Principy počítačů I Reprezentace dat

Principy počítačů I Reprezentace dat snímek 1 Principy počítačů Část III Reprezentace dat VJJ 1 snímek 2 Symbolika musí být srozumitelná pro stroj, snadno reprezentovatelná pomocí fyzikálních veličin vhodně převoditelná do symbolů srozumitelných člověku dostatečně obecná pro záznam i složitých představ VJJ 2 snímek 3 Data Typy dat Každý datový typ může být popsán Čísla Nenumerická data (literály) Instrukce jednoznačným kódováním uvnitř jednotky dat (syntaxe) omezením možných hodnot (sémantika) omezením možných transformací VJJ 3

snímek 4 Reprezentace dat Data reprezentujeme pomocí kódů Kódy pro reprezentaci literálů logické hodnoty znaky abecedy grafické symboly Kódy pro reprezentaci čísel čísla s pevnou řádovou čárkou čísla s pohyblivou řádovou čárkou VJJ 4 snímek 5 Logická hodnota Logické hodnoty Celá datová jednotka reprezentuje logickou hodnotu 111111 11 000000 00 TRUE FALSE Logická hodnota je reprezentována skupinou bitů nebo jediným bitem X X X X XX1X X X X X XX0X TRUE FALSE VJJ 5 snímek 6 Znaky (1) Znaky jsou reprezentovány přiřazenými hodnotami - kódy např. znak "0" binární hodnota 0011 0000 znak "1" binární hodnota 0011 0001 znak 2" binární hodnota 0011 0010... atd. VJJ 6

snímek 7 Znaky (2) kód BCD a odvozené kódy? EBCDIC? DKOI kód ASCII a odvozené kódy? KOI8-cs? EAST8? PC standard? Latin 2? 1250 MS Windows speciální kódy? Unicode VJJ 7 snímek 8 Pakované decimální číslo Kód BCD a EBCDIC Binary Coded Decimal je čtyřbitový váhový kód vyjadřující desítkové číslice 0 až 9. Má velkou redundanci. ± dddddddddddd Dekadická cifra (4 bity) (4 bity) "9" = "1001" Extended Binary Coded Decimal Interchange Code vznikl z kódu BCD a obsahuje 256 závazných znaků. 00 H až 3F H - speciální znaky 40 H až FF H - tištitelné znaky malá abeceda, velká abeceda, čísla obsahuje mnoho volných kódů VJJ 8 snímek 9 Kódy ASCII a odvozené Základní tabulka ASCII (American Standard Code for Information Interchange) byla definována pro sedm bitů. b6 0 0 0 0 1 1 1 1 b5 0 0 1 1 0 0 1 1 b4 0 1 0 1 0 1 0 1 b3 b2 b1 b0 0 0 0 0 NUL DLE space 0 @ P ` p 0 0 0 1 SOH DC1! 1 A Q a q 0 0 1 0 STX DC2 " 2 B R b r 0 0 1 1 ETX DC3 # 3 C S c s 0 1 0 0 EOT DC4 $ 4 D T d t 0 1 0 1 ENQ NAK % 5 E U e u 0 1 1 0 ACK SYN & 6 F V f v 0 1 1 1 BEL ETB ' 7 G W g w 1 0 0 0 BS CAN ( 8 H X h x 1 0 0 1 HT EM ) 9 I Y i y 1 0 1 0 LF SUB * : J Z j z 1 0 1 1 VT ESC + ; K [ k { 1 1 0 0 FF FS, < L \ l 1 1 0 1 CR GS - = M ] m } 1 1 1 0 SO RS. > N n ~ 1 1 1 1 SI US /? O _ o DEL VJJ 9

snímek 10 Rozšíření ASCII Kód ASCII byl rozšířen přidáním osmého bitu na 256 znaků a tato rozšířená sada má varianty dle ISO/IEC*: 1. Latin alphabet No. 1 6. Latin/Arabic 2. Latin alphabet No. 2 7. Latin/Greek 3. Latin alphabet No. 3 8. Latin/Hebrew 4. Latin alphabet No. 4 9. Latin alphabet No. 5 5. Latin/Cyrillic * Norma ISO/IEC 8859 VJJ 10 snímek 11 Jeden základ Polyadické A = n 1 i= m Číselné soustavy Více základů a i z i Používané základy 2, 10, 16 Nepolyadické Velikost čísla nelze získat polyadickým součtem Nepolyadická soustava např. římské číslice, soustava zbytkových tříd VJJ 11 snímek 12 Nepolyadické číselné soustavy soustava zbytkových tříd Soustava je definována pomocí uspořádané k-tice vzájemně různých prvočísel základů z 0, z 1, z 2,..., z n. Obraz čísla A je pak uspořádaná k-tice celých čísel a 0, a 1, a 2,..., a n pro která platí a i <z i,a i = A mod z i Příklad: základy 2, 3, 5 číslo 5 120 trojice zbytků po dělení Jednoznačné pouze pro A < VJJ 12 i z i

snímek 13 Polyadické soustavy Pro číslo x a základ r pro každou číslici platí x = a n-1 r n-1 +a n-2 r n-2 +... + a 0 r 0 = a 0 + r.( a 1 + r.( a 2 +... + r.(a n-2 + r.a n-1 )))..) pro jiný základ t bude pro x platit x = b 0 + t.( b 1 + t.( b 2 +... + t.(b n-2 + t.b n-1 )))..) x = Q + R kde t Q = b 1 + t.( b 2 + t.( b 3... t.b m-1 )))..) R = b 0 VJJ 13 snímek 14 Převodní algoritmus Převáděné číslo v soustavě r Dělit základem nové soustavy (t) Výsledek dělení Zbytek = b n NE Výsledek je nula? ANO Zbytek = b n-1 Konec VJJ 14 snímek 15 Převést 355 10 do binární soustavy 355 :2 177 b0 = 1 :2 88 b1 = 1 :2 44 b2 = 0 :2 22 b3 = 0 :2 11 b4 = 0 :2 5 b5 = 1 :2 2 b6 = 1 :2 1 b7 = 0 :2 0 b8 = 1 b 8 b 7 b 6... b 0 = 101100011 Příklad převodů Převést 134 9 do sedmičkové soustavy 134 :7 17 b 0 = 0 :7 2 b 1 = 2 :7 0 b 2 = 2 b 2 b 1 b 0 = 220 VJJ 15

snímek 16 Při převodu celého čísla původní číslo dělíme novým základem aritmetika dělení je realizována v původním základu první zbytek je číslice s nejnižší vahou VJJ 16 snímek 17 Konverze zlomkové části hledají se násobky původní hodnoty, aby se zjistily číslice s vahou t n číslice s největší vahou je ta, která je výsledkem první operace násobení tato číslice musí být první číslicí za řádovou čárkou VJJ 17 snímek 18 Převody desetinných částí NE Převáděná desetiná část v desítkové soustavě Násobit základem binární soustavy Desetinná část Výsledek násobení Desetinná část je nula? Celá část ANO Celá část = b -n Konec VJJ 18

snímek 19 Příklad převodu desetinné části Převést číslo 0,656 do binární soustavy 0,656 x2 1,312 b -1 = 1 0,312 x2 0,624 b -2 = 0 0,624 x2 1,248 b -3 = 1 0,248 x2 0,496 b -4 = 0... b 0,b -1 b -2 b -3... = 0,1010... Převod nemusí mít konečný počet číslic VJJ 19 snímek 20 Chyby při konverzi (1) chyba vznikající při pořizování čísla chyba způsobená zavedením stupnice (scaling error) chyba způsobená zanedbáním části čísla (trunkation error) chyba způsobená zaokrouhlením (rounding error) VJJ 20 snímek 21 Chyby při konverzi (2) Průběh chyby vzniklé zavedením stupnice: Velikost chyby 0,5 3,0 2,0 1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 Zobrazitelné hodnoty VJJ 21

snímek 22 Chyby při konverzi (3) Průběh chyby vzniklé zaokrouhlením nebo odseknutím Velikost chyby ε 1,0-2 -1 0 1 2 Zobrazitelné hodnoty VJJ 22 snímek 23 Zanedbat n+1 bit Zaokrouhlování NE Provést převod na n+1 číslic Je n+1 bit = 1 ANO Přičíst 2 -(n+1) Při zaokrouhlování se chyba převodu rozloží symetricky okolo nuly s nulovou střední hodnotou, -2 -(n+1) 2 -(n+1), nárůst kumulativní chyby bude s druhou odmocninou VJJ 23 snímek 24 Příklad zaokrouhlování Desítkové číslo 0,467 převést do binárního tvaru s přesností na tři místa za řádovou čárkou. 0,467 x2 0,934 b -1 = 0 0,934 x2 1,868 b -2 = 1 0,868 x2 1,736 b -3 = 1 0,736 x2 1,472 b -4 = 1 0,472 Bez zaokrouhlení 0,011 2 (0,375 10 ) = 0,092 Se zaokrouhlením 0,100 2 (0,5 10 ) = -0,033 VJJ 24

snímek 25 Čísla s pevnou řádovou čárkou Hlavní používané formáty řádová čárka řádová čárka řádová čárka 2 n-1 2 n-2 2 1 2 0 čárka řádová 2 0 2 n-1 S 2-1 2 n-2 2 0 2-1 1 2 -n+1 2 -m+1 VJJ 25 2 -n 2 -m 2 -m snímek 26 Binární čísla bez znaménka 2 n-1 2 n-2 2 1 2 0 n-1 n-2... 1 0 mocnina... 4 2 1 váha bitu řádová čárka může být umístěna kdekoliv, podle jejího umístění se mění váhy jednotlivých bitů, reprezentace je omezena počtem použitelných bitů, při aritmetických operacích může být zvolený počet bitů nedostatečný (přetečení, podtečení) VJJ 26 snímek 27 Binární čísla se znaménkem se znaménkem do reprezentace čísla se doplní zvláštní - znaménkový - bit Nevýhody dvě nuly (kladná a záporná) časově náročné algoritmy pro aritmetiku s posunutím k číslu se přičte konstanta, která reprezentuje nulu Odstraňuje nevýhody reprezentace se znaménkem Normální zobrazení Komplementární zobrazení VJJ 27

snímek 28 patří mezi nejpoužívanější metody záznamu záporných i kladných čísel nula je reprezentována jako 000...000 a je odstraněna nespojitost v okolí nuly zjednodušení aritmetiky kód je symetrický okolo osy -? Dvojkový doplněk Dvojkový Hodnota komplement + 7 0111.... + 2 0010 + 1 0001 0 0000-1 1111-2 1110.... - 7 1001-8 0000 VJJ 28 snímek 29 Příklady reprezentace Hodnota Posunutí Doplněk + 7 1111 0000 0111........ + 4 1100 0011 0100 + 3 1011 0100 0011 + 2 1010 0101 0010 + 1 1001 0110 0001 + 0 1000 0111 0000-0 1000 0111 1000-1 0111 1000 1001-2 0110 1001 1010-3 0101 1010 1011-4 0100 1011 1100.... - 7 0001 1110 1111-8 0000 1111???? VJJ 29 snímek 30 Čísla v kódu BCD bez znaménka b 1 b 2 b 3 b 4 d n d n-1 d 2 d 1 d 0 10 n 10 n-1 10 2 10 1 10 0 desítková mocnina... 100 10 1 váha číslice řádová čárka může být umístěna kdekoliv, podle jejího umístění se mění váhy jednotlivých skupin bitů, reprezentace je omezena počtem skupin bitů, při aritmetických operacích může být zvolený počet skupin bitů nedostatečný (přetečení, podtečení) VJJ 30

snímek 31 Čísla v kódu BCD se znaménkem desítkový komplement podobně jako dvojkový komplement Např. (-39) 100-39 = 61 (-42) 100-42 = 58 pak rozdíl (-39) - (-42) je ekvivalentní 61-58 = 3! Operace jsou prováděny mod 10! se znaménkem d n-1 VJJ 31 S s 3 s 2 s 1 s 0 Kód znaménka, např. EBCDIC d 2 d 1 d 0 b 3 b 2 b 1 b 0 + 1 1 0 0-1 1 0 1 snímek 32 Redundance záznamu v BCD (1) Pro reprezentaci čísla v binárním záznamu je potřeba n > log 2 x bitů Pro reprezentaci téhož čísla v BCD je třeba m > log 10 x bitů Celková redundance záznamu 4. log x = 4. log10 2 log x 2 10 = 1,204..!!! Platí pro reprezentaci dlouhých čísel!!! VJJ 32 snímek 33 Redundance záznamu v BCD (2) Pro jednotlivé číslice je redundance dána vztahem 6 3 = = 37,5% 16 8 VJJ 33

snímek 34 Pohyblivá řádová čárka x = A. z e exponent mantisa základ Existuje nejednoznačnost x = A. z e = (A. z - ). z (e+ ) = A'. z e' úmluva NORMALIZACE z -1 A < 1 VJJ 34 snímek 35 Předpoklady Pro zobrazení čísla musí být známo Pro mantisu i exponent velikost (explicitně) základ (implicitně) znaménko (explicitně) posice řádové čárky základu Exponent 2 n......2 m 2 k...... 2 0 01101...10011 1001... 001110100101001 řádová čárka je zlomek je celé číslo VJJ 35 snímek 36 exponentu mantisy Používaná zobrazení Řádová čárka exponentu ±± Exponent ± Exponent (s posunem) Řádová čárka exponentu i mantisy Řádová čárka mantisy mantisy 1. ± Exponent (vždy normalizována) mantisy Řádová čárka exponentu i mantisy VJJ 36

snímek 37 Normalizace ± Exponent (základ binární) 1... (normalizována) ± Exponent (základ hex) ± Exponent (základ dekadický) } } 0110... kvartet > 0 0101... (normalizována) kvartet > 0 BCD (normalizována) VJJ 37 snímek 38 ± Exponent Příklad normalizace Číslo 0,375 jako číslo v plovoucí řádové čárce s exponentem o binárním základu ve tvaru s posunem o 64 1 9 23 Nenormalizovaný tvar 1 001000000 01100... Normalizovaný tvar 1 000111111 11000... Normalizace se skrytým bitem 1 000111110 10000... Počet bitů VJJ 38 snímek 39 Přesnost záznamu reálných čísel (1) Způsob záznamu čísla Dekadický, v pevné 178,125 řádové čárce Dekadický, vědecký 1,78125 E10 2 Binární vědecký 1,0110010001 E2 111 Binární vědecký 1,0110010001 E2 10000110 (exponent s posunem) Formátovaný zápis binárního vědeckého záznamu (exponent s posunem) Exponent s posunem Hodnota Normalizovaná mantisa 0 10000110 01100100010000000000000 VJJ 39

snímek 40 Reprezentovatelnost Množina binárních reálných -100-10 - 0 +1 +10 +100 Podmnožina binárních reálných čísel, které mohou být reprezentovány v počítači -100-10 - 0 +1 +10 +100 Čísla v tomto intervalu nemohou být representována +10 10,0000000000000000000 1,11111111111111111111 24 VJJ 40 snímek 41 Norma IEEE-754 Doporučení IEEE (Institute of Electrical a Electronics Engineers) pro reprezentaci čísel v pohyblivé řádové čárce První vydání 1985, úprava 1987 - doporučení IEEE-854 Není závazná, ale podporuje ji většina výrobců Nejčastější implementace pro 32 bit (single precision) a 64 bit (double precision) VJJ 41 snímek 42 Základní atributy pro každý typ parametry omezující podmínky (-1) s. b E. (d 0 d 1 d 2... d p-1 ) b = základ p = počet číslic v mantise při základu b E max = maximální exponent E min = minimální exponent * zavedeno až s normou IEEE-854 b je buď 2 nebo 10* a je stejné pro všechny definované typy (E max -E min )/p musí být > 5 a doporučuje se, aby bylo > 10 b p-1 >10 5 VJJ 42

snímek 43 Číslo ve tvaru (-1) s.b E. (d 0 d 1 d 2... d p-1 ) kde s je algebraické znaménko, E je libovolné celé číslo mezi E min ae max včetně, d i číslice se základem b Reprezentace typu Normální Nula Subormální Dvě nekonečna, - a + Signální NaN Tiché NaN Subnormální číslo je takové, jehož exponent je minimální a úvodní číslice mantisy je nula. VJJ 43 snímek 44 Hodnoty v IEEE-754 32-bit Exponent E M Hodnota V E = 255 M = 0 V = E = 255 M 0 V = NaN 0 < E < 255 normalizovaná V = (-1) s.2 E-127. 1,M E = 0 nenormalizovaná V = (-1) s.2-126. 0,M E = 0 M = 0 0 VJJ 44 snímek 45 Speciální hodnoty v IEEE-754 32-bit Sign Exponent (hexa) (hexadecimálně) Hodnota (decimálně) 0 00 H 000000 H +0 1 00H 000000H -0 0 FF H 000000 H + 1 FFH 000000H - 0 FFH 0234ABH NaN 1 FFH F00011H NaN VJJ 45

snímek 46 Číselné hodnoty v IEEE-754 32-bit Sign Exponent (hex) (hex) Hodnota (decimálně) 0 80H 000000H 2 0 81H 500000H 6,5 1 81H 500000H -6,5 0 01 H 000000 H 2-126 0 00 H 800000 H 2-127 0 00H 000001H 2-149 VJJ 46 snímek 47 Hodnoty v IEEE-754 64-bit Exponent E M Hodnota V E = 2047 M = 0 V = E = 2047 M 0 V = NaN 0 < E < 2047 normalizovaná V = (-1) s.2 E-1023. 1,M E = 0 nenormalizovaná V = (-1) s.2-1022. 0,M E = 0 M = 0 0 VJJ 47 snímek 48 Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (1) ± Exponent 31 30 23 22 0 ± Exponent 63 62 52 51 0 ± Exponent 79 78 64 63 0 Numerická hodnota <val> = (-1) s * 2 (<exponent> - <posun>) * <mantisa> VJJ 48

snímek 49 - Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (2) -Normalizovaná konečná čísla -Denormalizovaná konečná čísla +0-0 Formát záznamu odpovídá velikosti čísla + +Normalizovaná konečná čísla +Denormalizovaná konečná čísla VJJ 49 snímek 50 Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (3) Exponent S 0 0 Zobrazení reálných nul VJJ 50 snímek 51 Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (4) Exponent S 0 S Exponent 1..254 a) denormalizovaná 0,xxx... jakákoli hodnota a) normalizovaná Normalizované a denormalizované konečné hodnoty VJJ 51

snímek 52 Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (5) Exponent S 255 0 Nekonečna se znaménkem VJJ 52 snímek 53 Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (6) Exponent S 255 S Exponent 255 a) signální b) tiché 1,0xx... 1,1xx... Nečíselné hodnoty (NaN) VJJ 53 snímek 54 Reprezentace reálných čísel v procesorech Intel (7) Kladná čísla Záporná čísla NaN Zobrazená entita Sign Posunutý exponent VJJ 54 Celá část Zlomková část + 0 11... 11 1 00... 00 + normalizovaná 0 11... 10 až 00... 01 1 11... 11 až 00... 00 + denormalizovaná 0 00... 00 0 11... 11 až 00... 01 + 0 0 00... 00 0 00... 00-0 1 00... 00 0 00... 00 - denormalizovaná 1 00... 00 0 00... 01 až 11... 11 - normalizovaná 1 00... 01 až 11...10 1 00... 00 až 11... 11-1 11... 11 1 00... 00 signální NaN X 11... 11 1 0X... X tiché NaN X 11... 11 1 1X... X "nedefinováno" 1 11... 11 1 10... 00

snímek 55 Strategie aritmetických operací sčítání a odčítání I V pohyblivé řádové čárce neplatí vždy asociativní zákon Operaci důvod? M + M E1 E2 1. 2 2. 2 lze provést pouze je-li E 1 = E 2 Omezená délka zobrazení - přesnost Pokud je E 1 E 2, jeden operand musí být denormalizován! VJJ 55 snímek 56 Strategie aritmetických operací sčítání a odčítání II Při operaci sčítání nebo odčítání může dojít k přetečení zlomkové části k podtečení zlomkové části k přetečení exponentu ke ztrátě přesnosti (chyba porovnání) VJJ 56 snímek 57 Strategie aritmetických operací násobení a dělení Pro násobení platí M.2 1 a pro dělení E1 E2 ( E1 + E2 ). M 2.2 = ( M1. M 2). 2 M M E1 1. 2 M1 ( E1 E2 ) =.2 E2 2.2 M 2 VJJ 57

snímek 58 ± Speciální typy záznamu čísel Racionální záznam Čitatel (celé číslo se znaménkem) Jmenovatel (celé číslo bez znaménka) Nepoužívá se jako strojový typ, pouze reprezentace v podprogramech nebo specializovaných mikroprogramech Záznam komplexních čísel ± Exponent reálné části ± Exponent imaginární části Obě části reprezentovány jako čísla v plovoucí řádové čárce, vyskytují se zřídka VJJ 58 snímek 59 Informační bity Data s automatickou identifikací Tagy Tag Datová jednotka Program Deskriptory VJJ 59 Paměť snímek 60 Kombinace tagů a deskriptorů Program Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Data Tag Paměť VJJ 60

snímek 61 Objekty Paměťové jednotky jsou realizovány jako objekty, pro které platí: Objekt může být vytvořen nebo zrušen jenom jako celá entita, K objektu lze přistupovat jenom jako k celku, Vnitřní struktura objektu je neviditelná Objekt je transformovatelný pomocí instrukcí Objekt obsahuje autoidentifikační informaci VJJ 61