Jednoduché nástroje řízení jakosti I

Jednoduché nástroje řízení jakosti I Výstup z projektu podpory jakosti č. 5/16/2004 Autor: Vratislav Horálek Národní informační středisko pro podporu jakosti Praha 2004

Publikace nebyla podrobena korektuře ze strany Národního informačního střediska pro podporu jakosti. Za kvalitu textů a tisku odpovídá autor. Národní informační středisko pro podporu jakosti, 2004 ISBN 80-02-01689-0

OBSAH: PŘEDMLUVA... 5 1 ÚVOD... 7 2 VÝVOJOVÝ DIAGRAM... 9 2.1 Úvod... 9 2.2 Zásady konstrukce vývojového diagramu... 9 2.3 Záměr vývojových diagramů... 11 2.4 Základní symboly... 11 2.5 Typy vývojových diagramů... 12 3 SBĚR DAT, ZÁKLADNÍ POŽADAVKY KLADENÉ NA DATA A ORGANIZACE DAT... 15 3.1 Úvod... 15 3.2 Základní požadavky kladené na data... 15 3.3 Uspořádání dat... 19 4 GRAFICKÉ A ČÍSELNÉ ZPRACOVÁNÍ DAT... 23 4.1 Úvod... 23 4.2 Grafické zpracování dat... 23 4.2.1 Histogram... 23 4.2.2 Kapénkové diagramy... 27 4.2.3 Krabicové diagramy... 28 4.2.4 Sériová data... 30 4.3 Číselné zpracování dat... 34 4.3.1 Úvodní poznámky... 34 4.3.2 Výběrové charakteristiky polohy... 34 4.3.3 Výběrové charakteristiky variability... 36 4.3.4 Zaokrouhlování čísel a počet desetinných míst... 38 5 DIAGRAM PŘÍČIN A NÁSLEDKU... 40 5.1 Úvod... 40 5.2 Základní kroky a zásady při konstrukci diagramu příčin a následku... 41 5.3 Ukázka diagramu příčin a následku s aplikací z oblasti metalurgie... 43 6 PARETŮV DIAGRAM... 45 3

6.1 Úvod... 45 6.2 Konstrukce Paretova diagramu... 45 6.3 Ukázka postupu při zpracování dat pro aplikaci Paretovy analýzy... 46 6.4 Oblasti použití Paretova diagramu... 50 7 BODOVÉ DIAGRAMY... 51 7.1 Úvod... 51 7.2 Rozdíl mezi stochastickými a funkčními závislostmi... 51 7.3 První informace o tvaru stochastické závislosti... 53 7.4 Výpočet výběrového koeficientu korelace a odhadů konstant v regresní přímce... 54 7.5 Numerický příklad... 60 8 REGULAČNÍ DIAGRAMY... 63 8.1 Úvod... 63 8.2 Typy regulačních diagramů... 64 8.3 Činnosti před aplikací SPC... 66 8.4 Parametry regulačního diagramu... 67 8.5 Zásady analýzy regulačních diagramů a možnosti řešení vzniklých problémů... 68 8.6 Postup při aplikaci ( x, R ) - diagramů a výpočetní vzorce. 70 8.7 Softwarová podpora SPC... 74 LITERATURA... 76 4

PŘEDMLUVA Vážený čtenáři, publikace, kterou jste právě otevřel, je součástí projektu Průvodce řízením jakosti. Projekt, realizovaný vydáním prvních šesti publikací, byl schválen a finančně zabezpečen v rámci projektů Národní politiky podpory jakosti na rok 2004. Realizátorem projektu je Česká společnost pro jakost a autory jsou její členové, přední odborníci v oboru. Cílem projektu je postupné vydávání publikací věnovaných základním tématům managementu jakosti, ochrany životního prostředí, zdraví a bezpečnosti při práci. Jednotlivé publikace, zaměřené na určitou dílčí oblast, seznamují čtenáře s nejnovějšími poznatky, metodami a nástroji oboru management jakosti a oborů příbuzných, především životní prostředí, bezpečnost a ochrana zdraví. Autoři čerpají z prací špičkových světových odborníků, z vlastních prací a také ze své praxe v tuzemských podnicích a zahraničních společnostech. Cílovou skupinou čtenářů (uživatelů) této edice by měli být jak vedoucí, tak řadoví pracovníci různých profesí podniků výroby, obchodu a služeb, pracovníci veřejné a státní správy, studenti a učitelé především středních škol a odborných učilišť. Publikace mohou sloužit i zájemcům z jiných profesí, kteří mají zájem o získání vstupních informací z managementu jakosti. U čtenářů nepředpokládáme žádné předběžné znalosti oboru, měly by plně dostačovat jejich znalosti středoškolské. Pokud se týká obsahu publikací, byli autoři vedeni zájmem podat čtenáři takové informace, které mu pomohou rychle se orientovat v dané problematice. Tyto poznatky by mu měly především pomoci kvalifikovaněji řešit jeho běžné pracovní úkoly, pokud již v oboru pracuje. Obsah jednotlivých publikací této edice ulehčí čtenářům vstup do hlubšího studia oboru studiem odborné literatury nebo v některých odborných kurzech. Realizátoři projektu budou vděční jak za všechny připomínky k vydaným publikacím, tak i za návrhy témat, kterými by se měly zabývat publikace další. Národní informační středisko pro podporu jakosti 5

1 ÚVOD Se sedmi základními nástroji pro řízení a zlepšování jakosti byla česká odborná veřejnost seznámena prvně K. Ishikawou v roce 1973 při jeho návštěvě Prahy. Jejich původní název byl Seven Tools a jejich obsah byl formován v průběhu padesátých a šedesátých let minulého století v Japonsku právě K. Ishikawou a E. Demingem, který v té době v Japonsku dlouhodobě působil. Společným rysem těchto nástrojů je požadavek na trvalou týmovou práci, tedy požadavek, který přežil všechny vývojové fáze řízení jakosti až po současný přístup formulovaný v normách ISO řady 9000 z roku 2000. Základní struktura sedmi nástrojů, jejichž vnitřní náplň předkládáme ve formě obohacené v uběhlém čase, má tvar: a) vývojový diagram (viz kapitola 2), b) sběr dat, základní požadavky kladené na data a organizace dat (viz kapitola 3), c) grafické a číselné zpracování dat (viz kapitola 4), d) diagram příčin a následku (viz kapitola 5), e) Paretův diagram (viz kapitola 6), f) bodové diagramy (viz kapitola 7) a g) regulační diagramy (viz kapitola 8). Kromě výše zmíněného rysu trvalé týmové práce představuje většina uvažovaných nástrojů v podstatě kvantitativní metody, které při řízení procesu přispívají: k jeho monitorování a lepšímu zvládnutí řízení, k hlubšímu pochopení procesu a realizaci procesního přístupu, k problémům identifikace, k řešení problémů souvisejících s diagnostikou a vzniklých dílčích konkrétních problémů, k lepšímu fungování celého systému k racionalizaci a objektivizaci realizovaných rozhodnutí. 7

K řešení takových otázek vždy potřebujeme data, a ta můžeme získat buď experimentem, nebo za určitých podmínek - k jejich získání můžeme využít existujících informačních zdrojů. Následně tato data musíme analyzovat z pohledu řešeného problému. A již tyto první dva kroky by měly respektovat prvky tzv. statistického myšlení. Jeho zásady zde nejsou obecně formulovány, ale jsou při výkladu jednotlivých nástrojů v následujících částech této publikace na vhodných místech připomínány. Snahou autora této kapitoly bylo při výkladu minimalizovat výpočetní postupy (a ponechávat je jen tam, kde jsou nutné k ilustraci výkladu), ale naopak upozorňovat na úskalí, která při aplikaci jednotlivých nástrojů mohou vznikat, a současně ukázat i na negativní dopady, které lze následně očekávat. V této souvislosti je třeba doporučit jako doplňkovou literaturu dvě mezinárodní normy, které základy obsažené v této publikaci mohou čtenáři prohloubit a nabídnout mu i nové myšlenky: ČSN ISO 10017:2004 Návod k aplikaci statistických metod v ISO 9001:2000 [15] a ČSN ISO 11462-1:2002 Směrnice pro uplatňování statistické regulace (SPC) Část 1: Prvky SPC [12]. Připomeňme, že prvá z uvedených norem obsahuje popis 12 základních statistických disciplín a ukázky jejich aplikace v řízení jakosti a na závěr rozsáhlou literaturu (60 literárních odkazů) nejen z oblasti aplikované statistiky, ale i z oblasti bezporuchovosti a spolehlivosti. Druhá z norem je rovněž návodem k aplikaci systému SPC, když se musí prokazovat nebo zlepšovat způsobilost dodavatele snižovat kolísání procesu. 8

2 VÝVOJOVÝ DIAGRAM 2.1 Úvod Vývojový diagram má přispět k pochopení vnitřních vazeb uvnitř procesu a ke zdokonalení komunikace mezi útvary a je natolik univerzálním nástrojem, že umožňuje popis libovolného procesu, tedy jak vývojového, tak výrobního, technologického, projekčního či řídicího charakteru bez ohledu na jeho složitost. Cílem vývojového diagramu je zobrazení činností, souslednosti operací, návaznosti úkonů, dílčího rozhodování založeného na alternativních výstupech atd. Ve své podstatě je to konečný orientovaný graf, který má svůj začátek a konec, operační a rozhodovací bloky a obsahuje smyčky vytvářené pomocí rozhodovacích bloků. K jeho konstrukci se používá symbolů původně připravených pro popis algoritmů u výpočetních programů (viz norma ČSN ISO 5807:1996 [7]). Základní symboly jsou stručně připomenuty v podkapitole 2.4. Pochopitelně pro vnitřní potřebu podniku lze zavést další symboly, případně pravidla, která příslušný proces nebo datovou specifikaci lépe charakterizují. 2.2 Zásady konstrukce vývojového diagramu Před vlastní konstrukcí vývojového diagramu je nutno si uvědomit základní charakter zobrazovaného procesu. Ve většině případů se jedná o uzavřené systémy, a ty vyžadují své ohraničení, které je dáno začátkem (zahájením, vstupem apod.) a koncem (výstupem, ukončením apod.). Podobný charakter budou mít vazby s návaznými procesy a tyto body budou charakterizovány např. přechodovými pravidly z jednoho podsystému do druhého, dokonce i s možností návratu do původního podsystému. Pro složitější systémy je důležité právě vytknutí těchto uzlových bodů, které často nemusí mít pouze alternativní výstup (např. typu ANO NE), ale vícenásobný výstup. Obvyklým požadavkem je, aby návrh vývojového diagramu především u složitých procesů posoudili především ti, kteří s ním budou pracovat. Ti nejlépe mohou přispět k potřebnému zjemnění kroků, k lepšímu porozumění přechodům a hlavně k odstranění míst, která mohou nepříznivě ovlivnit vlastní výstup procesu. Je 9

pochopitelné, že diagram nesmí narušovat vlastní souslednost kroků a současně nesmí s cílem zjednodušit vlastní proces ignorovat operace, které se zdají být náročně zobrazitelné. U složitějších diagramů nelze rovněž zobrazovat pouze izolované části procesů (celý diagram by měl být umístěn na jedné stránce), pokud tyto části nemají jednoznačně definované začátky a konce. Obecně platí, že úroveň podrobností by měla být vždy taková, aby různé části a vzájemné vztahy mezi nimi byly srozumitelné jako celek. Proto má být vývojový diagram vždy prověřen praxí. Rozhodovací činnost je vždy spojena s otázkou. Ta vzhledem k prostoru nabízenému daným symbolem (viz kapitola 2.4) musí být sice stručná, ale současně zcela jasná a srozumitelná, tedy formulace otázky nesmí obsahovat termíny, jejichž obsah není uživateli diagramu znám. V krajním případě musí být takový termín opatřen poznámkou, která je připojena pod vlastním diagramem a obsahuje například odkaz na článek příslušné směrnice. V řadě případů lze zjednodušení otázky docílit matematickým zápisem, přičemž opět použité symboly jsou vysvětleny v textu příslušného dokumentu nebo abecedně seřazeny v poznámce pod čarou. Příkladem může být otázka: Nepřesahuje zjištěný počet neshodných výrobků d zjištěný v náhodném výběru předepsaného rozsahu n přejímací číslo Ac dané přejímacím plánem?, kterou lze snadno přepsat do jednoduchého tvaru: Je d Ac?, přičemž symboly d a Ac jsou vysvětleny výše uvedeným způsobem. Tato komprimovaná forma otázky je dokonce rychleji čitelná a vnímatelná. Jiný způsob komprese otázky lze docílit například tím, že určité části operace označíme jako Postup 1, Metoda A, Způsob I apod., přičemž opět tyto operace jsou z hlediska svého obsahu předem formulovány. Zásadně se nesmějí použít otázky, které nemají jednoznačnou odpověď, tedy například obecně formulované otázky typu Proč?, Jak jinak?, Kdy? apod. 10

Tvar a obsah otázek může odrážet slangové vazby a terminologii, které se používají v dané oblasti aplikace, jako jsou činnosti procesního charakteru, dodavatelsko-odběratelské vztahy, technologické postupy, marketing apod. 2.3 Záměr vývojových diagramů Základním záměrem vývojových diagramů je umožnit shrnutí obvykle obsáhlého slovního popisu postupů a operací do graficky jednoduché a jednoznačné formy, jejíž náplň je díky obsahově známé terminologii nebo známým symbolům zcela srozumitelná všem, kteří tento diagram budou využívat. Tam, kde diagram zahrnuje i vymezení zodpovědnosti, má být snadno zjistitelná nejen odpovědnost za danou činnost, ale i celá posloupnost těchto odpovědností. Tyto diagramy jsou svojí formou a přístupností důležitou pomůckou i pro školení nových zaměstnanců. 2.4 Základní symboly Pro zpracování vývojových diagramů připomínáme významy alespoň základních symbolů, ostatní lze nalézt v ČSN ISO 5807:1996 [7]: Mezní značka: představuje vstup nebo výstup, například začátek nebo konec programu. Zpracování: představuje jakýkoliv druh funkce zpracování, např. provádění definované operace nebo skupiny operací, jejichž výsledkem je změna hodnoty, formy nebo umístění nebo stanovení, který z několika směrů toků se má sledovat. Předdefinované zpracování: představuje pojmenované zpracování, které se skládá z jedné nebo více operací nebo programových kroků, které jsou specifikovány jinde, např. podprogramem. (Symbol viz na další straně.) 11

Rozhodování: představuje rozhodovací nebo přepínací funkci s jedním vstupem, kde však může být řada alternativních výstupů, z nichž pouze jeden může být aktivován po vyhodnocení podmínek definovaných uvnitř symbolu. Příslušné výsledky hodnocení mohou být připsány ke spojnicím reprezentujícím cesty. Spojka: představuje výstup do jiné části téhož vývojového diagramu nebo vstup z jiné části a používá se k přerušení spojnice a k jejímu pokračování na jiném místě. Spojnice: představuje tok dat nebo řízení. 2.5 Typy vývojových diagramů V ČSN ISO 5807:1996 [7] se za základní typy vývojových diagramů považují: a) vývojové diagramy toku dat zobrazují tok dat při řešení problému a definují kroky zpracování a rovněž různé použité nosiče dat. Symboly dat předcházejí a následují za symboly zpracování; b) vývojové diagramy programu zobrazují posloupnost operací v programu; c) vývojové diagramy systému zobrazují řízení operací a tok dat systému; d) síťové diagramy programu zobrazují cestu aktivací programu a vzájemné působení s příslušnými daty. Každý program v síťovém diagramu je uveden pouze jednou, zatímco ve vývojovém diagramu systému se může objevit ve více než jednom řídícím toku; 12

e) diagramy zdrojů systému zobrazují konfiguraci datových jednotek a jednotek zpracování vhodných pro řešení problému nebo souboru problémů. Naproti tomu se v publikaci [20] za základní typy vývojových diagramů považují: f) vývojový diagram vstup/výstup, g) integrovaný vývojový diagram, h) lineární vývojový diagram. Dále jsou uvedeny pouze dvě ukázky. Na obrázku 2.1 je ukázka integrovaného vývojového diagramu {typ g) podle třídění v [20]} pro přípravu konstrukčního návrhu. Na obrázku 2.2 je vývojový diagram systému {typ c) podle třídění v [7]} zachycující vazby plynoucí z přechodových pravidel mezi jednotlivými stupni kontrol nabízenými v systému statistických přejímek srovnáváním (podle ČSN ISO 2859-1:2000 [3]). Obrázek 2.1 Integrovaný vývojový diagram [20] 13

Obrázek 2.2 Vývojový diagram systému zachycující přechodová pravidla v systému přejímek srovnáváním podle ČSN ISO 2859-1:2000 [3] 14

3 SBĚR DAT, ZÁKLADNÍ POŽADAVKY KLADENÉ NA DATA A ORGANIZACE DAT 3.1 Úvod Náročnost na vlastní sběr dat pro připravovaný experiment nebo zkoumaný problém vyplývá ze skutečnosti, že samotný sběr dat sice neřeší vlastní problém přímo, ale je nutným předpokladem řešení a samotná jakost sběru dat předurčuje v jistém smyslu i jakost výstupu z následné analýzy, ke které data potřebujeme. Proto je dobře si před vlastním sběrem dat uvědomit několik základních hledisek, která by měla být při přípravě sběru vzata v úvahu. Této otázce je věnována další část této kapitoly. 3.2 Základní požadavky kladené na data Při sběru dat je třeba vzít v úvahu alespoň následujících pět hledisek, která klademe na data: a) Cíl a forma sběru dat: K charakterizaci širokého spektra možných cílů uvedeme jako ilustraci tři výrazně odlišné cíle: právní účely (například podklady pro uzavření smlouvy; data vyžádaná soudem), řešení specifikovaného technického problému (například zvýšení účinnosti sušárny obilí; stanovení minimální životnosti nástroje), zlepšení řízení procesu (například vyšetření dlouhodobé způsobilosti procesu; snížení variability mezi dílčími vzorky při vzorkování sypkého materiálu za účelem zvýšení shodnosti výsledků). V případě právního účelu budou ve většině případů jako podklady stačit právní a obchodní předpisy a technické specifikace, případně ekonomické podklady. Při řešení technického problému bude při první úloze již vyžadován experiment respektující typ sušárny, obarvení zrn pro sledovaní doby setrvání zrna na vibrofluidním žlabu za různých úrovní parametrů sušicího režimu a závěrečné zjištění závislosti mezi dobou setrvání zrna na žlabu a hmotností zrna; při druhé úloze (stanovení minimální životnosti nástroje) to bude sběr dat o životnosti nástroje za předem specifikovaných podmínek, 15

zkoumání výsledného rozdělení těchto dob životnosti, jeho modelování a odhad příslušného kvantilu rozdělení. Při zlepšování řízení procesu zjištění podmínek pro stanovení dlouhodobé způsobilosti například podle dokumentů VDA 4.1 [18] nebo QS-9000 SPC [17] a v souladu s nimi sledování procesu v časové posloupnosti včetně vyhodnocení získaných časových řad dat z hlediska přítomnosti různých typů zvláštních příčin (viz ČSN ISO 8258:1994 [10] a QS-9000 SPC [17]); v případě problému spojeného se vzorkováním sypkého materiálu se bude vyžadovat aplikace plánovaného experimentu v souladu s ČSN ISO 11648-2:2003 [14]. b) Typy dat: Data týkající se sledovaného znaku jakosti mohou být: kvantitativní (měřitelná) nebo kvalitativní. Kde je to možné, měli bychom dát přednost kvantitativním datům, neboť mají výrazně vyšší vypovídací schopnost a v důsledku toho vyžadují k dosažení stejné výpovědní schopnosti mnohem menší počet měření; výsledkem stoprocentní kontroly dávky nebo výsledkem kontroly náhodného výběru nebo to mohou být záznamy uvedené v regulačním diagramu apod. Každá z těchto skupin představuje jiný informační zdroj, a bude tedy vyžadovat i jiný typ zpracování výsledků. Nutno si však uvědomit, že kontrola dávky realizovaná na výběru pomocí statistických přejímek (například podle ČSN ISO 2859-1:2000 [3] při přejímce srovnáváním nebo podle ČSN ISO 3951:1993 [4] při přejímce měřením) je hospodárnější než stoprocentní kontrola a je vždy vázána na předem známá rizika účinnosti výběrové kontroly, což je přednost statistických přejímek; snadno získatelná nebo zkoušky jsou časově či finančně náročné nebo dokonce destruktivní a rozsahy výběrů jsou pak nutně omezeny na nejnižší možný počet. Kontrola takto prověřovaných znaků jakosti vyžaduje zvýšený dozor nad řízením příslušného procesu, například formou SPC s přísnou vstupní kontrolou před vstupem materiálu do výroby. To jsou zásady přístupu založeného na prevenci. 16

c) Vliv struktury zkoušek: Abychom si objasnili vliv struktury zkoušek, uvažujme následující běžnou situaci: dodavatel má ve výrobě určitého dílu zavedenu SPC viz kapitola 8 při rozsazích podskupin n = 5 dílů, jejichž hodnoty jsou zaznamenávány do regulačních diagramů ( X, R) a po vyplnění celého regulačního diagramu (25 podskupin po 5 dílech) se naměřené hodnoty zpracují a vypočtou se ukazatele způsobilosti. Na druhé straně předpokládejme, že odběratel k ověření jakosti dávky tohoto dílu odebere z dávky náhodný výběr rozsahu n = 125 dílů (tedy jako výrobce v průběhu výroby: 5 25 = 125) a vypočte také ukazatel způsobilosti. Nelze očekávat, že obě hodnoty ukazatelů způsobilosti budou stejné, naopak téměř s jistotou lze tvrdit, že hodnota vypočtená odběratelem bude nižší než hodnota vypočtená výrobcem, a to přesto, že k výpočtu ukazatelů byly použity stejné počty dat. To je dáno tím, že 125 dílů u odběratele představuje náhodný výběr z celé předložené dávky, kdežto data na regulačním diagramu představují 25 podskupin po 5 dílech, přičemž tyto podskupiny jsou tvořeny posledními pěti vyrobenými díly v okamžiku návštěvy kontrolora u výrobního zařízení. Oba výběrové soubory dat mají sice stejný rozsah, ale zcela odlišnou strukturu, a to se nutně musí projevit i v hodnotách vypočtených výběrových charakteristik a tedy i v hodnotách ukazatelů způsobilosti. d) Záznamy dat: Data zaznamenáváme obvykle do předem připravených formulářů (do regulačních diagramů, kontrolních listů, protokolů, zpráv o auditech, hlášení o reklamacích apod.) nebo jsou data vytištěna bezprostředně po provedení příslušné kontrolní operace. Data mohou být v číselném tvaru, grafické formě (a pak se před zpracováním často vyžaduje například digitalizace záznamu), ve tvaru obrazové informace (a pak se vyžaduje zpracování pomocí analyzátoru obrazu) apod. Ve všech případech se však doporučuje stále zachovávat přístup k primárním datům a nesnažit se o přímé zpracování údajů do histogramů, o výpočet a vytištění pouze výběrových charakteristik (aritmetického průměru a výběrové směrodatné odchylky). Tím, že zablokujeme nebo znepřístupníme primární data, 17

výrazně se ochuzujeme o množství informací, jejichž získání může být časově nebo finančně náročné a jejichž ztráta znemožní hlubší analýzu dat či přesnější odhady parametrů modelů apod. Stejně, pokud jsou data získána z různých linek, od různých výrobců apod., je třeba vždy zachovávat tato data odděleně jako samostatné soubory, neboť existuje objektivní nebezpečí, že podmínky, za kterých byly získány, nebyly zcela identické a do zpracování bychom vnesli další složku variability viz podkapitola 3.3. e) Vlastnosti dat: Norma ČSN EN ISO 9000:2000 [2] ve svém článku 0.2 g) vyžaduje, aby přístup k rozhodování se vždy zakládal na faktech. Tedy data a informace musí být pravdivé a získány co nejhospodárněji, závěry ze zpracování údajů a informací mají být objektivní a co nejobsažnější. Obě tato hlediska mohou být splněna v podstatě za těchto podmínek: sběru dat by měly předcházet informace získané činností kolektivního charakteru, jako jsou tvorba vývojových diagramů, brainstorming, analýza příčin a následku a Paretova analýza (viz kapitoly 2, 5 a 6). Návrh vlastního experimentu nemůže být nikdy dílem pouze jednoho pracovníka, má-li zohledňovat všechna možná hlediska a jejich příslušnou závažnost; data mají mít srovnatelné vlastnosti: mají být pravdivá, být zaznamenána na stejný počet desetinných míst, získána za stejných (nebo srovnatelných) výrobních podmínek a stejných podmínek okolního prostředí a se známými a uvedenými nejistotami měření; analýza takových dat je proveditelná pomocí statistických metod, které lze nalézt v normách ČSN, ČSN ISO či ČSN IEC z oblasti aplikované statistiky a spolehlivosti (viz [15]), přičemž závěry splňují požadované vlastnosti. 18

3.3 Uspořádání dat Je nutno si uvědomit, že z dat v jejich hrubém stavu nelze obecně na první pohled mnoho vyčíst. Proto je třeba věnovat pozornost i jejich záznamu a následné úpravě, která by měla umožnit a usnadnit výpočet celkových výběrových charakteristik (někdy nazývaných sumární statistiky). To je důležité především tam, kde nemáme k dispozici počítač a programy, které po vložení dat nabídnou přehled všech výběrových charakteristik a jejich číselných hodnot. Na druhé straně bychom někdy potřebovali hlubší informaci, kterou sumární statistiky neposkytují. Jeden z takových možných postupů ukážeme přímo na příkladu. Příklad Průměr čepu má podle specifikace mít rozměr v tolerančním poli 67,929 mm; 67,989 mm. Bylo proměřeno 10 podskupin po 5 čepech (celkem 50 čepů) a výsledky měření jsou zaznamenány v primární tabulce 3.1, v níž jsou uvedena pouze dvě poslední desetinná místa tedy setiny a tisíciny mm. Tabulka 3.1 Primární data o průměru čepu (pouze dvě poslední desetinná místa) 59 61 72 64 58 53 59 66 74 53 60 45 70 60 64 62 67 55 65 86 54 52 63 55 30 57 63 62 67 50 65 56 61 47 65 67 54 70 60 63 66 68 49 59 58 64 73 68 62 69 Nyní data můžeme uspořádat do tabulky 3.2 (tabulka kmene a listu ), do které se na příslušný řádek zapisuje číslo na posledním desetinném místě v pořadí, v jakém byla primární hodnota získána. Uspořádáním číslic na příslušném řádku od nejmenších k největším se získá tabulka 3.3. 19

Tabulka 3.2 Tabulka kmene a listu pro data o průměru 67,98 6 67,97 2 4 0 0 3 67,96 1 4 6 0 0 4 2 7 5 3 3 2 7 5 1 5 7 0 3 6 8 4 8 2 9 67,95 9 8 3 9 3 5 4 2 5 7 0 6 4 9 8 67,94 5 7 9 67,93 0 Tabulka 3.3 Tabulka kmene a listu pro data uspořádaná podle velikosti 67,98 6 67,97 0 0 2 3 4 67,96 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 67,95 0 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 8 9 9 9 67,94 5 7 9 67,93 0 Z tabulky 3.2 je například patrné, že proces, z něhož data v tabulce 3.1 jsou odebrána, projevuje určitou nestabilitu. Prvních 25 hodnot vykazuje průměrnou hodnotu 67,5844 mm, kdežto druhých 25 hodnot průměrnou hodnotu 67,6356 mm. Všechny pozorované hodnoty leží sice v tolerančním poli, ale své těžiště mají posunuté k vyšším hodnotám (střed tolerančního pole je 67,959 mm, kdežto ze všech dat vypočtený aritmetický průměr je 67,9610 mm). Tabulka 3.3 ukazuje tuto skutečnost přímo. Uspořádání dat do tabulky 3.3 umožňuje kromě sestrojení tabulky četnosti 3.4 a histogramu (viz kapitola 4) i okamžité určení některých výběrových charakteristik: nejmenší a největší naměřené hodnoty, a tedy i výběrového rozpětí, výběrového mediánu, výběrového prvého a třetího kvartilu apod. Interpretace a výpočet těchto výběrových charakteristik, stejně jako konstrukce histogramu jsou popsány v kapitole 4. 20

Tabulka 3.4 Tabulka četnosti POZNÁMKA Při sestrojování tabulek 3.2 až 3.4 a histogramu postupujeme obecně v těchto krocích: v prvém kroku z primárních dat v tabulce 3.1 zjistíme největší (maximální) hodnotu x max a nejmenší (minimální) hodnotu x min a jejich rozdíl R = x max x min nazývaný výběrové rozpětí; hodnota R dává informaci o poli rozptýlení sledovaného znaku v podskupině, dávce, výrobním procesu apod.; počet tříd, do kterých primární data v druhém kroku zařadíme, volíme obvykle mezi 6 a 20 v závislosti na celkovém rozsahu primárních dat; přitom šíře všech tříd musí být stejná (označuje se obvykle h); ve třetím kroku stanovíme dolní a horní meze třídního intervalu; přitom je třeba dodržovat určitá pravidla, jako například: při předpisu tolerančního pole pro sledovaný znak jakosti může být dolní mez nejnižší třídy (tato třída může být prázdná) totožná s dolní mezní hodnotou (LSL) danou specifikací pro sledovaný znak jakosti a horní mez nejvyšší třídy (opět tato třída může být prázdná) může být totožná s horní mezní hodnotou (USL) danou specifikací; třídní znaky představované středy jednotlivých třídních intervalů mají být čísla stanovená na stejný počet platných desetinných míst, tedy vhodně zaokrouhlená; totéž platí pro meze třídních intervalů; 21

každá hodnota musí jednoznačně patřit pouze do jediné třídy; proto při zařazování dat do tříd je nutné předem zvolit jeden z postupů: hodnoty rovné dolní mezi i-té třídy se zařadí do i-té třídy a hodnoty rovné horní mezi i-té třídy se zařadí do třídy (i + 1); hodnoty rovné dolní mezi i-té třídy se zařadí do třídy (i 1) a hodnoty rovné horní mezi i-té třídy se zařadí do i-té třídy. V praxi je běžný druhý z uvedených postupů. 22

4 GRAFICKÉ A ČÍSELNÉ ZPRACOVÁNÍ DAT 4.1 Úvod Tato kapitola navazuje na předchozí kapitolu 3 a je věnována zpracování dat, a to jak grafickému, tak numerickému, zaměřenému především na výpočet výběrových charakteristik. O výběrových charakteristikách se hovoří proto, že data získaná sběrem chápeme jako náhodný výběr, tedy pouze jakousi dílčí informaci o celku obecně nazývaném základní soubor kterým může být například výrobní dávka, produkce z výrobní linky za určitou dobu, celý výrobní proces apod., a naše informace není nikdy úplná, neboť většinou nemáme informaci o všech jednotkách tvořících příslušný celek, ale pouze o těch, které byly v rámci sběru do výběru zahrnuty. Tento rys je zohledněn právě ve výpočetních vzorcích pro získání odhadu parametrů zmíněných souborů (jako jsou výrobní průměr, rozptýlení výrobního procesu apod.) právě pomocí výběrových charakteristik. 4.2 Grafické zpracování dat 4.2.1 Histogram V podstatě histogram není ničím jiným než grafickým ztvárněním hodnot v tabulce četnosti, jejíž obecný tvar je zachycen v tabulce 3.4. Pro kvantitativní (měřitelný) znak jakosti má histogram tvar sloupcového diagramu (viz obr. 4.1), který má: sloupce stejné šíře h totožné se šíří třídního intervalu; počet sloupců roven počtu tříd, přičemž sloupce a třídy následují ve stejném pořadí, na vodorovné ose x znázorněny buď hranice třídních intervalů, nebo hodnoty třídního znaku (nebo obě tyto hodnoty), na svislé ose y vyneseny třídní četnosti n j nebo relativní třídní četnosti f j (v tabulce 3.4 jsou označeny jako absolutní četnosti, resp. relativní četnosti, a na obrázku 4.1 jsou označeny zkratkami AČ, resp. RČ) a 23

nad třídními intervaly sestrojeny obdélníky, jejichž celková plocha má v případě - absolutních četností velikost rovnou rozsahu náhodného výběru n a - relativních četností velikost rovnou 1. Přednost relativním četnostem dáváme například při porovnávání dvou nebo několika zpracovávaných výběrů, jejichž rozsahy nejsou stejné. Potom při porovnávání dvou histogramů s absolutními četnostmi by byl vizuální vjem zkreslen právě rozdílností rozsahů výběrů. Použitím relativních četností je tato rozdílnost neutralizována. Obrázek 4.1 Histogram využívající dat v tabulce 3.4 Histogramy dávají velmi dobrou informaci o působení určitých vlivů a příčin v průběhu vlastního zkoumaného procesu, z něhož byl výběr odebrán. Sedm základních tvarů histogramů a interpretací možných fyzikálních příčin působících na proces je na obrázku 4.2. 24

Dvouvrcholový histogram: histogram se dvěma vrcholy. Většinou vzniká spojením dvou souborů (například ze dvou linek) s různým průměrem procesu a různým počtem jednotek v souborech jako v případě na obrázku, kde oba procesy mají téměř stejné rozptýlení. Histogram plochého tvaru: vzniká na výstupu z procesu, v němž okamžité rozdělení znaku je normální, jeho průměr se v čase mění lineárně a rozptyl zůstává konstantní (například proces s opotřebením nástroje). Histogram asymetrického tvaru: histogram s vrcholem vysunutým mimo své těžiště. Příklady: Weibullovo rozdělení životnosti nebo histogram na výstupu z procesu, v němž okamžité rozdělení je normální, jeho průměr se v čase mění parabolicky a rozptyl zůstává konstantní (například proces s opotřebením nástroje). Levostranně useknutý histogram: histogram vzniklý většinou po realizaci stoprocentní kontroly výrobních dávek, kdy jsou vytříděny díly s hodnotou kontrolovaného znaku pod dolní mezní hodnotou danou specifikací. V pravé části histogramu se objevují díly s odlehlými hodnotami. 25

Histogram hřebenového tvaru: histogram vznikající většinou v důsledku nesprávného zaokrouhlování naměřených dat nebo systematickými chybami pracovníků při třídění dílů. Dvouvrcholový histogram s výraznou četností v krajní třídě: výrazná četnost v krajní třídě vzniká nesprávnou kumulací všech zjištěných dat, jejichž hodnota je vyšší než horní mez poslední třídy, která bývá totožná s horní mezní hodnotou. Histogram zvonovitého tvaru: symetrický histogram, který má zvonovitý tvar a jeden vrchol. Vzniká, když na proces působí pouze náhodné příčiny, proces je ve statisticky zvládnutém stavu a je stabilizovaný. Potom lze očekávat, že znak má normální rozdělení. Obrázek 4.2 Různé tvary histogramů s interpretací možných fyzikálních příčin působících na proces a na výstupu z procesu vytvářejících příslušný tvar histogramu 26

Pro kvalitativní znak jakosti (počet neshodných z ve výběru, počet neshod na jednotce apod.) se používá čárový diagram, v němž jsou příslušné četnosti zakresleny přímo v bodech s celočíselnými hodnotami, kterých znak jakosti v tomto případě může nabývat, například 0, 1, 2 atd. Jako příklad uvažujme data získaná při statistické přejímce srovnáváním (aplikace normy ČSN ISO 2859-1:2000 [3]) aplikované na dávky konstantního rozsahu, kdy je zaznamenáván počet neshodných zjištěný ve výběru z dávky. Relativní četnosti dávek s 0 neshodnými, s 1 neshodným, se 2 neshodnými apod. ze 100 kontrolovaných dávek jsou znázorněny na čárovém diagramu na obrázku 4.3. Obrázek 4.3 Čárový diagram 4.2.2 Kapénkové diagramy Další grafický způsob, který je vlastně kombinací rysů tabulky kmene a listu a tabulky četností (viz tab. 3.2 až 3.4), je kapénkový diagram. Při jeho konstrukci se zakreslí vhodná stupnice, která se rozdělí v souladu se zjištěným rozpětím hodnot ve výběru, a nad každou zjištěnou hodnotou se zakreslí jedna kapénka (bod). Počet kapének nad sebou značí počet měření se stejnou hodnotou. Data v příkladu v podkapitole 3.3 (viz tab. 3.1 až 3.3) jsou zpracována do kapénkového diagramu na obrázku 4.4. 27

Obrázek 4.4 Kapénkový diagram aplikovaný na data z příkladu v kapitole 3.3 Modifikace kapénkového diagramu uvedená na obrázku 4.5 je vhodná pro porovnání dvou výběrů stejných rozsahů (například výběrů ze dvou porovnávaných výrobních linek). Hodnoty z prvého výběru jsou znázorněny nad kótovanou osou, hodnoty z druhého výběru pod ní. Z diagramu je například patrné, že druhý výběr má bezpochyby mnohem menší rozptýlení. Obrázek 4.5 Kapénkový diagram modifikovaný pro porovnání dvou výběrů 4.2.3 Krabicové diagramy U rozsáhlejších výběrů nemá kapénkový diagram potřebnou vypovídací schopnost, neboť chybí kvantifikace hlavních rysů, totiž polohy a rozptýlení hodnot zjištěných ve výběru (případně ve statistickém nebo základním souboru). V těchto případech se doporučuje znázornění pomocí krabicového diagramu. Dříve než objasníme konstrukci krabicových diagramů a budeme je interpretovat, je třeba připomenout základní termíny, se kterými se zde pracuje a které patří mezi tzv. míry polohy statistického souboru. 28

Jsou to: medián Me, první kvartil Q 1 a třetí kvartil Q 3. Medián Me je prostřední hodnota v posloupnosti pozorovaných hodnot uspořádaných podle velikosti. Je-li počet čtení v dané posloupnosti n číslo liché, pak medián je právě prostřední čtení a má pořadí k = (½) (n + 1). Při n sudém je medián aritmetickým průměrem dvou prostředních čtení. První kvartil Q 1 a třetí kvartil Q 3 jsou hodnoty, které oddělují dolních a horních 25 % dat od centrálního jádra 50 % dat. Z toho vyplývá, že medián je v podstatě druhý kvartil. K tomu, abychom mohli zjistit (a zakreslit si) mediánovou hodnotu Me a kvartilové hodnoty Q 1 a Q 3 v posloupnosti dat uspořádaných podle velikosti (viz tab. 3.3 nebo obr. 4.4), použijeme následujících vztahů: Q 1 = x i kde i = (¼) (n + 1), (4.1) M e = x i kde i = (½) (n + 1), (4.2) Q 3 = x i, kde i = (¾) (n + 1). (4.3) Tedy například v podkapitole 3.3, kde je n = 50, dostáváme takže Q 1 = x i, kde i = 12,75, (4.4) M e = x i, kde i = 25,50, (4.5) Q 3 = x i, kde i = 38,25, (4.6) první kvartil Q 1 leží mezi hodnotami s pořadovými čísly 12 a 13; z tabulky 3.3 vyplývá, že jeho hodnota po zaokrouhlení je Q 1 = 67,956; medián leží mezi hodnotami s pořadovými čísly 25 a 26; z tabulky 3.3 vyplývá, že medián M e je roven 67,962; třetí kvartil Q 3 leží mezi hodnotami s pořadovými čísly 38 a 39; z tabulky 3.3 vyplývá, že jeho hodnota po zaokrouhlení je Q 3 = 67,966. 29

Graficky jsou všechny tři hodnoty zakresleny v krabicovém diagramu v obrázku 4.6. Asymetrie celého statistického souboru je patrná z těchto skutečností: rozdíl Me Q 1 = 0,006, ale rozdíl Q 3 Me = 0,004; rozdíl Me x 1 = 0,032, ale rozdíl x 50 Me = 0,024 a konečně rozdíl Q 1 x 1 = 0,026, ale rozdíl x 50 Q 3 = 0,020. Obrázek 4.6 Krabicový diagram aplikovaný na data z příkladu v podkapitole 3.3 4.2.4 Sériová data V praxi se často setkáváme s tzv. sériovými daty, tedy s daty, která jsou uspořádána v posloupnost, v níž data mají svá pořadí v závislosti na čase, na vzdálenosti apod. Jako příklad možno uvést regulační diagramy nebo chronologicky uspořádané záznamy tvořené výsledky vstupních kontrol dávek konkrétního výrobku předložených jedním dodavatelem; příkladem využívajícím jiné principy analýzy mohou být záznamy výsledků analýz laboratorních vzorků připravených z dílčích vzorků odebíraných systematicky při vzorkování hromadného materiálu v procesu nebo při vykládce materiálů z vagónů, podpalubí lodí apod. Při analýze regulačních diagramů je základním cílem ověřit stabilitu výrobního procesu a skutečnost, že proces pracuje ve statisticky zvládnutém stavu (tedy je ovlivňován pouze náhodnými vlivy variability) a plní požadavky na jakost na něj kladené. Není-li tomu tak, pak nastupuje úloha detekce zvláštních příčin působících na proces, jejich identifikace, návrhy opatření k nápravě a prověření jejich dostatečné a trvalé účinnosti včetně bariér proti novému objevení se těchto příčin. Příklady testů, které se aplikují při odhalování jednotlivých typů zvláštních příčin při analýze regulačních diagramů, jsou shrnuty v mezinárodní normě ČSN ISO 8258:1994 [10] nebo v dokumentu QS-9000 SPC [17]. 30

Při statistické analýze sériových dat představovaných výsledky laboratorních vzorků získaných při vzorkování hromadných materiálů je základním cílem stanovení typu kolísání sledovaného znaku jakosti, výpočet a grafické znázornění průběhu tzv. variogramu a z něho zjištěný odhad rozptylu vzorkování. Při této metodě se stanoví rozptyly vyvolané krátkodobým kolísáním a dlouhodobým kolísáním z analýzy časové řady dat získaných při statistickém experimentu. Variogram je znázornění rozptylu jako funkce intervalu mezi původními daty. Vzdálenost mezi po sobě jdoucími daty se nazývá posunutí jedna ( lag one ), vzdálenost mezi dvěma daty (ob jedno čtení) se nazývá posunutí dvě ( lag two ), atd. Rozptyl V exp (t) je celkový rozptyl pro posunutí k dílčích vzorků a má analytický tvar () t n-k i = 1 ( x x ) i+ k Vexp =, (4.7) 2( n k) kde x i je hodnota znaku jakosti pro dílčí vzorek i (i = 1, 2,, n); n k je počet dvojic dílčích vzorků pro celočíselné posunutí k (lag k); t je rovno k t, kde t je interval vzorkování v jednotkách času (vyjádřeno v minutách), nebo je rovno k m, kde m je interval vzorkování v jednotkách hmotnosti (vyjádřeno v tunách). Výraz (n - k ) ve jmenovateli rovnice odráží stupně volnosti pro výraz rozptylu při stanoveném intervalu k, zatímco součinitel 2 ve jmenovateli zaručuje, že pro t 0 konverguje V exp (t) k obvyklému rozptylu měření získaných za stejné situace. Na obrázku 4.7 jsou znázorněny zjištěné hodnoty procenta železa ve vzorcích rudy odebraných stratifikovaným systematickým vzorkováním založeným na hmotnosti při 28 000 tunových intervalech během nakládání 40 2800 = 112 000 tunových dávek železné rudy. Na obrázku 4.8 je odpovídající variogram a proložení přímky prvními čtyřmi body variogramu, které se využívá pro odhad rozptylu vzorkování. Podrobnosti tohoto postupu lze nalézt 31 i 2

v ČSN ISO 11648-2:2003 [14], věnované vzorkování sypkých materiálů. Při hlubší analýze procesu vzorkování je základním cílem stanovení typu kolísání sledovaného znaku. Obvykle se uvažují tyto čtyři typy: náhodné, cyklické, trendové a vzájemně korelované. Zde se kromě variogramu používá ještě korelogram. Tyto metody Hmotnost (v tunách) Obrázek 4.7 Obsah železa zjištěný u 40 vzorků železné rudy [14] 32

Posunutí (lag) (v tunách) Legenda 1 Lineární proložení 2 Výběrový variogram POZNÁMKA: K vyrovnání variogramu přímkou je použito prvních čtyř posunutí. Obrázek 4.8 Výběrový variogram a lineární proložení [14] jsou podrobně vysvětleny v mezinárodní normě ČSN ISO 11648-1:2004 [13]. Závěry je možno shrnout takto: je-li variogram plochý, je kolísání původní série náhodné; je-li variogram cyklický, je kolísání původních dat také cyklické se stejnou periodou; je-li variogram křivka odpovídající kvadratické funkci, projevuje kolísání původní série buď trend, nebo autokorelaci. V tomto případě se použije pro rozlišení mezi trendem a autokorelací výhodněji korelogram (viz ČSN ISO 11648-1:2004 [13]), neboť zobrazuje významné hodnoty koeficientu korelace (výpočet koeficientu korelace je uveden v kapitole 7). 33

4.3 Číselné zpracování dat 4.3.1 Úvodní poznámky V podkapitole 3.3 jsme použili termín sumární statistiky a mínili jsme jimi celkové výběrové charakteristiky, které využíváme především jako odhady měr polohy těžiště rozdělení a měr variability rozdělení. Mohou se ovšem týkat číselného vyjádření i dalších rysů rozdělení, jako je například šikmost a špičatost, které charakterizují tvar rozdělení. V této kapitole si však budeme všímat jen charakteristik polohy a variability. 4.3.2 Výběrové charakteristiky polohy Mezi výběrové charakteristiky polohy obvykle řadíme: a) výběrový (aritmetický) průměr x, b) výběrový medián Me x a c) výběrový modus Mo x. Předpokládáme-li, že máme k dispozici výsledky měření x 1, x 2,, x n představující náhodný výběr rozsahu n, potom a) výběrový (aritmetický) průměr x je dán výrazem x = 1 n n i = 1 x i 34 (4.8) b) výběrový medián Me x je dán výrazy závislými na tom, zda rozsah náhodného výběru je číslo liché nebo sudé: Me x = x (m), kde m = (½) (n + 1) pro n liché, = (½) (x (m) + x (m+1) ), kde m = (½) n pro n sudé, (4.9) přičemž x (1) x (2) x (n) představuje náhodný výběr, jehož hodnoty byly uspořádány podle velikosti; c) výběrový modus Mo x je hodnota s největší četností ve výběru. Používání této výběrové charakteristiky se nedoporučuje pro příliš velkou variabilitu výsledku. Proto ji zde nebudeme věnovat pozornost.

Připomeňme některé vlastnosti zmíněných výběrových charakteristik polohy: Do výpočtu výběrového průměru x vstupují všechna naměřená data na rozdíl od výběrového mediánu Me x, kde pracujeme pouze s prostřední hodnotou, je-li n číslo liché, resp. se dvěma prostředními hodnotami, je-li n číslo sudé. Z tohoto důvodu je zřejmé, že výběrový průměr x je silně ovlivňován případnými příliš extrémními hodnotami, které jsou tzv. odlehlé. Naopak výběrový medián takto ovlivňován není jak víme z kapitoly 4.2.3 představuje hodnotu, nad kterou leží právě 50 % hodnot výběru, a pod kterou leží právě 50 % hodnot výběru. Dalším rysem výběrového průměru x je, že vyžaduje, aby všechny hodnoty měly stejnou důležitost a přinášely stejný typ číselné informace. Pro symetrická rozdělení jsou hodnoty x a Me x přibližně stejné, ale pro asymetrická rozdělení (například rozdělení dob mezi poruchami) se tyto hodnoty již výrazně liší, jak je patrné z obrázku 4.9, kde jsou však zakresleny polohy teoretických hodnot (jeho modus, medián a střední hodnota) příslušných asymetrickému spojitému rozdělení. Za nejlepší odhad neznámé střední hodnoty µ rozdělení sledovaného znaku, z něhož byl náhodný výběr rozsahu n odebrán, se považuje výběrový průměr x. Nutno připomenout, že při aplikaci SPC při řízení průměru výrobního procesu se setkáváme jak s regulačními diagramy x, tak s regulačními diagramy Me x, neboť při podskupinách, jejichž rozsah n je liché číslo, se výběrový medián snadno stanoví. Aplikace tohoto typu regulačního diagramu však vyžaduje ověření normality regulovaného znaku jakosti, zatím co aplikace regulačního diagramu x umožňuje aplikaci SPC i pro asymetricky rozdělený znak jakosti. 35

Obrázek 4.9 Umístění tří charakteristik polohy asymetrického spojitého rozdělení 4.3.3 Výběrové charakteristiky variability Nejběžnější výběrové charakteristiky variability jsou: a) výběrové rozpětí R, b) výběrový rozptyl s 2 a výběrová směrodatná odchylka s, c) výběrový variační koeficient C, d) průměrná absolutní odchylka MAD (mean absolute deviation), e) výběrové mezikvartilové rozpětí IQR (interquartile range). Připomeňme výpočtové vzorce pro jednotlivé výběrové charakteristiky variability: a) výběrové rozpětí R = x (n) x (1) nebo x (max) x (min), (4.10) kde x (1) značí nejmenší a x (n) největší hodnotu ve výběru při uspořádání podle velikosti; b) výběrový rozptyl s 2 se stanoví podle vzorce n 2 1 2 s = ( x i x), (4.11a) n 1 2 s 1 n - 1 i= 1 n 36 1 n 2 = x n i x i i = 1 i = 1 2 (4.11b)

a pomocí něho příslušná směrodatná odchylka s 2 s = + s (4.12) Hodnota s 2 představuje maximálně věrohodný odhad neznámého rozptylu σ 2 sledovaného znaku jakosti v souboru, z něhož byl náhodný výběr odebrán. S výběrovým rozptylem s 2 a výběrovou směrodatnou odchylkou s se setkáváme především v SPC; c) výběrový variační koeficient C je mírou relativní variability a má tvar s s C = nebo 100 % ; (4.13) x x d) průměrná absolutní odchylka MAD je v podstatě aritmetickým průměrem absolutních odchylek hodnot x i od výběrového průměru x, tedy n 1 MAD = xi x n. (4.14) i =1 Poněvadž vyžaduje předběžné stanovení výběrového průměru x, není příliš rozšířena; e) výběrové mezikvartilové rozpětí IQR je založeno na rozdílu třetího kvartilu Q 3 a prvního kvartilu Q 1 [viz podkapitola 4.2.3, rovnice (4.3) a (4.1)] IQR = Q 3 Q 1. (4.15) Pro normální rozdělení odpovídá hodnota IQR přibližně 1,35σ (tedy 0,675σ na každou stranu od střední hodnoty rozdělení µ). S mírou IQR se pracuje především při porovnávání dvou datových množin. Numerický příklad obsahující použití výběrových charakteristik je obsažen v kapitole 8. 37

4.3.4 Zaokrouhlování čísel a počet desetinných míst Připomeneme některé zásady, které by měly být dodržovány při numerickém zpracování dat, při zaokrouhlování čísel a při porovnávání číselné hodnoty výsledku měření s mezní hodnotou předepsanou specifikací: A. Při numerickém zpracování výsledků měření x i se má dodržovat zásada: jsou-li výsledky měření x i stanoveny na p platných míst, pak z nich vypočítané výběrové charakteristiky: výběrový (aritmetický) průměr a výběrová směrodatná odchylka se mají uvádět na (p + 1) desetinných míst. B. Při zaokrouhlování čísel se postupuje podle těchto zásad: číslice posledního místa, na které se zaokrouhluje, zůstává zachována, jestliže za ní následuje číslice menší než 5, tedy některá z číslic 0 až 4 (například 0,0273 se zaokrouhlí na 0,027); číslice posledního místa, na které se zaokrouhluje, se zvětší o jednu, jestliže za ní následuje číslice větší než 5 nebo skupina číslic začínajících 5, avšak s dalšími číslicemi, z nichž alespoň jedna je nenulová (například 1,246 se zaokrouhlí na 1,25; při zaokrouhlení na jedno desetinné místo má číslo 2,1503 tvar 2,2); následuje-li za číslicí posledního místa, na které se zaokrouhluje, číslice 5 s dalšími nulami na desetinných místech, zůstává tato číslice beze změny, je-li sudá, a zvětší se o 1, je-li lichá (například 1,24500 se zaokrouhlí na 1,24; ovšem 1,23500 se zaokrouhlí rovněž na 1,24); má-li být součet řady zaokrouhlených čísel určitým daným číslem (například 100 %), nelze uvedená pravidla vždy dodržet; při zaokrouhlování stejných čísel by měla být všechna zaokrouhlena stejným způsobem; procenta, promile apod. se zpravidla vypočítávají z čísel nezaokrouhlených. C. Při porovnávání číselné hodnoty výsledku měření s mezní hodnotou LSL nebo USL předepsanou ve specifikaci nebo v jiném předpisu se číselná hodnota výsledku zaokrouhlí na 38

stejný počet platných míst, na jaký je předepsána příslušná mezní hodnota. To předpokládá, že například: příslušné hodnoty meze opakovatelnosti r (a analogicky meze reprodukovatelnosti R viz mezinárodní normy ČSN ISO řady 5725:1997 [6]) jsou uvedeny na stejný počet platných míst, jako je předepsána příslušná mezní hodnota; pro hodnocení shody se specifikovanými požadavky za přítomnosti nejistot měření je nutno respektovat směrnici, která je obsahem ČSN ISO 10576-1:2004 [11]. 39

5 DIAGRAM PŘÍČIN A NÁSLEDKU 5.1 Úvod Diagram příčin a následku ukazuje grafickou formou vztah mezi následkem a příčinami, obecněji řečeno mezi sledovaným znakem jakosti (následkem) a možnými zdroji kolísání tohoto znaku jakosti (příčinami) (viz [19]). Pro svůj tvar bývá tento diagram také nazýván diagram rybí kosti nebo podle svého autora Ishikawův diagram. Příčiny bývají většinou členěny v souladu se Shewhartovým pojetím procesu (stroje, metody, prostředí, materiály, měření a lidé). Tento přístup je běžný zvláště v průmyslových aplikacích. Naproti tomu speciální (například technologické) problémy pochopitelně nemusí všechny zmíněné typy příčin pokrývat, ale přihlížejí k jiným stěžejním pro řešení problému. Základní obecný tvar diagramu je znázorněn na obrázku 5.1. Následek, který je obvykle lokalizován v pravé části diagramu, obsahuje vždy stručnou specifikaci problému, který se má řešit; tato část diagramu bývá nazývána také rybí hlava. Nalevo od ní se zobrazují jednotlivé hlavní příčiny a odvozené dílčí příčiny neboli subpříčiny. Každá ze subpříčin je uváděna do relace v pořadí, které odpovídá úrovni ovlivnění hlavní příčiny. Je pravda, že diagram příčin a následku může být konstruován jediným pracovníkem, ale mnohem výhodnější je využít mozkového potenciálu týmu pracovníků, kteří se s řešeným problémem často setkávají, a uplatnit tzv. brainstorming. Každý ze zúčastněných může tak svými zkušenostmi přispět k obohacení výčtu příčin a subpříčin, a tak se minimalizuje možnost opomenutí některé z nich v celkových úvahách směřujících v prvém kroku k určení všech příčin, které mohou objasnit, proč je chování procesu právě takové, jaké je nyní. Pochopitelně použití diagramu příčin a následku se neomezuje jen na výrobní sféru a řešení otázek útvaru managementu jakosti, ale lze jej aplikovat při řešení všech problémů, které se objevují v administrativě, v zásobování, přepravě, marketingu, laboratořích apod. 40

5.2 Základní kroky a zásady při konstrukci diagramu příčin a následku Při konstrukci diagramu příčin a následku se postupuje v těchto krocích: 1. Přesně se vymezí znak jakosti, který se chce zlepšit nebo řídit. 2. Zvolený znak jakosti (následek) se zapíše do prostoru hlavy diagramu (na pravou stranu diagramu) a od hlavy na levou stranu se zakreslí vodorovná přímka ( páteř ryby ). 3. Specifikují se hlavní zdroje příčin kolísání sledovaného znaku jakosti formulovaného v hlavě. Tyto zdroje mají představovat hlavní příčiny, a tedy se jimi označí žeberní kosti vycházející z vodorovné přímky představující páteř ryby. 4. Subpříčiny jednotlivých hlavních příčin se obvykle získávají výše zmíněným brainstormingem a zapisují se k jednotlivým větvím vybíhajícím ze žeberních kostí. Tyto kroky jsou mnohem podrobněji zachyceny ve vývojovém diagramu znázorněném na obrázku 5.2. POZNÁMKA Zásady brainstormingu: Při využívání brainstormingu se doporučuje přihlédnout k následujícím všeobecně uznávaným a prověřeným zásadám: a) Cílem brainstormingu je získat co nejvíce nápadů, proto každý přednesený nápad a myšlenka by měly být zapsány. b) Brainstorming by měl řídit jediný předem dohodnutý nebo jmenovaný pracovník (moderátor). c) Mělo by se dovolit každému, kdo cítí potřebu k řešenému problému něco říci, aby tak mohl učinit. d) Snahou moderátora by mělo být vyburcovat v lidech tvořivé myšlení. e) Předložené nápady, přístupy a myšlenky by se neměly nikdy kritizovat a hodnotit v okamžiku jejich předložení. To by se mělo ponechat na závěr, kdy se obvykle přiřazují váhy jejich důležitosti. 41