Popisná statistika. Jaroslav MAREK. Univerzita Palackého

Transkript

1 Popisná statistika Jaroslav MAREK Univerzita Palackého Přírodovědecká fakulta Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Tomkova 40, Olomouc Hejčín tel marek@inf.upol.cz pondělí Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

2 Spojitý kvantitiativní statistický znak Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

3 Spojitý kvantitiativní statistický znak Pravidla pro dělení n pozorování do k tříd a) k 5 log n b) k n c) (Sturgesovo pravidlo) k 1 + 3,3 log n v našem případě pro n = 51 dostáváme ad a) 5 log 51 = 5 1, = 8,5 ad b) 51. = 7,14 ad c) 1 + 3,3 log 51. = 6,635 variační obor = rozdělíme na 7 stejných intervalů o délce 19016/7. = = 2800 Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

4 Jednorozměrný statistický soubor s jedním znakem střed četnost kumul.četnost č. interval intervalu abs. rel. abs. rel součet 51 1,000 Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

5 Znázornění četností Polygon četností Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

6 Znázornění četností Polygon četností Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

7 Znázornění četností Polygon četností Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

8 Znázornění četností Polygon četností Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

9 Zhuštění údajů Ke zhuštění údajů o kvantitativním statistickém znaku (respektive o nespojitém znaku s velkým počtem variant) máme dvě cesty: přes intervalové rozdělení četností přes konstrukci měr (polohy, variability, šikmosti a špičatosti), které mohou být založeny na tzv. kvantilech Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

10 Kvantily a druhy kvantilů Kvantilem resp. fraktilem (lat. fractus = zlomený) nazýváme hodnotu kvantitativního statistického znaku (nejčastěji spojitého) určenou tak, že hodnoty, které jsou menší (stejné) než ona, tvoří určitou stanovenou část rozsahu souboru, např. 0,1,5,20,25,40,50,95%. Příslušné kvantily nějakého kvantitativního znaku můžeme značit x 0.5, x 1, x 2, x 10, x 20, x 25, x 40, x 50, x 95 apod. přes intervalové rozdělení četností přes konstrukci měr (polohy, variability, šikmosti a špičatosti), které mohou být založeny na tzv. kvantilech Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

11 Kvantily a druhy kvantilů Nejpoužívanější kvantily: x 50 člení soubor na dvě stejně velké poloviny, tedy 50%-ní kvantil, nazývá se medián neboli prostřední hodnota (lat. medius = prostřední) kvantily menší než x 50 se nazývají dolní kvantily větší než x 50 se nazývají horní kvartily (lat. quartus = čtvrtý) decily (lat. decilus = desátý) kvintily (lat. quintus = pátý) percentily, které rozdělují uspořádanou řadu hodnot znaku na 100 stejně četných částí Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

12 Kvantily a druhy kvantilů Nalezení některých kvantilů v našich datech medián je 26. člen řady setříděných hodnot znaku dolní kvartil x 25 bude člen, jehož pořadové číslo je n+1 je 10923, 4 = 52 4 = 13, což horní kvartil x 75 bude člen, jehož pořadové číslo je 3 n+1 4 = = 39, což je Kdyby měla řada 136 členů, pak by n+1 4 = 34,25 a za dolní kvartil by bylo nutné stanovit některou hodnotu ležící mezi hodnotami s pořadovým číslem 34 a 35. Nabízí se 2 řešení: a) průměr 34 a 35 hodnoty b) 34. člen řady násobený člen řady násobený = 137 Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

13 Spojitý kvantitiativní statistický znak Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

14 Kvantily a druhy kvantilů Nalezení některých kvantilů v našich datech první decil x 10 bude hodnota, která odpovídá prvku s pořadovým číslem n+1 10 = = 5,2, získáme x 10 = = 9842 druhý decil x 20 bude hodnota, která odpovídá prvku s pořadovým číslem 2 n+1 10 = = 10,4, získáme x 20 = = poslední decil x 90 bude hodnota, která odpovídá prvku s pořadovým číslem 9 n+1 10 = = 46,8, získáme x 90 = = Ověřte, že x 30 = , x 40 = 13228, x 50 = 14390, x 60 = , x 70 = 16209, x 80 = Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

15 Obecný vztah pro stanovení přibližné hodnoty kvantilu pomocí interpolace x i x d = i i d x h x d i h i d kde i je relativní kumulativní četnost x d je dolní hranice intervalu, x h je horní hranice intervalu, x i = x d + i i d i h i d (x h x d ) označme délku intervalu x h x d jako h a relativní třídní četnost v procentech i h i d jako ni n 100 lze předchozí vztah psát jako x i = x d + i i d n i n 100h např. medián x 50 = = dolní kvartil x 25 = = horní kvartil x 75 = = první decil x 10 = = Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

16 Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Obrázek: Popisná statistika Boxplot pondělí / 62 Grafy Krabicový diagram (Box plot) V popisné statistice se často pracuje s tzv. krabicovým diagramem.

17 Krabicový diagram (Box plot) Krabicový diagram nám umožňuje posoudit symetrii a variabilitu námi zvolených dat a existenci extrémních hodnot. Význam boxplotu objasníme na dalším obrázku. Nejprve je ale třeba zavést následující pojmy: dolní vnitřní hradba: x 25 1,5R Q, horní vnitřní hradba: x ,5R Q, dolní vnější hradba: x 25 3R Q, horní vnější hradba: x R Q. Kvartilové rozpětí je R Q = x 75 x 25. Symbol křížku v obrázku označuje extrémní hodnoty, které leží za vnějšími hradbami. Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

18 Krabicový diagram (Box plot) Obrázek: Konstrukce boxplotu Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

19 Grafy Hvězdicový diagram Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

20 Grafy Hvězdicový diagram Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

21 Momenty Zatímco kvantily kvantitiativního statistického znaku x jsou vždy určité konkrétní jednotlivé hodnoty znaku (nebo jen z několika blízkých hodnot znaků určené) jsou momenty vždy funkcemi všech hodnot daného znaku v daném souboru. Mějme jednorozměrný statistický soubor o rozsahu n. k-tý moment kvantitativního statistického znaku je obecně definován jako am x,k = 1 n n (x i a) k i kde x i, i = 1, 2,..., n jsou jednotlivé hodnoty kvantitativního statistického znaku, a je nějaká konstanta k je přirozené číslo vyjadřující stupeň momentu Symbol na levé straně rovnice čteme jako k-tý moment z x kolem a. Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

22 Obecné momenty Pro a = 0 dostáváme k-tý moment x kolem nuly (kolem počátku) a moment nazýváme k-tý obecný moment x 0m x,k = 1 n n xi k. Nejpoužívanější je 1. obecný moment, který se nazývá střední hodnota: 0m x,1 = 1 n i n x i = x. Podobně pracujeme s vyššími obecnými momenty i 0m x,2 = 1 n n xi 2, 0 m x,3 = 1 n i n xi 3, 0 m x,4 = 1 n i n xi 4, i atd. Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62

23 Centrální momenty Učiníme-li aritmetický průměr počátkem neboli centrem (středem) počítání, dostaneme k-tý centrální moment. Do vzorce pro moment dosadíme a = x: xm x,k = 1 n n (x i x) k. Nejpoužívanější je 2. centrální moment, který se nazývá rozptyl a je dán vztahem: i xm x,2 = 1 n n (x i x) 2. i Jaroslav MAREK (UP Olomouc) Popisná statistika pondělí / 62