Fz =a z + a z +...+a z +a z =

Transkript

1 Polyadické číselné soustavy - převody M-místná skupina prvků se z-stavovou abecedou umožňuje zobrazit z m čísel. Zjistíme, že stačí vhodně zvolit číslo m, abychom mohli zobrazit libovolné číslo menší než z m. Vypíšeme-li si kódové složky např. pro z=2 a m=3 s očíslovanými pozicemi: Zjistíme, že čísla lze jednoduše přiřadit ohodnoceným kombinacím takto: Číslo F v soustavě o základu z: Fz =a z + a z +...+a z +a z = m-1 m m-1 m kde a i jsou číselné koeficienty řádových míst a mohou nabývat hodnot od 0 do z-1 m počet řádových míst (= počet obecně m-stavových buněk) v číselné soustavě m 1 i i az (1.1) i 0 Uvedený výraz platí pro celá čísla. Nic nám nebrání tomu, abychom postup zobecnili i pro místa za myšlenou řádovou čárkou: m-1 m n Fz =a m-1z + am-2z +...+a1z +a0z +a-1z +a-2z +...+a -nz = m 1 i i az (1.2) i n kde n počet míst za řádovou čárkou Prakticky, pokud je základ číselné soustavy všeobecně znám, zapisujeme číslo v takovéto číselné soustavě jen pomocí koeficientů příslušných řádových míst: a a...a a,a a...a (1.3) m-1 m n Pokud se v číselné soustavě dá číslo vyjádřit vztahem (1.1) nebo (1.2), nazýváme takovou soustavu polyadickou číselnou soustavou podle základu z nazýváme číselnou soustavu dvojkovou, osmičkovou, desítkovou, případně šestnáctkovou a další. Pokud je základ číselné soustavy větší než 10, je pro prvky abecedy takové soustavy nutné použít další symboly, což jsou v případě šestnáctkové soustavy písmena a až f, buď malé, nebo velké abecedy. Pokud v zápisu podle (1.3) není všeobecně znám základ číselné soustavy, značí se zápisem základu z ve formě indexu za výraz, nebo ( v programech pro mikroprocesory v assembleru) písmenem na konci, případně předponou, příklady: 14, 14 10, 14D, 0EH, $E, 0xE, 1110B

2 Přepočty čísel mezi číselnými soustavami o různých základech Máme-li dvě číselné soustavy jednu o základu z 1 a druhou o základu z 2, a má-li být možné převádět čísla z první do druhé, je zřejmé, že kapacita druhé soustavy musí být stejná nebo větší než kapacita soustavy první, aby bylo možné všechna čísla přepočítat (= zobrazit v druhé číselné soustavě). Musí tedy platit, že m1 m2 z <= z (1.4) 1 2 a tedy pro počet řádových míst platí m log z 1 2 m1 (1.5) log z2 Příklad: pro přepočet z desítkové do dvojkové soustavy platí, že a) přepočet do desítkové soustavy log10 m2 m m10 (1.6) log 2 vychází se z definiční rovnice (1.1) nebo (1.2): dosadíme příslušné mocniny základu odpovídající nenulovým koeficientům a i a sečteme. Příklad: B do desítkové soustavy: F 10 = =45 10 Nebo prakticky: do prázdného registru přičteme koeficient od nejvyššího a vynásobíme základem, u posledníhojen přičteme koeficient. To platí pro celá čísla, pro místa za řádovou čárkou od konce a dělíme, pro celou a zlomkovou část zvlášť. Mocniny dvou: 2 1 =2 2 2 =4 2 3 =8 2 4 = = = = = = = = = = = = =65536 A dále: 2 8 = (16) 2 = = 1K = = 1K 2 2 = = 1K 2 6 = = (1K) 2 = 1M =

3 b) přepočet z desítkové do jiné soustavy Ze vztahu (5.2) pro jednotlivé koeficienty soustavy o základu z vychází, Nejprve a 0 : F a z a z... a z a a m 1 m m 1 m F10 1 Podobně a 1 : F a z a z... a z a a m 1 m m 1 m F10 2 Takto získáme jednotlivé koeficienty vždy jako zbytek po dělení čísla v desítkové soustavě novým základem číselné soustavy. Jako první dostáváme koeficient nejnižšího řádu. Příklad: číslo 35D do dvojkové soustavy: 35:2=17, zb. 1 17:2=8, zb. 1 8:2=4, zb. 0 4:2=2, zb. 0 2:2=1, zb. 0 1:2=0, zb. 1 Číslo ve dvojkové soustavě je B. Prakticky tento algoritmus s pomocí kapesní kalkulačky: zadáme převáděné číslo a znamenáme si, je-li sudé před desetinnou čárkou, tak 0, je-li liché, pak 1. Zadáme dělení 2. Pak postupně tiskneme tlačítko rovná se a hodnotíme, zda je liché nebo sudé a podle toho píšeme 1 nebo 0, píšeme samozřejmě odprava doleva. Triviální postup je samozřejmě postupné dělení převáděného čísla mocninami nového základu a to v pořadí od nejvyšší mocniny, vyjde-li podíl nenulový, pak pokračujeme podobně se zbytkem po dělení. c) převod z binární do šestnáctkové soustavy Podobně jako v případě b) ze vztahu (5.2) pro jednotlivé koeficienty soustavy o základu tentokrát z=16 vychází, Nejprve a 16-0 : F2 a z a z... a z a z a z a z a a z a z a z a m 1 m m 1 m F16 1 Podobně a 16-1 : F a z a z... a z a a m 1 m m 1 m F16 2 Protože 16=2 4, získáme jednotlivé koeficienty vždy jako zbytek po dělení čísla v binární soustavě novým základem a dělení v tomto případě je posuv doprava o 4 bity. Stejně jako v případě b) jako první dostáváme koeficient nejnižšího řádu. Čtyřbitovou kombinaci pak musíme převést na šestnáckové číslo. Prakticky tedy stačí rozdělit binární číslo na čtyřbitové skupiny. Další číselné formáty

4 Pro aplikace a výpočty, kde je třeba větší dynamický rozsah, se používá i formát s pohyblivou řádovou čárkou. Formát čísel je jistým způsobem normalizován, a to zejména z důvodů implementace ve vyšších programovacích jazycích, kde se výpočty s čísly ve formátu s pohyblivou řádovou čárkou programují. Pro formáty s pohyblivou řádovou čárkou existuje norma IEEE Jak vypadají 32-bitové formáty čísel v procesoru Intel Core 2 Duo je vidět z následující tabulky, obrázek je převzatý z firemní dokumentace: (NaN znamená Not a Number, což je zobrazení položky, která nereprezentuje platné číslo) Obr. 1 formát čísla dle IEEE Jak vypadá v tomto 32-bitovém formátu konkrétní číslo, v tomto případě 178,125 je patrné z následující tabulky (poslední řádek): Obr. 2 číslo 178,125 ve formátu dle IEEE Od leva: jeden bit znaménko, pak osm bitů exponent s posuvem (offset b = 127) a zbytek je mantisa s tím, že se předpokládá implicitní jednička na začátku a před desetinnou čárkou, mantisa má pak rozsah od 1 do (skoro) 2. Binárně pak číslo vypadá v paměti počítače takto: b, tedy 32 bitů, nebo hexadecimálně h

5 binární šestnáctková desítková BCD binary coded decimal f f000 ffff f ,125 5,5 10,0625

6 0, , f +1f Převeďte číslo 1001,1001 do tvaru ve formátu dle IEEE

7 celá část: 1001/ desetinná část: 0,1001 * 2 0,2002 0,4004 0,8008 1,6016 1,2032 0,4064 0,8128 1,6256 1,2512 0,5024 1,0048 0,0096 0,0192 0,0384 0,0768 0,1536 0,3072 0,6144 1,2288 0,4576 0,9152 1,8304 1,6608 vědecká notace dekadicky: 1, e3 vědecká notace binárně (implicitní jednička): , = 1, e totéž s posunutím exponentu o 127: výsledek: A