Oceňování derivátů na elektřinu na energetických burzách. Pricing power derivatives on energy exchanges

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra ekonomie, manažerství a humanitních věd Oceňování derivátů na elektřinu na energetických burzách Pricing power derivatives on energy exchanges Diplomová práce Studijní program: Elektrotechnika, energetika a management Studijní obor: Ekonomie a řízení elektrotechniky Vedoucí práce: Prof. Ing. Oldřich Starý, CSc. Bc. Štěpán Kratochvíl Praha 2012

Prohlášení Prohlašuji, že jsem práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury. V Praze dne 12. 5. 2012.

Poděkování Tímto bych chtěl poděkovat panu Prof. Ing. Oldřichu Starému, CSc. za vedení v průběhu celé tvorby diplomové práce a cenné rady, které mě dovedly k úspěšnému splnění cílů diplomové práce. Dále bych chtěl poděkovat paní RNDr. Kateřině Staňkové Helisové, Ph.D. za konzultaci oceňovacích modelů a pomoc v oblasti algoritmů použitých k oceňování. Nakonec bych chtěl poděkovat mým rodičům za podporu během celého studia.

Abstrakt Vlivem rozvoje obchodu s elektřinou je potřeba se na toto odvětví více zaměřit. Deriváty již nejsou používány jen k zajišťovacím účelům, ale stále více slouží pro spekulování na vzrůst/pokles energetických trhů. Z těchto příčin vyvstala potřeba předvídat chování cen v budoucnosti a snaha predikovat data s co největší přesností. Metod popisujících vývoj ceny derivátů je spousta, avšak v mém případě jsem limitován charakteristickými vlastnostmi elektřiny jako neskladovatelnost, reálné balancování nabídky a poptávky a další. Proto se v mé práci zaměřím na 3 nejpoužívanější modely spotových cen a provedu analýzu přesnosti predikce v závislosti na vstupních datech. Klíčová slova: derivát na elektřinu, energetická burza, spotová cena, cena futures, Meanreversion model, Jump-diffusion model, Regime-switching model Abstract There is need to focus on electricity derivatives trading, because of expansion of this field. Derivatives are no longer used only for hedging purposes, but increasingly used for speculation to increase/decrease in energy markets. For those reasons, it was necessary to predict the behavior of prices in the future and attempt to predict the data with the best precision. Methods for describing the behavior of prices are many, but in my case I am limited by the characteristic features of electricity as inability to store electricity, real balancing supply and demand and others. Therefore, my work will focus on the three most widely used models of spot prices and I will analyze the accuracy of predictions based on input data. Keywords: derivative of electricity, energy exchange, spot price, futures price, Meanreversion model, Jump-Diffusion Model, Regime-switching model

Obsah 1. Úvod... 7 2. Liberalizace trhu s elektřinou... 8 3. Trhy s elektřinou... 10 3.1. Krátkodobé organizované trhy s elektřinou... 10 3.2. Dlouhodobé organizované trhy... 11 3.2.1. Typy kontraktů... 12 3.2.1.1. Futures... 12 3.2.1.2. Forwards... 12 3.2.1.3. Opce... 13 3.2.1.4. Contracts for Difference... 13 3.3. Neorganizované trhy s elektřinou... 13 3.4. Bilanční mechanizmus... 14 3.5. Mezinárodní obchod s elektřinou... 15 4. Energetické burzy... 17 4.1. PXE (Power Exchange Central Europe)... 17 4.2. EEX (European Energy Exchange)... 18 4.3. Skandinávská energetická burza... 19 4.4. Analýza korelace EEX a PXE... 20 5. Deriváty... 22 5.1. Oceňování derivátů... 22 5.1.1. Oceňování futures... 22 5.2. Užití derivátů... 24 6. Charakteristické vlastnosti elektřiny... 25 6.1. Sezónnost... 25 6.2. Volatilita... 25 6.3. Návrat ke střední hodnotě (Mean reversion)... 25 6.4. Skokové chování... 26 7. Modely pro oceňování derivátů... 27 7.1. Mean-reversion model... 28 7.2. Jump-diffusion model... 28 7.3. Regime-switching models... 29 7.3.1. Regime-switching model se dvěma nezávislými stavy... 29 7.3.2. Regime-switching model se třemi nezávislými stavy... 31

8. Volba dat... 32 9. Analýza dat... 33 10. Nastavení parametrů modelu... 35 10.1. Mean-reversion model... 35 10.2. Jump diffusion model... 36 10.3. Regime-switching model... 39 11. Aplikace modelů na reálných datech... 43 11.1. Mean-reversion model... 46 11.2. Jump-diffusion model... 49 11.3. Regime-switching model... 52 11.4. Shrnutí výsledků predikce... 55 12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny... 56 12.1. Výsledky Simulace Monte Carlo... 57 12.2. Metoda Klouzavého průměru... 59 12.3. Shrnutí výsledků výpočtu ceny futures... 61 13. Závěr... 62 14. Seznam literatury... 64 15. Seznam grafů a obrázků... 66 16. Seznam příloh... 67

1. Úvod 1. Úvod V této práci se pokusím predikovat cenu elektřiny pro rok 2010. Pro dosažení co největší přesnosti použiji 3 různé modely na různých vstupních datech. Nejprve nastíním proces liberalizace trhu a popíši jednotlivé trhy, rozdělení trhů na krátkodobé a dlouhodobé a kontrakty, se kterými se na trzích obchoduje. Dále se budu věnovat energetickým burzám a to hlavně EEX, PXE a NordPool. Popíši historii, produkty na těchto burzách obchodované a územní rozsah působnosti burz. Vzhledem ke geografické poloze účastníků burz PXE a EEX a vzájemné propojenosti tržních hospodářství analyzuji stupeň korelace těchto burz. Dále definuji pojem derivátu, způsoby oceňování a použití derivátů ve světě. Poté se zaměřím na charakteristické vlastnosti elektřiny a omezení obchodování s elektřinou vyplývající z těchto omezení. Na závěr teoretické části uvedu 3 oceňovací modely používané pro predikci cen elektrické energie, jejich výhody a nevýhody a rovnice popisující tyto modely. Tyto modely jsou Mean-reversion model, Jump-diffusion model a Regime-switching model. Dále, v rámci praktické části, uvedu vstupní data, která použiji pro kalibraci modelů a predikci dat. Vzhledem k odlišnému chování datového souboru v různých časových intervalech, se zaměřím na ekonomické pozadí v době vzniku dat a pokusím se optimalizovat datový soubor pro predikci. Potom ukážu postupy pro kalibraci parametrů modelů což jsou: střední hodnota, směrodatná odchylka, pravděpodobnost výskytu skoků (u Jump-diffusion modelu) a pravděpodobnostní matici přechodů (u Regime-switching modelu). Po kalibraci modelů uvedu výsledky predikce spotové ceny elektrické energie pro všechny 3 modely na různých datových kalibračních souborech. Na závěr statisticky vyhodnotím predikovaná data metodou průměrné odchylky a metodou obálek. Z těchto metod můžu vyvodit závěry o úspěšnosti predikce jednotlivých modelů a porovnat tyto výsledky s počátečními předpoklady. 7

2. Liberalizace trhu s elektřinou 2. Liberalizace trhu s elektřinou Do počátku 90. let byly dodávky elektrické energie zajišťované jednou společností. Tato společnost se starala o výrobu, přenos i distribuci elektrické energie. Dohled byl vykonáván státem, který řídil míru výnosnosti vynaložené investice a zabezpečoval investování do zařízení pro trvalou a spolehlivou dodávku energie. Zákazníkovi toto přinášelo jistotu spolehlivé dodávky energie, avšak nedobrovolně se musel podílet na investicích dané firmy (cena za elektřinu se odvíjela od finančního působení firmy). Proto na počátku 90. let bylo vyhověno požadavkům velkých odběratelů, požadujícím přístup k jiným energetickým podnikům, než ke svému dodavateli danému státem. Tím se přešlo od vertikálně integrovaného modelu energetiky k otevřenému trhu podporujícímu konkurenci. Přičemž složky přenos 1 a distribuce 2 nadále podléhají regulaci a výroba a spotřeba jsou tržně orientované. Tímto se vytvořil trh s konkurenčním prostředím, kde hlavní důraz koncového zákazníka je kladen na cenu silové elektřiny (MWh). Cena nyní není již určována státem, ale účastníky trhu. Proto důraz ze strany energetických společností je kladen na marketing a strategii odbytu. Základními účastníky trhu s elektřinou jsou: Výrobci Obchodníci s elektřinou Koncoví zákazníci 1 Vzájemně propojený soubor vedení a zařízení 400kV, 220kV a části vedení 110kV sloužící pro přenos elektřiny jak v rámci České republiky, tak pro propojení s elektrizačními soustavami okolních států. Přenosová soustava je zřizována a provozována ve veřejném zájmu. 2 Doprava elektřiny ke konečným odběratelům. Jedná se o propojený systém vedení 110kV, 35kV, 22kV, 10kV, 6kV, 3kV, 0,23kV, 0,4kV. Distribuční soustava je, stejně jako přenosová soustava, zřizována a provozována ve veřejném zájmu. 8

2. Liberalizace trhu s elektřinou Nejzajímavějším subjektem pro moji práci je obchodník s elektřinou. Tento subjekt vznikl po liberalizaci trhu. Je to fyzická, či právnická osoba s licencí pro obchodování s elektřinou (nákup elektřiny za účelem jejího prodeje). Se snahou o maximalizaci svého zisku jde ruku v ruce snaha predikovat vývoj poptávky a s ní cenový vývoj elektřiny. Při znalosti budoucího vývoje je snadné použít takové tržní prostředky, aby byl požadovaný zisk dosažen. Ovšem jak je snadné, či nesnadné budoucí vývoj predikovat ukážu v následující práci. 9

3. Trhy s elektřinou 3. Trhy s elektřinou Základní dělení můžu provést na trh maloobchodní a velkoobchodní. Tyto trhy jsou provázané a liší se počtem účastníků, velikostí zobchodovaných kontraktů a účastníky trhu. Zatímco na velkoobchodních trzích obchodují zejména obchodní subjekty mezi sebou, na maloobchodních trzích obchodují obchodní společnosti s koncovými zákazníky. Hlavní rysy optimálního modelu maloobchodního trhu s elektřinou jsou: Na trzích operuje dostatečný počet dodavatelů Účastníci trhu jsou obeznámeni s pravidly fungování trhu Všichni účastníci trhu mají stejný přístup ke kritickým informacím Je zaručena možnost změnit dodavatele, či se vrátit na regulovaný trh Propojenost s velkoobchodním trhem (cenové) Další dělení můžu provést na krátkodobé a dlouhodobé trhy. Podrobnosti budou nastíněny v další kapitole. 3.1. Krátkodobé organizované trhy s elektřinou Na těchto trzích se obchoduje se spotovými (aktuálními) cenami elektrické energie. Tento trh dále můžu rozdělit na: Denní trh: konkrétní den se obchoduje předchozí pracovní den Vnitrodenní trh: končí 10 minut před termínem realizace obchodu Jak již bylo nastíněno v předchozím dělení, na tomto trhu se obchoduje v rámci dnů nebo hodin, které představují nejmenší časový údaj pro obchod s elektřinou. Na tomto trhu se obchoduje pomocí aukcí, které se oproti klasickým aukcím trochu odlišují. Jelikož je elektřina neskladovatelná, tak je potřeba zachovat nepřetržitost dodávek, což vyžaduje opakovatelnost aukcí ve stanovených časových periodách. 10

3. Trhy s elektřinou Pro aukci je předpokládán více než jeden nabízející subjekt a dle počtu poptávajících subjektů jsou děleny na: Jednostranná aukce (nabídku stanoví dodavatelé a poptávka je stanovena dispečinkem) Dvoustranná aukce (nabídku stanoví dodavatelé a poptávku odběratelé) použito na denním trhu v ČR Bod, kde se nabídková a poptávková křivka protnou, se nazývá rovnovážným bodem 3 a stanovuje množství obchodované elektřiny a cenu, za kterou se bude tato elektřina obchodovat. 3.2. Dlouhodobé organizované trhy Tyto trhy jsou velice podobné finančním trhům. Kontrakty v době realizace mohou být nebo dokonce musí být finančně vypořádány. Kontrakty na těchto trzích uzavřené nejsou omezovány vlastnostmi přenosové sítě (přenosová kapacita), jelikož se většinou nepředpokládá fyzická dodávka elektřiny při realizaci kontraktu. Organizátorem dlouhodobého trhu s elektřinou je burza (PXE, NordPool, EEX ). Referenční cena elektřiny, k níž jsou kontrakty vyhodnocovány, je brána spotová cena. Základní parametry dlouhodobých trhů jsou: Časová perioda kontraktu: obvykle jsou kontrakty vypisovány jako týdenní, měsíční, kvartální a roční Předmět obchodování: o s dodávkou elektřiny 24 hodin denně v daném roce - base load o s dodávkou elektřiny 8. 20. hodina v pracovní den peak load 3 Jedná se o bod, kde je nabídka a poptávka v rovnováze (jsou si rovny množství/cena nabízeného a poptávaného zboží). 11

3. Trhy s elektřinou 3.2.1. Typy kontraktů Nejčastější typy kontraktů na dlouhodobých trzích jsou: futures forwards opce contracts for difference (CfD) Všechny kontrakty jsou převážně určeny ke spekulativnímu účelu, kde se jak prodávající, tak kupující snaží predikovat vývoj trhu, k tomu uzpůsobit své tržní operace a to tak, aby dosáhl co největšího zisku. Tyto kontrakty budou detailněji popsány v následujících kapitolách. 3.2.1.1. Futures Jedná se o kontrakt, kdy si kupující a prodávající strana dohodnou předávku určitého množství silové elektřiny, za předem danou cenu a v předem stanovený čas. Kupující se zavazuje, že v předem určený čas odebere určené množství elektřiny za danou cenu a naopak prodávající se zavazuje, že v daný čas dodá dané množství elektřiny. Situace obou stran je přesně opačná. To znamená, že jaký bude mít jedna strana zisk, takovou bude mít druhá strana ztrátu. Při reálném kontraktu je potřeba ještě zaplatit poplatky za burzovní obchody a bankovní operace. Množství elektřiny obsažené v jednom kontraktu bývá obvykle 1MW za hodinu 1MWh. (Pro denní futures typu base je to tedy 24MWh). Futures je každodenně oceňováno dle posledního realizovaného obchodu či posledních 3 obchodů, aby se zabránilo spekulacím. Do doby realizace se s kontraktem může obchodovat. 3.2.1.2. Forwards Tento kontrakt je velmi podobný kontraktu futures z minulé kapitoly. Opět platí, že kupující a prodávající si smluvně dohodou množství elektřiny, cenu, termín a periodu 12

3. Trhy s elektřinou dodávky. Rozdíl spočívá v tom, že u forwards se neprovádí každodenní zúčtování - k zúčtování dochází až při realizaci obchodu. 3.2.1.3. Opce Opce je právo kupujícího koupit elektřinu v předem stanoveném termínu, za předem dohodnutou cenu. Jestli bude toto právo uplatněno, záleží na volbě kupujícího opce. Za toto právo platí kupující prodávajícímu poplatek, kterému říkáme prémie. Toto je opce s označením call (kupní opce). Existuje i opce přesně opačná - put (právo na prodej elektřiny). Opce jsou poměrně méně používaný nástroj než předchozí nástroje. Každá opce má následující důležité parametry: realizační cena (strike price) cena, kterou jsme si při sjednání dohodli; doba expirace datum, kdy vyprší životnost opce; podkladové aktivum základ, od čehož se opce odvozuje (obvykle forwards, či futures). Opce je nástroj zajímavý tím, že maximální ztráta plynoucí z obchodu je opční prémie (v případě, že kupuji opci), ovšem zisky nejsou ničím omezeny (jsou stanoveny vývojem trhu). 3.2.1.4. Contracts for Difference Tyto kontrakty jsou používané pro vyrovnání rozdílu mezi cenami elektřiny v různých oblastech. Cenové rozdíly mohou být způsobeny technologickými omezeními v elektrizační soustavě. 3.3. Neorganizované trhy s elektřinou Obchoduje se zde s kontrakty, které si dva účastníci dohodnou mezi sebou. V souvislosti neorganizovaného trhu s elektřinou se hovoří jako o bilaterálním (dvoustranném) obchodu. Obchody se mohou sjednávat až do chvíle uzavření obchodu. Tento typ obchodování má výhody nižší ceny za transakční poplatky a dále větší volnost obchodu. Ovšem tyto výhody jsou vyváženy několika nevýhodami: 13

3. Trhy s elektřinou Neexistuje záruka finančního vypořádání (při organizovaných obchodech tuto záruku poskytuje burza) Potřeba najití vhodné protistrany (problém malého počtu účastníků) Časově i odborně složité uzavírání smluv Absence operativních cenových signálů Ve snaze eliminovat tyto nevýhody bylo při neorganizovaných obchodech přistoupeno k částečné standardizaci obchodů. V rámci Evropy se o standardizaci postarala EFET 4. Ve standardu je zahrnuto: Způsob plateb Obsah kontraktů Standardizace elektronické výměny dat Finanční vyrovnání Zdanění 3.4. Bilanční mechanizmus Tento mechanizmus zajišťuje vyrovnanou bilanci elektrizační soustavy v reálném čase. Stará se o bezproblémový provoz elektrizační soustavy s ohledem na technické omezení. Základní parametry elektrizační soustavy jsou: Skladba zdrojů Omezení v přenosové soustavě Propojení s okolními elektrizačními soustavami O bilanci se stará dispečink. Tento subjekt má jedinečné právo řídit elektrizační soustavu, ale zároveň je omezen v zúčastňování se jiných podnikatelských aktivit, hlavně podnikání v energetice. Bilanční mechanizmus značně ovlivňuje i obchodování na denním trhu. Dispečink každý den stanovuje poptávku na příští den, která může být rozdělená do jednotlivých obchodních 4 The European Federation of Energy Traders. Uskupení více než 100 společností z 23 evropských zemí zabývajících se obchodem s elektřinou. 14

3. Trhy s elektřinou hodin. V jednotlivých hodinách pak na základě nabídek dispečink připravuje aktivaci rezervní energie. Následně vyhodnocuje jednotlivé nabídky a v případě omezení některým nabídkám nevyhoví. Také musí posuzovat přiměřenost zdrojů a upravit jejich skladbu. Tato opatření se projeví ve spotové ceně. 3.5. Mezinárodní obchod s elektřinou Liberalizace trhů s elektřinou přinesla možnost volby dodavatele elektrické energie a to jak v rámci státu, tak i z okolních zemí. Zde se ovšem naráží na problémy dvojího rázu: Technologické problémy: Elektrizační soustava v jednotlivých státech byla vybudována za účelem zajištění spolehlivých dodávek elektrické energie uvnitř státu. S mezistátní přenosovou soustavou nebylo moc počítáno, proto má nižší kapacitu, než vnitrostátní. Odlišná pravidla burz: Každý stát, který obchoduje s elektřinou na burze, má svá vlastní pravidla burz, která se nemusí navzájem akceptovat. Proto byly zavedeny explicitní aukce, které udávají práva užití volných kapacit mezistátní přenosové soustavy. Tento systém funguje jako bilaterální (vícestranné) dohody mezi účastníky trhu. Ovšem tato aukce není propojena s aukcemi jednotlivých zúčastněných států. Pro odstranění tohoto a dalších nedostatků (konkurenceschopnost tržní ceny, dostupnost elektrické energie a bezpečnost dodávek) vznikají mezi některými účastníky trhu další dohody, které se nazývají implicitní aukce koupě elektřiny včetně potřebného příhraničního profilu v jednom kroku a na jednom místě. V souvislosti s těmito implicitními aukcemi rozlišujeme: Market Splitting Market Coupling Market Splitting je vyjádření pro jediné tržní místo společné pro všechny zainteresované země. Naopak Market Coupling je pro země, které mají svou vlastní nezávislou energetickou burzu/operátora trhu. Market Coupling je složitější, neboť každá burza má svá vlastní pravidla i finanční vypořádání. Lze jej rozdělit na: 15

3. Trhy s elektřinou price coupling (cenový): pro všechny obchodní místa (země) jsou odsouhlaseny ceny a obchodovatelné množství volume coupling (objemový): odsouhlasení pouze velikosti a směru obchodovaných toků Přínosy implicitních aukcí oproti explicitním můžu shrnout do pár bodů: lepší vytíženost mezistátních přenosových soustav zvýšení likvidity spotových trhů zamezení spekulacím při zneužití pohraničních profilů 16

4. Energetické burzy 4. Energetické burzy V Evropě existuje více energetických burz. Ty mohou vznikat v každém státě při splnění právních náležitostí. Mezi nejznámější evropské burzy patří: European Energy Exchange EEX Nord Pool Pro mou práci bude také zajímavá burza PXE, která sídlí a působí v České republice. Podrobnější informace o uvedených burzách budou uvedeny v následujících kapitolách. 4.1. PXE (Power Exchange Central Europe) Burza byla založena roku 2007 a původně se omezovala na obchody v České republice. V letech 2008 a 2009 se obchodování rozšířilo také na Slovensko a Maďarsko, proto dnes můžeme obchodovat ve všech těchto 3 zemích. Burza poskytuje anonymní obchodování se standardizovanými produkty se zajištěným vypořádáním. Vypořádání je dvojího typu a to: Finanční vypořádání pro Českou republiku Fyzická dodávka pro Českou republiku, Slovensko, Maďarsko Obchody neprobíhají v českých korunách, ale v eurech. Velikost dodávky je uváděna v MWh, přičemž nejmenší dodávka je 1 MWh. Pro zabezpečení rizika působí na burze zúčtovací banky a clearingový fond. Jejich přehled můžeme vidět v [19]. Zároveň je zajištěna garance dodávek (maržové požadavky na účastníky trhu). PXE je dceřinou společností Burzy cenných papírů Praha a je součástí skupiny CEE Stock Exchange Group (CEESEG). 17

4. Energetické burzy Produkty, které jsou obchodovatelné na této burze můžu rozdělit dle : Komoditní futures s finančním vypořádáním o Finanční vyrovnání cenových rozdílů předmětu obchodu po dobu životnosti kontraktu o Dělíme dle časového období vypsání kontraktu na roční, měsíční a čtvrtletní o Působnost v CZ o Kódová označení: y = rok (year), m = mounth (měsíc), d = den (day), BL = celodenní dodávka (base load), PL = dodávka ve špičce (peak load). Produkty mohou být jak pro PL tak pro BL dále uvedeno jen BL.: F PXE CZ BLdyymmdd pro nejbližší 2 pracovní dny F PXE CZ BL Mmm-yy pro nejbližších 6 měsíců F PXE CZ CAL-yy pro nejbližší 3 roky Komoditní futures s fyzickým vypořádáním o Dodání/zaplacení určitého počtu MWh po dobu životnosti kontraktu o Dělíme dle časového období vypsání kontraktu na roční, měsíční a čtvrtletní o Působnost CZ, SK, HU o Kódová označení: Stejné jako v minulém bodě ovšem produkty jsou vypisovány pro všechny 3 země tedy označení CZ lze nahradit HU, nebo SK. Poslední odlišnost je v nahrazení znaku F (financial) znakem P (physical). Spotové kontrakty o Dodání/zaplacení určitého počtu MWh pro konkrétní dodávkový den o Podle doby dělíme a denní a hodinové o Působnost v CZ a HU 4.2. EEX (European Energy Exchange) Tato evropská energetická burza byla založena v roce 2002 v Lipsku. Vznikla spojením energetických burz ve Frankfurtu a v Lipsku. V roce 2006 byla založená clearingová banka (clearing house) European Commodity Clearing AG (ECC), která umožnila další expanzi této burzy. EEX je integrována s francouzskou burzou Powernext SA a vlastní 50% společnosti EPEX SPOT SE, která operuje na spotovém trhu v Německu, Francii, Rakousku a Švýcarsku. 18

4. Energetické burzy Na burze EEX tedy obchodují uživatelé jak z Německa, tak z Francie. Obchoduje se zde s kontrakty typu futures a s opcemi. U futures kontraktů se rozlišují dodávky peak a base load. Dle časového rozdělení se rozlišují dodávky týdenní, měsíční, čtvrtletní a roční a to jak pro německý, tak pro francouzský trh. Pro německý trh se tento kontrakt nazývá Phelix futures a pro francouzský French futures. Opce jsou obchodované pouze v base load při měsíčních, čtvrtletních a ročních dodávkách. Oproti PXE je tato burza mnohem větší, jak do počtu účastníků (PXE 44 účastníků, EEX 172 účastníků), tak do počtu zobchodované elektřiny (PXE 24,39 TWh, EEX 1208,3 TWh) (pozn. údaj z roku 2010). 4.3. Skandinávská energetická burza Tato energetická burza vznikla v roce 1995 s působností v Norsku pod názvem Statnett Marked AS. V roce 1996 se spojila se Švédskem a vznikla burza pod jménem Nord Pool. V roce 1998 se k burze připojilo Finsko a působnost burzy se rozrostla i o tuto zemi. Poslední země, Dánsko, se připojila v roce 2000 a tím vznikla energetická burza s působností ve všech těchto 4 zemích. Pod touto burzou se rozlišuje několik typů trhů: Bilaterální trh (OTC trh) oboustranná dohoda mezi dvěma účastníky trhu Spotový trh o Bilanční trh výpočet odchylek mezi skutečnou a sjednanou obchodní pozicí subjektu zúčtování o Regulační trh nákup regulačních kapacit a nákup regulační energie o ELBAS vnitrodenní trh o ELSPOT denní trh, jedná se o nejvýznamnější část spotového trhu Finanční trh obchod s futures a forwards, kontrakty sjednávány na dny až roky 19

4. Energetické burzy Dále můžeme trhy rozdělit na trhy s: Fyzickou dodávkou o ELBAS o ELSPOT Finanční dodávkou o Finanční trh 4.4. Analýza korelace EEX a PXE Dalším námětem k zamyšlení je závislost německé burzy EEX a české burzy PXE. Vzhledem ke geografické poloze států (příslušníků obchodování na burzách) by bylo vhodné, aby cenové hladiny derivátů spolu korelovaly = byly závislé (tzn. při změně ceny na EEX se stejně změnila i cena na PXE). Pro ověření tohoto předpokladu jsem použil data: Tabulka 1 Přehled derivátů použitých pro analýzu korelace EEX a PXE. Burza Název derivátu Typ derivátu První obchodní den Poslední obchodní den Typ vypořádání Délka dodávky Dodací období PXE F PXE CZ BL CAL-13 Base load 19.5.2010 28.12.2012 finanční 1 rok 2013 EEX F1BY (Cal-13) Base load 28.12.2006 21.12.2012 finanční 1 rok 2013 Pro tyto deriváty jsem použil hodnoty za poslední pololetí (viz. Obrázek 1). Už z obrázku vidíme, že hodnoty korelují, ovšem tento poznatek je potřeba ještě ověřit výpočtem. 59 57 55 53 51 49 47 45 1.9.2011 1.10.2011 1.11.2011 1.12.2011 1.1.2012 1.2.2012 Spotová cena EEX Spotová cena PXE Obrázek 1. Vývoj spotových cen v čase na burzách EEX a PXE. 20

4. Energetické burzy Dále nastíním teoretický postup výpočtu korelačního koeficientu. (4.1) Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu. Při nezávislosti sledovaných veličin je koeficient roven 0. Pro stoprocentní korelaci veličin obdržím hodnotu 1 a pro přesně opačné chování obdržím hodnotu -1. Po dosazení do této rovnice mi hodnota korelačního koeficientu vyšla 0.99813. Můžu tedy prohlásit, že ceny na burzách EEX a PXE skoro stoprocentně (dokonale) korelují. 21

5. Deriváty 5. Deriváty První zmínky o derivátech pocházejí ze starověku, kdy Chammurabi sepsal Chammurabiho kodex, z jehož jednoho paragrafu vyplývá úleva farmářům nesplácet úroky půjček v případě neúrody (ztráty). Další zmínky o použití derivátů najdeme ve starověkém Řecku a Římu. První rozmach novodobých derivátů je k nalezení v polovině 19. století po založení derivátových burz Chicago trade a Chicago mercantile exchange. Deriváty se původně týkaly obchodování s komoditami. Dnes se nejvíce obchoduje s deriváty s podkladovým aktivem ve formě úrokových měr, měn, akcií a indexů. V Česku operuje Burza cenných papírů Praha, kde se obchoduje nejvíce s akciemi. V roce 2007 se začaly obchodovat na Energetické burze Praha futures deriváty na elektřinu. 5.1. Oceňování derivátů Všechny stochastické modely v této práci použité a obecně metodika modelování a predikování má jednu velikou slabinu a to, že vychází pouze z historických dat, na jejichž základě se snaží přizpůsobit své modely a pomocí nich predikovat vývoj do budoucna. Tento postup nedokáže zachytit například světovou krizi v roce 2008. Model s nastavenými parametry před rokem 2008, nebude po roce 2008 predikovat výsledky s valnou přesností, protože nedokáže zachytit ekonomické pozadí. Proto bychom měli model často upravovat a nesnažit se o predikci na dlouhé období do budoucnosti. Obecně platí, že čím větší časový úsek se snažíme predikovat, tím větší nejistota se nám váže na přesnost námi nastavených parametrů modelu. 5.1.1. Oceňování futures Ceny derivátů jsou určovány cenou futures. Tu vypočítám ze spotové ceny podkladového aktiva, která je stanovena jako cena na spotovém trhu. Tuto cenu se budu snažit predikovat a z predikovaných dat určit cenu futures. 22

5. Deriváty Cenu futures stanovím: (5.1) Kde S(t) je spotová cena podkladového aktiva (elektřiny), I(t,T) udává hodnotu skladovacích nákladů, D(t,T) je současná hodnota vyplácených dividend, je roční bezriziková úroková míra, t označuje čas uzavření kontraktu a T je čas expirace kontraktu. Díky charakteristickým vlastnostem elektřiny (neskladovatelnosti viz. kapitola 6) můžu položku I(t,T) položit rovno nule. Také položku D(t,T) můžu zanedbat, jelikož žádné dividendy nevyplácím. Po úpravě rovnice (5.1) tedy dostanu následující vztah: (5.2) Přičemž výnos se pro long pozici (nákup futures) určí jako rozdíl spotové a ceny futures elektřiny: (5.3) Pro short pozici (prodej futures bude situace opačná: (5.4) Ze vztahu (5.2) vidíme, že cena futures derivátu záleží na: Spotové ceně podkladového aktiva (elektřině) Bezrizikové úrokové míře Času do doby expirace Na tyto veličiny - spotovou cenu podkladového aktiva a bezrizikovou míru se musím dále zaměřit a snažit se o jejich co nejpřesnější určení. Zejména určení spotové ceny je velice problematické. Její určení bude hlavním cílem mé práce. Veličinu času do doby expirace lehce určím, jelikož znám čas expirace a aktuální čas, pro který cenu futures počítám. 23

5. Deriváty 5.2. Užití derivátů Deriváty se dělí na 2 základní skupiny: Zajišťovací Spekulativní Zajišťovací deriváty slouží pro zajištění se proti možnému riziku změny trhu (kolísání kurzu, změna poptávky, kolísání cenové hladiny podkladového aktiva). Spekulativní deriváty slouží pro spekulace na vzrůst/pokles cílové komodity. Spekulanti se snaží odhadnout vývoj trhu a dosáhnout zisku. Obchodování s deriváty (hlavě spekulativními deriváty) je velice riskantní záležitost. Mnohými odborníky je právě obchod s deriváty považován za jednu z hlavních příčin světové ekonomické krize v roce 2008 a následujícím krizím z této vycházející. Proto bychom se měli snažit být velice opatrní s obchodováním s deriváty a konat tuto činnost až po důkladném prostudování problematiky. 24

6. Charakteristické vlastnosti elektřiny 6. Charakteristické vlastnosti elektřiny Nejdůležitější vlastností elektrické energie, která tuto komoditu odlišuje od ostatních finančních derivátů, je neskladovatelnost. Nepatrná změna v poptávce nebo nabídce (odběru nebo výrobě elektřiny) má za následek velký skok ceny elektrické energie. Důležité vlastnosti elektrické energie, které se podílejí na tvorbě spotové ceny, jsou uvedeny v následujících podkapitolách. 6.1. Sezónnost Jelikož balancování mezi poptávkou a nabídkou probíhá v reálném čase (kvůli neskladovatelnosti), chování ceny elektřiny je cyklické, dle stále se opakujících výkyvů poptávky a nabídky. Tyto cykly jsou krátkodobé nebo dlouhodobé. Krátkodobé cykly jsou způsobeny mírou ekonomické aktivity obyvatelstva (fází dne denní x noční režim). Dlouhodobé cykly vychází naopak z klimatických podmínek ročního období a délky dne a noci. Toto sezónní chování se zobrazí do cen elektrické energie. 6.2. Volatilita Další vlastnost elektrické energie, kterou se odlišuje od ostatních finančních derivátů, je její vysoká volatilita. Není neobvyklé pozorovat změnu 1000% spotové ceny elektřiny. Tato vlastnost je způsobena neskladovatelností, omezeností přepravní sítě a balancováním v reálném čase. Výsledkem těchto vlastností jsou velké výkyvy ceny elektrické energie. 6.3. Návrat ke střední hodnotě (Mean reversion) Cena elektřiny má, jako ceny ostatních komodit, tendenci k dlouhodobému návratu ke střední hodnotě. Ovšem cena elektrické energie je zvláštní rychlostí návratu. Zatímco ostatním komoditám trvá týdny vrátit se do dlouhodobé střední hodnoty, elektřina je mnohem rychlejší zde hovoříme o hodinách či dnech. Opět vlivem neskladovatelnosti, musí být reakce na změny trhu rychlá. Na nárůst poptávky reaguje trh spuštěním generátorů elektrické energie, které generují dražší elektrickou energii (vlivem vyšších nákladů). Po 25

6. Charakteristické vlastnosti elektřiny návratu poptávky na normální úroveň se generátory opět vypnou a cena elektřiny se také vrátí na ustálenou úroveň. 6.4. Skokové chování Toto chování elektrické energie je způsobeno náhlými výpadky výroby elektrické energie nebo přetížením elektrické soustavy. Tyto skoky jsou na velice krátkých intervalech a bohužel je nedokážeme předvídat. Opět je toto chování způsobeno neskladovatelností elektřiny a balancování nabídky-poptávky v reálném čase. 26

7. Modely pro oceňování derivátů 7. Modely pro oceňování derivátů Přechodem od regulovaného trhu s elektřinou k otevřenému trhu vyvstala potřeba měřit a předpovídat cenu elektrické energie. Vlivem liberalizace došlo k nárůstu obchodování na energetických burzách a stouplo riziko s tímto spojené a to jak pro obchodníky s elektřinou, tak pro výrobce elektrické energie. Toto riziko můžeme snížit zahrnutím derivátů na elektřinu do svého finančního portfolia. Trhy s energetickými deriváty se značně liší od finančních trhů, a to hlavně vyšší volatilitou (až řádově vyšší hodnoty), sezónností chování spotových cen elektřiny a výskytem skoků ceny. Vyšší volatilita a skokové chování komodity je převážně způsobeno charakterem elektrické energie a to hlavně neskladovatelností. Jelikož se elektrická energie nedá skladovat, sebemenší pokles poptávky či nabídky, způsobí skokovou změnu ceny. Tyto charakteristické vlastnosti elektrické energie jsou podrobněji uvedeny v kapitole 6. Modelů pro oceňování derivátů je mnoho. Základní dělení je na modely deterministické a stochastické. Jelikož se vývoj ceny podkladového aktiva chová náhodně, použiji stochastické (náhodné) modely. Dále si musím určit, jakým způsobem budu přistupovat k modelování a následné predikci ceny. Existují 2 základní přístupy: Tržní model pro ceny futures: Namísto modelování spotové ceny a z ní vypočítání ceny futures, budu rovnou modelovat cenu futures. Pro tento přístup je používáno Black-Scholasova modelu, Blackova modelu nebo simulační metody Monte Carlo. Tento model nebere v potaz vývoj ceny v čase, ale kalkuluje pouze s jednou konkrétní cenou futures. Nevýhodou tohoto přístupu je, že cena futures nereflektuje cenové chování podkladového aktiva při hodinovém nebo denním ocenění. Model spotových cen: Tento typ modelů se zaměřuje na modelování spotových cen na základě historických dat (hodinové, nebo denní ocenění). Z těchto namodelovaných spotových cen se pak dále odvodí cena futures (viz. kapitola 5.1.1) Druhý přístup se zdá pro mé zadání vhodnější, jelikož vycházím z historických dat s denním ohodnocením. 27

7. Modely pro oceňování derivátů V mé práci se tedy budu soustředit na stochastické modely, v nichž bude využito druhého přístupu (Model spotových cen). Zaměřím se na základní stochastické modely a porovnám je mezi sebou. V dalších podkapitolách porovnám Mean-reversion model, Jump-diffusion model a Regime-switching model. 7.1. Mean-reversion model Tento model je široce používaný a to jak prodejci elektrické energie, tak jejími výrobci. Důvodem pro použití tohoto modelu je fakt, že cena elektrické energie má tendenci rychle se vracet ke své střední hodnotě (detailněji vysvětleno v kapitole 6). Model vychází z Brownova pohybu, který byl použit v předchozí práci *16], avšak vylepšuje tento přístup o složku návratu ke střední hodnotě. Nyní nastíním a popíši vzorec. (7.1) Kde reprezentuje nesezónní log-price proces, standartní Brownův pohyb, udává rychlost přechodu (návratu) ke střední hodnotě, značí dlouhodobou střední hodnotu a udává volatilitu. Po rozboru vzorce vidíme, že se skládá ze dvou složek. První složka se stará o návrat ke střední hodnotě a to tak, že vezme diferenci mezi současnou hodnotou procesu a střední hodnotou a vynásobí ji rychlostí návratu. Zde vidíme důležitost koeficientu,který se musím snažit co nejpřesněji určit. Druhá složka je tvořena Brownovým pohybem a volatilitou. Tato složka náhodně osciluje a modeluje náhodný vývoj ceny elektrické energie. V tomto modelu vidíme určitý přínos, ale i velkou slabinu. A tou je, že nedokáže popisovat a tedy i předvídat cenové skoky, které se ve spotové ceně elektrické energie objevují často. Tento nedostatek můžu odstranit rozšířením Mean-reversion modelu na Jump-diffusion model. 7.2. Jump-diffusion model Jump-diffusion model vychází z Mean-reversion modelu. Ovšem přináší jedno zlepšení. Oproti složkám, které vracejí ke střední hodnotě, respektive modelují náhodnou oscilaci, má 28

7. Modely pro oceňování derivátů ještě třetí složku a to složku skoku. Ta je tvořena poissonovým rozdělením vynásobeným šířkou skoku (viz. rovnice 7.2). Díky této skokové složce dokáže model lépe modelovat vývoj spotové ceny elektrické energie. Dokáže se lépe přizpůsobit charakteru elektrické energie, ve které se skoky objevují a musíme je do svého modelu zahrnout. (7.2) Rovnice 7.2 popisuje Jump-diffusion model, kde reprezentuje nesezónní log-price proces, standartní Brownův pohyb a jsou reálné konstanty, je homogenní Poissonův proces 5. Šířka skoku má normální rozdělení se střední hodnotou v a rozptylem. Přidáním skokové složky jsem zpřesnil hodnotu modelované spotové ceny, ale naopak jsem zpomalil návrat ke střední hodnotě (musím se vracet z vysoké hodnoty skoku). Tento nedostatek můžu částečně odstranit přepínáním mezi více stavy, přičemž první stav reprezentuje základní režim (Mean-reversion proces) a ostatní režimy reprezentují skokovou část modelu. Tento model bude znázorněn v následující kapitole. 7.3. Regime-switching models Výhoda touho oceňovacího modelu je v tom, že se skládá z 2 (nebo 3) oddělených částí (režimů), z nichž každá má jiný proces. Pozorovaný skok lze vysvětlit přechodem do jiného režimu. U přepínacího modelu se obvykle předpokládá, že se řídí časově homogenním skrytým Markovovým řetězcem s možných stavů reprezentujících k režimů. 7.3.1. Regime-switching model se dvěma nezávislými stavy Regime-switching model se dvěma nezávislými částmi rozlišuje mezi základním režimem ( a režimem špiček (, kde představuje časově homogenní skrytý Markovův řetězec. Pozorovatelný stochastický proces je nyní representován ve formě, kde procesy a jsou navzájem nezávislé a také 5 Náhodné rozdělení, které udává počet výskytu náhodných událostí v určitém intervalu (čase). 29

7. Modely pro oceňování derivátů nezávislé od. vyjadřuje současný režim i v čase t. Přechody mezi jednotlivými režimy můžu popsat přechodovou maticí skrytého Markovova řetězce R obsahující pravděpodobnosti přepnutí z režimu i v čase t do režimu j v čase t+1 : (7.3) Pravděpodobnost stavu j v čase t+m začínající ve stavu i v čase t můžu vyjádřit jako: (7.4) Kde značí transponovanou matici matice a značí i-tý sloupec původní matice. Nakonec mi zbývá specifikovat procesy a. Když vezmu v potaz typické chování spotových cen elektřiny, zdá se rozumné použít Mean-reversion proces pro normální režim (. Pro režim špiček ( je obtížnější přiřadit odpovídající proces. Přiřadím mu nezávislé, totožně distribuované realizace rozdělení pravděpodobnosti F. Nejvhodnějšími kandidáty jsou Gaussian, Lognormal a Pareto rozdělení. Ve výsledku uvažuji následující 2 stochastické procesy: (7.5) Pro základní režim a (7.6) Pro skokový režim. Tento model by měl nejlépe modelovat spotovou cenu elektřiny s ohledem na její charakteristiku. V následujících kapitolách si stručně nastíním možnosti nastavení parametrů u jednotlivých modelů. 30

7. Modely pro oceňování derivátů 7.3.2. Regime-switching model se třemi nezávislými stavy Tento model vychází z předchozího modelu se dvěma nezávislými stavy. Nyní definuji tři možné režimy: (1) základní režim ( modelující normální dynamiku ceny elektrické energie, (2) počáteční skokový režim ( pro náhlé zvýšení, nebo snížení ceny a (3) zpětný skokový režim ( popisující návrat ceny k normální úrovni po objevení skoku. Samozřejmě tato myšlenka vychází z toho, že režim skoku je ihned následován opačným skokovým režimem, abychom nesetrvali ve skoku. Toto zaručí následující pravděpodobnosti v přechodové matici:. Proces bude popsán pomocí Mean-reversion procesu v základním režimu, a random walk (náhodná procházka) v počátečním skokovém režimu a zpětném skokovém režimu, kde směr procesu v počátečním a opačném skokovém režimu bude opačný. Popis procesů bude: (7.7) Kde představuje inovaci základního režimu a inovaci skokových režimů. Normální rozdělení skokových režimů můžu nahradit alternativními distribučními předpoklady. 31

8. Volba dat 8. Volba dat Při volbě dat jsem vycházel ze zadání práce a její myšlenky. Tou bylo porovnání přesností predikce různých stochastických modelů futures cen elektřiny. V rámci návaznosti na práci pana Ing. Lva a vhodnosti dat pro další výzkum, jsem zvolil stejná data. Pracuju s daty z burzy EEX (viz. kapitola 4.2). Zde byla vybrána opce s podkladovým aktivem roční base load Phelix futures pro rok 2012. Tato opce má označení F1BY, období je určeno dobou zralosti JAN-2012. Tři roky před datem splatnosti opce (12. 12. 2011) se začalo s touto opcí obchodovat. Jelikož se na EEX vypisují futures vždy 6 let dopředu, tak se futures F1BY Jan-2012 poprvé objevily na burze 29. 12. 2005. Data máme uvedená do 1. 3. 2011. Volba tohoto futures je dále vhodná dostatečnou likviditou a velkými zobchodovanými objemy. Dále je obecně trh EEX (respektive jeho produkty) velmi podobný českému trhu PXE. 32

EUR/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 9. Analýza dat 9. Analýza dat Na Obrázku 2 znázorním data, na části z nichž budu kalibrovat model a zbytek dat budu pomocí modelu predikovat. 350 300 250 200 150 100 50 0 29.12.2005 29.12.2006 29.12.2007 29.12.2008 29.12.2009 29.12.2010 Spotová cena Cena futures F1BY Jan 2012 Datum Obrázek 2. Vývoj spotové a ceny futures predikovaného derivátu v čase. Podrobná analýza dat provedená před vlastním modelováním cen je jedním z klíčových prvků dosažení přesných výsledků. Model (typ modelu) by se měl přizpůsobit datům, neboť ne vždy nejsložitější a nejpropracovanější model musí dávat nejlepší výsledky. Pokud se například budu zabývat predikcí skoků na datech, ve kterých se skoky nevyskytují, dosáhnu akorát znepřesnění výsledků. Na znázorněných datech je krásně vidět specifická vlastnost elektrické energie a to výskyt skoků. Vidíme, že pro modelování spotové ceny by neměl být postačující model Meanreversion, neboť tento model nedokáže cenové skoky modelovat. Dále vidíme, značnou rychlost návratu ze skoků do ustálené cenové hladiny. Tato vlastnost možná bude snižovat přesnost Jump-diffusion modelu. Předpokladem pro mou práci je tedy obdržení nejlepších výsledků od Regime-switching modelu. V následujících kapitolách tedy zjistím, jestli jsem předpokladu vyhověl nebo jestli jsem s ním v rozporu. úseků. Pokud se podrobněji zaměřím na získaná data, všimnu si několika abnormálních časových 33

9. Analýza dat Prvním je strmý nárůst spotové ceny až na hodnotu 300 Euro/MWh a následný pokles k ustálené hodnotě v červenci roku 2007. Toto chování bylo způsobeno několika faktory. První faktorem bylo extrémně horké počasí, jehož následkem se zvedlo zatížení soustavy o 500 MW. Dalším faktorem bylo přepojování provizorního vedení u Hradce na vedení již opravené po vichřici z května. Z důvodů oprav a revizí byly odstaveny další 4 přenosové trasy. Dalším aspektem bylo vypnutí rozvodny ve Slovinsku z důvodu požáru, což vedlo k navýšení odběru z ČR do Rakouska. Toto vedlo k přetížení vedení rozvodny Hradec a jeho vypnutí. Následný dominový efekt se postaral o další výpadky. Další nárůst ceny můžeme pozorovat 7. 11. 2006, který byl způsoben výpadkem elektřiny ve Francii, Rakousku, Belgii, Itálii a Španělsku. Výpadek v době trvání jedné hodiny způsobila chyba při spouštění velké lodi z doků do Severního moře. Další abnormální data jsou v rozmezí posledního čtvrtletí roku 2007 až do konce roku 2008. Tyto skoky a vyšší průměrná cena elektřiny byla způsobena světovou hospodářskou krizí. Tato krize byla způsobena v červenci 2007 americkou krizí na trhu s hypotékami. Kvůli propojenosti trhů se krize rychle přenesla do celého světa. V roce 2008 docházelo k částečnému uklidnění, které opět vyústilo v nárůst cen v říjnu roku 2008. Doznívání krize (alespoň na energetických burzách) můžeme pozorovat na začátku roku 2009. Nakonec si můžeme ještě povšimnout nezvykle vysokých dat na začátku obchodování derivátu. Tato data by se dala vysvětlit nestabilním chováním v důsledku zahájení obchodování a postupnou stabilizací v březnu 2006. 34

10. Nastavení parametrů modelu 10. Nastavení parametrů modelu Tato část je asi tou nejdůležitější částí celé práce. Správné nastavení parametrů má největší vliv na přesnost dosažených výsledků. Pokud zvolím ten nejlepší, nejpodrobnější a nejkomplexnější model pro má data, ale špatně nastavím parametry, výsledky které z tohoto modelu obdržím, budou na hodně špatné úrovni. Druhým nejdůležitějším faktorem je výběr správného modelu (popsáno výše). Proto se budu věnovat třem různým modelům, které mezi sebou porovnám. Výslednými modely budou Mean-reversion model, Jump-diffusion model a Regime-switching model. Metod pro optimální nastavení parametrů je mnoho. Já si vyberu lineární regresi a metodu největší pravděpodobnosti. 10.1. Mean-reversion model Pro tento model existuje mnoho metod odhadu parametrů (viz. *23]). Já vyberu metodu výpočtu parametrů pomocí lineární regrese. Nejprve připomenu rovnici modelu: (10.1) Tento obecný zápis si upravím do tvaru vhodného pro stanovení parametrů (hlavně dle Regime switching modelu), tento tvar dále použiju i pro Jump-diffusion model. (10.2) (10.3) (10.4) Přičemž střední hodnota je reprezentována a rychlost přechodu ke střední hodnoty je representována. Dále uvedu nastavení parametrů pomocí regrese. 35

10. Nastavení parametrů modelu Lineární regrese Lineární regresi provedu na datech proti. Jako výsledek obdržím rovnici regresní přímky ve tvaru: (10.5) Z těchto parametrů dostanu parametry námi hledaného modelu: (10.6) (10.7) (10.8) Pomocí těchto vypočítaných parametrů podle metody lineární regrese dostanu Meanreversion model, který popisuje vývoj spotové ceny v čase. 10.2. Jump diffusion model Nejprve opět připomenu rovnici pro Jump-diffusion proces: (10.9) Tuto rovnici opět upravím do pro nás vhodnějšího tvaru: (10.10) Jak jsem již zmínil dříve, tento model vychází z modelu Mean-reversion a doplňuje ho o skokovou složku. Ovšem tento model počítá se skoky pouze jedním směrem, ale v mých datech se vyskytují skoky nahoru i dolů. Proto musím model rozšířit o další skokovou část modelovanou Poissonovým procesem: (10.11) 36

10. Nastavení parametrů modelu Vidíme, že nyní obsahuje základní část a další 2 skokové části. Roztřídím si proto data do 3 skupin. První skupina bude pro hodnoty spotové ceny od nuly do hodnoty 1. kvartilu dat (39,1), další bude střední část od 1. do 3. kvartilu (69,41) a od 3. kvartilu bude poslední skupina. Přičemž první a třetí skupina bude popsána Poissonovým procesem a střední část Mean-reversion procesem. Na následujícím obrázku je vidět oddělení skupin: 350 300 250 200 150 100 50 0 1. kvartil Spotová cena 3. kvartil Obrázek 3. Znázornění kvartilů na spotové ceně. Nyní si data rozdělím a na data spadající do 2 skupiny aplikuju metody popsané v minulé podkapitole pro nastavení parametrů Mean-reversion modelu. Pro 1. a 3. skupinu musím nastavit Poissonův proces a šířku skoku (v našem případě jde o výšku skoku). Poissonův proces závisí na jediném parametru a to intenzitě (střední hodnotě) výskytu události (u nás výskytu skoku). Rovnici hustoty pravděpodobnosti pro Poissonův proces můžu vyjádřit takto: (10.12) 37

10. Nastavení parametrů modelu Parametr stanovím následovně: (10.13) S tímto parametrem už můžu počítat ceny v 1. a 3. skupině a to tak, že výsledek odečtu od spodní hranice pro 1. skupinu a pro 3. skupinu přičtu k horní hranici. Přičemž skoky namodeluji tak, že si nejdříve zjistím kolik je celkově skoků v roce, který budu predikovat, a to dle. Dále nasimuluji, v kterých dnech budou tyto skoky a to tak že N-krát nasimuluji číslo z Ro(0, počet dní). V těchto dnech dále vygeneruji hodnoty pro výšku skoku. Pro modelování výšky skoku jsem zvolil lognormální rozdělení. Jeho parametry jsou střední hodnota a odchylka, které dostanu následujícím způsobem: 1. zlogaritmuji hodnoty spotové ceny, což mi dá přibližně normální rozdělení 2. z těchto dat odhadnu parametry a Pro generování nových hodnot pak: 1. vygeneruji hodnoty z, čímž dostanu hodnoty 2. hodnoty x pak vypočítám: Tuto hodnotu skoku výsledně připočtu (resp. odečtu) od hodnoty základního režimu. Pozn.: Tento postup bude využit i v následující kapitole, při určování parametrů skokových režimů v lognormálním rozdělení. 38

10. Nastavení parametrů modelu 10.3. Regime-switching model V tomto modelu budu uvažovat tři možné režimy. Základní režim, který budu modelovat Mean-reversion modelem, skokový režim směrem dolů a skokový režim směrem nahoru oba skokové režimy budu modelovat log-normálním rozdělením 6. Hranice skoků určím stejně jako pro Jump-diffusion model v minulé kapitole (Obrázek 3). Pro skokové režimy musím dopočítat střední hodnoty a směrodatnou odchylku to udělám z vyfiltrovaných dat (data, která mi zůstala v oblasti ohraničené hraniční přímkou mezi režimy). Další neznámé parametry jsou pravděpodobnosti přechodové matice a parametry základního Mean-reversion modelu. Na těchto parametrech model nejvíce záleží, a proto se musím snažit o jejich co nejpřesnější určení. Za tímto účelem jsem vybral metodu největší pravděpodobnosti konkrétně E-M algoritmus [26]. Jak už napovídá název, algoritmus se skládá ze dvou na sobě navazujících fázích. Fáze E slouží pro určení pravděpodobností, že v čase t jsme v režimu i za znalosti dat do času t. Fáze M slouží pro zpřesnění neznámých parametrů. Každá iterace algoritmu se skládá z těchto dvou fází, přičemž počet iterací zvolím empiricky a to tak, že až se neznámé parametry provedení další iterace nebudou moc měnit, skončím. po Nyní nastíním samotný algoritmus: Nejdříve nadefinuji vektor neznámých parametrů: vpravo nahoře určuje, v jaké iteraci se právě nacházíme.. Index Dále uvedu fázi E. Tato fáze se dělí do 2 kroků. V prvním kroku vyfiltruji pravděpodobnosti a v druhém je lehce vyhladím. Nakonec ještě nastíním rovnici Mean-reversion modelu použitou v tomto případě: (10.14) 6 Pravděpodobnostní rozdělení, které dostanu zlogaritmováním hodnot s normálním rozdělením. Lognormální rozdělení má veličina Y=exp(X), kde X je náhodná veličina s normálním rozdělením. 39

10. Nastavení parametrů modelu Fáze E: filtrování dat (10.15) Kde je hustota pravděpodobnosti režimu i. Dále vypočítám: (10.16) Dokud testovacích dat a není vypočítáno. Kde T značí velikost souboru pravděpodobnost přechodu ze stavu j do stavu i v n-té iteraci. vyhlazování dat V tomto kroku postupuji opačně od času T do 0. Proto zvolím. (10.17) Ještě se zmíním, že hustota pravděpodobnosti pro základní režim (Mean-reversion proces) použitá v kroku filtrování dat vypadá takto: (10.18) Se střední hodnotou: a směrodatnou odchylkou. Tímto jsem získal vektory pravděpodobností, že v čase t jsem v režimu i se znalostí dat do času t. Tyto data dále použiji k zpřesnění neznámých parametrů ve fázi M. 40

10. Nastavení parametrů modelu Fáze M: V této fázi budu postupně v každé iteraci zpřesňovat neznámé parametry vektoru Potřebné vztahu budou uvedeny dále: (10.19) (10.20) (10.21) (10.22) (10.23) Tímto dostanu k dispozici parametry pro koeficienty základního Mean-reversion procesu. Další vztahy slouží pro určení matice pravděpodobností přechodu: (10.24) Po ukončení fáze M tedy mám nastavený kompletní vektor neznámých parametrů Po dostatečném počtu iterací, až se přestane znatelně měnit, budu mít nastavený model a můžu přejít k predikci spotové ceny. 41

10. Nastavení parametrů modelu Predikce ceny dle nastaveného modelu Když mám model s optimálně nastavenými parametry, nic už mi nebrání pustit se do samotné predikce cen. Nejdříve stanovím, v jakém režimu jsem. Poté zjistím pravděpodobnosti přechodu do jiného stavu, případně setrvání v daném stavu 7. Po vygenerování náhodného čísla z N(0,1) zjistím do jakého intervalu číslo patří a tak zjistím do jakého režimu se přesunu. Následně si dopočítám novou hodnotu cílového režimu z poslední známé hodnoty spotové ceny. Takto postupně ocením celý oceňovací interval. 7 Např. když pravděpodobnosti pro tento stav (např. 2. režim) budou, tak stanovím intervaly 0;0,25,(0,25;0,375,(0,375;1. 42

11. Aplikace modelů na reálných datech 11. Aplikace modelů na reálných datech V předchozích kapitolách jsem nastínil modely, které použiji pro predikci spotové ceny a metody kalibrace parametrů těchto modelů. Také jsem uvedl, jaká data použiji pro kalibraci a predikci cen a detailně jsem rozebral chování hodnot v čase. Závěrem vyplynulo, že pro predikci roku 2010 asi nebude nejvhodnější použít všechna data z let 2006-2009 pro kalibraci modelů. Proto provedu simulace pro troje různá vstupní data: 1. Použiju všechny data a pokusím se o predikci naslepo. (viz. Obrázek 4) 2. Provedu predikci pouze na posledním kalibračním roce před predikčním rokem. (viz. Obrázek 5) 3. Vyjdu z ekonomického rozboru dat a provedu filtraci. To znamená, že ze souboru kalibračních dat vyřadím data, která svojí podstatou (ekonomickým pozadím, které vývoj cen provázelo), jsou abnormální (jsou netypická pro daný produkt). Tím dostanu soubor dat, který se bude mnohem více hodit pro predikci. (viz. Obrázek 6) Všechny data dále znázorním v grafech. 350 300 250 200 150 100 50 0 Spotová cena - všechna kalibrační data Obrázek 4. Spotová cena pro všechna kalibrační data. 43

11. Aplikace modelů na reálných datech 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Spotová cena - rok 2009 Obrázek 5. Spotová cena pro rok 2009. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Spotová cena - filtrovaná kalibrační data Obrázek 6. Spotová cena pro filtrovaná kalibrační data. Dále se musím zaměřit na hodnoty hranic mezi režimem střední hodnoty a skokovými režimy. Pro tuto hranici jsem původně zvolil hodnoty 1. a 3. kvartilu (39,42 a 61,49). Toto rozhodnutí se po analýze dat neukázalo jako optimální, proto jsem použil hodnoty hranic 2. a 8. decilu (37,77 a 66,41). Pro statistické zpracování výsledku použiju ukazatel průměrné odchylky a obálkovou metodu výpočtu 95% intervalu spolehlivosti. 44

11. Aplikace modelů na reálných datech Průměrnou odchylku vypočtu jako průměr odchylek ze všech kalibračních dní: (11.1) Obálkovou metodu provedu opakováním predikováním nových hodnot tak, abych získal 39 vzorků. Z těchto vzorků vyberu pro každý den maximální a minimální hodnoty. Tyto hodnoty vytvoří obálky. Pokud se nově nepredikovaná data budou vyskytovat mezi obálkami, můžu prohlásit, že jsem dosáhl oboustranného 95% interval spolehlivosti. V tomto intervalu bude ležet náhodná veličina s 95% pravděpodobností. V následujících kapitolách uvedu výsledky jednotlivých modelů na jednotlivých vstupních datech. 45

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech 80 11.1. Mean-reversion model Všechna kalibrační data Jak jsem očekával, tento model nedokáže na všech datech dobře predikovat, neboť pracuje s větší střední hodnotou a velikou odchylkou. Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 12,45 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 4 vrchní a 3 spodní hodnoty tedy součtem pro 7 hodnot. 60 80 40 60 20 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 7. Predikce Mean-reversion modelu pro všechna kalibrační data. 80 Počet dní od začátku predikce 0 50 100 150 200 250 60 80 40 60 20 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 8. Obálková metoda pro Mean-reversion model pro všechna kalibrační data. 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce 46

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech Kalibrace pro rok 2009 Pro tyto vstupní data jsem již obdržel lepší výsledky. Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 8,15 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 5 vrchních a 5 spodní hodnoty tedy součtem pro 10 hodnot. 70 60 50 40 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 9. Predikce Mean-reversion modelu pro kalibraci na roce 2009. 50 45 40 35 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 10. Obálková metoda pro Mean-reversion model pro kalibraci na roce 2009. 47

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech 70 Filtrovaná data Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 8,27 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 3 vrchní a 3 spodní hodnoty tedy součtem pro 6 hodnot. 60 50 70 40 60 30 50 20 40 10 30 20 0 50 100 150 200 250 10 50 40 Počet dní od začátku predikce Obrázek 11. Predikce Mean-reversion modelu pro filtrovaná kalibrační data. 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce 30 50 20 40 10 30 20 0 50 100 150 200 250 10 Počet dní od začátku predikce Obrázek 12. Obálková metoda Počet pro dní od Mean-reversion začátku predikce model pro filtrovaná kalibrační data. 0 50 100 150 200 250 48

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech 11.2. Jump-diffusion model Všechna kalibrační data Pro kalibraci na celém souboru je patrné nadměrné generování skoků o extrémních hodnotách, způsobené velkým rozptylem a skokovým chováním vstupních dat. Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 9,93 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 0 vrchních a 3 spodní hodnoty tedy součtem pro 3 hodnoty. 100 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 13. Predikce Jump-diffusion modelu pro všechna kalibrační data. 140 120 100 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 14. Obálková metoda pro Jump-diffusion model pro všechna kalibrační data. 49

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech Kalibrace pro rok 2009 Pro tyto vstupní data jsem již obdržel lepší výsledky. Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 6,95 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 0 vrchních a 2 spodní hodnoty tedy součtem pro 2 hodnoty. 70 60 50 70 40 60 30 50 20 40 10 30 20 0 50 100 150 200 250 10 Počet dní od začátku predikce Obrázek 15. Predikce Jump-diffusion modelu pro kalibraci v roce 2009. Počet dní od začátku predikce 80 70 0 50 100 150 200 250 60 60 80 50 40 40 60 30 20 20 40 10 20 0 50 100 100 150 150 200 200 250 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 16. Obálková metoda Počet pro dní od Jump-diffusion začátku predikce model pro kalibraci v roce 2009. 0 50 100 150 200 250 50

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech Filtrovaná data 70 60 Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 6,73 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 2 vrchní a 0 spodní hodnoty tedy součtem pro 2 hodnoty. 50 70 40 60 30 50 20 40 10 30 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce 10 80 Obrázek 17. Predikce Jump-diffusion Počet dní modelu začátku pro filtrovaná predikce kalibrační data. 0 50 100 150 200 250 60 80 40 60 20 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 18. Obálková metoda Počet pro dní Jump-diffusion od začátku predikce model pro filtrovaná kalibrační data. 0 50 100 150 200 250 51

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech 11.3. Regime-switching model Všechna kalibrační data Pro kalibraci na celém souboru je patrné nadměrné generování režimu skoků o extrémních hodnotách, způsobené velkým rozptylem a skokovým chováním vstupních dat. Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 13,99 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 1 vrchní a 3 spodní hodnoty tedy součtem pro 4 hodnoty. 120 100 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 19. Predikce Regime-switching modelu pro všechna kalibrační data. 150 100 50 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 20. Obálková metoda pro Regime-switching model pro všechna kalibrační data. 52

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech Kalibrace pro rok 2009 Pro tyto vstupní data jsem již obdržel lepší výsledky. Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 9,06 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 0 vrchní a 1 spodní hodnoty tedy součtem pro 1 hodnotu. 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 21. Predikce Regime-switching modelu pro kalibraci v roce 2009. 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 22. Obálková metoda pro Regime-switching model pro kalibraci v roce 2009. 53

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 11. Aplikace modelů na reálných datech Filtrovaná data Průměrná odchylka predikovaných dat od reálných vyšla 8,94 Euro/MWh. Obálková metoda nevyšla pro 1 vrchní a 1 spodní hodnot tedy součtem pro 2 hodnoty. 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 23. Predikce Regime-switching modelu pro filtrovaná kalibrační data. 80 60 40 20 0 50 100 150 200 250 Počet dní od začátku predikce Obrázek 24. Obálková metoda pro Regime-switching model pro filtrovaná kalibrační data. 54

11. Aplikace modelů na reálných datech 11.4. Shrnutí výsledků predikce Z předchozích kapitol jsem shrnul výsledky do tabulky 2. Porovnáním hodnot jednotlivých modelů, pro různá vstupní data, vidíme, že nejlepších výsledků dosáhl Jump-diffusion model. Naopak nejhorších výsledků dle průměrné odchylky dosáhl Regime-switching model. Toto je překvapivý výsledek, neboť tento model byl v původním rozboru vyhodnocen jako nejlepší a i z grafického náhledu se zdá, že tento model predikuje nejpřesnější data. Naopak dobré výsledky dosahuje v testu obálek, kde model Mean-reversion vykazuje více špatných hodnot. (Průměrně o 6 špatných hodnot více.) Dále vidíme, jak vhodná byla původní analýza dat, díky které jsme z původního souboru kalibračních dat vybrali další 2 vzorky dat, na nichž nakalibrovaný model predikuje data s mnohem větší přesností. (Díky úpravě vstupních dat jsem snížil průměrnou odchylku o 3 5 Euro/MWh.) Tabulka 2. Souhrn výsledků jednotlivých modelů pro různá kalibrační data. Průměrná odchylka je udávána v jednotkách Euro/MWh a obálková metoda v počtu hodnot vybočujících z obálek. model Mean-reversion model Jump-diffusion model Regime-switching model vstupní data průměrná odchylka obálková metoda všechna kalibr. rok 2009 filtr. všechna kalibr. rok 2009 filtr. všechna kalibr. rok 2009 12,45 8,15 8,27 9,93 6,95 6,73 13,99 9,06 8,94 7 10 6 3 2 2 4 1 2 filtr. 55

12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny 12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny Po úspěšné predikci spotové ceny se nyní pokusím vypočítat futures cenu. K tomuto výpočtu použiji vzorec (5.2) z kapitoly 5.1.1. Ovšem při nahlédnutí do struktury dat spotových a futures cen vidíme, že mezi těmito daty jsou značné rozdíly. U spotové ceny se viditelně projevují vlastnosti elektřiny jako neskladovatelnost, balancování v reálném čase a další vlastnosti popsané v kapitole 6, které se odrážejí do spotových cen v podobě častých a strmých skoků nahoru i dolu a proměnné střední hodnoty. U ceny futures se tyto projevy úplně ztratili a cena pouze lehce kolísá kolem střední hodnoty. Při analýze vzorce 5.2 zjistíme, že tento vzorec pouze vyjadřuje spojité úročení a tedy nemůže svým chováním vyhlazení spotových cen do cen futures zajistit. Proto musím toto vyhlazení dat provést sám. K tomu zvolím 2 postupy: Simulace Monte Carlo Použití klouzavého průměru Simulace Monte Carlo je velice snadná. Její smysl spočívá v tom, že provedu predikci nových hodnot opakovaně a výsledná hodnota je dána jako průměrná hodnota ze všech simulací pro daný časový okamžik. Pro počet opakování simulace jsem použil hodnotu 10000. Metoda klouzavého průměru spočívá v tom, že každá hodnota je dána aritmetických průměrem posledních n hodnot. Pro názornost toto uvedu ve vzorci. (12.1) Pro optimální délku klouzavého průměru jsem udělal analýzu, kde jsem měnil délku klouzavého průměru a sledoval odchylky mnou vypočítané ceny futures a reálné naměřené ceny futures. Z vyhlazené spotové ceny už pomocí vztahu 5.2 mohu vypočíst futures cenu. Výsledky uvedu v následujících kapitolách. 56

Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny 12.1. Výsledky Simulace Monte Carlo Všechny výpočty ceny futures vycházely z úplného souboru kalibračních dat (data 2006-2009), pro použití všech 3 modelů, uvedených v předchozích kapitolách. Nejdříve uvedu výsledky pro spotové ceny predikované Mean-reversion modelem. Vidíme, že simulace vyhladily skoky a upravily spotovou cenu do střední hodnoty. 56 54 52 50 50 100 150 200 250 Obrázek 25. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Mean-reversion modelu. Při porovnání vypočítané a naměřené ceny futures dostanu odchylku 3,82 Euro. Dále uvedu výsledky pro Jump-diffusion model. Z obrázku 26 vidíme, že vlivem velkého rozptylu kalibračních dat se ani simulací Monte Carlo nepodařilo skoky vyhladit. 57

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny 70 65 60 55 50 45 50 100 150 200 250 Obrázek 26. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Jump-diffusion modelu. Při porovnání vypočítané a naměřené ceny futures dostanu odchylku 6,58 Euro. U Regime-switching modelu je situace podobná jako u Mean-reversion modelu. Opakování predikce vyhladilo skoky a zůstala nám střední hodnota s malými odchylkami. 58 56 54 52 50 48 50 100 150 200 250 Obrázek 27. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Regime-switching modelu. Při porovnání vypočítané a naměřené ceny futures dostanu odchylku 4,77 Euro. Všechny výsledky budou okomentovány na konci kapitoly. 58

Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny 12.2. Metoda Klouzavého průměru Stejně jako u simulace Monte Carlo všechny výpočty ceny futures vycházely z úplného souboru kalibračních dat (data 2006-2009), pro použití všech 3 modelů, uvedených v předchozích kapitolách. Nejdříve uvedu výsledky pro spotové ceny predikované Mean-reversion modelem. Délku klouzavého průměru jsem zvolil 430 dní pro minimalizaci odchylky. 50 40 30 20 10 0 50 100 150 200 250 Obrázek 28. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Mean-reversion modelu. Při porovnání vypočítané a naměřené ceny futures dostanu odchylku 2,89 Euro. Dále ukážu výsledky pro Jump-diffusion model. Zde mi optimální délka klouzavého průměru vyšla stejně jako u Mean-reversion modelu, tedy 430 dní. 59

Spotová cena Euro/MWh Spotová cena Euro/MWh Oceňování derivátů na elektřinu 12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny 50 40 30 20 10 0 50 100 150 200 250 Obrázek 29. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Jump-diffusion modelu. Při porovnání vypočítané a naměřené ceny futures dostanu odchylku 3,28 Euro. Pro Regime-switching model dostanu opět podobné výsledky jako pro předchozí modely, ovšem optimální délka klouzavého průměru nyní vyšla 400 dní. 50 40 30 20 10 0 50 100 150 200 250 Obrázek 30. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Regime-switching modelu. Při porovnání vypočítané a naměřené ceny futures dostanu odchylku 3,9 Euro. 60

12. Výpočet ceny futures ze spotové ceny 12.3. Shrnutí výsledků výpočtu ceny futures Z tabulky 3 vidíme, že lepších výsledků jsem dosáhl metodou klouzavých průměrů. Toto jsem očekával, neboť simulace Monte Carlo vyhladí data do střední hodnoty, kdežto metoda klouzavého průměru dokáže lépe vystihnout trend růstu/poklesu. Nejnižší hodnoty odchylky jsem dostal ze spotových dat predikovaných Mean-reversion modelem pomocí metody klouzavého průměru. Nejvyšší hodnotu odchylky jsem dostal pomocí simulace Monte Carlo z dat predikovaných Jump-diffusion modelem. Toto již bylo vysvětleno v předchozí kapitole vlivem skokového chování vstupních dat, které se v tomto modelu nejvíce projevilo na predikci. Tabulka 3. Souhrn výsledků jednotlivých modelů pro simulaci Monte Carlo a metodu klouzavého průměru. Průměrná odchylka je udávána v jednotkách Euro/MWh. Metoda Mean-reversion model Jump-diffusion model Regime-switching model Simulace Monte Carlo Metoda klouzavého průměru 3,82 6,58 4,77 2,89 3,28 3,9 61

13. Závěr 13. Závěr V první teoretické části jsem probral proces liberalizace trhu, rozdělení a popis trhů. Uvedl jsem nejdůležitější energetické burzy a jejich vlastnosti, definoval pojem derivátu a uvedl charakteristické vlastnosti elektrické energie, které se podílejí na tvorbě ceny derivátů. Z korelační analýzy burz EEX a PXE jsem získal korelační koeficient 0,99813. Tímto jsem zjistil, že burzy spolu téměř dokonale korelují a tudíž není potřeba navrhovat korelační funkci pro přenos hodnot z EEX do ČR. Dále jsem popsal modely používané pro oceňování derivátů na energetických burzách. Rozhodl jsem se pro predikci pomocí modelů: Mean-reversion, Jump-diffusion a Regimeswitching. Pro tyto modely jsem pak hledal postupy pro optimální nastavení parametrů. Použil jsem metody: lineární regresi pro Mean-reversion model a střední režim Jumpdiffusion modelu, metodu maximální věrohodnosti (E-M algoritmus) pro střední část Regimeswitching modelu a pro skokové části Jump-diffusion a Regime-switching modelu jsem použil Poissonův proces. Dále jsem udělal analýzu vstupních dat určených pro kalibraci modelu a z této analýzy vyplynuly 3 datové soubory určené pro kalibraci. První soubor jsou všechna data od roku 2006 do roku 2009. Druhým souborem jsou data pro rok 2009. Posledním souborem dat jsou vyfiltrovaná data mezi roky 2006 a 2009 s vyřazením abnormálních hodnot spotových cen. Následně jsem provedl predikci nových hodnot spotových cen a porovnal tato data se skutečně naměřenými hodnotami. Výsledky predikce se pohybovaly v hodnotách odchylky 6,73 13,99 Euro/MWh, což při průměrné ceně 47,71 Euro/MWh znamená odchylku 14 29%. Nejlepších výsledků bylo dosaženo pro Jump-diffusion model a pro kalibraci na rok 2009 a filtrovaných datech. Z těchto dat jsem vypočítal ceny futures pomocí vyhlazení spotových cen simulací Monte Carlo a metodou klouzavého průměru. Odchylky vypočítané ceny futures od skutečně naměřené ceny futures byly v rozsahu 2,89 6,58 Euro/MWh což při průměrné ceně 52,6 Euro/MWh znamená odchylku 5,5 12,5%. Cenu futures jsem z vyhlazené spotové ceny 62

13. Závěr vypočetl dle vztahu (5.2). Zde jsem použil bezrizikovou úrokovou míru dle Euribor pro rok 2010 (1,5%). Při analýze vzorce vidíme, že výše bezrizikové úrokové míry pro nás není moc důležitá, jelikož se jedná pouze o spojité úročení. Mnohem důležitější je metodika vyhlazení spotových cen. Z metod pro vyhlazení spotové ceny lépe dopadla metoda klouzavého průměru a z modelů predikce spotových cen (z nichž byla vypočítaná cena futures) dopadl nejlépe Mean-reversion model. Postup pro další práci bych navrhl ve zkoumání možných vstupů predikčních modelů. Mé modely vycházejí pouze z historických dat a nesledují jiné ekonomické ukazatele. Podle mého názoru by právě zde mohlo ležet řešení pro zpřesnění predikce modelu. Dále by se mohly podrobit analýze výskyty ekonomických, či sezónních cyklů a opět zapracovat tyto znalosti do vylepšení predikčních modelů. 63

14. <Seznam literatury 14. Seznam literatury [1] Álvaro Cartea, C. G.-P. (January 2012). How much should we pay for interconnecting electricity markets? A real options approach. V C. G.-P. Álvaro Cartea, Energy Economics (stránky Volume 34, Issue 1, 14-30). (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0140988311001241). [2] Bierbrauer, M., Menn, C., Rachev, S. T., & Truck, S. (2007). Spot and derivative pricing in the EEX power market. Journal of Banking & Finance, Elsevier, vol. 31(11), 3462-3485. [3] Blanco, C. &. (March 2001). Energy Price Processes Used for Derivatives Pricing & Risk Management. Financial Engineering Associates, 74-80. [4] Blanco, C. &. (September 2001). Jump Diffusion Processes - Energy Price Processes Used for Derivatives Pricing & Risk Management. Financial Engineering Associates, 83-87. [5] Blanco, C. &. (June 2001). Mean Reverting Processes - Energy Price Processes Used For Derivatives Pricing & Risk Management. Financial Engineering Associates, 68-72. [6] Carol, A. (1999). Corelation and Cointegration in Energy Markets. V A. Carol, Managing Energy Price Risk (stránky 291-304). Whiteknights: RISK Publications (2. vydání). [7] Cipra, T. (2008). Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress s.r.o. [8] Deng, S. (2000). Pricing Electricity Derivatives under Alternative Stochastic Spot Price Models. 33rd Hawaii International Conference on System Sciences-Volume 4, (str. http://www.computer.org/portal/web/csdl/doi/10.1109/hicss.2000.926755). Maui, Hawaii. [9] Deng, S., & Oren, S. (May June 2006). Electricity derivatives and risk management. V S. Deng, & S. Oren, Energy (stránky 940-953). Altanta: (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0360544205000496). [10] EUROPEAN ENERGY EXCHANGE. (2005). Získáno únor 2012, z http://www.eex.com/en/ [11] García-Martos, C., Rodríguez, J., & Sánchez, M. J. (November 2011). Forecasting electricity prices and their volatilities using Unobserved Components. V C. García-Martos, J. Rodríguez, & M. J. Sánchez, Energy Economics (stránky Volume 33, Issue 6, 1227-1239). (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0140988311001356). [12] Grim, J. (září 2010). www.utia.cas.cz. Získáno prosinec 2011, z Ústav teorie inforamce a automatizace AV ČR: http://www.utia.cas.cz/ro [13] Horáček, B. L. (2008). Modely oceňování lineárních a opčních derivátů a jejich praktická aplikace. Brno: diplomová práce Masarykova univerzita, Přírovědecká fakulta. [14] Chemišinec, I., Marvan, M., Nečesaný, J., Sýkora, T., & Tůma, J. (2010). Obchod s elektřinou. Praha: CONTE spol s.r.o. [15] Jílek, J. (2002). Finanční a komoditní deriváty. Praha: Grada. 64

14. <Seznam literatury [16] Lev, T. (2011). Oceňování derivátů na elektřinu na energetických burzách. Praha: diplomová práce, ČVUT. [17] Meyer-Brandis, T. a. (2008). MULTI-FACTOR JUMP-DIFFUSION MODELS OF ELECTRICITY PRICES. International Journal of Theoretical and Applied Finance (IJTAF), 11, issue 05, p. 503-528. [18] Moller, J., & Waagepetersen, R. P. (2004). Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes. V J. Moller, & R. P. Waagepetersen, Summary statistics (stránky 12-13). Boca Raton: A CRC Press Company. [19] POWER EXCHANGE CENTRAL EUROPE. (2007). Získáno únor 2012, z http://www.pxe.cz/ [20] Produkty na EEX. (2005). Získáno 28. únor 2012, z EUROPEAN ENERGY EXCHANGE: http://www.eex.com/en/market%20data/trading%20data/power/phelix%20futures%20 %20 Derivatives/Contract%20Information/futures-info/F1BY/2013.01 [21] Prokukty na PXE. (2007). Získáno 28. únor 2012, z POWER EXCHANGE CENTRAL EUROPE: http://www.pxe.cz/produkty/detail.aspx?isin=fczbly131231#kl [22] Schindlmayr, M. B. (2004). "A spot market model for pricing derivatives in electricity markets,". Quantitative Finance, Taylor and Francis Journals, vol. 4(1). [23] Smith, W. (2010). Estimating the parameters of a Mean reverting ornstein uhlenbeck process. WordPress. [24] Uhrig-Homburg, M., & Seifert, J. (January 2007). Modelling Jumps in electricity prices: theory and empirical evidence. Springer, 59-85. [25] Viehmann, J. (January 2011). Risk premiums in the German day-ahead Electricity Market. Energy Policy, Volume 39, Issue 1, 386-394. [26] Weron, R. &. (2010). "Efficient estimation of Markov Regime-switching models: An application to electricity wholesale market prices". Munich, Germany: MPRA Paper 26628, University Library of Munich. [27] Weron, R. (2008). Heavy-tails and Regime-switching in electricity prices. Munich, Germany: University Library of Munich. 65

15. Seznam grafů a obrázků 15. Seznam grafů a obrázků Obrázek 1. Vývoj spotových cen v čase na burzách EEX a PXE.... 20 Obrázek 2. Vývoj spotové a ceny futures predikovaného derivátu v čase.... 33 Obrázek 3. Znázornění kvartilů na spotové ceně.... 37 Obrázek 4. Spotová cena pro všechna kalibrační data... 43 Obrázek 5. Spotová cena pro rok 2009.... 44 Obrázek 6. Spotová cena pro filtrovaná kalibrační data.... 44 Obrázek 7. Predikce Mean-reversion modelu pro všechna kalibrační data.... 46 Obrázek 8. Obálková metoda pro Mean-reversion model pro všechna kalibrační data.... 46 Obrázek 9. Predikce Mean-reversion modelu pro kalibraci na roce 2009.... 47 Obrázek 10. Obálková metoda pro Mean-reversion model pro kalibraci na roce 2009.... 47 Obrázek 11. Predikce Mean-reversion modelu pro filtrovaná kalibrační data.... 48 Obrázek 12. Obálková metoda pro Mean-reversion model pro filtrovaná kalibrační data.... 48 Obrázek 13. Predikce Jump-diffusion modelu pro všechna kalibrační data.... 49 Obrázek 14. Obálková metoda pro Jump-diffusion model pro všechna kalibrační data.... 49 Obrázek 15. Predikce Jump-diffusion modelu pro kalibraci v roce 2009.... 50 Obrázek 16. Obálková metoda pro Jump-diffusion model pro kalibraci v roce 2009.... 50 Obrázek 17. Predikce Jump-diffusion modelu pro filtrovaná kalibrační data.... 51 Obrázek 18. Obálková metoda pro Jump-diffusion model pro filtrovaná kalibrační data.... 51 Obrázek 19. Predikce Regime-switching modelu pro všechna kalibrační data... 52 Obrázek 20. Obálková metoda pro Regime-switching model pro všechna kalibrační data.... 52 Obrázek 21. Predikce Regime-switching modelu pro kalibraci v roce 2009.... 53 Obrázek 22. Obálková metoda pro Regime-switching model pro kalibraci v roce 2009.... 53 Obrázek 23. Predikce Regime-switching modelu pro filtrovaná kalibrační data.... 54 Obrázek 24. Obálková metoda pro Regime-switching model pro filtrovaná kalibrační data.... 54 Obrázek 25. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Mean-reversion modelu.... 57 Obrázek 26. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Jump-diffusion modelu.... 58 Obrázek 27. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Regime-switching modelu.... 58 Obrázek 28. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Mean-reversion modelu.... 59 Obrázek 29. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Jump-diffusion modelu.... 60 Obrázek 30. Porovnání naměřené a vypočítané ceny futures dle Regime-switching modelu.... 60 66

16. Seznam příloh 16. Seznam příloh Příloha 1. Spotové ceny... 68 Příloha 2. Zdrojový kód - Mean-reversion model... 74 Příloha 3. Zdrojový kód - Jump-diffusion model... 81 Příloha 4. Zdrojový kód - Regime-switching model... 91 67

16. Seznam příloh Příloha 1. Spotové ceny Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena 29.12.2005 48,92 7.3.2006 84,14 17.5.2006 48,4 26.7.2006 100,7 2.10.2006 39,35 30.12.2005 35,19 8.3.2006 68,56 18.5.2006 35,98 27.7.2006 301,5 4.10.2006 49,3 2.1.2006 57,57 9.3.2006 72,66 19.5.2006 35,39 28.7.2006 110,3 5.10.2006 45,32 3.1.2006 61,65 10.3.2006 66,53 22.5.2006 30,29 31.7.2006 67,7 6.10.2006 26,91 4.1.2006 64,42 13.3.2006 68,23 23.5.2006 33,04 1.8.2006 55,45 9.10.2006 46,54 5.1.2006 65,06 14.3.2006 81,89 24.5.2006 37,6 2.8.2006 51,78 10.10.2006 52,45 6.1.2006 41,24 15.3.2006 74,37 26.5.2006 31,16 3.8.2006 48,38 11.10.2006 46,92 9.1.2006 80,42 16.3.2006 73,75 29.5.2006 35,82 4.8.2006 45,46 12.10.2006 56,72 10.1.2006 84,2 17.3.2006 73,8 30.5.2006 39,92 7.8.2006 43,05 13.10.2006 51,48 11.1.2006 73,32 20.3.2006 79,11 31.5.2006 46,04 8.8.2006 45,34 16.10.2006 52,84 12.1.2006 91,92 21.3.2006 83,91 1.6.2006 47,92 9.8.2006 46,33 17.10.2006 60,84 13.1.2006 66,99 22.3.2006 75,03 2.6.2006 42,15 10.8.2006 45,34 18.10.2006 56,2 16.1.2006 71,66 23.3.2006 62,46 6.6.2006 36,22 11.8.2006 39,85 19.10.2006 55,79 17.1.2006 65,81 24.3.2006 58,45 7.6.2006 42,59 14.8.2006 39,1 20.10.2006 52,56 18.1.2006 69,91 27.3.2006 47,75 8.6.2006 40,77 15.8.2006 38,55 23.10.2006 52,59 19.1.2006 67,02 28.3.2006 39,19 9.6.2006 41,76 16.8.2006 55,37 24.10.2006 46,38 20.1.2006 60,95 29.3.2006 43,54 12.6.2006 42,46 17.8.2006 51,53 25.10.2006 61,24 23.1.2006 72,78 30.3.2006 48,03 13.6.2006 52,67 18.8.2006 51 26.10.2006 40,8 24.1.2006 84,62 31.3.2006 40,62 14.6.2006 48,17 21.8.2006 46,33 27.10.2006 42,4 25.1.2006 81,85 3.4.2006 44,5 15.6.2006 35,27 22.8.2006 51,19 30.10.2006 56,43 26.1.2006 108,3 4.4.2006 53,74 16.6.2006 48,55 23.8.2006 54,37 31.10.2006 41,45 27.1.2006 112,7 5.4.2006 56,36 19.6.2006 45,78 24.8.2006 53,73 1.11.2006 28,05 30.1.2006 74,9 6.4.2006 50,19 20.6.2006 45,7 25.8.2006 50,13 2.11.2006 53,86 31.1.2006 81,33 7.4.2006 51,86 21.6.2006 45,94 28.8.2006 51,97 3.11.2006 62,39 1.2.2006 82,73 10.4.2006 46,96 22.6.2006 42,35 29.8.2006 51,84 6.11.2006 60,52 2.2.2006 83,27 11.4.2006 58,54 23.6.2006 47,5 30.8.2006 51,27 7.11.2006 162,3 3.2.2006 95,93 12.4.2006 52,04 26.6.2006 43,24 31.8.2006 46,77 8.11.2006 55,3 6.2.2006 87,45 13.4.2006 46,12 27.6.2006 49,32 1.9.2006 41,61 9.11.2006 56,07 7.2.2006 67,6 18.4.2006 45,16 28.6.2006 52,38 4.9.2006 39,78 10.11.2006 65,26 8.2.2006 58,14 19.4.2006 49,83 29.6.2006 49,43 5.9.2006 57,58 13.11.2006 54,92 9.2.2006 68,56 20.4.2006 46,93 30.6.2006 43,1 6.9.2006 58,81 14.11.2006 54,07 10.2.2006 78,16 21.4.2006 60,3 3.7.2006 43,81 7.9.2006 53,07 15.11.2006 51,47 13.2.2006 88,13 24.4.2006 48,97 4.7.2006 55,44 8.9.2006 53,19 16.11.2006 44,94 14.2.2006 87,68 25.4.2006 43,96 5.7.2006 56,04 11.9.2006 52,46 17.11.2006 46,2 15.2.2006 71,24 26.4.2006 50,23 6.7.2006 57,27 12.9.2006 57,61 20.11.2006 47,71 16.2.2006 73,09 27.4.2006 46,86 7.7.2006 48,32 13.9.2006 50,85 21.11.2006 70,2 17.2.2006 67,33 28.4.2006 46,91 10.7.2006 49,5 14.9.2006 60,11 22.11.2006 55,04 20.2.2006 68,69 2.5.2006 43,28 11.7.2006 55,66 15.9.2006 39,9 23.11.2006 46,07 21.2.2006 69,7 3.5.2006 46,65 12.7.2006 62,93 18.9.2006 50,76 24.11.2006 46,42 22.2.2006 74,5 4.5.2006 34,24 13.7.2006 60,79 19.9.2006 50,92 27.11.2006 55,01 23.2.2006 86,08 5.5.2006 34,52 14.7.2006 49,74 20.9.2006 54,55 28.11.2006 51,37 24.2.2006 63,03 8.5.2006 33,52 17.7.2006 71,57 21.9.2006 51,43 29.11.2006 54,49 27.2.2006 66,37 9.5.2006 40,15 18.7.2006 91,57 22.9.2006 46,83 30.11.2006 53,76 28.2.2006 66,41 10.5.2006 42,16 19.7.2006 93,9 25.9.2006 51,79 1.12.2006 41,82 1.3.2006 65,16 11.5.2006 42,53 20.7.2006 71 26.9.2006 54,94 4.12.2006 39,13 2.3.2006 80,16 12.5.2006 41,21 21.7.2006 104,8 27.9.2006 56,52 5.12.2006 37,1 3.3.2006 73,55 15.5.2006 46,44 24.7.2006 116,9 28.9.2006 54,95 6.12.2006 45,21 6.3.2006 76,65 16.5.2006 35,57 25.7.2006 222,7 29.9.2006 51,8 7.12.2006 39,96 68

16. Seznam příloh Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena 8.12.2006 42,92 22.2.2007 30,99 9.5.2007 33,44 23.7.2007 38,72 2.10.2007 46,93 11.12.2006 47,65 23.2.2007 23,48 10.5.2007 29,86 24.7.2007 23,89 4.10.2007 48,03 12.12.2006 49,77 26.2.2007 28,47 11.5.2007 28,9 25.7.2007 31,69 5.10.2007 51,9 13.12.2006 43,76 27.2.2007 24,67 14.5.2007 38,94 26.7.2007 28,06 8.10.2007 56,31 14.12.2006 38,05 28.2.2007 28,29 15.5.2007 45,84 27.7.2007 25,06 9.10.2007 53,99 15.12.2006 40,13 1.3.2007 22,3 16.5.2007 37,77 30.7.2007 23,6 10.10.2007 57,41 18.12.2006 65,3 2.3.2007 24,55 18.5.2007 25,62 31.7.2007 21,5 11.10.2007 53,73 19.12.2006 56,66 5.3.2007 24,56 21.5.2007 43,14 1.8.2007 26,21 12.10.2007 47,61 20.12.2006 55,66 6.3.2007 24,56 22.5.2007 58 2.8.2007 27,15 15.10.2007 50,06 21.12.2006 63,78 7.3.2007 31,97 23.5.2007 74,67 3.8.2007 32,71 16.10.2007 47,78 22.12.2006 51,48 8.3.2007 28,97 24.5.2007 38,82 6.8.2007 29,47 17.10.2007 54,38 27.12.2006 43,31 9.3.2007 26,61 25.5.2007 37,72 7.8.2007 28,72 18.10.2007 53,01 28.12.2006 33,75 12.3.2007 27,81 29.5.2007 38,69 8.8.2007 30,2 19.10.2007 61,55 29.12.2006 36,17 13.3.2007 31,18 30.5.2007 32,54 9.8.2007 27,41 22.10.2007 76,2 2.1.2007 32,9 14.3.2007 29,24 31.5.2007 39,3 10.8.2007 29,51 23.10.2007 79,05 3.1.2007 44,43 15.3.2007 28,7 1.6.2007 39,51 13.8.2007 34,04 24.10.2007 107,8 4.1.2007 28,25 16.3.2007 30,08 4.6.2007 37,62 14.8.2007 36,77 25.10.2007 110,8 5.1.2007 35,55 19.3.2007 24,82 5.6.2007 43,12 15.8.2007 22,53 26.10.2007 63,25 8.1.2007 37,38 20.3.2007 29,61 6.6.2007 42,79 16.8.2007 28,17 29.10.2007 80,96 9.1.2007 29,39 21.3.2007 29,95 7.6.2007 27,64 17.8.2007 33,54 30.10.2007 91,73 10.1.2007 28,38 22.3.2007 31,3 8.6.2007 36,54 20.8.2007 36,19 31.10.2007 61,26 11.1.2007 26,72 23.3.2007 30,23 11.6.2007 43,39 21.8.2007 31,71 1.11.2007 37,77 12.1.2007 24,4 26.3.2007 28,16 12.6.2007 85,41 22.8.2007 31,45 2.11.2007 54,46 15.1.2007 35,5 27.3.2007 29,08 13.6.2007 48,07 23.8.2007 32,49 5.11.2007 88,41 16.1.2007 37,83 28.3.2007 27,38 14.6.2007 45,61 24.8.2007 36,61 6.11.2007 54,74 17.1.2007 32,26 29.3.2007 27,56 15.6.2007 33,77 27.8.2007 32,69 7.11.2007 52,51 18.1.2007 32,82 30.3.2007 33,1 18.6.2007 47,83 28.8.2007 36,21 8.11.2007 62,37 19.1.2007 24,44 2.4.2007 31,87 19.6.2007 44,79 29.8.2007 36,81 9.11.2007 43,64 22.1.2007 40,44 3.4.2007 31,46 20.6.2007 41,35 30.8.2007 34,03 12.11.2007 52,53 23.1.2007 52,68 4.4.2007 37,39 21.6.2007 66,81 31.8.2007 28,52 13.11.2007 77,67 24.1.2007 44,03 5.4.2007 30,87 22.6.2007 34,11 3.9.2007 29,67 14.11.2007 114,1 25.1.2007 65,21 10.4.2007 28,58 25.6.2007 40,2 4.9.2007 34,5 15.11.2007 145,5 26.1.2007 35,74 11.4.2007 39,22 26.6.2007 33,02 5.9.2007 36,2 16.11.2007 66,67 29.1.2007 43,3 12.4.2007 41,17 27.6.2007 22,62 6.9.2007 35,83 19.11.2007 93,92 30.1.2007 46,49 13.4.2007 34,5 28.6.2007 26,18 7.9.2007 36,15 20.11.2007 127,1 31.1.2007 39,42 16.4.2007 36,61 29.6.2007 28,66 10.9.2007 35,91 21.11.2007 90,73 1.2.2007 43,89 17.4.2007 37,16 2.7.2007 35,99 11.9.2007 37,47 22.11.2007 97,04 2.2.2007 41,49 18.4.2007 30,85 3.7.2007 38,21 12.9.2007 43,39 23.11.2007 87,04 5.2.2007 42,47 19.4.2007 30,54 4.7.2007 34,55 13.9.2007 44,81 26.11.2007 59,32 6.2.2007 44,33 20.4.2007 31,26 5.7.2007 33,73 14.9.2007 33,36 27.11.2007 67,3 7.2.2007 50,8 23.4.2007 36,35 6.7.2007 26,37 17.9.2007 37,29 28.11.2007 74,71 8.2.2007 39,09 24.4.2007 67,91 9.7.2007 34,87 18.9.2007 38,92 29.11.2007 65,47 9.2.2007 39,74 25.4.2007 34,44 10.7.2007 34,34 19.9.2007 43,46 30.11.2007 53,4 12.2.2007 36,08 26.4.2007 38,39 11.7.2007 30,1 20.9.2007 37,68 3.12.2007 44,59 13.2.2007 32,18 27.4.2007 37,6 12.7.2007 32,22 21.9.2007 39,84 4.12.2007 58,1 14.2.2007 32,7 30.4.2007 23,54 13.7.2007 29,91 24.9.2007 38,98 5.12.2007 45,37 15.2.2007 34,23 2.5.2007 36,69 16.7.2007 36,19 25.9.2007 44,31 6.12.2007 50,34 16.2.2007 23,83 3.5.2007 37,21 17.7.2007 38,03 26.9.2007 53,08 7.12.2007 41,38 19.2.2007 31,04 4.5.2007 33,89 18.7.2007 41,88 27.9.2007 44,11 10.12.2007 62,64 20.2.2007 34,28 7.5.2007 31,83 19.7.2007 35,77 28.9.2007 38,68 11.12.2007 68,88 21.2.2007 32,55 8.5.2007 28,4 20.7.2007 41,63 1.10.2007 45,25 12.12.2007 84,51 69

16. Seznam příloh Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena 13.12.2007 86 29.2.2008 61,27 16.5.2008 64,32 28.7.2008 70,06 8.10.2008 117,4 14.12.2007 69,33 3.3.2008 52,44 19.5.2008 67,26 29.7.2008 74,75 9.10.2008 111,9 17.12.2007 84,49 4.3.2008 61,4 20.5.2008 66,75 30.7.2008 77,05 10.10.2008 99,92 18.12.2007 96,59 5.3.2008 64,72 21.5.2008 67,63 31.7.2008 75,96 13.10.2008 91,98 19.12.2007 159 6.3.2008 57,92 22.5.2008 61,22 1.8.2008 67,31 14.10.2008 102,2 20.12.2007 79,82 7.3.2008 65,74 23.5.2008 64,78 4.8.2008 54,83 15.10.2008 88,59 21.12.2007 78,06 10.3.2008 58,62 26.5.2008 60,82 5.8.2008 54,38 16.10.2008 88,77 27.12.2007 32,65 11.3.2008 59,39 27.5.2008 61,49 6.8.2008 68,19 17.10.2008 76,14 28.12.2007 25,95 12.3.2008 47,04 28.5.2008 63,03 7.8.2008 60,51 20.10.2008 73,87 2.1.2008 58,51 13.3.2008 53,59 29.5.2008 71,33 8.8.2008 60,68 21.10.2008 84,33 3.1.2008 54,98 14.3.2008 55,46 30.5.2008 65,34 11.8.2008 60,7 22.10.2008 99,85 4.1.2008 55,99 17.3.2008 55,2 2.6.2008 73,46 12.8.2008 63,18 23.10.2008 91,38 7.1.2008 68,47 18.3.2008 56,59 3.6.2008 90,06 13.8.2008 47,43 24.10.2008 85,64 8.1.2008 68,14 19.3.2008 64,74 4.6.2008 94,38 14.8.2008 59,25 27.10.2008 102,3 9.1.2008 61,84 20.3.2008 62,75 5.6.2008 77,57 15.8.2008 62,9 28.10.2008 96,42 10.1.2008 66,03 25.3.2008 61,02 6.6.2008 78,16 18.8.2008 59,54 29.10.2008 97,84 11.1.2008 64,3 26.3.2008 67,05 9.6.2008 84,99 19.8.2008 61,51 30.10.2008 97,62 14.1.2008 66,32 27.3.2008 71,93 10.6.2008 78,23 20.8.2008 61,92 31.10.2008 85,58 15.1.2008 64,05 28.3.2008 63,57 11.6.2008 75,26 21.8.2008 70,33 3.11.2008 83,73 16.1.2008 66,99 31.3.2008 61,11 12.6.2008 83,12 22.8.2008 72,67 4.11.2008 83,07 17.1.2008 72,98 1.4.2008 66,1 13.6.2008 68,84 25.8.2008 76,35 5.11.2008 73,85 18.1.2008 59,97 2.4.2008 66,55 16.6.2008 81,63 26.8.2008 79,65 6.11.2008 83,57 21.1.2008 54,3 3.4.2008 69,07 17.6.2008 78,27 27.8.2008 83,5 7.11.2008 77,39 22.1.2008 63,87 4.4.2008 69,88 18.6.2008 73,05 28.8.2008 86,31 10.11.2008 50,61 23.1.2008 59,25 7.4.2008 74,82 19.6.2008 72,17 29.8.2008 86,68 11.11.2008 56,35 24.1.2008 61,35 8.4.2008 94,94 20.6.2008 71,14 1.9.2008 88,71 12.11.2008 71,11 25.1.2008 48,86 9.4.2008 98,68 23.6.2008 75,32 2.9.2008 87,59 13.11.2008 77,86 28.1.2008 59,97 10.4.2008 85,08 24.6.2008 93,87 3.9.2008 92,57 14.11.2008 66,82 29.1.2008 70,67 11.4.2008 78,19 25.6.2008 92,15 4.9.2008 97,46 17.11.2008 69,21 30.1.2008 67,83 14.4.2008 79,32 26.6.2008 91,89 5.9.2008 96,07 18.11.2008 59,35 31.1.2008 58,25 15.4.2008 79,32 27.6.2008 78,19 8.9.2008 97,18 19.11.2008 59,56 1.2.2008 47,57 16.4.2008 80,32 30.6.2008 89,19 9.9.2008 91,88 20.11.2008 56,97 4.2.2008 58,85 17.4.2008 82,55 1.7.2008 83,02 10.9.2008 102,8 21.11.2008 57,62 5.2.2008 57,33 18.4.2008 74,61 2.7.2008 95,44 11.9.2008 96,99 24.11.2008 95,2 6.2.2008 56,73 21.4.2008 66,36 3.7.2008 102,2 12.9.2008 84,24 25.11.2008 104,9 7.2.2008 62,89 22.4.2008 61,78 4.7.2008 75,61 15.9.2008 95,19 26.11.2008 70,48 8.2.2008 65,78 23.4.2008 66,25 7.7.2008 76,29 16.9.2008 105,4 27.11.2008 70,85 11.2.2008 67,91 24.4.2008 69,81 8.7.2008 69,7 17.9.2008 89,11 28.11.2008 73,26 12.2.2008 67,15 25.4.2008 60,05 9.7.2008 75,22 18.9.2008 96,53 1.12.2008 70,82 13.2.2008 68,01 28.4.2008 64,22 10.7.2008 79,3 19.9.2008 94,71 2.12.2008 71,05 14.2.2008 66,63 29.4.2008 69 11.7.2008 82,54 22.9.2008 93,44 3.12.2008 66,17 15.2.2008 66,06 30.4.2008 59,98 14.7.2008 71,27 23.9.2008 100,4 4.12.2008 68,29 18.2.2008 66,8 2.5.2008 44,82 15.7.2008 71,4 24.9.2008 108,9 5.12.2008 65,13 19.2.2008 79,3 5.5.2008 65,82 16.7.2008 71,4 25.9.2008 97,85 8.12.2008 67,43 20.2.2008 76,34 6.5.2008 66,45 17.7.2008 77,79 26.9.2008 94,52 9.12.2008 81,63 21.2.2008 63,91 7.5.2008 66,33 18.7.2008 73,88 29.9.2008 101,7 10.12.2008 78,91 22.2.2008 53,85 8.5.2008 65,32 21.7.2008 56,73 30.9.2008 91,57 11.12.2008 86,64 25.2.2008 63,99 9.5.2008 55,62 22.7.2008 65,68 1.10.2008 81,58 12.12.2008 70,96 26.2.2008 54,68 13.5.2008 56,63 23.7.2008 65,55 2.10.2008 85,67 15.12.2008 69,53 27.2.2008 53,67 14.5.2008 67,1 24.7.2008 70,32 6.10.2008 131,4 16.12.2008 69,11 28.2.2008 67,06 15.5.2008 69,47 25.7.2008 69,85 7.10.2008 102,5 17.12.2008 68,17 70

16. Seznam příloh Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena 18.12.2008 59,08 6.3.2009 40,48 22.5.2009 29,03 4.8.2009 35,84 14.10.2009 45,5 19.12.2008 52,69 9.3.2009 38,19 25.5.2009 38,75 5.8.2009 32,68 15.10.2009 48,12 22.12.2008 22,7 10.3.2009 42,3 26.5.2009 30,46 6.8.2009 36,62 16.10.2009 41,89 23.12.2008 43,41 11.3.2009 41,79 27.5.2009 32,57 7.8.2009 34,19 19.10.2009 59,84 29.12.2008 51,08 12.3.2009 41,42 28.5.2009 34,39 10.8.2009 36,02 20.10.2009 51,82 30.12.2008 51,91 13.3.2009 42,85 29.5.2009 31,57 11.8.2009 34,07 21.10.2009 51,69 2.1.2009 53,74 16.3.2009 38,19 2.6.2009 33,45 12.8.2009 31,99 22.10.2009 50,64 5.1.2009 52,31 17.3.2009 37,34 3.6.2009 30,31 13.8.2009 33,35 23.10.2009 57,32 6.1.2009 50,3 18.3.2009 36,82 4.6.2009 37,25 14.8.2009 36,71 26.10.2009 39,45 7.1.2009 64,74 19.3.2009 38,2 5.6.2009 38,32 17.8.2009 36,26 27.10.2009 57,01 8.1.2009 79,45 20.3.2009 39,4 8.6.2009 38,67 18.8.2009 40,87 28.10.2009 56,49 9.1.2009 75,03 23.3.2009 30,67 9.6.2009 39,39 19.8.2009 39,45 29.10.2009 59,02 12.1.2009 57,79 24.3.2009 38,77 10.6.2009 36,8 20.8.2009 38,21 30.10.2009 43,62 13.1.2009 74,18 25.3.2009 40,46 11.6.2009 30,94 21.8.2009 44,71 2.11.2009 51,69 14.1.2009 76,55 26.3.2009 40,44 12.6.2009 26,66 24.8.2009 45,18 3.11.2009 48,19 15.1.2009 86,36 27.3.2009 35,54 15.6.2009 41,06 25.8.2009 51,77 4.11.2009 38,04 16.1.2009 67,95 30.3.2009 41,93 16.6.2009 40,13 26.8.2009 49,83 5.11.2009 39,29 19.1.2009 56,39 31.3.2009 38,96 17.6.2009 35,8 27.8.2009 53,59 6.11.2009 41,91 20.1.2009 58,83 1.4.2009 40,57 18.6.2009 37,75 28.8.2009 41,53 9.11.2009 37,48 21.1.2009 60,53 2.4.2009 38,14 19.6.2009 34,6 31.8.2009 42,17 10.11.2009 48,74 22.1.2009 55,04 3.4.2009 37,59 22.6.2009 32,64 1.9.2009 37,25 11.11.2009 41,21 23.1.2009 49,46 6.4.2009 37,87 23.6.2009 33,85 2.9.2009 40,92 12.11.2009 46,18 26.1.2009 61,56 7.4.2009 31,87 24.6.2009 33,87 3.9.2009 37,92 13.11.2009 39,23 27.1.2009 62,52 8.4.2009 35,54 25.6.2009 37,11 4.9.2009 30,56 16.11.2009 38,95 28.1.2009 62,13 9.4.2009 34,63 26.6.2009 36,05 7.9.2009 38,98 17.11.2009 39,55 29.1.2009 69,9 14.4.2009 36,24 29.6.2009 38,02 8.9.2009 46,71 18.11.2009 33,51 30.1.2009 60,33 15.4.2009 31,55 30.6.2009 41,88 9.9.2009 45,31 19.11.2009 35,96 2.2.2009 49,47 16.4.2009 33,65 1.7.2009 47,69 10.9.2009 43,34 20.11.2009 33,38 3.2.2009 60,44 17.4.2009 32,7 2.7.2009 46,9 11.9.2009 40,05 23.11.2009 25,97 4.2.2009 64,03 20.4.2009 38,41 3.7.2009 44,19 14.9.2009 35,93 24.11.2009 23,08 5.2.2009 57,35 21.4.2009 38,78 6.7.2009 44,18 15.9.2009 35,43 25.11.2009 32,37 6.2.2009 55,5 22.4.2009 37,26 7.7.2009 36,99 16.9.2009 37,52 26.11.2009 32,59 9.2.2009 61,47 23.4.2009 39,91 8.7.2009 38,84 17.9.2009 42,98 27.11.2009 32,32 10.2.2009 46,29 24.4.2009 38,3 9.7.2009 35,98 18.9.2009 41,07 30.11.2009 42,92 11.2.2009 49 27.4.2009 33,85 10.7.2009 32,85 21.9.2009 48,31 1.12.2009 39,44 12.2.2009 52,18 28.4.2009 39,64 13.7.2009 39,15 22.9.2009 43,28 2.12.2009 42,1 13.2.2009 55,92 29.4.2009 40,23 14.7.2009 37,26 23.9.2009 42,77 3.12.2009 34,7 16.2.2009 65,91 30.4.2009 37,18 15.7.2009 41,22 24.9.2009 46,43 4.12.2009 43,83 17.2.2009 52,15 4.5.2009 17,06 16.7.2009 40,11 25.9.2009 43,89 7.12.2009 38,02 18.2.2009 51,86 5.5.2009 36,72 17.7.2009 35,38 28.9.2009 45,83 8.12.2009 38,27 19.2.2009 52,27 6.5.2009 36,46 20.7.2009 35,01 29.9.2009 50,35 9.12.2009 44,75 20.2.2009 48,54 7.5.2009 37,23 21.7.2009 36,4 30.9.2009 63,14 10.12.2009 41,28 23.2.2009 37,01 8.5.2009 34,88 22.7.2009 36,01 1.10.2009 43,97 11.12.2009 40,63 24.2.2009 49,31 11.5.2009 33 23.7.2009 38,22 2.10.2009 48,63 14.12.2009 48,43 25.2.2009 41,88 12.5.2009 33,14 24.7.2009 36,11 5.10.2009 52,5 15.12.2009 56,39 26.2.2009 38,04 13.5.2009 35,23 27.7.2009 35,32 6.10.2009 61,69 16.12.2009 59,71 27.2.2009 40,9 14.5.2009 32,34 28.7.2009 34,36 7.10.2009 55,54 17.12.2009 49,11 2.3.2009 47 15.5.2009 30,97 29.7.2009 33,22 8.10.2009 53,77 18.12.2009 42,81 3.3.2009 40,58 18.5.2009 36,75 30.7.2009 27,29 9.10.2009 48,91 21.12.2009 38,37 4.3.2009 40,8 19.5.2009 41,05 31.7.2009 34,28 12.10.2009 38,48 22.12.2009 40,44 5.3.2009 44,33 20.5.2009 38,49 3.8.2009 32,79 13.10.2009 41,51 23.12.2009 39,57 71

16. Seznam příloh Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena 24.12.2009 34,17 10.3.2010 50,99 24.5.2010 30,63 3.8.2010 41,38 13.10.2010 55,68 28.12.2009 36,01 11.3.2010 51,01 25.5.2010 43,6 4.8.2010 39,21 14.10.2010 56,39 29.12.2009 34,56 12.3.2010 43,19 26.5.2010 48,75 5.8.2010 38,51 15.10.2010 59,66 30.12.2009 31,55 15.3.2010 45,41 27.5.2010 46,21 6.8.2010 40,56 18.10.2010 58,08 4.1.2010 40,02 16.3.2010 48,64 28.5.2010 43,94 9.8.2010 40,25 19.10.2010 55,5 5.1.2010 43,71 17.3.2010 40,74 31.5.2010 38,76 10.8.2010 42,91 20.10.2010 53,59 6.1.2010 44,42 18.3.2010 41,27 1.6.2010 38,62 11.8.2010 42,53 21.10.2010 53,31 7.1.2010 50,59 19.3.2010 35,67 2.6.2010 42,75 12.8.2010 43,97 22.10.2010 53,97 8.1.2010 46,37 22.3.2010 43,89 3.6.2010 36,42 13.8.2010 44,77 25.10.2010 54,59 11.1.2010 45,31 23.3.2010 37,26 4.6.2010 44,38 16.8.2010 41,38 26.10.2010 55,26 12.1.2010 53,26 24.3.2010 36,07 7.6.2010 41,03 17.8.2010 41,35 27.10.2010 51,95 13.1.2010 44,14 25.3.2010 35,38 8.6.2010 53,7 18.8.2010 39,57 28.10.2010 52,39 14.1.2010 47,75 26.3.2010 37,32 9.6.2010 47,42 19.8.2010 41,04 29.10.2010 50,62 15.1.2010 49,9 29.3.2010 35,92 10.6.2010 48,24 20.8.2010 44,81 1.11.2010 48,28 18.1.2010 46,98 30.3.2010 36,9 11.6.2010 47,68 23.8.2010 44,59 2.11.2010 48,04 19.1.2010 45,97 31.3.2010 36,17 14.6.2010 43,6 24.8.2010 38,86 3.11.2010 44,76 20.1.2010 43,89 1.4.2010 38,8 15.6.2010 45,57 25.8.2010 41,34 4.11.2010 45,36 21.1.2010 45,54 6.4.2010 49,87 16.6.2010 46,59 26.8.2010 49,1 5.11.2010 44,5 22.1.2010 43,53 7.4.2010 43,86 17.6.2010 48,97 27.8.2010 52,34 8.11.2010 54,4 25.1.2010 48,08 8.4.2010 43,43 18.6.2010 45,94 30.8.2010 42,2 9.11.2010 49,28 26.1.2010 54,07 9.4.2010 43,32 21.6.2010 45,32 31.8.2010 47,78 10.11.2010 51,21 27.1.2010 45,9 12.4.2010 41,76 22.6.2010 48,16 1.9.2010 44,82 11.11.2010 41,8 28.1.2010 41,09 13.4.2010 45,93 23.6.2010 48,78 2.9.2010 47,05 12.11.2010 37,75 29.1.2010 49,18 14.4.2010 46,22 24.6.2010 53,21 3.9.2010 48,04 15.11.2010 47,57 1.2.2010 45,58 15.4.2010 48,34 25.6.2010 45,98 6.9.2010 43,41 16.11.2010 52,12 2.2.2010 40,75 16.4.2010 41,61 28.6.2010 50,99 7.9.2010 39,39 17.11.2010 53,16 3.2.2010 43,61 19.4.2010 45,06 29.6.2010 46,92 8.9.2010 42 18.11.2010 53,37 4.2.2010 47,99 20.4.2010 42,62 30.6.2010 51,17 9.9.2010 43,99 19.11.2010 53,58 5.2.2010 41,63 21.4.2010 40,42 1.7.2010 53,57 10.9.2010 48,43 22.11.2010 50,49 8.2.2010 51,61 22.4.2010 42,14 2.7.2010 51,63 13.9.2010 50,86 23.11.2010 51,87 9.2.2010 51,34 23.4.2010 44,48 5.7.2010 50,41 14.9.2010 45,74 24.11.2010 55,55 10.2.2010 51,4 26.4.2010 40,17 6.7.2010 47,21 15.9.2010 43,89 25.11.2010 60,94 11.2.2010 47,66 27.4.2010 41,62 7.7.2010 49,34 16.9.2010 46,27 26.11.2010 60,02 12.2.2010 46,12 28.4.2010 43,98 8.7.2010 52,23 17.9.2010 44,77 29.11.2010 56,42 15.2.2010 51,07 29.4.2010 41,14 9.7.2010 54,19 20.9.2010 42,19 30.11.2010 58,98 16.2.2010 49,71 30.4.2010 39,62 12.7.2010 52,65 21.9.2010 48,35 1.12.2010 51,69 17.2.2010 49,27 3.5.2010 45,49 13.7.2010 53,29 22.9.2010 50,6 2.12.2010 63,92 18.2.2010 46,71 4.5.2010 44,52 14.7.2010 50,96 23.9.2010 50,78 3.12.2010 70,94 19.2.2010 41,57 5.5.2010 46,45 15.7.2010 49,09 24.9.2010 47,92 6.12.2010 70,15 22.2.2010 37,93 6.5.2010 46,31 16.7.2010 48,99 27.9.2010 54,6 7.12.2010 69,47 23.2.2010 40,87 7.5.2010 48,89 19.7.2010 48,22 28.9.2010 53,47 8.12.2010 59,38 24.2.2010 38,19 10.5.2010 50,28 20.7.2010 50,13 29.9.2010 56,27 9.12.2010 51,68 25.2.2010 35,64 11.5.2010 50,96 21.7.2010 48,81 30.9.2010 57,25 10.12.2010 58,04 26.2.2010 37,59 12.5.2010 48,93 22.7.2010 48,92 1.10.2010 55,24 13.12.2010 63,67 1.3.2010 32,83 13.5.2010 44,8 23.7.2010 46,94 4.10.2010 43,38 14.12.2010 67,06 2.3.2010 41,57 14.5.2010 47,44 26.7.2010 45,11 5.10.2010 52,08 15.12.2010 72,06 3.3.2010 38,57 17.5.2010 46,07 27.7.2010 45,26 6.10.2010 50,02 16.12.2010 61,01 4.3.2010 42,67 18.5.2010 47,61 28.7.2010 42,88 7.10.2010 54,81 17.12.2010 66,95 5.3.2010 41,56 19.5.2010 46,27 29.7.2010 44,05 8.10.2010 48,38 20.12.2010 65,05 8.3.2010 52,03 20.5.2010 48,52 30.7.2010 39,27 11.10.2010 53,13 21.12.2010 66,69 9.3.2010 54 21.5.2010 48,27 2.8.2010 40,75 12.10.2010 56,17 22.12.2010 56,63 72

16. Seznam příloh Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena Datum Spot. cena 23.12.2010 52,8 6.1.2011 47,28 20.1.2011 56,6 3.2.2011 51,43 17.2.2011 56,58 24.12.2010 36,51 7.1.2011 52,23 21.1.2011 57,29 4.2.2011 34,06 18.2.2011 57,42 27.12.2010 56,45 10.1.2011 48,9 24.1.2011 58,17 7.2.2011 42,03 21.2.2011 58,71 28.12.2010 55,51 11.1.2011 56,77 25.1.2011 53,98 8.2.2011 50,14 22.2.2011 58,77 29.12.2010 55,47 12.1.2011 49,48 26.1.2011 58,99 9.2.2011 55,32 23.2.2011 59,18 30.12.2010 52,51 13.1.2011 47,51 27.1.2011 58,27 10.2.2011 54,05 24.2.2011 58,31 31.12.2010 45,62 14.1.2011 45,59 28.1.2011 57,58 11.2.2011 53,69 25.2.2011 56,31 3.1.2011 59,86 17.1.2011 48,19 31.1.2011 61,76 14.2.2011 47,25 28.2.2011 60,15 4.1.2011 57,64 18.1.2011 52,94 1.2.2011 58,82 15.2.2011 55,33 1.3.2011 58,25 5.1.2011 55,08 19.1.2011 57,14 2.2.2011 55,55 16.2.2011 54,76 73

16. Seznam příloh Příloha 2. Zdrojový kód - Mean-reversion model 74

16. Seznam příloh 75

16. Seznam příloh 76

16. Seznam příloh 77

16. Seznam příloh 78

16. Seznam příloh 79

16. Seznam příloh 80

16. Seznam příloh Příloha 3. Zdrojový kód - Jump-diffusion model 81

16. Seznam příloh 82

16. Seznam příloh 83

16. Seznam příloh 84

16. Seznam příloh 85

16. Seznam příloh 86

16. Seznam příloh 87

16. Seznam příloh 88

16. Seznam příloh 89

16. Seznam příloh 90

16. Seznam příloh Příloha 4. Zdrojový kód - Regime-switching model 91

16. Seznam příloh 92

16. Seznam příloh 93

16. Seznam příloh 94

16. Seznam příloh 95

16. Seznam příloh 96

16. Seznam příloh 97

16. Seznam příloh 98

16. Seznam příloh 99

16. Seznam příloh 100

16. Seznam příloh 101

16. Seznam příloh 102

16. Seznam příloh 103

16. Seznam příloh 104

16. Seznam příloh 105