Číselné soustavy. Prvopočátky. Starověký Egypt a Mezopotámie. Již staří Římané

Transkript

1 Prvopočátky Číselné soustavy Lidstvo po celé věky používalo znaky a symboly pro znázornění čísel. První formy měly tvar rovných čar nebo skupin čar, podobně jako např. v knize Robinson Crusoe, kde skupina 6 svislých úseček s diagonálou přes ně přeloženou představovala jeden týden v kalendáři. Starověký Egypt a Mezopotámie Již staří Římané Předchozím grafickým způsobem je velmi obtížné znázorňovat velká nebo velmi malá čísla. Již v Egyptě 34 př.n.l. a Mezopotámii 3 př.n.l. byl zaveden symbol, reprezentující jednotku. To byl značný pokrok, protože se tak redukoval počet potřebných symbolů. Například číslo mohlo být nyní reprezentováno pomocí a dvou jednotek (tři symboly namísto předtím nutných dvanácti). Staří Římané zavedli číselnou soustavu, která umožňovala znázornit všechna čísla od do pouze sedmi symboly (I, V, X, L, C, D, M). Vodorovná čárka nad symbolem označovala vynásobení čísla. 3 4

2 Arabská číselná soustava Desítková soustava Nejběžněji používaná číselná soustava v dnešní době je arabská. Pochází z hindské kultury a používala se již ve 3. stol. př. n.l. Zavedení symbolu pro označení řádu bylo velmi důležité. Setkáváme se tak s jednotkami, desítkami, sty, tisíci, atd. V číselných soustavách se setkáváme s opakující se sadou čísel. V desítkové soustavě jsou to čísla až 9. Tato základní sada se neustále opakuje, takže je možné tvořit velká čísla. Po každém zopakování sady čísel dojde k zvýšení (inkrementaci) sloupce vlevo (z na, pak, atd.) Inkrementace v daném sloupci (řádu) se zvyšuje, až je dosaženo nejvyššího čísla v řadě (9), následuje nejnižší číslo v sadě () a začne se generovat nová hodnota ve sloupci vlevo (tj. po 9 následuje ). 9, 9, 9, 3 39, atd. 5 6 Základ číselné soustavy Základ číselné soustavy je počet různých hodnot, kterých sada čísel nabývá před svým opakováním. Desítková soustava má například různých čísel: až 9. Číselné soustavy a jejich základy: binární (dvojková) = (, ) oktalová (osmičková) = 8 ( - 7) decimální (desítková) = ( - 9) duodecimální (dvanáctková) = (římská) hexadecimální (šestnáctková) = 6 ( - 9, A - F) vigesimální (dvacítková) = (mayská) sexagesimální (šedesátková) = 6 (babylónská) Váhový faktor Váhový faktor je hodnota, kterou se násobí číslice na určité pozici v čísle. Například v desítkové soustavě je váhový faktor mocnina, kde mocnitel je dán pořadím číslice zprava počínaje. Příklad dekadického čísla 3 : 3 = = = = = 3 = 3 = 3 3 (součet) Jiný příklad binárního čísla : = = = = 3 = 8 (dekadický součet) 7 8

3 Číselné soustavy - obecně Obecná definice soustavy Základem je libovolné přirozené číslo Z. Číselná soustava o základu Z (Z-adická soustava) má Z číslic:,,..., Z-. Číslo: a n a n-...a a,a - a -...a -k v Z-adické soustavě má hodnotu a n Z n + a n- Z n a Z + a + a - Z a -k Z -k, kde Z je základ soustavy n řád celé části k řád zlomkové části a) rozepsání dekadického čísla 7 85, b) převod hexadecimálního čísla 34,56 H ,56 H = 466,333 c) převod binárního čísla, B ,5+,65, B = 87,875 9 Převod z dekadické soustavy do binární soustavy 38 = B číslo dělíme základem () 38 : = 64 zbytek = <<<<<<< LSB 64 : = 8 zbytek = 8 : = 4 zbytek = 4: = zbytek = : = zbytek = : = 5 zbytek = 5 : = zbytek = : = zbytek = : = zbytek = <<<<<<< MSB Převod z dekadické soustavy do hexadacimální soustavy 38 = 48 H číslo dělíme základem 6 38 : 6 = zbytek = 8 <<<<<<< LSB : 6 = zbytek = 4 : 6 = zbytek = <<<<<<< MSB

4 Převod z binární soustavy do hexadecimální soustavy B = 48 H Binární číslo rozdělíme po čtyřech bitech (tam, kde číslo nedosahuje 4 bitů, přidáme ) = = = = 4 = = 8 Z toho vznikne výsledek 48 H Převod z hexadecimální soustavy do binární Dělá se to úplně stejně jako v minulém případě, jen z opačného konce 468A H = B A H = B 8 H = B 6 H = B 4 H = B Z toho vznikne výsledek B 3 4 Převod zlomkové části z desítkové soustavy Zlomek je třeba novým základem postupně násobit. Celá část mezivýsledku je cifrou v nové soustavě, zlomkovou část mezivýsledku opět násobíme, atd.,5 =,,5 =, 5,5 =,5,5 =,,37 =,453 6,37 6=,86,86 6=4,9356,9356 6=5,636,636 6=3,686,5 5=,5,5 5=,5 Převod zlomkové části do desítkové soustavy Posuneme řádovou čárku (násobíme Z k ) tak abychom dostali celé číslo. To převedeme do desítkové soustavy a podělíme Z k, = -5 = 7/ 5 =,84375,BEB 6 = BEB 6-3 = 35/6 3 =,

5 Vyjádření záporných čísel () Záporná čísla mohou být v binární soustavě vyjádřena několika způsoby: Využití znaménkového bitu Jedničkový doplněk Dvojkový doplněk Znaménkový bit Jako znaménkový bit je obvykle použit nejvýznamnější bit binárního čísla s tím, že jeho hodnota představuje kladné číslo a hodnota pak záporné číslo. Využijeme-li znaménkový bit v 8-bitovém slově, je pro vyjádření vlastního čísla vyhrazeno zbývajících 7 bitů. Rozsah takového čísla v dekadickém vyjádření je pak -7 až +7. Příklad: = +6 = -6 Vyjádření záporných čísel () Jedničkový doplněk Jedničkový doplněk je vytvořen tak, že hodnoty všech bitů jsou invertovány ( a ) Příklad: Dekadicky Binárně -doplněk Dvojkový doplněk Dvojkový doplněk je vytvořen tak, že číslo je převedeno do svého jedničkového doplňku a pak je přičtena. Příklad: Dekadicky Binárně -doplněk 7 8 Dvojkový doplněk Operace v dvojkové soustavě Dvojkový doplněk + původní číslo dává nulu (přenos se neuvažuje) Příklad: Vytvořte dvojkový doplněk k číslu - Jednodušší algoritmus (záměna číslic) + Sčítání Odčítání = = = + = + = + = + = přičtení dvojkového doplňku 9

6 Zobrazení čísel v počítači Celá čísla Pevná čárka (řádová čárka je myšlená za nejnižším bitem) Záporná čísla se zobrazují v doplňkovém módu Reálná čísla Zobrazují se ve tvaru semilogaritmickém (exponenciálním) jako dvojice mantisa a exponent Datové struktury Úvod Při programování je nutná znalost formátu a správného použití dat. Všechny programy využívají určitý typ dat. Pro návrh bezchybného programu je potřeba pochopit strukturu dat. V této části se podíváme na různé typy dat používaných v programech. Ukážeme způsoby ukládání, přístupu a používání dat. Počítače ukládají informace v binárním tvaru. Binární soustava používá k ukládání dat bity. Bity (Bits) Bit je nejmenší element pro uložení informace v počítači. Bit může nabývat jedné ze dvou možných hodnot: Hodnota Význam OFF, FALSE, NOT SET ON, TRUE, SET Bity se kombinují dohromady, takže je možné ukládat i větší čísla. 3 4

7 Nejméně významný a nejvýznamnější bit The Least Significant Bit (LSB) bit s nejnižší hodnotou, zapisuje se nejvíce vpravo The Most Significant Bit (MSB) bit s nejvyšší hodnotou, zapisuje se nejvíce vlevo Na následujícím schématu je 8 bitů (byte) s odpovídající decimální hodnotou: pořadí bitu decimální váhový faktor MSB LSB Bajty (Bytes) Bajty jsou skupiny 8 bitů. Bajty se často používají pro ukládání znaků (characters). Lze je použít i pro ukládání numerických hodnot až až BCD (Binary Coded Decimal) Binárně kódovaný decimální znak Binárně kódovaný decimální znak (-9) je reprezentován čtyřmi bity. Platné kombinace bitů a jejich hodnoty jsou: Binární hodnota Číslice Binární kombinace až jsou neplatné a nepoužívají se. BCD kód Normální BCD kód používá k uchování jednoho BCD znaku jeden byte (zbylé 4 bity jsou nastaveny libovolně). Komprimovaný BCD kód používá jeden byte k uchování dvou BCD znaků (úspora času při přenosu dat). Příklad uložení čísla 56 v komprimovaném BCD formátu: 7 MSB Horní čtyři bity představují hodnotu 5 a dolní čtyři bity hodnotu 6. 3 LSB pořadí bitu 7 8

8 Stav a Booleovské proměnné Booleovské proměnné mají -bitovou hodnotu, takže nabývají pouze jednoho ze dvou stavů, a to buď (představuje stav FALSE = NEPRAVDA) nebo (stav TRUE = PRAVDA). Počítač považuje každou booleovskou proměnnou jako jeden bit. Pokud je bit TRUE, má hodnotu. Pokud je bit FALSE, má hodnotu. Pokud se seskupí několik bitů pro reprezentaci určitého omezeného rozsahu, označují se jako stavové proměnné. Pokud například potřebujeme v programu sledovat počet provolaných minut (rozsah 6) není třeba plný integer (viz později), ale pouze omezený počet bitů. Stavové proměnné tak mohou zabírat méně paměťového prostoru. ASCII The American Standard Code for Information Interchange ASCII je počítačový kód, který používá 8 různých kombinací hodnot sedmi bitů ( 7 = 8) k vyjádření znaků: A až Z (malá i velká písmena) speciální znaky (<,?, :, ) číslice až 9 speciální řídící znaky Počítač obvykle ukládá informace v osmi bitech. Osmý bit je v ASCII tabulce nevyužitý a normálně je. V některých systémech se osmý bit používá pro implementaci grafických nebo jiných jazykových symbolů (např. znaky řecké abecedy). 9 3 ASCII tabulka Dec Hex znak popis Dec Hex znak Dec Hex znak Dec Hex znak NUL (null) ` SOH (start of heading) 33! 65 4 A 97 6 a STX (start of text) 34 " 66 4 B 98 6 b 3 3 ETX (end of text) 35 3 # C c 4 4 EOT (end of transmission) 36 4 $ D 64 d 5 5 ENQ (enquiry) 37 5 % E 65 e 6 6 ACK (acknowledge) 38 6 & 7 46 F 66 f 7 7 BEL (bell) 39 7 ' 7 47 G 3 67 g 8 8 BS (backspace) 4 8 ( 7 48 H 4 68 h 9 9 TAB (horizontal tab) 4 9 ) I 5 69 i A LF (line feed, new line) 4 A * 74 4A J 6 6A j B VT (vertical tab) 43 B B K 7 6B k C FF (form feed, new page) 44 C, 76 4C L 8 6C l 3 D CR (carriage return) 45 D D M 9 6D m 4 E SO (shift out) 46 E. 78 4E N 6E n 5 F SI (shift in) 47 F / 79 4F O 6F o 6 DLE (data link escape) P 7 p 7 DC (device control ) Q 3 7 q 8 DC (device control ) R 4 7 r 9 3 DC3 (device control 3) S 5 73 s 4 DC4 (device control 4) T 6 74 t 5 NAK (negative acknowledge) U 7 75 u 6 SYN (synchronous idle) V 8 76 v 3 7 ETB (end of trans. block) W 9 77 w 4 8 CAN (cancel) X 78 x 5 9 EM (end of medium) Y 79 y 6 A SUB (substitute) 58 3A : 9 5A Z 7A z 7 B ESC (escape) 59 3B ; 9 5B [ 3 7B { 8 C FS (file separator) 6 3C < 9 5C \ 4 7C 9 D GS (group separator) 6 3D = 93 5D ] 5 7D } 3 E RS (record separator) 6 3E > 94 5E ^ 6 7E ~ 3 F US (unit separator) 63 3F? 95 5F _ 7 7F DEL ASCII - příklad Zakódujte slovo Hello. ASCII kódem v hexadecimální soustavě. H = 48 e = 65 l = 6C l = 6C o = 6F. = E tedy řetězec bude reprezentován posloupností bajtů C 6C 6F E Řídicí znaky se používají při komunikaci a ovládání tiskáren. Lze je generovat z klávesnice po stisku klávesy CTRL (control) a další klávesy. 3 3

9 Znaky (characters) Znaky jsou nenumerické symboly používané k vyjádření jazyka a tvorbě slov a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z # $ % ^ & * ( ) _ - = + \ `,. / ; ' [ ] { } : " < >? Počítačové systémy běžně ukládají znaky podle ASCII tabulky. V programovacím jazyku C se znaky definují následovně: char plus_symbol; int main()begin { plus_symbol = '+'; } Vpříkladě nahoře se deklaruje proměnná plus_symbol typu character. Pro uložení její hodnoty (dosud neznámé) bude vyhrazeno v paměti osm bitů. Uvnitř těla programu se proměnné plus_symbol přiřazuje znak +. Je to totéž, jako uložení ASCII hexadecimální hodnoty B do osmi bitů paměti alokované pro proměnnou plus_symbol. 33 Textové řetězce (Text Strings) Textové řetězce jsou posloupnosti znaků (tj. slov nebo víceznakových symbolů). Znaky se ukládají za sebou, každý zabírá v paměti osm bitů. Textový řetězec Hello bude uložen následovně: H 48 e 65 l 6C l 6C o 6F 34 Integer celá čísla ASCII kódovací tabulka není vhodná pro efektivní ukládání numerických informací. Uvažujme například uložení čísla pomocí ASCII kódu. Potřebovali bychom k tomu 6 bajtů a navíc bychom neměli informaci o znaménku (pro které bychom potřebovali další bajt). Efektivnější způsob ukládání numerických informací je při použití jiného kódovacího schématu. Nejčastěji používané schéma je následující Bity S Binární numerická hodnota S = Sign Bit znaménkový bit Typ integer představuje pouze celá čísla! Nelze ukládat desetinná čísla, zlomky. Znaménkový bit (5) označuje, zda je číslo kladné nebo záporné. Logická označuje záporné a logická kladné číslo. 35 Integer - příklad Uložit číslo +63 jako typ integer ) Znaménkový bit je. ) Decimální hodnota +63 je binárně. Reprezentace integer typu hodnoty +63 tedy bude, Bity Záporná čísla se ukládají jako dvojkový doplněk. Pro uložení větších celých čísel je nutné více bitů. Některé systémy a jazyky (C) definují i typ kladný integer (unsigned). 36

10 Čísla s plovoucí čárkou (Floating Point Numbers) Typ integer má dvě základní omezení: nemohou vyjádřit zlomky jejich rozsah je omezen počtem použitých bitů. Tato omezení řeší plovoucí čárka (floating point), která umožňuje rozdělit číslo na dvě části: exponent a mantisa. Exponent představuje číslo, kterým se umocňuje. Mantisa je zlomková část mezi a. Formát čísla v pohyblivé čárce je n *.xxxxxx kde n představuje exponent a.xxxxxx je mantisa. Čísla s plovoucí čárkou () Počítačový průmysl se sjednotil na standardu pro ukládání čísel s pohyblivou čárkou. Jedná se o normu IEEE 754, podle které se používá 3 bitů paměti (pro jednoduchou přesnost single precision) nebo 64 bitů (pro dvojnásobnou přesnost double precision). Formát pro jednoduchou přesnost má tvar Bity S Hodnota exponentu Mantisa S = Znaménkový bit Znaménkový bit znamená zápornou mantisu, kladnou mantisu. K exponentu se přičítá hodnota 7. Mantisa se ukládá pomocí zvláštní kódovací techniky Čísla s plovoucí čárkou (3) Příklad: Vyjádřete číslo,5 v plovoucí čárce..5 / = / = / = / =.785 Pozn.: Dělíme dokud nedostaneme zbytek v rozmezí a. Zbytek po dělení tvoří mantisu, počet dělení je hodnota exponentu. Výsledek:.785 * 4 Exponent se ukládá s přičtením 7. Tato hodnota se přičítá při ukládání do paměti a odčítá při načítání z paměti. Podle našeho příkladu se tedy exponent uloží jako: = 3 = '' Protože mantisa je kladná, znaménkový bit bude. Čísla s plovoucí čárkou (4) Kódování mantisy je poněkud složitější:. bit mantisy =.5. =.5 3. =.5 4. = =.35 atd. Mantisa v našem příkladu je.785, což binárně je ( ) Aby však situace nebyla tak jednoduchá, normalizuje se mantisa posunem bitů doleva (každý posun odčítá jedničku od hodnoty exponentu) až zmizí první. Výsledek se pak ukládá do paměti. Mantisa nyní bude a exponent se upraví na 3 - = 3 = '' Výsledný formát pak je Bity S = Znaménkový bit 39 4

11 Čísla s plovoucí čárkou (5) Proveďme nyní konverzi následujícího formátu zpět do decimálního tvaru: Bity S = Znaménkový bit Dostáváme záporné číslo s hodnotou exponentu 3 7 = 4 a hodnotou mantisy =.565 (. pochází z bitu, který byl posunut při normalizaci mantisy), takže číslo je * 4 = -5. Čísla s plovoucí čárkou (6) Numerický rozsah čísel s pohyblivou čárkou podle standardu IEEE 754 při použití 3 bitů je ± * -8 až ± * 7 což decimálně představuje ±.465 * -39 až ±.47 * Čísla s plovoucí čárkou (7) Výhody tohoto způsobu ukládání čísel v pohyblivé čárce: násobení se provádí sčítáním exponentů a mantis dělení se provádí odčítáním exponentů a mantis je jednoduché porovnávat velikost dvou čísel velká čísla se ukládají v relativně malém počtu bitů Nevýhody tohoto způsobu ukládání čísel v pohyblivé čárce: při posuvu bitů mantisy se tvoří chyby konverze do tohoto formátu a zpět zabírá určitý čas KONEC 43 44