Normální formy. (provizorní text)

Podobné dokumenty
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Základy logiky a teorie množin

Výroková a predikátová logika - II

Výroková logika - opakování

Formální systém výrokové logiky

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Základní pojmy matematické logiky

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Klasická výroková logika - tabulková metoda

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

přednáška 2 Marie Duží

1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. prvního řádu

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Logika Libor Barto. Výroková logika

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, Varnsdorf, IČO: tel Číslo projektu

Kapitola Výroky

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Sémantika predikátové logiky

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

Výroková logika: splnitelnost, vyplývání, tautologie, úsudky. Splnitelnost. 1. Ověřte splnitelnost množiny formulí

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Marie Duží

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.

Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

7 Jemný úvod do Logiky

Výroková logika. p, q, r...

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky

Predikátová logika (logika predikátů)

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

2.2 Sémantika predikátové logiky

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

1 Výrok a jeho negace

Cvičení z logiky II.

Výroková a predikátová logika - III

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou

Predikátová logika [Predicate logic]

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků

Matematická analýza 1

1. Matematická logika

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

1 Úvod do matematické logiky

M - Výroková logika VARIACE

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Úvod do výrokové a predikátové logiky

Aplikace: Znalostní báze

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,...

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této

1. Matematická logika

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výroková a predikátová logika - IV

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...

3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Výroková a predikátová logika - VII

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

Logika a logické programování

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Výroková logika syntaxe a sémantika

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

Úvod do logiky (VL): 7. Ekvivalentní transformace

( ) ( ) Negace složených výroků II. Předpoklady:

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

Přijímací zkouška - matematika

Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu

Transkript:

Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule, potom i,,, a jsou formule. Jinak formule nevznikají. Pravdivostní ohodnocení V je zobrazení výrokových proměnných do dvoubodové množiny obsahující pravdu a nepravdu, tj. 1 a 0. Ke každé spojce je přiřazena tabulka vyjadřující, za kterých pravdivostních ohodnoceních je složená formule pravdivá. Stručně řečeno: V( ) = min ( V( ), V( )) 0 < 1 V( ) = max (V( ), V( )) V( ) = 1 - V( ) a V( ) = 1 právě když V( ) je menší nebo rovno V( ). V( ) = 1 právě když V( ) = V( ). Formule a jsou sémanticky ekvivalentní (píšeme ), jestliže pro každé pravdivostní ohodnocení V platí: V( ) = V( ). Tvrzení. Platí následující ekvivalence 1. 2. 3. 4. ( ) ( ) 5. ( ) ( ) 6. ( ) ( ) ( ) 7. ( ) ( ) ( ) 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10. de Morganova pravidla : ( ) 11. ( ) 12. specielně: [( ) ( ) ] ( ) ( ) 13. : [( ) ( ) ] ( ) ( ) 14. ( ) 15. ( ) 16. ( ) 17. ( ) 18. Definice. Formule je tautologie, jestliže je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Formule je sporná, jestliže je nepravdivá při každém

pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Formule je splnitelná, jestliže není sporná (alespoň v jednom pravdivostním ohodnocení svých proměnných je pravdivá). Př. Formule p p, p p, p q p, ( p (p q) ) p jsou tautologie. Formule p p q, (p q) (q p), p q q, (p q) (p r q) jsou tzv. formule faktuální, které nejsou ani tautologie ani formule sporné. Neboť p p q je pravdivá pro pravdivostní ohodnocení 1,1 a není pravdivá pro 1,0. Podobně (p q) (q p) je pravdivá pro 1,1 a není pro 0,1; p q q je pravdivá pro 1,1 a není pro 1,0; (p q) (p r q) je pravdivá pro 1,1,1 a není pro 1,1,0 apod. Formule p p, (p (p q)) jsou formule sporné. Definice. Fundamentální konjunkce je konjunkce z výrokových proměnných nebo jejich negací. Fundamentální disjunkce je disjunkce z výrokových proměnných nebo jejich negací. Konjunkce fundamentálních disjunkcí (KFD) a disjunkce fundamentálních konjunkcí (DFK) jsou formule, ve kterých se negace vyskytuje pouze u výrokových proměnných. Tvrzení. Každá formule je ekvivalentní KFD a DFK: Důkaz. Ukázkou jednoho příkladu: Nechť (p q) ( q r) p (q r), tj. i jsou ve tvaru DFK. Ukážeme, že pak i, a lze ekvivalentně převést na DFK. (p q) ( q r) p (q r) [(p q) ( q r) ] [p (q r) ] ((p q) p) (p q) (q r) ) ( ( q r) p) ( ( q r) (q r) ) (p q) (p q r) (p d q r) [(p q) ( q r) ] ( p q) (q r) ( p q) ( p q) ( q q) ( q r) ( p q) ( p q) ( q r) Definice. Elementární disjunkce ED (konjunkce EK) je fundamentální disjunkce (konjunkce) (tj. disjunkce (konjunkce) z výrokových proměnných nebo jejich negací), ve které se každá výroková proměnná může vyskytovat pouze v jednom tvaru, tj, buď pouze pozitivně nebo pouze negativně. KED se nazývá konjunktivní normální forma a DEK se nazývá disjunktivní normální forma. Tvrzení. Jestliže formule je ve tvaru FD, která není ED, pak je tautologií. Jestliže formule je ve tvaru FK, která není EK, pak je sporná. Důkaz. Zřejmé, neboť disjunkce, která obsahuje nějakou výrokovou proměnnou a zároveň její negaci, je splněna vždy. p q q : buď je pravdivé q nebo q. Podobně: konjunkce, která obsahuje nějakou výrokovou proměnnou a zároveň její negaci, není splněna nikdy: p q r p: nemůže být zároveň pravda p i p. Tvrzení. Formule ve tvaru EK vždycky splněna. Formule ve tvaru ED není nikdy tautologie.

Důkaz. Nechť je ve tvaru EK. Potom obsahuje každou výrokovou proměnnou pouze jednou, tj. existuje pravdivostní ohodnocení V tak, že V( ) = 1: V(p) = 1 pokud p je v a V (p) = 0 pokud p je v. Př. p q r, pak pak V( ) = 1 pro 1,0,1 Nechť je ve tvaru ED. Jestliže V(p) = 0 pokud p je ve a V(p) = 1 pokud p je ve, pak V( ) = 0. Př. Nechť p q r. Pak V( ) = 0 pro 0,0,1. Tvrzení. DEK je vždycky splněna. KED není nikdy sporná. Chceme-li poznat, zda je formule tautologií, pak ji převedeme na KFD. Pokud žádná z disjunkcí nebude elementární, pak je tautologií. Pokud alespoň jedna disjunkce bude elementární, pak existuje pravdivostní ohodnocení, při kterém je formule nepravdivá, tudíž není tautologií. Př. (p q) ( q p) (p q) ( q p) (p q) q p (p q p) ( q q p) tudíž je tautologie. (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) q p (p q p) ( q q p) (p q), což je ED, tudíž formule není tautologií. Tudíž formule, které jsou splnitelné, tj. nejsou sporné, se dají převést na DEK. Formule sporná se nedá převést na DEK (ale dá se převést na KED). Formule, které nejsou tautologie, se dají převést na KED. Tautologie se nedají převést na KED (ale dají se převést na DEK). Proč se tolik normálními formami zabýváme? Nejjednodušší databáze obsahuje objekty a jejich vlastnosti. Základní dotazy ve tvaru: Učí matematiku (M) neučí matematiku ( M), jmenuje se Jana (J) nejmenuje se Jana ( J), je starší 25 let (V>25) nebo není starší 25 let (V 25 rozuměj menší nebo rovno) můžeme chápat jako ohodnocení výrokových proměnných a jejich negací. Dále databáze obsahují konjunkce a disjunkce konjunkcí: Jmenuje se Jana a je starší 25 let a studuje matematiku nebo jmenuje se Lucie a je starší 25 let a nestuduje matematiku: (J V>25 M) (L V>25 M) a pod. Mnohé databáze nemají negace jinde než u základních výroků a většinou neobsahují implikaci. Proto se učíme disjunktivní normální formy, protože to je často jediný způsob, jak je možno správně položit dotaz databázi. Některé vyřešené příklady z minulých písemných prací. (q ( p q)) (p r) (q p) ( q q) ( p r) (q p) ( p r) DEK (q p) ( q r) ( p p) ( p r) (q p) ( q r) p ( p r) (q r) p nebo? disjunkce (q p), ( p r) obsahují p (viz 15). q ( p q)) (p r) (q p) (q q) ( p r) (q p) p r

p r, což je DEK i KED (q (p r)) (p q) ( q ( p r) ) ( p q) (q p r) p q p q, což je op?t DEK i KED ((q p r) je delší než p). ( q p) ( (p r) q) (q p) (( p r) q) q p ( p r ) q q p což je KED i DEK ( q ( p r)) (p q) q (p r) ( p q) DEK (q p p) (q p q) (q r p) (q r q) q r p KED apod. 1) Vaše databáze obsahuje mj. názvy Skladatel, Druh skladby, Dirigent. Vyberte do I.skupiny všechny skladby skladatele A; pokud jsou to ovšem opery, pak dirigované panem L. Do II.skupiny vyberte skladby pana A, které nejsou v I. skupin?. I. A (O L) A ( O L) ( A O) (A L) slovy: Chceme skladby pana A a to bu? ty, které nejsou opery a ty m?že dirigovat kdokoli anebo dirigované panem L ten m?že dirigovat všechny skladby, i opery. II. A (A (O L) ) A ( A (O L)) A O L. slovy: do druhé skupiny dáme opery pana A dirigované n?kým jiným než panem L. Vaše databáze u?itel? jedné st?ední školy obsahuje mj. názvy?eština, Výtvarná výchova, Hudební výchova, D?jepis, Zem?pis. Vyberte do I.skupiny všechny u?itele, kte?í u?í?eštinu a výtvarnou nebo hudební výchovu a u?itele, kte?í u?í d?jepis a zem?pis. Do II.skupiny vyberte všechny u?itele?eštiny, kte?í nejsou v I. skupin?. V obou p?ípadech napište DEK! I.? (V H) (D Z) (? V) (? H) ( D Z) II. Č ((? V) (? H) ( D Z) )? ( (? V) (? H) ( D Z) (??? D) (??? Z) (?? H D) (?? H Z) (? V? D) (? V? Z) (? V H D) (? V H Z) (? V H D) (? V H Z) Vaše databáze u?itel? jedné st?ední školy obsahuje mj. názvy Matematika, Fyzika, Chemie, T?ída. Vyberte do I.skupiny všechny u?itele, kte?í u?í matematiku a fyziku a zárove? u?í v oktáv? a u?itele matematiky, kte?í u?í také chemii. Do II.skupiny vyberte všechny u?itele matematiky, kte?í nejsou v I. skupin? I. (M F O) (M Ch) II. M ((M F O) (M Ch)) M ( M F O) ( M Ch) ) (M M M) (M M Ch) (M F M) (M F Ch) (M O M) (M O Ch) (M F Ch) (M O Ch)

3) Vaše databáze obsahuje mj.názvy Spisovatel, Rok vydání, Druh. Do I. skupiny vyberte všechny knihy pana G, ale pokud vyšly p?ed rokem 1945, tak pouze povídky. Do II.skupiny vyberte knihy pana G, které nejsou v I.skupin?. I. G (R< 45 P) G ( R<45 P) (G R>45) (G P) II. G ( G (R< 45 P) ) G ( G (R<45 P) ) G R<45 P pozn.: místo > piš větší nebo rovno Jak zjistíte v databázi školy (o jednotlivých učitelích je zadáno, co učí a co neučí), že v dané škole platí nebo neplatí tvrzení Kdo učí matematiku a fyziku, neučí chemii ani češtinu? Poznámka. Databáze umí zjistit, které objekty splňují disjunkci elementárních konjunkcí. Návod: Ověřujte negaci tvrzení! ( x) [ ((M(x) F(x) ) ( Ch(x) Č(x)) ] negace tvrzení. ( x) [ ((M(x) F(x) ) ( Ch(x) Č(x)) ] ( x) [ ((M(x) F(x) ) ] ( x) [( M(x) F(x) ) ( Ch(x) Č(x)) ] ( x) [ M(x) F(x) ( Ch(x) Č(x) ) ] ( x) [(M(x) F(x) Ch(x) ) (M(x) F (x) Č(x))] tudíž, pokud se v databázi najde někdo, kdo splňuje závěrečnou disjunkci, tj. buď učí matematiku, fyziku a chemii nebo učí matematiku, fyziku a češtinu, pak není pravda, že je pravdivé původní tvrzení, tj. Kdo učí matematiku a fyziku, neučí chemii ani češtinu. Podobně další příklady, vždy je třeba správně negovat implikaci a převést na DEK.