LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická, odvozovací pravidla. Rozšířením je predikátová logika - kvantifikátory
VÝROKOVÁ LOGIKA Výrok tvrzení, o němž má smysl prohlásit, že je pravdivé či nepravdivé (oznamovací věta, zápis pomocí matematických symbolů) pravdivost či nepravdivost výroku pravdivostní hodnota p(a) = 0 nepravda p(a) = 1 pravda
Výroky? Venku prší. Pojedeme k moři? V roce 2011 bylo v Japonsku zemětřesení. Honza je vysoký. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180. Do roku 2050 bude na Marsu život. Podej mi tužku, prosím.
Výroky? 3 + 5 = 10 3 + 5 = 8 3 + 5 = 2x Britney Spears je dobrá zpěvačka. Praha má více obyvatel než Madrid. Rekonstrukce dálnice D1. Smažte prosím tabuli!
Výroková formule Výraz obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konkrétních prvků ze zadané množiny (definiční obor) za tyto proměnné. Množinu prvků z definičního oboru, pro které po dosazení dostaneme pravdivý výrok, nazýváme obor pravdivosti dané výrokové formy. 3 + 5 = 2x Číslo a < 8
Negace výroku Výrok, který má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok daný. Nejjednodušší způsob vytvoření negace: Není pravda, že. Hovoří-li daný výrok o určitých možnostech, musí jeho negace zahrnovat všechny možnosti zbývající. Značíme: máme výrok A negace A
Negace výroku Číslo 11 není prvočíslo. Praha je větší město než Madrid. Tento svetr je černý. Přesně 25 studentů je dnes na přednášce. Z těchto 25 studentů bydlí nejvýše 7 studentů v ČB. Všichni žáci postoupili do vyššího ročníku. Každý čtyřúhelník je čtverec.
A : Každý prvek množiny M má danou vlastnost. A: Alespoň jeden prvek množiny M nemá danou vlastnost. A : Alespoň jeden prvek množiny M má danou vlastnost. A: Žádný prvek množiny M nemá danou vlastnost. A : Množina M má alespoň k prvků. A: Množina M má nejvýše k-1 prvků. A : Množina M má nejvýše k prvků. A: Množina M má alespoň k+1 prvků. A : Množina M má právě k prvků. A: Množina M má nejvýše k-1 prvků nebo alespoň k+1 prvků
Složené výroky konjunkce Konjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou a. Konjunkci čteme a a zároveň b. Konjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky a,b. Značíme: a b
Složené výroky disjunkce Disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou nebo. Disjunkci čteme a nebo b. Disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků a,b. Značíme: a b
Složené výroky ostrá disjunkce Ostrá disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením slovy buď a nebo b. Ostrá disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, Když je pravdivý právě jeden z výroků a,b. Značíme: a b
Negace konjunkce Platí : (a b) = a b Negace disjunkce Platí : (a b) = a b
Složené výroky implikace Implikace vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení jestliže a, pak b. Implikace je nepravdivá v jediném případě, když je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý. V ostatních případech je implikace pravdivá (také v obou případech, když první výrok je nepravdivý). Značíme: a b
Složené výroky ekvivalence Ekvivalence vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení a právě tehdy, když b. Ekvivalence je pravdivá pouze tehdy, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu (buď jsou oba pravdiví nebo oba nepravdivé). Značíme: a b Platí: a b (a b) (b a)
Negace implikace Platí : a b a b Negace ekvivalence a b (a b) ( a b) a b
Obrácená implikace Obrácenou implikací k implikaci a implikace b a. b nazýváme Obměna implikace Obměnou implikace a b nazýváme implikaci b a. Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako implikace původní (logicky ekvivalentní). Důkaz nepřímý.
Tautologie Složený výrok je vždy pravdivý. Kontradikce Složený výrok je vždy nepravdivý. Logické spojky,,,, Kvantifikátory,,