Mikroprocesorová technika (BMPT)

Transkript

1 Mikroprocesorová technika (BMPT) Přednáška č. 10 Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Ing. Tomáš Frýza, Ph.D.

2 Obsah přednášky Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Dekadická, binární, hexadecimální Vzájemný převod mezi číselnými soustavami Aritmetické operace v jednotlivých soustavách (násobení, dělení) BCD kód Vyjádření záporných a desetinných čísel Dvojkový doplněk, floating-point 2

3 Dekadická číselná soustava Dekadická (desítková) je nejsrozumitelnější pro člověka (10 prstů) Základ soustavy: 10 Využívá symboly: 0,1,2,...,9 Kladný rozsah hodnot: 0 až 10 počet symbolů 1 Př.: počet symbolů = 3; rozsah 0 až 999 Př.: rozklad čísla 2 745, ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 3

4 Binární číselná soustava Binární (dvojková) soustava se používá v číslicové technice Základ soustavy: 2 Využívá symboly: 0,1 Kladný rozsah hodnot: 0 až 2 počet symbolů 1 Př.: počet symbolů = 8; rozsah 0 až Př.: rozklad čísla 1011,101 2 (1 2 3 ) + (0 2 2 ) + (1 2 1 ) + (1 2 0 ) + (1 2-1 ) + (0 2-2 ) + (1 2-3 ) = , ,125 = 11, Značení: , 0b1010 4

5 Hexadecimální číselná soustava Hexadecimální, šestnáctková, hexa Přehlednější zápis binárních čísel Základ soustavy: 16 Využívá symboly: 0,1,2,...,9,A,B,...,F Kladný rozsah hodnot: 0 až 16 počet symbolů 1 Př.: počet symbolů = 4; rozsah 0 až Značení: 2BA6 16, 0xD2, $25A4 5

6 Převod mezi soustavami Dekadická Binární Haxadecimální A B C D E F Každý symbol z hexadec. soustavy lze vyjádřit právě 4 bity Osm bitů (jeden byte) = dva hexadec. symboly! 1011, 0101, 0011,

7 Binární <-> Dekadická soustava Binární -> dekadická soustava (viz. výše) Dekadická -> binární soustava Reálné číslo se rozdělí na celou a desetinnou část. Celá část se dělí základem soustavy (tj. 2) a zbytek udává hodnotu od binární čárky směrem k MSB. Př.: 25, a) celá část 25/2 = 12 + zbytek 1 --> /2 = 6 + zbytek /2 = 3 + zbytek /2 = 1 + zbytek /2 = 0 + zbytek

8 Binární <-> Dekadická soustava Desetinná část se násobí základem soustavy a přenosové bity udávají hodnotu od binární čárky směrem k LSB. b) desetinná část 0,375 2 = 0,75 = 0,75 s přenosem 0 --> 11001,0.. 0,75 2 = 1,50 = 0,50 s přenosem ,01. 0,50 2 = 1,00 = 0 s přenosem ,

9 Hexadec. <-> Dekadická soust. Hexadec. -> dekadická soustava Jednotlivé symboly lze váhovat obdobně jako u dekadické soustavy Př.: = ( ) + ( ) + ( ) = = Př.: 2AF 16 = ( ) + ( ) + ( ) = =

10 Hexadec. <-> Dekadická soust. Dekadická -> hexadecimální soustava Obdobný postup jako u převodu do binární soustavy Př.: /16 = 26 + zbytek 7 --> /16 = 1 + zbytek 10. A 7 1 = 0 + zbytek 1 1 A

11 Hexadec. <-> Binární soustava Hexadecimální -> binární soustava Každý symbol v hexadec. soustavě představuje čtveřici bitů Př.: = 9 (1001) 7 (0111) 2 (0010) = Př.: 5F1,6 16 = 5 (0101) F (1111) 1 (0001), 6 (0110) = ,

12 Hexadec. <-> Binární soustava Binární -> hexadecimální soustava Binární číslo se rozdělí na čtveřice bitů (nibly) a ty se převádí nezávisle na ostatních Př.: = 0001 (1) 1011 (B) 1010 (A) 0110 (6) = 1BA6 16 Př.: , = 0101 (5) 1011 (B) 1011 (B), 0111 (7) 1100 (C) = 5BB,7C 16 Stačí znát převodní tabulku pro 16 symbolů (0 F) 12

13 Aritmetické operace v číselných soustavách - součet Dekadická soustava (viz. první a druhá třída ZŠ) Binární soustava Sčítají se odpovídající bity od LSB Je-li výsledek součtu větší než jsme schopni v soustavě vyjádřit, dojde k přenosu do vyššího řádu (přičte se jednička) ==> potřebujeme n+1 bitů = 0 bez přenosu = 1 bez přenosu = 0 přenos = 1 bez přenosu = 0 přenos = 1 přenos

14 Aritmetické operace v číselných soustavách - součet Hexadecimální soustava Postup je identický: sčítají se odpovídající symboly od nejméně důležitých (zprava:) a používá se přenos do vyšších řádů 3A Jiná možnost: Převést hodnoty z hexadec. soustavy do binární, příp. dekadické Provést aritm. operaci Výsledek zpětně převést do hexadec. soustavy 8E C (CA) (8E)

15 Aritmetické operace v číselných soustavách - rozdíl Výpočet je ve všech soustavách identický Př.: 12 6 =? -1-1 Binární soustava: = =1 a odečíst 1 od následujícího bitu =1 Př.: 18 8 =? 1-1=0-1 Jiná možnost využívá definice rozdílu pomocí součtu opačného čísla (viz. Dvojkový doplněk)

16 Aritmetické operace v číselných soust. celočíselné násobení Násobení dvou čísel se provádí ve všech soustavách stejně (viz. první a druhá třída ZŠ) V binární soustavě je to ještě jednodušší násobíme nulou nebo jedničkou ;-) Násobí se od LSB (nejméně důležitý bit) (1 1=1 1 0=0 0 1=0 0 0=0) 1001 Dílčí výsledky se binárně sečtou 1001 Výsledek násobení dvou n-bitových čísel má 2n bitů

17 Aritmetické operace v číselných soust. - celočíselné dělení Postupným odečítáním dělitele od dělence zjistíme kolikrát se dělitel vejde do dělence Pozn.: Pravidla binárního odečítání 0-0=0 0-1=1 a odečíst 1 od následujícího bitu 1-0=1 1-1=0 Př.: 12 : 3 =? (0001) (0010) (0011) (0100) 17

18 Násobení a dělení hodnotou 2,4,8,16,... Př.: 9 4 =? Př.: 6 : 2 =? (0001) (0010) (0011) Násobení 2 lze realizovat binárním posunem doleva o 1 pozici Dělení 2 lze realizovat binárním posunem doprava o 1 pozici 18

19 BCD (Binary Coded Decimal) kód Všechny číslicové systémy pracují v binární soustavě, ale vstupní/výstupní data jsou požadována v dekadické soustavě (kalkulačka, voltmetr, čítač, hodiny,...) Pro velké čísla je převod mezi binární a dekadickou soustavou příliš zdlouhavý a náročný; místo toho se používá tzv. BCD kód BCD kód popisuje každou číslici v dekadické soustavě čtveřicí bitů (tři bity jsou málo:) 0, 1, 2,..., 9 -> 0000, 0001, 0010,..., 1001 Zbývajících šest (1010, 1011,..., 1111) kombinací není využito 19

20 BCD (Binary Coded Decimal) kód Nevyužité (nepovolené) kombinace BCD kódu bývají systémem detekovány Binární kód kóduje číslo jako celek, ale BCD kód kóduje každou číslici zvlášť ==> naprosto odlišné vyjádření téhož čísla Př.: = (binární soust.) <-- 8 bitů = (BCD) <-- 12 bitů Př.: 94,3 10 = ,0011 (BCD) 20

21 Vyjádření záporných čísel Hodnota binárního čísla je v mikroproc. technice vyjádřena určitým počtem bitů. Počet bitů určuje rozsah hodnot, který lze vyjádřit (8 bitů: 0 až 255) Pro potřeby vyjádření zda je hodnota kladná, nebo záporná, je přidán tzv. znaménkový bit na pozici MSB (nejvíce důležitý bit) 0 <=> kladná hodnota; 1 <=> záporná hodnota True-Magnitude form: = = = = 1101 = -5 (!!) 21

22 Dvojkový doplněk V číslicových systémech se k vyjádření záporných čísel používá tzv. dvojkový doplněk Dvojkový doplněk představuje číslo opačné k dané hodnotě Postup vytvoření dvojkového doplňku: Negace všech bitů (tj. vytvořit jednotkový doplněk) Binárně přičíst jedničku =? >

23 Dvojkový doplněk Rychlejší postup při tvorbě dvojkového doplňku: Opisovat všechny nulové bity od LSB První jednotkový bit opsat Zbývající bity negovat Př.: 20 --> > Kontrola: Pozn.: Samé jedničky ve dvojkovém doplňku reprezentují vždy -1 23

24 Sčítání znaménkových čísel Pro záporná čísla ve dvojkovém doplňku platí stejná pravidla pro aritmetické bitové operace Součet dvou kladných hodnot (+4) Součet kladného a malého záporného čísla (-4) 1/

25 Sčítání znaménkových čísel Součet kladného a velkého záporného čísla (+4) Součet dvou záporných čísel (-4) 1/ Součet opačných čísel (+9) 1/

26 Odečítání znaménkových čísel Odečítání znaménkových čísel vyjádřených ve dvojkovém doplňku se provádí pomocí sčítání ;-) Postup: K menšiteli vytvořit dvojkový doplněk Tento doplněk přičíst k menšenci (+4) (-4) (-4) 1/ Při součtu velkých čísel není zaručen dostatečný počet bitů pro výsledek -> dojde k přetečení (chybný výsl.) (+8) (!!) 26

27 Binární čísla Floating-point Rozsah hodnot dvojkového doplňku je omezený 8bitový systém: až bitový systém: až Pro reprezentaci desetinných čísel a pro zvýšení rozsahu je použita reprezentace s plovoucí řádovou čárkou (Floating-point) Tři základní formáty podle standardu ANSI/IEEE 754: Jednoduchá přesnost (Single precision SP) 32 bitů Dvojitá přesnost (Double precision DP) 64 bitů Rozšířená přesnost (Extended precision EP) 80 bitů 27

28 Single precision Floating-point Formát binárního čísla se skládá ze tří částí: Znaménkový bit: S 1 bit (31) Exponent: E 8 bitů (30, 29,..., 23) Mantisa: M 23 bitů (22, 21,..., 0) Znaménkový bit = 1 <=> záporné číslo Záporná čísla nejsou vyjádřena ve dvojkovém doplňku; čísla opačná se proto liší pouze znaménkovým bitem 28

29 Single precision Floating-point Mantisa: Reprezentuje nejdůležitější bity kódovaného čísla Hodnota je normována => desetinná čárka je přesunuta za první nenulovou číslicí (v binární soustavě za první jedničku :) Z desetinné části se pak vybere mantisa Exponent: Může vyjádřit jak kladný, tak i záporný exponent K dané hodnotě je vždy přičtena konstanta , proto je výsledná hodnota ve formátu floating-point vždy kladná!! 29

30 Single precision Floating-point Př.: Vyjádřete desetinné číslo +6, ve tvaru s plovoucí řádovou čárkou (jednoduchá přesnost) Řešení: Přepsat dané číslo do bin. soust.: 6,625 = 110,101 2 Normovaná podoba: 110,101 = 1, bitová mantisa: Exponent: = = Znaménkový bit: 0 <=> kladné číslo SP:

31 Single precision Floating-point Př.: Podle standardu IEEE 754 přepište číslo z plovoucí řádové čárky do dekadické podoby SP: Řešení: Znaménkový bit: 0 <=> kladné číslo Exponent: = = 32 1, = = Pozn.: Ve dvojkovém doplňku lze pomocí 32 bitů vyjádřit hodnoty od do

32 Zdroje informací Tocci, R,J. Microprocessors and Microcomputers. Pearson Education, New Jersey (USA), 2003, ISBN Morton, J. AVR, An Introductory Course. Newnes, Oxford (UK), 2002, ISBN Spasov, P. Microcontroller Technology. Prentice Hall, New Jersey (USA), 2004, ISBN Gadre, D.V. Programming and Customizing the Avr Microcontroller. McGraw-Hill, New York (USA), 2001, ISBN X Atmel. AVR Studio 4. [Online] (září 2006) 32

33 Příklady k procvičení Př. 1: Převeďte desetinné číslo 1 737, do binárního tvaru. Naznačte postup převodu. Př. 2: Převeďte desetinné číslo 5 471, do hexadecimální soustavy. Naznačte postup převodu. Př. 3: Převeďte hodnotu 23DB6,741 do binární soustavy. Př. 4: Zapište posloupnost bitů ,0110 v šestnáctkové soustavě. Př. 5: Hodnoty vyjádřené ve dvojkovém doplňku převeďte do decimální soust.: a) 10110, b) 01101, c)