becvar

Jindřich Bečvář Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Banská Bystrica, 11. října 2016 becvar@karlin.mff.cuni.cz www.karlin.mff.cuni.cz/ becvar www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm

Osnova 1 Úvod 2 Prvočísla 3 Dokonalá čísla 4 Mersennova prvočísla 5 Důkazy beze slov

Úvod Marně by nám Eukleides předkládal nejkrásnější geometrické pravdy, kdyby nebyl dodal důkazy potřebné k tomu, aby nás přesvědčil. Na jeho pouhé slovo bychom mu ony pravdy nikdy neuvěřili. Leonhard Euler (1707 1783)

Úvod Marně by nám Eukleides předkládal nejkrásnější geometrické pravdy, kdyby nebyl dodal důkazy potřebné k tomu, aby nás přesvědčil. Na jeho pouhé slovo bychom mu ony pravdy nikdy neuvěřili. Leonhard Euler (1707 1783) Vědecké poznání je soubor tvrzení s různým stupněm jistoty; některá z těchto tvrzení jsou velmi nejistá, některá jsou téměř jistá, ale žádné z nich není zcela jisté. Richard Feynman (1918 1988) přednáška v Americké Národní Akademii Věd, 1955

Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)?

Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu?

Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom...

Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom... První důkazy: položit před oči, udělat zřejmým, viditelným

Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom... První důkazy: položit před oči, udělat zřejmým, viditelným Figurální čísla Práce se sudými a lichými čísly + =

Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom... První důkazy: položit před oči, udělat zřejmým, viditelným Figurální čísla Práce se sudými a lichými čísly + = Pýthagorova věta, Eukleidova věta o odvěsně,...

Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho

Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí

Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka

Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka (má tvar implikace):

Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka (má tvar implikace): Likvidujeme-li důkazy ve školské matematice, likvidujeme matematiku. Přestane být chápána příčinnost, neotřesitelnost matematických pravd. Ztrácíme mnoho možností pro vzbuzení zájmu o matematiku.

Prvočísla Def. Prvočíslem rozumíme přirozené číslo p, které má právě dva dělitele, tj. 1 a p. Ostatní přirozená čísla (kromě čísla 1) se nazývají složená. Př. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,...

Prvočísla Def. Prvočíslem rozumíme přirozené číslo p, které má právě dva dělitele, tj. 1 a p. Ostatní přirozená čísla (kromě čísla 1) se nazývají složená. Př. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,... Z hromádky kaménků prvočíselného počtu nelze sestavit (netriviální) obdélníkové číslo.

Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20

Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20 Důkaz sporem. Předpokládejme, že 2 < 3 < < p jsou všechna prvočísla. Utvořme číslo n = 2 3 5 p + 1, které je větší než p, a proto je složené. Přitom není dělitelné žádným z prvočísel 2, 3,...,p. Musí být tedy dělitelné jiným prvočíslem. Spor.

Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20 Důkaz sporem. Předpokládejme, že 2 < 3 < < p jsou všechna prvočísla. Utvořme číslo n = 2 3 5 p + 1, které je větší než p, a proto je složené. Přitom není dělitelné žádným z prvočísel 2, 3,...,p. Musí být tedy dělitelné jiným prvočíslem. Spor. Důkaz není zcela korektní!

Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20 Důkaz sporem. Předpokládejme, že 2 < 3 < < p jsou všechna prvočísla. Utvořme číslo n = 2 3 5 p + 1, které je větší než p, a proto je složené. Přitom není dělitelné žádným z prvočísel 2, 3,...,p. Musí být tedy dělitelné jiným prvočíslem. Spor. Důkaz není zcela korektní! Mlčky předpokládáme existenci rozkladu na prvočísla (jedna část tzv. Základní věty aritmetiky).

Dokonalá čísla Def. Dokonalým číslem rozumíme přirozené číslo, které je součtem všech svých vlastních dělitelů. Př. Staří Řekové znali tato dokonalá čísla: 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + +127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Dokonalá čísla Def. Dokonalým číslem rozumíme přirozené číslo, které je součtem všech svých vlastních dělitelů. Př. Staří Řekové znali tato dokonalá čísla: 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + +127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 6 = 1 + 2 + 3 1 28 = 1 + 2 + 4 + 7 (1 + 2) 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 (1 + 2 + 4 + 8) 8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127 (1+2+4+8+16+32)

Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36

Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): (1 + 2 + + 2 p 1 ) + (1 + 2 + + 2 p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p 1 2 1 + (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p 1 2 1

Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): (1 + 2 + + 2 p 1 ) + (1 + 2 + + 2 p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p 1 2 1 + (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p 1 2 1 Pozn. Důkaz využívá jednoznačnosti rozkladu.

Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): (1 + 2 + + 2 p 1 ) + (1 + 2 + + 2 p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p 1 2 1 + (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p 1 2 1 Pozn. Důkaz využívá jednoznačnosti rozkladu. L. Euler: Všechna sudá dokonalá čísla mají výše uvedený tvar.

Věta. Každé sudé dokonalé číslo má tvar 2 p 1 (2 p 1), kde 2 p 1 je prvočíslo.

Věta. Každé sudé dokonalé číslo má tvar 2 p 1 (2 p 1), kde 2 p 1 je prvočíslo. Důkaz. Uvažujme sudé dokonalé číslo n = 2 m 1 q, kde m > 1 a q je liché. Součet všech dělitelů čísla n je 2 m q = (1 + 2 + + 2 m 1 ) S, kde S je součet všech dělitelů čísla q. Odtud proto S = 2 m x. Dále je tedy 2 m q = (2 m 1) S, q = (2 m 1) x. Pokud by bylo x 1, byl by součet S všech dělitelů čísla q (2 m 1) x + (2 m 1) + x + > S = 2 m x. Proto je x = 1 a q = 2 m 1 je prvočíslo.

Důsledek. Existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi sudými dokonalými čísly a prvočísly tvaru 2 p 1. Podstatnou roli tedy hrají prvočísla tvaru 2 p 1.

Důsledek. Existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi sudými dokonalými čísly a prvočísly tvaru 2 p 1. Podstatnou roli tedy hrají prvočísla tvaru 2 p 1. Otevřený problém: Nevíme, zda existuje nějaké liché dokonalé číslo. Muselo by být větší než 10 300 a mít více než 8 prvočinitelů. Nyní jsou již jistě nalezeny tvrdší podmínky.

Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1.

Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1. Věta. Je-li 2 m 1 prvočíslo, je m prvočíslo.

Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1. Věta. Je-li 2 m 1 prvočíslo, je m prvočíslo. Důkaz. Pokud je číslo m složené, je m = ab, kde 1 < a, b < m. Potom je 2 m 1 = 2 ab 1 = (2 a 1)(2 a(b 1) + 2 a(b 2) + + 2 a + 1). Protože je 1 < 2 a 1 < 2 m 1, je číslo 2 m 1 složené.

Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1. Věta. Je-li 2 m 1 prvočíslo, je m prvočíslo. Důkaz. Pokud je číslo m složené, je m = ab, kde 1 < a, b < m. Potom je 2 m 1 = 2 ab 1 = (2 a 1)(2 a(b 1) + 2 a(b 2) + + 2 a + 1). Protože je 1 < 2 a 1 < 2 m 1, je číslo 2 m 1 složené. Pozn. Opačná implikace neplatí, neboť Píšeme M m = 2 m 1. 2 11 1 = 2047 = 23 89.

Marin Mersenne (1588 1648), francouzský mnich (minorita), poštovní schránka,... Historik Henri Bosmans (1852 1928): Informer Mersenne d une découverte, c était la publier par l Europe entière.

Marin Mersenne (1588 1648), francouzský mnich (minorita), poštovní schránka,... Historik Henri Bosmans (1852 1928): Informer Mersenne d une découverte, c était la publier par l Europe entière. V úvodu spisu Cogitata physico-mathematica (Paris, 1644) Mersenne uvedl, že v intervalu od 1 do 257 jsou prvočísly M 2, M 3, M 5, M 7, M 13, M 17, M 19, M 31, M 67, M 127, M 257.

Marin Mersenne (1588 1648), francouzský mnich (minorita), poštovní schránka,... Historik Henri Bosmans (1852 1928): Informer Mersenne d une découverte, c était la publier par l Europe entière. V úvodu spisu Cogitata physico-mathematica (Paris, 1644) Mersenne uvedl, že v intervalu od 1 do 257 jsou prvočísly M 2, M 3, M 5, M 7, M 13, M 17, M 19, M 31, M 67, M 127, M 257. Chyby: M 67, M 257 nejsou prvočísla, M 61, M 89, M 107 jsou prvočísla. 1903 F. Nelson Cole: číslo M 67 je složené dramatické vystoupení na zasedání AMS

Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 Do roku 2000 bylo známo 38 Mersennových prvočísel Nyní je známo 48 Mersennových prvočísel Číslo M 1257 787 má 378 632 cifer (1996). Využití při zkouškách!

Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 Do roku 2000 bylo známo 38 Mersennových prvočísel Nyní je známo 48 Mersennových prvočísel Číslo M 1257 787 má 378 632 cifer (1996). Využití při zkouškách! Číslo M 74 207 281 má 22 338 618 cifer (2016).

Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 Do roku 2000 bylo známo 38 Mersennových prvočísel Nyní je známo 48 Mersennových prvočísel Číslo M 1257 787 má 378 632 cifer (1996). Využití při zkouškách! Číslo M 74 207 281 má 22 338 618 cifer (2016). Neuvěřitelný pokrok!

Francois Édouard Anatole Lucas (1842 1891), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel.

Francois Édouard Anatole Lucas (1842 1891), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel. Derrick Henry Lehmer (1905 1991) test začátkem 30. let vytříbil. Definujme rekurentně posloupnost {S n }: S 1 = 4, S n+1 = S 2 n 2 pro každé n 1. Je tedy: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = 37 634, S 5 = 1 416 317 954, S 6 = 2 005 956 546 822 746 114,...

Francois Édouard Anatole Lucas (1842 1891), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel. Derrick Henry Lehmer (1905 1991) test začátkem 30. let vytříbil. Definujme rekurentně posloupnost {S n }: S 1 = 4, S n+1 = S 2 n 2 pro každé n 1. Je tedy: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = 37 634, S 5 = 1 416 317 954, S 6 = 2 005 956 546 822 746 114,... Lucasův-Lehmerův test. Pro liché prvočíslo p platí: M p je prvočíslo právě tehdy, když M p děĺı S p 1.

Francois Édouard Anatole Lucas (1842 1891), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel. Derrick Henry Lehmer (1905 1991) test začátkem 30. let vytříbil. Definujme rekurentně posloupnost {S n }: S 1 = 4, S n+1 = S 2 n 2 pro každé n 1. Je tedy: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = 37 634, S 5 = 1 416 317 954, S 6 = 2 005 956 546 822 746 114,... Lucasův-Lehmerův test. Pro liché prvočíslo p platí: M p je prvočíslo právě tehdy, když M p děĺı S p 1. Příklady. M 5 = 31 je prvočíslo právě tehdy, když 31 děĺı S 4 = 37 634. M 7 = 127 je prvočíslo právě tehdy, když 127 děĺı S 6 = 2 005 956 546 822 746 114.

Lemma. Položme w = 2 + 3, w = 2 3. Potom je w + w = 4, w w = 1. Pro každé n je S n = w 2n 1 + w 2n 1.

Lemma. Položme w = 2 + 3, w = 2 3. Potom je w + w = 4, w w = 1. Pro každé n je S n = w 2n 1 + w 2n 1. Důkaz indukcí. 1. Pro n = 1 je S 1 = w + w = 4. 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n, dokažme jeho platnost pro n + 1. S n+1 = S 2 n 2 = (w 2n 1 + w 2n 1 ) 2 2 = = w 2n + w 2n + 2w 2n 1 w 2n 1 2 = w 2n + w 2n. Q.e.d.

Důkaz jedné implikace L-L testu. Předpokládejme že M p = 2 p 1 děĺı S p 1. Podle lemmatu je S p 1 = w 2p 2 + w 2p 2 = R M p. Po vynásobení w 2p 2 dostaneme a po umocnění w 2p 1 = w 2p 2 R M p 1 = A M p 1 w 2p = (A M p 1) 2 = B M p + 1. Předpokládejme, že je M p složené a q je nejmenší prvočíslo, které M p děĺı, potom q 2 M p.

Uvažujme množinu {a + b 3 ; a, b Z q }, která má q 2 prvků. Její prvky sčítáme a násobíme (podobně jako komplexní čísla). Uvažujme všechny invertibilní prvky této množiny. Je jich nejvýše q 2 1 a tvoří grupu. V této grupě je prvek w = 2 + 3 prvkem řádu 2 p, neboť w 2p = 1, w 2p 1 1 (viz výše). Řád prvku je nejvýše roven řádu grupy, proto 2 p q 2 1 < M p = 2 p 1 spor. Dokázali jsme tedy, že když M p = 2 p 1 děĺı S p 1, pak je M p prvočíslo.

Výhodná modifikace L-L testu. Pro liché prvočíslo p definujme posloupnost {R n }: R 1 = 4, R n+1 je zbytek při dělení čísla R 2 n 2 číslem M p. Potom je M p prvočíslem právě tehdy, když M p děĺı R p 1.

Výhodná modifikace L-L testu. Pro liché prvočíslo p definujme posloupnost {R n }: R 1 = 4, R n+1 je zbytek při dělení čísla R 2 n 2 číslem M p. Potom je M p prvočíslem právě tehdy, když M p děĺı R p 1. Důkaz. Zvažme dělitelnost čísel S n a S n+1 číslem X. Je-li S n = ax + q, je S n+1 = S 2 n 2 = (a 2 X 2 + 2aXq) + q 2 2 Q. e. d.

Výhodná modifikace L-L testu. Pro liché prvočíslo p definujme posloupnost {R n }: R 1 = 4, R n+1 je zbytek při dělení čísla R 2 n 2 číslem M p. Potom je M p prvočíslem právě tehdy, když M p děĺı R p 1. Důkaz. Zvažme dělitelnost čísel S n a S n+1 číslem X. Je-li S n = ax + q, je S n+1 = S 2 n 2 = (a 2 X 2 + 2aXq) + q 2 2 Q. e. d. Posloupnost {S n } prudce roste: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = 37 634, S 5 = 1 416 317 954, S 6 = 2 005 956 546 822 746 114,... Posloupnost {R n } neroste; pro každé p je však jiná.

Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0.

Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0. p = 7: M 7 = 127 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 67, R 4 = 42, R 5 = 111, R 6 = 0.

Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0. p = 7: M 7 = 127 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 67, R 4 = 42, R 5 = 111, R 6 = 0. p = 11: M 11 = 2047 není prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 194, R 4 = 788, R 5 = 701, R 6 = 119, R 7 = 1 877, R 8 = 240, R 9 = 282, R 10 = 1 736.

Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0. p = 7: M 7 = 127 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 67, R 4 = 42, R 5 = 111, R 6 = 0. p = 11: M 11 = 2047 není prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 194, R 4 = 788, R 5 = 701, R 6 = 119, R 7 = 1 877, R 8 = 240, R 9 = 282, R 10 = 1 736. L-L test se využívá k hledání dalších M p pomocí počítačů.

Důkazy beze slov Vhodné téma pro školskou matematiku Ukazují krásu matematiky, zejména geometrie. Propojují jednotlivé discipĺıny. Mohou okouzlit a inspirovat. Mohou získat sympatie k matematice. Dívej se (a přemýšlej)! Knihy i webové stránky na téma důkazy beze slov. Mathematics Magazine: okénko Proof without Words

Hippokratovy měsíčky Hippokratés z Chiu (asi 450 až 400), řecký matematik Obsah modrých měsíčků je roven obsahu žlutého trojúhelníka.

Archimédův arbelos Archimédés ze Syrákús (287 212) Obsah modrého útvaru ohraničeného třemi polokružnicemi...

... je roven obsahu žlutého kruhu.

Archimédův sálos, saĺınon Obsah modrého útvaru ohraničeného čtyřmi polokružnicemi...

... je roven obsahu žlutého kruhu.

Výšky v trojúhelníku se protínají v jednom bodě

Součet geometrické řady

Součet geometrické řady Trojúhelníky PQR a TSP jsou podobné. 1 + r + r 2 + = 1 1 r

Součet obsahů čtverců nad úseky libovolně zvolených kolmých tětiv je konstantní.

Reciproká Pythagorova věta: ) 2 ( 1 2 = h) ( 1 a ) 2 + ( 1 b

Přejdeme k podobnému trojúhelníku: 1 : 1 ab

Přejdeme k podobnému trojúhelníku: 1 : 1 ab Obsah: 1 2 ab = 1 2 ch

Obsah pravoúhlého trojúhelníka: K = xy

Čtverec vepsaný do polokružnice a kružnice 2 : 5