Role obálek D FFT spektra p i TSR invariantním rozpoznávání obrazu Kate ina Nováková, Jaromír Kukal VUT Praha, Fakulta jaderná a fyzikáln in en rská V CHT Praha, Ústav po íta ové a ídící techniky Abstrakt: Vlastnosti D Fourierovy transformace umo ují konstrukci charakteristik D binárního obrazu, které jsou invariantní v i posunu, oto ení a zm n m ítka. Metoda je zalo ena na anal ze absolutní hodnoty fourierovského obrazu a konstrukci dolní a horní obálky rotovan ch ez. Diskrétní aproximace navr en ch invariant je realizována v prost edí Matlabu s vyu itím D FFT. Vlastnosti navr ené metody jsou demonstrovány na p íkladech. Klí ová slova: D FFT, binární obraz, obálka, spektrum, Matlab. Úvod Na ím cílem je nalézt charakteristiky D binárního obrazu, které by byly invariantní v i posunu, oto ení a zm n m ítka. Na základ anal zy amplitudového spektra Fourierovy transformace jsou sestaveny spektrální ezy, s jejich pomocí vytvo íme dolní a horní obálku. Po vytvo ení relativizovan ch obálek pomocí referen ního bodu se obálky transformacemi obrazu nem ní. Z relativizovan ch obálek nalezneme diskrétní aproximace invariant pomocí D FFT. Fourierova transformace Prostor W Definujeme prostor W jako Z W = ff :R! C ; R jf(x; y)jdx dy < +g: () Fourierova transformace Nech f W, x; y;! ;! R. Pak Fourierovou transformací funkce f Prostor D Definujeme prostor D jako F ff(x; y)g =F(! ;! )= Diskrétní Fourierova transformace Z Z f(x; y) e i!x i!y dxdy: () D = ff :f;:::;n g! C n fgg: (3) Nech f D je ohrani ená diskrétní funkce reprezentovaná maticí reáln ch ísel o velikosti N N, její slo ky ozna íme f(j; k) (» j» N ;» k» N ),»!» N ;»!» N. Pak diskrétní Fourierovou transformací funkce f F(! ;! )= N X j= N X k= f(j; k)e ßi N (!j+!k) ; () kde F D je periodická funkce s periodou ß reprezentovaná maticí komplexních ísel o velikosti N N.

Spektrum Nech f(x; y) W (resp. D ) je funkce s Fourierov m obrazem F(! ;! ).Pak spektrem kde Re(! ;! ) je reálná a Im(! ;! ) je imaginární ást spektra. Amplitudové spektrum F(! ;! ) = Re(! ;! )+i Im(! ;! ); (5) Nech f(x; y) W (resp. D ) je funkcesfourierov m obrazem F(! ;! ).Pak amplitudov m spektrem q A(! ;! )=jf(! ;! )j = Re (! ;! )+Im (! ;! ): () Fázové spektrum Nech f(x; y) W (resp. D ) je funkce s Fourierov m obrazem F(! ;! ). Pak fázov m spektrem» H(! ;! ) = tan Im(! ;! ) : (7) Re(! ;! ) 3 TSR invariance 3. Invariance v i posunutí P i posunutí funkce f(x; y) v prostorové oblasti dojde k lineárnímu posunutí fáze Fourierovy transformace F(! ;! ) ve frekven ní oblasti a naopak. Amplituda z stává beze zm ny (obr. ). To vede k my lence vyu ít amplitudové spektrum p i rozpoznávání obrazu. Polohov invariantní spektrum Nech f(x; y) W je funkce s Fourierov m obrazem F(! ;! ). Pak polohov invariantním spektrem Φ(! ;! )= A(! ;! ) A(; ) : (8) 3. Invariance v i rotaci P i rotaci funkce f(x; y) o úhel ψ v prostorové oblasti dochází k rotaci Fourierovy transformace F(! ;! ) o stejn úhel a ve stejném sm ru ve frekven ní oblasti a naopak (obr. 5). Pro zaji t ní invariance v i rotaci je vhodné p ejít k polárním sou adnicím! a '. Zobrazíme-li vrstevnicovou mapu polohov invariantního spektra, m eme pro r zné úhly ' sledovat zm nu hodnot amplitudy se vzr stající vzdáleností od po átku. Tuto zm nu vystihují tzv. spektrální ezy. Spektrální ez Nech f(x; y) W je funkce s polohov invariantním spektrem Φ(! ;! ).Pak spektrálním ezem spektra Φ(! ;! ) cut(!; ') =Φ(! cos ';! sin '): (9) Horní obálka Nech f(x; y) W.Pak horní obálkou polohov invariantního spektra Dolní obálka upper(!) = max cut(!; '): () j'j»ß Nech f(x; y) W.Pak dolní obálkou polohov invariantního spektra lower(!) = min cut(!; '): () j'j»ß Dojde-li k rotaci obrazu o úhel ψ, dojde k rotaci spektra o stejn úhel. Spektrální ez odpovídající úhlu ' bude po posunutí odpovídat úhlu ' + ψ. Vzhledem k tomu, e dolní a horní obálka jetvo ena ze v ech úhl v intervalu ß» '» ß, jejich tvar se oto ením obrazu nezm ní (obr. 7a8).

3.3 Invariance v i zm n velikosti P i zv t ování funkce f(x; y) v prostorové oblasti dochází ke zhu t ní a zm n m ítka Fourierovy transformace F(! ;! ) ve frekven ní oblasti a naopak (obr. ). Se zm nou m ítka Fourierovy transformace dochází ke stejné zm n m ítka také u dolní a horní obálky (obr. 9). Pro mo nost porovnání obálek stejn ch objekt, které byly zv t eny nebo zmen eny, pot ebujeme ur it n jak referen ní bod. Prostor O Definujeme prostor O jako O = fp :R +! R+ g: () P íklad: lower; upper O, proto e pro ka dé! platí lower(!), upper(!). Prostor V Definujeme prostor V jako P íklad:! Λ = u(lower(!); upper(!)) = fmin! j upper(!) = g.! Referen ní bod V = fu :O O!R + g: (3) Nech lower; upper O, u V,! Λ = u(lower(!); upper(!)). Platí-li pro ka dé a >, e u(lower(a!); upper(a!)) = a u(lower(!); upper(!)), pak! Λ referen ním bodem obálek lower, upper. Nabízí se n kolik mo ností pro ur ení hodnoty referen ního bodu. Efektivita n kolika vybran ch mo ností byla m ena pomocí experimentu, ze kterého lze usoudit, e nevhodn j í pro ur ení referen ního bodu by mohl b t pr se ík te ny v inflexu horní nebo dolní obálky s osou x. Vzhledem k tomu, e uvelmi tenk ch objekt klesá horní obálka velice pozvolna, je vhodn j í referen ní bod! Λ ur ovat jako pr se ík te ny v inflexu dolní obálky s osou x. Relativizované obálky Nech f(x; y) W je funkce s polohov invariantním spektrem Φ(! ;! ), lower; upper Ojsou obálky Φ(! ;! ). Nech! Λ > je jejich referen ní bod. Pak funkce relativizované obálky. TSR invariance upper Λ (ο) = upper(!=! Λ ); () lower Λ (ο) = lower(!=! Λ ) (5) Nech f(x; y) W má relativizované obálky lower Λ ; upper Λ O. Nech g(x; y) W vznikla posunutím, rotací a zm nou m ítka funkce f. Pak g má stejné relativizované obálky jako f. Invariantní charakteristiky První klesající úsek dolní obálky Nech! + je sou adnice prvního lokálního minima relativizované dolní obálky. Pak prvním (monotonn ) klesajícím úsekem této obálky funkci low :h;! + i!r + definovanou p edpisem Invarianty» ;:::;» 9 low(!) =lower Λ (!);! h;! + i: Pomocí diskrétní aproximace funkce low byly získány invarianty» ;:::;» 9 jako Invarianty» ;:::;» 8» i =low (: i); i =;:::;9: () Pomocí diskrétní aproximací relativizované horní obálky byly získány invarianty» ;:::;» 8 jako» i = upper Λ (: j); i =;:::;8; j = i 9: (7)

.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 Obrázek : Trojúhelník Obrázek : Trojúhelník oto en o ffi (OT) Obrázek 3: Trojúhelník zv t en v pom ru : (ZT) Obrázek : Vrstevnicová mapa trojúhelníku Obrázek 5: Vrstevnicová mapa OT Obrázek : Vrstevnicová mapa ZT.9.8.7..5..3...9.8.7..5..3...9.8.7..5..3.. 5 5 5 3 5 5 5 3 5 5 5 3 Obrázek 7: Horní a dolní obálka u trojúhelníku Obrázek 8: Horní a dolní obálka uot Obrázek 9: Horní a dolní obálka uzt 5 Invariantní mno ina objekt Pro experiment bylo zvoleno osm typ D objekt ffl t i spojité: trojúhelník (), tverec (), estiúhelník (3) ffl p t diskrétních: obdélník (), koso tverec (5), elipsa (), pr nik dvou elips (7), sjednocení dvou elips (8) Pro ka d typ objektu bylo vygenerováno deset zástupc. Ka d z t chto objekt byl konvertován do vektoru ~» j =» ;:::;» 8 R 8, j =;:::;8. PCA prokázala, e tyto objekty utvá ejí samostatné shluky objekt stejného typu (obr. ). Pro v t í p ehlednost byly tyto shluky ozna eny tak, e íslo vedle shluku odpovídá íslu ka dého z osmi typ D objekt. Nejmen í rozptyl mají shluky spojit ch objekt ( ísla, a 3).

.5 3.5 7 PCA.5.5 5 8.5.5.5.5 PCA Obrázek : PCA vzork Záv r Poda ilo se nám nalézt TSR invarianty D binárního obrazu, které lze vyu ít p i rozpoznávání obrazu. Byly získány horní a dolní obálka polohov invariantního spektra, které jsou polohov a rota n invariantní. Pro dosa ení invariance v i zm n velikosti bylo pot eba vyu ít referen ní bod ur en jako pr se ík te ny v inflexu dolní obálky s osou x a vytvo it tak relativizované obálky. TSR invarianty byly získány z relativizovan ch obálek. Experiment prokázal separabilitu objekt klasifikovan ch pomocí navr en ch charakteristik. Reference [] Eric W. Weisstein. "Fourier Transform." From MathWorld A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/fouriertransform.html [] Eric W. Weisstein. "Discrete Fourier Transform." From MathWorld A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/discretefouriertransform.html Kontakty Kate ina Nováková eské vysoké u ení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikáln in en rská Trojanova 3, Praha, eská republika E-mail: katka.novakova@dc.fjfi.cvut.cz Jaromír Kukal Vysoká kola chemicko-technologická v Praze Fakulta chemicko-in en rská Ústav po íta ové a ídící techniky Technická 95, 8 Praha, eská republika Telefon: +--35, fax: +--35553 E-mail: jaromir.kukal@vscht.cz