Fyzika IV. Shrnutí z Kittela: Úvod do fyziky pevných látek.

Fyzika IV. Shrnutí z Kittela: Úvod do fyziky pevných látek. Kapitola 1: Krystalová struktura 1. Mřížka je soubor bodů spojených operátorem translace T = u a + v b + w c, kde u,v,w jsou čísla a a, b, c jsou mřížkové translační vektory.. Krystal vytvoříme připojením identické báze složené z s atomů v polohách r j = x j a + y j b + zj c, j = 1,,...,s, ke každému mřížkovému bodu. Přitom celá čísla x,y,z mohou být zvolena tak, aby jejich hodnoty ležely mezi 0 a 1. 3. Mřížkové translační vektory a, b, c jsou primitivní, jestliže objem buňky a b c je minimální a jestliže krystalovou strukturu lze vytvořit pomocí operátoru mřížkových translací T a báze umístěné v každém mřížkovém bodě. 4. Krystalovou strukturu lze někdy výhodně popsat pomocí Bravaisovy elementární buňky, jejíž objem je celistvým násobkem objemu elementární buňky. 5. Krystalová rovina se označuje indexy (hkl) a směr v krystalu značíme [uvw]. 6. Mezi důležité jednoduché struktury patří bcc, fcc, hcp, struktura diamantu, NaCl, CsCl, kubického a hexagonáního ZnS. Kapitola : Difrakce na krystalu 1. Různé formulace Braggovy podmínky d sin θ = hλ, k = G, k G = G. Laueho podmínky: a k = πh, b k = πk, c k = πl 3. Primitivní translační vektory reciproké mřížky: A = π b c a b c, B = π c a a b c, C = π a b a b c, kde a, b, c jsou primitivní translační vektory krystalové mřížky. 1

4. Vektor reciproké mřížky má tvar kde h,k,l jsou celá čísla nebo nuly. G = h A + k B + l C, 5. Amplituda rozptylu ve směru k = k k = G je úměrná geometrickému strukturnímu faktoru S G = f j exp{ i r j G} = f j exp{ iπ(x j h + y j k + z j l)}, kde j probíhá přes s atomů báze a f j je atomový rozptylový faktor j-tého atomu báze. Výraz na pravé straně je napsán pro reflexi (hkl), pro niž G = h A + k B + l C. 6. Každou funkci invariantní vůči translacím mřížky lze rozvinout do Fourierovy řady tvaru n( r) = n G exp{ ig r} G 7. První Brillouinova zóna je Wignerova-Seitzova primitivní buňka reciproké mřížky. Každá vlna, jejíž vlnový vektor k vedený z počátku končí na povrchu Brillouinovy zóny, bude krystalem difraktována. 8. Krystalová mřížka První Brillouinova zóna prostá kubická krychle kubická prostorově centrovaná rombický dodekaedr kubická plošně centrovaná komolý oktaedr 9. Tepelný pohyb nevede k rozšíření difrakční čáry, ale pouze snižuje její intenzitu. Ztracená intenzita se objevuje jako dlouhé nízké chvosty kolem difrakční čáry. Kapitola 3: Krystalová vazba 1. Krystaly z atomů inertních plynů jsou vázány van der Waalsovou interakcí (indukovaná dipól-dipólová interakce), která se mění se vzdáleností jako 1/R 6.. Odpudivá interakce atomů má obecně původ v elektrostatickém odpuzování překrývajících se rozdělení nábojů a v Pauliho principu, který nutí překrývající se elektrony s paralelním spinem k přechodům do stavů s vyšší energií. 3. Iontové krystaly jsou vázány elektrostatickým přitahováním opačně nabitých iontů. Elektrostatická energie struktury N iontů s nábojem ±q je v jednotkách CGS: U = Nα q R = N (±)q r ij, kde α je Madelungova konstanta a R je vzdálenost nejbližších sousedů.

4. Kovy jsou vázány převážně snížením kinetické energie valenčních elektronů v kovu ve srovnání s volným atomem. 5. Kovalentní vazba je charakterizována překryvem rozdělení nábojů elektronů s antiparalelními spiny. Odpudivý příspěvek Pauliho členu je v tomto případě nižší, a tudíž je možný větší překryv elektronů. Překrývající se elektrony váží zbylé ionty elektrostatickou interakcí. Kapitola 4: Fonony I. Kmity mřížky 1. Kvantum mřížkových kmitů se nazývá fonon. Jeho energie je ω, kde ω označuje frekvenci.. Fonon s vlnovým vektorem K, který vznikne v důsledku nepružného rozptylu fononu nebo neutronu, při němž se jejich vlnový vektor změní z k na k, splňuje výběrové pravidlo k = k + K + G, kde G označuje vektor reciproké mřížky. 3. Všechny vlny v mřížce lze popsat vlnovými vektory, které leží uvnitř první Brillouinovy zóny příslušné reciproké mřížky. 4. Je-li v primitivní buňce p atomů, disperzní zákon fononů má 3 akustické větve a 3p 3 optických větví. Kapitola 5: Fonony II. Tepelné vlastnosti Shrnutí není. Kapitola 6: Fermiho plyn Shrnutí není. Kapitola 7: Energetické pásy 1. Řešení vlnové rovnice v periodické mřížce má tvar Blochových funkcí ψ k ( r) = exp(i k r)u k ( r), kde u k ( r) je invariantní vzhledem k mřížkové translaci. Vlnové vektory K, které vystupují v rozkladu do Fourierovy řady ψ k ( r) = K C( K) exp{i K r}, mají tvar k + G, kde G je libovolný vektor reciproké mřížky.. Existují energetické intervaly, v nichž neexistuje řešení vlnové rovnice ve tvaru Blochových funkcí. Tyto energie tvoří zakázané oblasti a přísluší jim prostorově tlumené vlnové funkce s komplexními hodnotami K. Oblasti zakázaných energií jsou příčinou existence izolátorů. 3

3. Energetické pásy lze často popsat pomocí jedné nebo dvou rovinných vln. Např. v blízkosti hranice zóny 1 G patí přibližně ψ k (r) C(k)e ikx + C(k G)e i(k G)x 4. Počet stavů v pásu je N, kde N je počet primitivních buněk ve vzorku. Kapitola 8: Polovodičové krystaly 1. Pohyb vlnového klubka se středem u vlnového vektoru k je popsán rovnicí F = d k dt, kde F je působící síla. Pohyb v reálném prostoru je popsán pomocí grupové rychlosti v g = 1 k E( k). Efektivní hmotnost m elektronu ve stavu k je ( ) 1 = 1 E m k µ k ν Čím užší pás zakázaných energií, tím menší je m v jeho blízkosti. µν 3. Krystal s jednou dírou má jeden neobsazený elektronový stav v jinak zaplněném pásu. Vlastnosti díry jsou dány chováním zbylých N 1 elektronů: (a) Je-li elektron odstraněn ze stavu s vlnovým vektorem k e, pak vlnový vektor díry je roven kh = k e. (b) Rychlost změny k h ve vloženém elektrickém poli vyžaduje, abychom díře přiřadili kladný náboj: e h = e = e e, a tedy platí (v CGS) d ( k h dt = e E + 1 ) c v h B (c) Je-li v e rychlost, kterou by měl elektron ve stavu k e, pak rychlost, kterou musíme přiřadit díře o vlnovém vektoru k h = k e, je v h = v e. (d) Energie díry vztažená k nulové energii zaplněného pásu je kladná a je rovna E h ( k h ) = E( k e ) (e) Efektivní hmotnost díry je opačná v porovnání s efektivní hmotností elektronu, umístěného ve stejném bodě pásu: m h = m e. 4. Součin hodnot koncentrací elektronů a děr v polovodiči je při dané teplotě konstantní a nezávisí na čistotě krystalu. 4

5. Akceptorové příměsi vedou k nadbytku děr oproti elektronům. Donorové příměsi vytvářejí přebytek elektronů. Ve vlastním polovodiči je počet elektronů roven počtu děr. Kapitola 9: Fermiho plochy a kovy 1. Fermiho plocha je plochou konstantní energie E F v k-prostoru. Fermiho plocha odděluje při teplotě absolutní nuly zaplněné stavy od prázdných. Tvar Fermiho plochy je obvykle nejlépe znázorněn v redukovaném pásovém schématu, ale propojení jednotlivých částí je nejjasnější v periodickém schématu.. Energetický pás je jednou větví plochy E( k) v závislosti na k. 3. Koheze jednoduchých kovů je důsledkem snižování energie stavů ve vodivostním pásu při k = 0, k němuž dochází při změně Schrödingerovy hraniční podmínky pro vlnovou funkci na podmínku Wignerovu-Seitzovu. 4. Perioda de Haasových-van Alphenových oscilací je mírou velikosti extremálního řezu S Fermiho plochou v k-prostoru, kolmého na směr magnetického pole B: ( ) 1 = πe B cs Kapitola 10: Plazmony, polaritony a polarony 1. Dielektrickou funkci lze definovat pomocí vnější a indukované hustoty náboje takto:. Plazmová frekvence ε(ω, K) = ρ ext (ω, K) ρ ext (ω, K) + ρ ind (ω, K). 4πne ω = ε( )m je frekvence homogenních kolektivních podélných oscilací elektornového plynu na pozadí nepohyblivých kladných iontů. Je to také dolní mez pro šíření příčných elektromagnetických vln v plazmatu. 3. Póly dielektrické funkce určují ω T, nulové hodnoty ω L. 4. V plazmatu je coulombická interakce stíněná; lze pro ni psát (q/r) exp{ k s r}, kde 1/k s = E F /6πn 0 e je stínicí délka. 5. Je-li vzdálenost nejbližších sousedů v látce a rovna řádově 4a 0 (a 0 je poloměr první Bohrovy dráhy v izolátoru), může dojít k přechodu kov-izolátor. Kovová fáze existuje pro menší hodnoty α. 5

6. Polaritron je kvantem vázaných polí TO fononů s fotony. Vazba vyplývá z Maxwellových rovnic. Oblast frekvencí ω T < ω < ω L je pro šíření elektromagnetických vln zakázána. 7. Lyddaneův-Sachsův-Tellerův vztah je ωl ωt = ε(0) ε( ). Kapitola 11: Optické procesy a excitony 1. Kramersovy-Kronigovy relace svazují reálné a imaginární části funkce odezvy: α (ω) = π P 0 sα (s) s ω ds; α (ω) = ω π P 0 α (s) s ω ds. Komplexní index lomu N(ω) = n(ω) + ik(ω), kde n je index lomu a K extinční koeficient. Dále platí ε(ω) = N (ω), takže ε (ω) = n K a ε (ω) = nk. 3. Odrazivost při kolmém dopadu je R = (n 1) + K (n + 1) + K. 4. Funkce energetických ztrát Im{1/ε(ω)} popisuje ztráty energie nabité částice pohybující se pevnou látkou. Kapitola 1: Supravodivost (v jednotkách CGS) 1. Supravodič se vyznačuje nekonečnou vodivostí.. Masivní vzorek kovu vykazuje v supravodivém stavu dokonalý diamagnetismus s magnetickou indukcí B = 0. To nazýváme Meissnerovým jevem. Vnější magnetické pole bude pronikat povrchem vzorku do vzdálenosti určené hloubkou průniku λ. 3. Existují dva typy supravodičů. V masivním vzorku supravodiče 1. typu dojde ke zrušení supravodivého stavu a k návratu do normálního stavu, překročí-li vnější magnetické pole, H c1 < H c < H c ; v oblasti mezi H c1 a H c existuje vírový stav. Hustota stabilizační energie čistého supravodivého stavu je u supravodičů obou typů rovna H c/8π. 4. V supravodivém stavu odděluje energetická mezera E g 4k B T e supravodivé elektrony, ležící pod touto mezerou, od normálních elektronů, které leží nad ní. Mezeru je možno experimentálně pozorovat měřením měrného tepla, absorpce infračerveného záření a tunelovacími experimenty. 6

5. Londonova rovnice j = e 4πλ L A nebo rot j = c B 4πλ L vede k Meissnerovu jevu prostřednictvím rovnice pronikání pole B = B/λ L, ve mc které λ L je Londonova hloubka vniku. 4πne 6. V Londonově rovnici by A nebo B měly být veličiny středované na vzdálenosti velikosti koherenční délky ξ. Vlastní koherenční délka je dána vztahem ξ 0 = v F /πe ρ. 7. Teorie BCS objasňuje podstatu supravodivého stavu, který je tvořen páry elektronů k a k. 8. V teorii supravodivosti vystupují tři důležité parametry o rozměru délky délky: Londonova hloubka vniku λ L, vlastní koherenční délka ξ 0 a střední volná dráha l elektronů v normálním stavu. 9. Pro supravodiče. typu platí ξ < λ. Kritická pole spolu souvisí podle vztahů H c1 (ξ/λ)h c a H c (λ/ξ)h c. Hodnoty H c dosahují až 500 kg = 50 T. Kapitola 13: Dielektrika a feroelektrika (v jednotkách CGS) 1. Makroskopické elektrické pole E, vystupující v Maxwellových rovnicích, je definováno jako elektrické pole vystředované v objemu vzorku.. Elektrické pole působící v místě r j atomu j nazýváme lokálním elektrickým polem E lok. Je to součet polí všech nábojů, jež lze sdružit do skupin tak, že E lok ( r j ) = E 0 + E 1 + E + E 3, přičemž uvnitř primitivní buňky se velmi rychle mění jedině E 3. Jednotlivé členy jsou: E 0... vnější elektrické pole E 1... depolarizační pole spojené s povrchem vzorku E... pole buzené polarizací vně koule se středem v r j E 3... pole v r j buzené všemi atomy uvnitř této koule 3. Makroskopické pole E vystupující v Maxwellových rovnicích se rovná E 0 + E 1 a obecně se tedy liší od E lok. 4. Depolarizační pole elipsoidu je E 1µ = N µν P ν, kde N µν jsou složky depolarizačního tenzoru a polarizace P je definována jako dipólový moment jednotkového objemu. Pro kouli je N = 4π/3. 5. Lorentzovo pole je E = 4π P/3. 6. Polarizovatelnost atomu α je definována pomocí lokálního elektrického pole vztahem p = α E lok. 7

7. Dielektrická susceptibilita χ a permitivita ε jsou definovány pomocí makroskopického elektrického pole E vztahy D = E + 4π P = (1 + 4πχ) E, čili χ = P/E. (V soustavě SI je χ = P/ε 0 E.) 8. Pro atom v místě s kubickou symetrií je E lok = E + 4πP/3 a platí Clausiův- Mossotiho vztah ε 1 (SI) ε + = 1 Nj α j. 3ε 0 Kapitola 14: Diamagnetismus a paramagnetismus (v jednotkách CGS) 1. Diamagnetická susceptibilita N atomů s atomovým číslem Z je χ = Ze N r 6mc, kde r je střední hodnota čtverce atomového poloměru (Langevin).. Atomy s konstantním magnetickým momentem µ mají paramagnetickou susceptibilitu χ = Nµ /3k B T pro µb k B T (Curie-Langevin). 3. Pro systém spinů o velikosti S = 1 přesná hodnota magnetizace je dána vztahem M = Nµ tgh(µb/k B T), kde µ = 1gµ B (Brillouin). 4. Základní stav elektronů v téže slupce má maximální hodnotu S, dovolenou Pauliho principem, a maximální L, jež je v souladu s tímto S. Velikost J je rovna L + S pro více než z poloviny zaplněnou slupku a L S pro slupku zaplněnou méně než z poloviny. 5. Chladicí proces využívající demagnetizace paramagnetické soli probíhá při konstantní entropii. Konečná teplota je řádu (B /B)T poč, kde B je efektivní lokální pole a B je počáteční hodnota vnějšího pole. 6. Paramagnetická susceptibilita Fermiho plynu vodivostních elektronů je rovna χ = 3Nµ /E F a pro k B T E F nezávisí na teplotě (Pauli). Kapitola 15: Feromagnetismus a antiferomagnetismus (v jednotkách CGS) 1. Susceptibilita feromagnetika nad Curieovým bodem je v přiblížení středního pole rovna χ = C/(T T e ).. V přiblížení středního pole magnetický moment ve feromagnetiku cítí efektivní magnetické pole velikosti B a + λ M, kde λ = T c /C a B a je vnější magnetické pole. 3. Elementárními oscilacemi ve feromagnetiku jsou magnony. Jejich disperzní zákon pro ka 1 má tvar ω Jk a v nulovém vnějším poli. Tepelná excitace magnonů vede při nízkých teplotách k závislosti úměrné T 3/ jak pro měrné teplo, tak pro změnu magnetizace. 8

4. V antiferomagnetiku existují dvě ekvivalentní spinové mřížky, ale jejich orientace je antiparalelní. Ve ferimagnetiku jsou dvě podmřížky orientované antiparalelně, ale magnetický moment jedné z nich je větší než magnetický moment druhé. 5. V antiferomagnetiku má závislost susceptibility nad Néelovou teplotou tvar χ = C/(T + θ). 6. Disperzní zákon pro magnony v antiferomagnetiku má tvar ω Jka. Tepelná excitace magnonů přispívá při nízkých teplotách k měrnému teplu stejně jako fonony členem úměrným T 3. 7. Blochova stěna odděluje domény magnetované v různých směrech. Tloušt ka stěny je J/Ka 3 mřížkových konstant a její energie na jednotku plochy je KJ/a, kde K je hustota energie krystalové anizotropie. Kapitola 16: Magnetická rezonance a masery (v jednotkách CGS) 1. Rezonanční frekvence volného spinu je ω 0 = γb 0, kde γ = µ/ I je gyromagnetický poměr.. Blochovy rovnice jsou dm x dt dm y dt = γ( M B) x M x T = γ( M B) y M y T dm z dt = γ( M B) z + M 0 M z T 1 3. Pološířka rezonanční čáry v polovině maxima je ( ω) 1/ = 1/T. 4. Jevy nasycování při vysokém vf výkonu nastávají, když γ B 1T 1 T > 1. 5. Dipolární šířka rezonanční čáry v pevné mřížce je ( B) 0 µ/a 3. 6. Jsou-li magnetické momenty v nepravidelném translačním pohybu v charakteristickou dobou τ 1/( ω) 0, zmenšuje se šířka rezonanční čáry faktorem ( ω) 0 τ. V této limitě je 1/T 1 1/T ( ω) 0τ. Šířka čáry v paramagnetiku s výměnnou interakcí je obdobně ( ω) 0/ω ex. 7. Frekvence feromagnetické rezonance v elipsoidu s demagnetizačními faktory N x, N y, N z je určena vztahem ω 0 = γ [B 0 + (N x N z )M][B 0 + (N y N z )M]. 8. Frekvence antiferomagnetické rezonance je určena vztahem ω 0 = γ B A (B A + E E ) pro vzorek tvaru koule v nulovém vnějším poli; B A označuje pole anizotropie a B E výměnné pole. 9. Podmínka pro činnost maseru je n u n 1 > V B/8πµQ. 9

Kapitola 17: Bodové poruchy a slitiny Shrnutí není. Kapitola 18: Dislokace Shrnutí není. 10