájemné indukčnosti cívky tvořené částí modelu ( sekce 4+5+6, odst..,obr.) a obou sekcí modelu ( sekce A+B viz odst.., Obr.3 ). Mezi cívkami byla postupně zvětšována axiální vzdálenost x (viz Obr.9). Obr.9) Vzájemná indukčnost dvou koaxiálních diskových cívek Vzájemná indukčnost byla stanovena z měřených vlastních indukčností obou modelů (viz Tab.0) a celkové indukčnosti při jejich sériovém propojení pro různé vzdálenosti x (L cel viz Tab.). Z porovnání měřených a počítaných hodnot indukčností metodou[] je opět patrná velmi dobrá shoda. Poslední řádky pro velké axiální vzdálenosti cívek (x=80,00mm) jsou již na hranici, kdy lze ještě dostatečně přesně měřit indukčnosti metodou podle odst. (3.). 63-7
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 úseky L měř L poč [µh] [µh] [%] Model L(4+5+6) 45 45. 0.0 Model L(A+B) 98 98.8 0.8 Tab.0) Vlastní indukčnosti pro měření dvou koaxiálních diskových cívek Vzájemná indukčnost dvou plochých diskových cívek x L cel M měř M poč [mm] [µh] [µh] [%] 5 678 64 64. -0.3 Tab.) 0 67 6 6.4-0.65 5 666 58 57.8 0.35 0 657 53.5 53.8-0.56 30 640 45 45.7 -.53 50 6 3 3.6 -.90 80 585 7.5 8 -.78 00 574.5-4.00 Vzájemná indukčnost dvou plochých diskových cívek. Počítané a měřené hodnoty. 4.3. MODEL 3: MĚŘENÍ TENKÉ VÁLCOVÉ CÍVKY Model 3 Tenká válcová cívka (solenoid), jehož parametry jsou popsány v odst. (.3), byl měřen v souladu s odst. (3.) a (3.). Měření bylo provedeno ve čtyřech krocích v souladu s odst. (3.). V tabulce naměřených hodnot (Tab.) je použito označení úseků v souladu s (Obr.4). Naměřené hodnoty byly porovnány s hodnotami vypočtenými podle [] a zaznamenány do tabulky (Tab.). Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid) krok úseky L měř L poč [mh] [mh] [%] L() 0.99.00 0 L() 0.99.00 0 L(3) 0.99.00 0 L(4) 0.99.00 0 L(+).67.67 0 L(+3).67.67 0 L(3+4).67.67 0 L(++3) 4.53 4.53 0 3 L(+3+4) 4.53 4.53 0 4 L(++3+4) 6.45 6.45 0 Tab.) Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid). Tabulka měřených a počítaných hodnot indukčností. S ohledem na charakter metody [] bylo možné v tomto případě očekávat nejlepší shodu naměřených a vypočtených hodnot, neboť tenká cívka je současně základní výpočtový prvek této metody. Model je vinut relativně tenkým vodičem na masivní válec, bylo možno přesně dodržet geometrické rozměry cívky. V tomto případě je skutečně shoda naměřených a vypočtených hodnot téměř dokonalá. Velikost koeficientu pro integraci (3.4) nemá na výsledky prakticky žádný vliv. V (Tab.3) je vypočtená matice indukčností. Tab.3) Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid) Mi,k [mh] 3 4 0.99 0.345 0.09 0.03 0.345 0.99 0.345 0.09 3 0.09 0.345 0.99 0.345 4 0.03 0.09 0.345 0.99 Model 3: Tenká válcová cívka (solenoid). Matice indukčností. 4.4. MĚŘENÍ VÁLCOVÉ CÍVKY SLOŽENÉ Z DISKOVÝCH SEKCÍ Na Modelu 4 Válcové cívce složené z diskových sekcí, jejíž parametry jsou popsány v odst. (.4), byla měřena celková indukčnost v závislosti na vzájemné vzdálenosti diskových sekcí x viz (obr.6). Výpočet byl proveden pomocí [], [] alternativně dvěma způsoby. První způsob představoval podrobný výpočet z kombinací vlastních a vzájemných indukčností [3] všech sekcí viz odst. (3.3). Výsledné hodnoty jsou v tabulce označeny jako L poč() a diference od naměřených hodnot (). Druhý způsob představoval výpočet pro idealizovanou cívku se zachováním vnějších rozměrů při zjednodušeném předpokladu rovnoměrného rozložení závitů v průřezu cívky. Výsledné hodnoty jsou v tabulce označeny jako L poč() a diference od naměřených hodnot (). Model 4: Válcová cívka složená z diskových sekcí. x h Lměř Lpoč() Lpoč() () () [mm] [mm] [µh] [µh] [µh] [%] [%] 6 5 909 90 893-0..79 06 038 044 050-0.57 -.4 7 70 9 94-0.5 -.46 5 476 478 530-0.4-3.53 7 80 975 967 040 0.4-3.9 5 6 90 73 347 0.75 -.43 3 44 730 690 755.49-0.9 Tab.4) Model 4: Válcová cívka složená z diskových sekcí. Měřené a počítané hodnoty indukčností. 63-8
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 Z porovnání naměřených a vypočtených hodnot je patrné, že podrobný výpočet L poč() dává podle očekávání příznivější výsledky. Počítané hodnoty se však liší od méně podrobného výpočtu L poč() poměrně málo. Platí to nejen pro malé vzdálenosti diskových sekcí ale i pro velké vzdálenosti, kdy mezera mezi sekcemi mnohanásobně přesahuje axiální rozměr sekcí. 4.5. MĚŘENÍ VÁLCOVÉ CÍVKY S KOAXIÁLNÍMI VRSTVAMI Model 5 Válcová cívka s koaxiálními vrstvami, jejíž parametry jsou popsány v odst. (.5) byl měřen v souladu s odst. (3.) a (3.). Všechny vrstvy modelu viz (Obr.8) byly nastaveny do stejné axiální polohy nebyly vůči sobě axiálně posunuty. Měření bylo provedeno v pěti krocích v souladu s odst. (3.). V následující tabulce je použito označení částí v souladu s (Obr.8). Naměřené hodnoty byly porovnány s hodnotami vypočtenými podle [] a zaznamenány do tabulky (Tab.5). Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami. krok úseky 3 L měř L poč [µh] [µh] [%] L() 0.360 0.363-0.9 L() 0.500 0.50-0.40 L(3) 0.687 0.68 0.67 L(4) 0.860 0.86-0. L(5).0.03-0. L(+).50.546 -.33 L(+3).0.5-0. L(3+4).780.794-0.48 L(4+5) 3.560 3.57-0.30 L(++3) 3.770 3.80-0.83 L(+3+4) 5.00 5.094 0. L(3+4+5) 6.670 6.66 0.3 L(++3+4) 7.30 7.35-0.56 4 L(+3+4+5) 9.790 9.76 0.9 5 L(++3+4+5).50.56-0.33 Tab.5) Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami. Tabulka měřených a počítaných indukčností. v podstatě žádný vliv. Zajímavé je porovnat v souladu s odst. (3.3), jak se bude v tomto případě lišit hodnota indukčnosti počítaná podrobně pro jednotlivé elementy od hodnoty počítané zjednodušeně pro cívku se stejnými rozměry a závity rozloženými rovnoměrně po celém průřezu. V druhém případě vychází indukčnost celé cívky L(++3+4+5) =3.5mH. Od přesněji počítané hodnoty v 5. kroku tabulky (Tab.5) se liší o 5%. Z vypočtených hodnot je možné sestavit matici indukčností viz (Tab.6). Tab.6) Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami Mi,k [mh] 3 4 5 0.363 0.340 0.36 0.90 0.7 0.340 0.50 0.470 0.49 0.400 3 0.36 0.470 0.68 0.65 0.579 4 0.90 0.49 0.65 0.86 0.803 5 0.7 0.400 0.579 0.803.03 Model 5: Válcová cívka s koaxiálními vrstvami. Matice indukčností. 5. VLIV ABSOLUTNÍCH ROZMĚRŮ CÍVKY NA VÝPOČET INDUKČNOSTÍ Lze dokázat, že indukčnost válcové cívky je přímo úměrná střednímu u cívky, kvadrátu počtu závitů a veličině, která popisuje tvar cívky. Tato veličina nezávisí na absolutních hodnotách rozměrů a je pro všechny podobné cívky stejná (stejný poměry výšek, středních ů a tloušťky ): D = s L Ds N f, h V tomto vztahu představuje viz (Obr.0): D s t D s střední válcové cívky N počet závitů válcové cívky t tloušťka stěny válcové cívky h výška válcové cívky Hodnoty byly počítány z kombinací vlastních a vzájemných indukčností všech částí cívky [3]. Shoda je v tomto případě podle očekávání velice dobrá, cívka je tvořena tenkými válcovými elementy, které představují základní výpočtový element metody []. Velikost integračního koeficientu viz odst. (3.4) nemá s ohledem na tvar výpočtových elementů (vrstev ) f(...) funkce zahrnující tvar válcové cívky 63-9
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 velice dobře vyhovuje vzorec uvedený v [6], který je citován v četných dalších zdrojích: 8 0 Ds N L = 3D + 9h+ 0t s 6 [H,m] Obr.0) Rozměrový obrázek jednoduché cívky Správnost tohoto tvrzení je patrná již ze vztahu pro indukčnost tenké cívky(solenoidu), jehož odvození bylo ukázáno v []: ( k,,, ( ) 8 3 N L = µ 0 R Cel k 3 h k R poloměr tenké válcové cívky k modul eliptických integrálů [] k = 4R R + h Cel(...) obecný eliptický integrál modulu k [] Jednoduchou úpravou přejde vztah pro výpočet indukčnosti tenké cívky do diskutované podoby, ve které se vyskytují poměrné veličiny: D ( k,,, ( k ) D L = D N µ 0 Cel 3 h k k = 4 + D h tenké válcové cívky Podobně to platí i při výpočtu indukčnosti cívek s konečnou tloušťkou. Ze vztahů odvozených v [] je patrné, že po integraci v radiálním směru přejde cívky D na střední Dsa poměrná tvarová funkce na novou tvarovou funkci, u které mohou být všechny rozměrové veličiny vztaženy ke střednímu u. V elektrotechnice se pro výpočet indukčnosti velice často používají vzorce, které byly sestaveny empiricky na základě četných měření a pozorování. Každý z nich platí obvykle pouze pro určitý tvar cívek, pro který může dávat velmi dobré výsledky a může být velice užitečný. Pro cívky se srovnatelnou výškou h a tloušťkou stěny t I tento vzorec přejde jednoduchou úpravou do diskutovaného tvaru: 6. ZÁVĚR L = D N s 8 0 h 3+ 9 + 0 D V článku bylo ukázáno, že metoda výpočtu vlastních a vzájemných indukčností, která byla popsána v [],[], dává velmi uspokojivé výsledky pro různé tvary koaxiálních válcových vzduchových cívek. Tato skutečnost byla demonstrována na výsledcích řady měření na modelech. Dále bylo ukázáno, že přesnost vypočtené hodnoty indukčnosti není závislá na absolutní velikosti cívek. Metoda výpočtu [],[] je tedy použitelná pro geometricky velké i malé cívky, které se používají v nejrůznějších aplikacích. Při zachování přesného rozměru a válcového tvaru cívek lze očekávat stejně dobré výsledky. Postup výpočtu v [],[] byl primárně navržen pro cívky válcového tvaru, pro které dává velmi dobré výsledky. Stejně dobře je však použitelný i pro cívky diskové. V tomto případě se jedná o náročnější integraci při výpočtu viz odst. (3.4), která se projeví prodloužením doby trvání výpočtu. Při výpočtech pro jednotlivé hodnoty indukčností je však doba výpočtu i tak velmi krátká a uvedený faktor nemá podstatný vliv. Více by se tato skutečnost projevila při současném výpočtu velkého množství induktivních vazeb různých prvků. tato situace nastává například při výpočtu přechodných dějů ve. Přesný výpočet indukčnosti je při návrhu tlumivek v silnoproudé elektrotechnice velmi důležitý. Často se jedná o rozměrné a nákladné zařízení, u kterého není možné s ohledem na technologický postup výroby provádět rozměrové korekce či měnit počty závitů během výroby, ani po jejím dokončení. Obvykle se navíc jedná o stroje, jejichž technické parametry se při návrhu detailně přizpůsobují konkrétnímu projektovanému zařízení a místním podmínkám, ve kterých bude zařízení pracovat [4],[5]. Nejedná se proto většinou o velké opakované série se shodnými parametry. Chybně navržená tlumivka, jejíž indukčnost se může lišit od požadované řádově jen o jednotky procent, může znemožnit správnou funkci celého zařízení. Tato skutečnost je dobře patrná u filtrů, u kterých se předpokládá, že budou přesně naladitelné na žádaný rezonanční kmitočet. Pokud by se k běžným výrobním tolerancím tlumivek a kondenzátorů připočetly s 6 t D s 63-0
00/63 30. 9. 00 VOL., NO.5, OCTOBER 00 navíc ještě chyby výpočtu, bylo by jen obtížně možné dosáhnout celkového uspokojivého výsledku. Podobně to platí i u mnohých dalších aplikací popsaných např. ve [4] a [5]. Literatura: [] PANKRÁC, V.: Výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek (zasláno do Elektrorevue.6.009) [] PANKRÁC, V.: Počítačový program pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových cívek obecných rozměrů ve vzduchu. Dostupný z WWW: <http://www.elmag.org/ /doku.php/wiki:user:pankrac> [3] PANKRÁC, V.: Počítačový program pro výpočet vlastních indukčností cívek s malou hustotou závitů. Dostupný z WWW: <http://www.elmag.org/ /doku.php/wiki:user:pankrac> [4] PANKRÁC, V.: Základní druhy konstrukčního uspořádání tlumivek, Elektrorevue 009/, Dostupný z WWW: www.elektrorevue.cz [5] PANKRÁC, V.: Často používané aplikace tlumivek v silnoproudé elektrotechnice. (zasláno do Elektrorevue 30.3.009) [6] WHEELER, H.A.: Simple Inductance Formulas for Radio Coils, Proceedings of the IRE, Volume: 6, Oct. 98. 63-