3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

Transkript

1 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v obecném tvaru: Y = y ± U kde Y je skutečná hodnota výsledku zkoušky, y je výsledek zkoušky (hodnota zjištěná při zkoušce), U je celková/rozšířená nejistota. Celková/rozšířená nejistota je násobkem koeficientu rozšíření k a standardní kombinované nejistoty u c (y). Výpočtový model pro odhad standardní kombinované nejistoty u c (y) je funkcí standardních nejistot u(x i ) dílčích měřených proměnných veličin. Model pro odhad standardní kombinované nejistoty u c (y) obecně vychází z kovariačního zákona pro šíření nejistot; podle Model pro vyjádření výsledku zkoušky

2 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 2 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Vícenásobná funkční závislost matematického tvaru funkční závislosti pro vyjádření výsledku zkoušky lze uvažovat o následujících možnostech: 1. výsledek zkoušky y je vyjadřován dle obecné vícenásobné funkční závislosti, 2. výsledek zkoušky y je vyjadřován dle vícenásobné funkční závislosti aditivního charakteru, 3. výsledek zkoušky y je vyjadřován dle vícenásobné funkční závislosti multiplikativního charakteru, 4. výsledek zkoušky y je vyjadřován dle jednoduché funkční závislosti výsledek zkoušky je přímo měřenou veličinou. Výsledek zkoušky y je funkcí několika měřených veličin (obecně n měřených proměnných veličin x i ) a vyjadřuje se dle obecné vícenásobné funkční závislosti: y = f (x 1, x 2, x 3... x n ) Příklad: Oteplení při použití odporové metody ve C ( t) se vypočítá dle obecné vícenásobné funkční závislosti (ve vzorci jsou operace násobení a/nebo dělení a/nebo sčítaní a/nebo odečítání): R 2 R 1 t = (234,5 + t 1 ) (t 2 t 1 ) R 1 Stanovovanými proměnnými veličinami při stanovení oteplení při použití odporové metody jsou: t 1... je teplota okolí ve C, t 2... je povrchová teplota izolantů ve C, R 1... je odpor za studena ve, R 2... je odpor vinutí ve. Standardní kombinovaná nejistota u c (y) výsledku zkoušky y se stanovuje podle kovariačního zákona pro šíření nejistot:

3 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 3 n 2 n y y y u c (y) u(x i ) + s(x, ij) i=1 x i i,j=1 x i x j nebo při vzájemné nezávislosti měřených proměnných veličin podle Gaussova zákona pro šíření nejistot: y 2 y y 2 u c (y) u 2 (x i ) + u 2 (x 2 ) u 2 (x n ) x 1 x 2 x n kde: y je označení funkce pro vyjádření výsledku zkoušky, u(x i ) jsou standardní nejistoty jednotlivých měřených veličin x i, y/ x i jsou parciální derivace funkce pro vyjádření výsledku zkoušky podle jednotlivých měřených veličin (citlivost). Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné hodnoty výsledku zkoušky Y. Příklad: Standardní kombinovaná nejistota hodnoty oteplení při použití odporové metody ve C( t) se musí odhadovat podle kovariačního zákona pro šíření nejistot nebo při nezávislosti měřených proměnných veličin podle Gaussova zákona: t 2 t 2 t 2 t 2 u c ( y) u 2 (R i ) + u 2 (R 2 ) + u 2 (t 1 ) + u 2 (t 2 ) R 1 R 2 t 1 t 2 Výsledek zkoušky y je funkcí několika měřených veličin (obecně n měřených proměnných veličin x i ) a vyjadřuje se dle funkční závislosti aditivního charakteru: Funkční závislost aditivního charakteru

4 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 4 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ y = f (x 1 + x 2 x x n ) Příklad: Oteplení při měření povrchových teplot ve C ( t) se vypočítá dle obecné vícenásobné funkční závislosti aditivního charakteru (ve vzorci jsou operace sčítaní a/nebo odečítání): t = t 2 + x 1 Stanovovanými proměnnými veličinami při stanovení oteplení při měření povrchových teplot jsou: t 1... je teplota okolí ve C, t 2... je povrchová teplota izolantů ve C. Standardní kombinovaná nejistota u c (y) výsledku zkoušky y se může stanovit podle kovariačního zákona pro šíření nejistot, při vzájemné nezávislosti měřených proměnných veličin pak podle Gaussova zákona. Pro aditivní charakter vícenásobné funkční závislosti lze použít i upravený vztah: u c (y) p u 2 (x 1 ) + u 2 (x 2 ) + u 2 ( x 3 ) u 2 (x n ) kde: y je označení funkce pro vyjádření výsledku zkoušky, u(x i ) jsou standardní nejistoty jednotlivých měřených proměnných veličin x i. Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné hodnoty výsledku zkoušky Y. Příklad: Standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky oteplení při měření povrchových teplot ve C ( t) se může odhadnout podle kovariačního zákona pro šíření nejistot nebo při nezávislosti měřených proměnných veličin podle Gaussova zákona. Odhad standardní kombinované nejistoty lze provést i dle vztahu:

5 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 5 u c ( t) u 2 (t 2 ) + u 2 (t 1 ) Výsledek zkoušky y je funkcí několika měřených veličin (obecně n měřených proměnných veličin x i ) a vyjadřuje se dle funkční závislosti multiplikativního charakteru: y = f (x 1 x 2 / x x n ) Příklad: Pevnost v tlaku zkušebních betonových těles (f c )sevypočítá dle funkční závislosti multiplikativního charakteru (ve vzorci jsou pouze operace násobení a/nebo dělení): F F f c = = a b A c Stanovovanými proměnnými veličinami při stanovení pevnosti v tlaku zkušebního tělesa jsou: F... je maximální zatížení při porušení zkušebního tělesa v N, a, b... jsou strany krychle zkušebního tělesa v mm. Standardní kombinovaná nejistota u c (y) výsledku zkoušky y se může stanovit podle kovariačního zákona pro šíření nejistot, při vzájemné nezávislosti měřených proměnných veličin pak podle Gaussova zákona. Pro multiplikativní charakter vícenásobné funkční závislosti lze použít i upravený vztah: Funkční závislost multiplikativního charakteru u(x 1 ) 2 u(x 2 ) 2 2 u(x u n c (y) y x 1 x 2 x n kde: y je označení funkce pro vyjádření výsledku zkoušky, u(x i )/x i jsou relativní standardní nejistoty jednotlivých měřených veličin x i.

6 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 6 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné hodnoty výsledku zkoušky Y. Příklad: Standardní kombinovanou nejistotu hodnoty pevnosti v tlaku zkušebních betonových těles u c (f c ) můžeme odhadovat podle vztahu: Jednoduchá funkční závislost u(f) 2 u(a) 2 u(a) 2 u c (f c ) f c + + F a b Výsledek zkoušky y je přímo měřenou veličinou; náhodná závislost: y = f (x) Příklad: Hodnota maximálního zatížení při porušení zkušebního tělesa F při zkoušce pevnosti v tlaku zkušebních betonových těles se přímo odečte ze stupnice zkušebního stroje (lisu) jako měřená proměnná veličina. Hodnota maximálního zatížení při porušení zkušebního tělesa je přímo stanovovanou veličinou. Standardní kombinovaná nejistota u c (y) výsledku zkoušky y se určuje dle vztahu: u c (y) u 2 1 (x) + u 2 2 (x ) + u 2 3 ( x) u 2 n(x) kde: y je označení funkce pro vyjádření výsledku zkoušky, u i (x) jsou dílčí složky standardní nejistoty měřené veličiny x. Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné hodnoty výsledku zkoušky Y.

7 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Hodnota výsledku zkoušky se udává na stejný počet míst jako hodnota nejistoty tak, aby nejnižší desečást 3, díl 8, kapitola 4, str. 7 Příklad: Standardní kombinovanou nejistotu hodnoty pevnosti v tlaku zkušebních betonových těles u c (f c ) můžeme odhadovat podle vztahu: u c (F) u 2 1 (F) + u 2 2 (F ) + u 2 3 ( F) kde: u i (F) jsou dílčí složky standardní nejistoty vyjadřující nepřesnosti při odečtu hodnoty (nepřesnost použitého zkušebního stroje, nepřesnosti vznikající z náhodných vlivů atd.). Zásady pro prezentaci výsledků a nejistot Nejistota výsledku zkoušky (celková, rozšířená) se vyjadřuje jako oboustranný interval v absolutní podobě nebo v podobě relativní. Oba způsoby vyjadřování jsou rovnocenné. Pro vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky se nedoporučuje používat symbol ±, tento symbol se používá pro vyjádření s vyšší úrovní spolehlivosti. Nejistota výsledku zkoušky se udává na dvě platná místa (dvouciferným číslem), přičemž adekvátní je i údaj na jedno platné místo. Údaj nejistoty na dvě platná místa se používá při přesných stanoveních a tehdy, kdy by v jednočíselném údaji vystupovaly číslice 1, 2 nebo 3. Hodnoty nejistot počítané v průběhu kvantifikace dílčích složek na více míst se na jedno nebo dvě platná místa zaokrouhlují vždy nahoru. Prezentace výsledku a nejistoty

8 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 8 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Významné anevýznamné složky nejistoty tinné místo bylo stejné jako nejnižší desetinné místo údaje nejistoty. Údaj výsledku zkoušky se zaokrouhluje nahoru nebo dolů podle toho, která hodnota je bližší. Pravidla zaokrouhlování se týkají konečného výsledku a jeho nejistoty. Hodnoty dílčích výsledků a hodnoty dílčích složek nejistoty odečítané nebo měřené v průběhu měření se zaokrouhlují o jeden až dva desetinné řády níže. Nejistota je veličina, proto musí být její součástí vždy jednotka. I nejistota vyjádřená v relativní formě v procentech má jednotku shodnou s jednotkou vlastního výsledku zkoušky (nejistota vyjádřená v relativní formě udává hodnotu nejistoty jako procentuální část z výsledku zkoušky). Příklady uvádění výsledků zkoušek: 1. Naměřené napětí je 15,12 V, celková nejistota je U= 0,05 V. 2. Naměřené napětí je (15,12 ± 0,05) V. 3. Naměřené napětí je 15,12 V s celkovou nejistotou 1,0 %. Standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky se vyjadřuje dle kovariačního zákona pro šíření nejistot nebo při vzájemné nezávislosti měřených veličin dle Gaussova zákona pro šíření nejistot: y 2 y y 2 u c (y) u 2 (x i ) + u 2 (x 2 ) u 2 (x 3 ) x 1 x 2 x 3 Při stanovení vztahu pro vyjádření standardní nejistoty jedné měřené proměnné veličiny se vychází

9 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 9 z Gaussova zákona pro x i = x 1, a tedy vztah pro odhad standardní nejistoty měřené veličiny (výsledku měření) je dán vztahem: u(x 1 ) u 2 1 (x 1 ) + u 2 2 (x 1 ) u 2 n( x 1 ) kde: x 1 je označení funkce pro vyjádření výsledku měření, u i (x 1 ) jsou dílčí složky standardní nejistoty měřené veličiny x 1. Dílčí složky standardní nejistoty vyjadřují příspěvky ke standardní nejistotě vznikající z různých nepřesností v procesu měření. Tyto příspěvky mohou vznikat například z náhodných efektů nebo příspěvky vznikající z nepřesnosti používaného měřicího/zkušebního zařízení nebo příspěvky vznikající z nepřesnosti použité měřicí metody atd. Ne všechny složky musí mít/mají výrazný vliv na standardní nejistotu měřené veličiny. Příspěvky z jednotlivých zdrojů se člení dle své velikosti na příspěvky významné (dominantní) a příspěvky nevýznamné (zanedbatelné). Významné příspěvky/složky se převážně podílejí velkou mírou na nejistotě výsledku měření a musí se vyhodnocovat samostatně. Nevýznamné složky lze vynechat nebo je vyhodnocovat kumulovaně. Kritérium pro rozdělení na složky významné a nevýznamné: Jako složka nevýznamná se bere složka, která není větší než jedna třetina složky největší. (zdroj EURACHEM) Jako složka nevýznamná se bere složka, která není větší než jedna pětina složky největší. (zdroj EA)

10 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 10 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Při podrobnější analýze je zřejmé, že jako kritérium pro rozdělení na složky významné a nevýznamné je dostačující první pravidlo (zdroj EURACHEM): u(x 1 ) u 2 1 (x 1 ) + u 2 2 (x 1 ) + u 2 3 (x 1 ) + u 2 n(x 1 ) = 0, , , ,8 2 = = 0,09 + 1,21 + 0,81 + 0,64 Dílčí složka u 1 (x 1 ) standardní nejistoty u(x 1 ) je vyhodnocena jako nevýznamný příspěvek. Odhad nejistoty při stanovení hmotnosti 1. Postup zkoušky/stanovení Hmotnost tělesa je přímo stanovovanou proměnnou veličinou; matematicky lze vztah pro stanovení hmotnosti popsat jednoduchou funkční závislostí s jednou proměnnou, a to hmotnost m. y = f (m) 2. Odhad standardní kombinované nejistoty Standardní kombinovaná nejistota hodnoty hmotnosti jako výsledek zkoušky/měření může být odhadována podle Gaussova zákona pro jednu měřenou proměnnou veličinu: u c (m) = u(m) u 2 1 (m) + u 2 2 (m ) u 2 n(m) kde u c (m) (= u(m)) je standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky (= standardní nejistota výsledku měření), tedy hodnoty hmotnosti m, u i (m) jsou dílčí složky standardní nejistoty (standardní kombinované nejistoty) hodnoty hmotnosti.

11 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z nepřesnosti při odečítání hodnoty u 2 (m) je dána omečást 3, díl 8, kapitola 4, str. 11 Standardní nejistota údaje hmotnosti jako výsledku zkoušky/měření může pocházet například z následujících zdrojů tzv. dílčí složky standardní nejistoty (standardní kombinované nejistoty) hodnoty hmotnosti (výčet níže uvedených dílčích složek nemusí být úplný): u 1 (m) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z kalibrace vah, u 2 (m) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z nepřesností při odečítání hodnoty/omezené rozlišení displeje nebo stupnice váhy, u 3 (m) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými váženími, u 4 (m) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z denního driftu váhy. Vztah (1) pro odhad standardní kombinované nejistoty (= standardní nejistoty) výsledku zkoušky/hodnoty hmotnosti bude mít tedy tvar: u c (m) = u(m) u 2 1 (m) + u 2 2 (m ) + u 2 3 ( m) + u 2 4 (m) 3. Odhad standardní nejistoty Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z kalibrace vah u 1 (m) je dána omezenou správností kalibrace váhy. Údaj je udáván v kalibračním listě nejčastěji jako celková (rozšířená) nejistota U m pro úroveň spolehlivosti přibližně 95 %. Převod na směrodatnou odchylku je třeba provést dle vztahu: U m u1 (m) = 2

12 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 12 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ zenou rozlišitelností displeje nebo stupnice vah. Rozlišitelnost displeje nebo stupnice váhy je dána dílkem stupnice e. Převod na směrodatnou odchylku při uvažovaném rovnoměrném rozdělení je třeba provést dle vztahu: kde E u 2 (m) = 3 E je 0,5 posledního platného místa (E = e/2). Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými váženími u 3 (m) je dána různými vlivy a charakterizuje vliv náhodných příčin na proměnlivost opakovaných výsledků. Složka standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými váženími je odhadována směrodatnou odchylkou výběrového souboru pro výsledky opakovaných vážení vzorku nebo kontrolních vážení: (m i m) 2 i=1 u 3 (m) = n 1 Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z denního driftu u 4 (m) je dána dlouhodobým vlivem různých faktorů na správnost váhy (vyjadřuje náhodnou proměnlivost hodnot v dlouhodobém časovém období). Složka standardní nejistoty pocházející z denního driftu je odhadována směrodatnou odchylkou výběrového souboru pro výsledky dlouhodobých kontrol vážení: (m i m) 2 i=1 u 4 (m) = n 1 n n

13 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 13 Poznámka: Vztah u 3 (m) pro odhad složky standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými váženími má charakter směrodatné odchylky opakovatelnosti, vztah u 4 (m) pro odhad složky nejistoty pocházející z denního driftu má charakter směrodatné odchylky reprodukovatelnosti. 4. Odhad rozšířené nejistoty Rozšířená (celková) nejistota U hodnoty hmotnosti jako výsledku zkoušky/měření je dána vztahem: U = k u c (m) kde k je koeficient rozšíření, u c (m) je standardní kombinovaná nejistota (= standardní nejistota) změřené hodnoty hmotnosti. Koeficient rozšíření k = 2 odpovídá úrovni spolehlivosti přibližně 95 %. Odhad nejistoty při měření délky 1. Postup zkoušky/stanovení Délka jako rozměrová veličina je přímo stanovovanou proměnnou veličinou (stanovení hodnoty je provedeno posuvným měřidlem); matematicky lze vztah pro stanovení délky popsat jednoduchou funkční závislostí s jednou proměnnou, a to délka l. y = f (l) Poznámka: Hodnota skutečné délky L je odhadována ze změřené hodnoty délky l jako výsledku zkoušky/měření na základě vztahu: L = l(1 + T) = l + (l T)

14 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 14 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ kde je koeficient teplotní roztažnosti, T je možný teplotní rozsah. 2. Odhad standardní kombinované nejistoty Standardní kombinovaná nejistota hodnoty délky jako výsledek zkoušky/měření může být odhadována podle Gaussova zákona pro jednu měřenou proměnnou veličinu: kde u c (l) u c (l) = u(l) u 2 1 (l) + u 2 2 (l) u 2 n(l) u i (l) (= u(l)) je standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky (= standardní nejistota výsledku měření), tedy hodnoty délky l, jsou dílčí složky standardní nejistoty (standardní kombinované nejistoty) hodnoty délky. Standardní nejistota údaje délky jako výsledku zkoušky/měření může pocházet například z následujících zdrojů tzv. dílčí složky standardní nejistoty (standardní kombinované nejistoty) hodnoty délky (výčet níže uvedených dílčích složek nemusí být úplný): u 1 (l) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z kalibrace posuvného měřidla, u 2 (l) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z nepřesností při odečítání hodnoty/omezené rozlišení displeje nebo stupnice posuvného měřidla, u 3 (l) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými měřeními, u 4 (l) by mohla být dílčí složka standardní nejistoty pocházející z rozdílných teplot kalibrace posuvného měřidla ve srovnání s teplotou měření.

15 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými měřeními délky u 3 (l) je dána různými vlivy a charakterizuje vliv náhodných příčin na proměnlivost opakovaných výsledků. Složka standardní nejistoty pocházející z přirozené variability mezi jednotlivými měřeními je odčást 3, díl 8, kapitola 4, str. 15 Vztah (2) pro odhad standardní kombinované nejistoty (= standardní nejistoty) výsledku zkoušky/hodnoty délky bude mít tedy tvar: u c (l) = u(l) u 2 1 (l) + u 2 2 (l ) + u 2 3 ( l) + u 2 4 (l) 3. Odhad standardní nejistoty Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z kalibrace posuvného měřidla u 1 (l) je dána omezenou správností kalibrace posuvného měřidla. Údaj je udáván v kalibračním listě nejčastěji jako celková (rozšířená) nejistota U l pro úroveň spolehlivosti přibližně 95 %. Převod na směrodatnou odchylku je třeba provést dle vztahu: U l u1 (l) = 2 Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z nepřesnosti při odečítání hodnoty u 2 (l) je dána omezenou rozlišitelností displeje nebo stupnice posuvného měřidla. Rozlišitelnost displeje nebo stupnice posuvného měřidla je dána dílkem stupnice e. Převod na směrodatnou odchylku při uvažovaném rovnoměrném rozdělení je třeba provést dle vztahu: E u 2 (l) = 3 kde E je 0,5 posledního platného místa (E = e/2).

16 část 3, díl 8, kapitola 4, str. 16 PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ hadována směrodatnou odchylkou výběrového souboru pro výsledky opakovaných měření vzorku nebo kontrolních měření: (l i l ) 2 i=1 u 3 (l) = n 1 Dílčí složka standardní nejistoty pocházející z rozdílných teplot kalibrace posuvného měřidla ve srovnání s teplotou měření u 4 (l) je dána rozdílností podmínek při vlastní kalibraci posuvného měřidla a vlastním měřením. Složka standardní nejistoty pocházející z rozdílných teplot kalibrace posuvného měřidla ve srovnání s teplotou měření je odhadována pro hodnotu délky l a koeficient teplotní roztažnosti a za předpokladu rovnoměrného rozdělení změn teploty ± T dle vztahu: l T u 4 (l) = 3 n 4. Odhad rozšířené nejistoty Rozšířená (celková) nejistota U hodnoty délky jako výsledku zkoušky/měření je dána vztahem: U = k u c (l) kde k je koeficient rozšíření, u c (l) je standardní kombinovaná nejistota (= standardní nejistota) změřené hodnoty délky. Koeficient rozšíření k = 2 odpovídá úrovni spolehlivosti přibližně 95 %.