P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

Transkript

1 P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel k dispozici deset cifer (...9). Tzv. zákld soustvy je v tomto přípdě roven. Existují všk i číselné soustvy o jiném zákldu než. V číslicové technice se pro zobrzení dt využívá výhrdně dvojková soustv, tj. všechn dt (resp. dtové signály) řídící signály jsou zobrzeny pomocí kombince číslic. Je všeobecně známo, že npř. číslo 35,3 v desítkové soustvě je možné rozepst dle jednotlivých řádů pomocí mocnin deseti, tj. pomocí mocnin zákldu soustvy, tkto:

2 35, , 3, V obecném přípdě hovoříme o soustvě se zákldem z, neboli o z-dické soustvě. Polynomiální zápis čísl v z-dické soustvě vypdá formálně tkto: (N) n- z j. j -m z j Tedy n n- L, - L -m n n- - n z n- z L z -z -m L z -m,

3 kde z je zákld soustvy (z ) je z-dická cifr (též číslice), i {,, K, z }. Počet z-dických cifer je vždy roven číslu z. Čárk v zápisu čísl se nzývá řádová čárk, část čísl nlevo od čárky je celá část čísl, část zpsná nprvo od čárky je zlomková část čísl(desetinná část). i Desítková soustv Pro desítkovou (dekdickou) soustvu je zákld soustvy z desítkové cifry jsou. i,,,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 { }

4 Dvojková soustv Pro dvojkovou (binární) soustvu je zákld soustvy z dvojkové cifry jsou pouze dvě: i {, }.Číslo, zpsné ve dvojkové soustvě, vyjdřuje tuto desítkovou hodnotu: 3 3 Dvojková číslice je nzýván tké pojmem bit (z nglického binry digit). V počítčích vyjdřujeme čísl vždy n konečný počet bitů. Bit s nejnižší váhou (zde ) se nzývá tké nejméně význmný ( zkr. LSB - lest significnt bit), bit s nejvyšší váhou (zde ) je nejvíce význmný (zkr. MSB - most significnt bit). n Protože je zápis čísel ve dvojkové soustvě zbytečně dlouhý ( 7 ), používá se v odborných textech soustv osmičková nejčstěji šestnáctková. Důvod pro výběr těchto dvou je jejich příbuznost se soustvou dvojkovou.

5 Osmičková soustv Protože je zápis čísel ve dvojkové soustvě zbytečně dlouhý, používá se v odborných textech soustv osmičková nejčstěji šestnáctková. Důvod pro výběr těchto dvou je jejich příbuznost se soustvou dvojkovou. V osmičkové (oktlové) soustvě je zákld roven z 8 osmičkové cifry jsou i {,,, K, 7}. Číslo zpsné v osmičkové soustvě vyjdřuje hodnotu: ( 73) (3) Šestnáctková soustv V šestnáctkové (hexdecimální) soustvě je zákld roven z 6. V této soustvě existuje šestnáct cifer. Protože je rbských číslic pouze, nhrzujeme šestnáctkové cifry vyjdřující hodnoty A, B, K, F 5 5 písmeny becedy A F: ( )

6 Tudíž číslo 3A8 zpsné v šestnáctkové soustvě vyjdřuje hodnotu (3A8) (936). Převody mezi číselnými soustvmi Nejčstěji se při práci s různými číselnými soustvmi setkáváme s poždvkem převést číslo zpsné v jiné soustvě do desítkové nopk. Pod pojmem jiná soustv budeme rozumět soustvu o zákldu z, kde z.

7 . Převod z desítkové soustvy do dvojkové - převod celé části čísl Aplikujeme-li polynomiální zápis čísl n dvojkovou soustvu (z ), dostneme ) Intuitivní postup n n- nn- K n n- K { } Uvědomíme-li si, že i,, pk příspěvky v součtu jsou pouze mocniny čísl. Převod čísl z desítkové soustvy do dvojkové můžeme provést tk, že nejprve číslo rozepíšeme jko součet mocnin. Ve dvojkové soustvě pk zpíšeme jedničky do těch řádů, jejichž mocniny jsou v součtu zstoupeny.

8 Postup ukážeme n příkldě: (75) () b) Celočíselným dělením celé části čísl zákldem z Tto metod používá při převodu celočíselného dělení (operce ) zbytku po celočíselném dělení. Postup opět ukážeme n stejném příkldu, bez mtemtického odvození metody. Zájemce odkzuji n literturu []. Použijeme číslo N (75,75) nyní dělíme celou část čísl zákldem, tedy 75 dělíme zákldem :

9 75 37 n- n Porovnáme-li obě strny rovnice, můžeme tedy zpst, když porovnáme nejdříve zbytkovou tedy Pokrčujeme s dělením té druhé čsti rovnice, tedy 37 8 n- n Porovnáním obou strn rovnice opět dostneme

10 tedy td. Výsledek převodu čísl 75 zpíšeme do tbulky: - 75 : 37 ½ - 37 : 8 ½ - 8 : : 4 ½ 4-4 : : 5 Tedy 6 - : ½ 6 75

11 . Převod desetinné části (zlomkové) Vezměme následující číslo (N) (75,75) -nyníprovedeme násobení zákldem z. Tedy (,75).,5, m. -m m. -m Porovnáme opět obě strny rovnice můžeme zpst, Pokrčujeme dále s násobením zákldem z, tedy -, m. -m m. -m

12 Opět po porovnání obou strn rovnice můžeme stnovit: - protože zbytek je již nulový, jsou i dlší číslice -3 Celkový výsledek převodu tedy je : (75,75) (,).3 Převod do osmičkové soustvy Jk již bylo řečeno v osmičkové (oktlové) soustvě je zákld roven z 8 osmičkové cifry jsou i {,,,K,7. } Vezměme opět desítkové číslo (75,75) převeďme jej do osmičkové soustvy: ) Celá část čísl - budeme dělit zákldem z 8 n :8 9 n

13 Porovnáním stnovíme 3. Dále opět budeme dělit zbytek zákldem z 8, tedy 9 : 8 8 n- n Porovnáním dostneme :, tedy 8 8 Dále zůstl již zbytek, který je menší než 8 tedy. Výsledek tedy je : (75) (3) 8

14 b) Desetinná část čísl - nyní budeme násobit zákldem z 8 (,75) m.8 -m.8 Po porovnání je tedy 6 - A protože zbytek je roven, je i dlší část převodu nulová! Výsledně tedy převod čísl (75,75) (3,6) 8.

15 .4 Převod do šestnáctkové soustvy Budeme postupovt obdobně jko u předchozích soustv ) Převod celé část čísl : B 4 Pk bude tedy b) Převod desetinné části čísl : n- n (75) (4B) 6 (,75) m.6 -m.6 Tedy (75) (, C) 6 Výsledně je převod do šestnáctkové soustvy zdného čísl: (75,75) (4B, C) 6

16 .5 Převod mezi soustvou dvojkovou osmičkovou resp. šestnáctkovou Zjednodušený postup : Je dné dvojkové číslo uděláme převod do osmičkové soustvy: Dvojkové číslo rozepíšeme do skupin po 3 bitech (binárních číslicích), kde kždá skupin bude odpovídt osmičkovému číslu : (54,5) (, ) (34,4) 8 3 4, 4 osmičková soustv

17 Stejným způsobem můžeme udělt převod z dvojkové soustvy do šestnáctkové soustvy s tím rozdílem, že vytvoříme skupiny po 4 bitech, neboť šestnáctková číslice se zpisuje n 4 bitech (54,5) (, ) (C,8) 6.6 Zápis čísl do Hornerov schémtu C, 8 šestnáctková soustv Úprv polynomiálního zápisu čísl (viz rovnice.) v libovolné číselné soustvě z : Celá část čísl - vytýká se zákld z

18 (... ( n. z n- ). z... ). z ). z -... Desetinná část čísl - vytýká se z Př.: m (((,,, ( - -m ).... -). -). z z z z N (9,75) (,) (((.. 4 ).., ). 4 ). 6 (( ). 3, 4 9,75 )

19 .6 Aritmetické operce v různých číselných soustvách ukázk.6. Dvojková soustv ) Sčítání : (54,6). (, ) (5,). (, ) resp.: (69,7). (, ) (,) , , ½ /8 /6 Otázk přesnosti : 69, 6875 Mělo by být : 69,7

20 b) Odčítání : x - y - b i D B o od x se odečte y b i (borrow input) b i - borrow input - výpůjčk z nižšího řádu D - diference - rozdíl B o - borrow output výpůjčk do vyššího řádu Jednobitová odčítčk : x y b i D B o Poz. -

21 - - - Poznámk: odčítání se v klsické podobě v PC neprovádí Provádí se sčítání zobrzených čísel npř. v doplňkovém kódu (nebo v inverzním kódu)

22 c) Násobení 5,5 3 33,5,, 8 6 3, ,5 33,5 Násobení v PC se převádí n sčítání posuvy!!

23 d) Dělení -snávrtem přes nulu - bez návrtu přes nulu 5 : 5 5 : VPC se převádí operce dělení n odčítání posuvy!! Posuv desetinný čárky ve dvojkové soustvě o jedno místo dolev znmená jko dělení dvěmi!

24 .6. Osmičková soustv ) Sčítání : (54,6) (, ) (34, 46) 8 (5,) (, ) (6, 6) (, ) (6, 54) 8 b) Násobení : (3, 4) 8 (5) 8 (, ) ( ) (5 3,4) 8 (, ) (33,5) Obdobně bychom mohli řešit dělení v osmičkové soustvě, jkož i všechny probírné operce v šestnáctkové číselné soustvě.