Daniel Franta Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

Transkript

1 Pokročilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 2: Klasické modely Drudeho model, Lorentzův oscilátor; empirické modely; semiklasické modely zahrnující gap; použitelnost klasických modelů Daniel Franta Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

2 Klasické modely Obsah 1 Klasické modely 2 Empirické modely 3 Modely zahrnující gap (semiklasické) 4 Použitelnost klasických modelů 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 2 / 22

3 Klasické modely Klasické modely Klasická nabitá částice v harmonickém elektrickém poli Předpokládáme tři druhy sil působící na elektron: 1 qe loc Elektrická síla (lokální elektrické pole E loc = E(r); q náboj ) 2 m dr τ Odporová síla prostředí (m hmotnost; m dt τ součinitel odporu) 3 mω(r 2 r ) Pružná síla (mω 2 koeficient tuhosti) Newtonovy pohybové rovnice vázaný náboj volný náboj m d2 r dt 2 = qeloc m τ dr dt mω2 (r r ) m d2 r dt 2 = qeloc m τ dr dt Předpokládáme, že v ustáleném stavu jsou lokální elektrické pole a poloha částice harmonická funkce: } E loc = R {Êloc exp( iωt) r = R {ˆr exp( iωt)} + r ˆr = q m 1 ω 2 ω2 iω/τ Ê loc ˆr = q m 1 ω 2 + iω/τ Ê loc Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 3 / 22

4 Klasické modely Klasické modely S pohybem částice je spojen dipólový moment ˆp a tenzor polarizovatelnosti ˆα ˆp = qˆr = ˆαÊloc ˆp a ˆα jsou mikroskopické veličiny, které můžeme použít k vyjádření makroskopických veličin, tj. vektoru polarizace ˆP a susceptibility ˆχ Tenzor dielektrické funkce ˆP = N ˆp = N ˆα Êloc Dva klasické vztahy vázaný náboj: Lorentzův (tlumený harmonický) oscilátor ˆε(ω) = 1 + q2 mε N ω 2 ω2 iω/τ = ε ˆχ ˆε = 1 + ˆχ = 1 + N ε Êloc ˆα ε ˆχÊ volný náboj: Drudeho model ˆε(ω) = 1 q2 mε N ω 2 + iω/τ V obou vztazích můžeme sdružit konstanty a zavést plazmovou frekvenci ω p q 2 N mε = ω 2 p Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 4 / 22

5 Klasické modely Klasické modely vázaný náboj: Lorentzův (tlumený harmonický) oscilátor ω 2 p ˆε(ω) = 1 + ω 2 ω2 iω/τ volný náboj: Drudeho model ω 2 p ˆε(ω) = 1 ω 2 + iω/τ Pojem plazmová frekvence pochází z modelu řídkého plazmatu: τ kde 1/τ je srážková frekvence: ˆε(ω) = 1 ω2 p ε(ω p) = k(ω > ω p) = k(ω < ω p) > ω ω p 2 /ω ε r n k frekvence, ω/ω p Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 4 / 22

6 Klasické modely Klasické modely vázaný náboj: Lorentzův (tlumený harmonický) oscilátor ω 2 p ˆε(ω) = 1 + ω 2 ω2 iω/τ volný náboj: Drudeho model ω 2 p ˆε(ω) = 1 ω 2 + iω/τ Pojem plazmová frekvence pochází z modelu řídkého plazmatu: τ kde 1/τ je srážková frekvence: ˆε(ω) = 1 ω2 p ε(ω p) = k(ω > ω p) = k(ω < ω p) > ω 2 Stejné sumační pravidlo (nezávislé na ω a τ ): ωε i(ω) dω = π 2 ω2 p = πq2 2mε N Asymptotické chování ω závisí pouze na hustotě nábojů N, resp. na ω p, a ne na tom jak jsou náboje vázané. Modely zavedly Paul Drude a Hendrik Antoon Lorentz koncem 19 století Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 4 / 22

7 Klasické modely Klasické modely částicový přístup Jednotlivé částice v systému jsou různě těžké a mají různý náboj. Navíc jednotlivé částice jsou různě silně vázané, tj. mají různé ω a v principu i τ, potom předchozí vztahy pro dielektrickou odezvu klasického systému můžeme přepsat jako sumu přes všechny částice: ˆε(ω) = q 2 j 1 ε V m j ω 2 j,j ω2 iω/τ,j což je vztah pro nezávislé harmonické oscilátory. Ve skutečnosti v klasickém systému bychom měli brát v úvahu i to, že oscilátory nejsou nezávislé, ale mají mezi sebou vazby (Fano rezonance). Tento fakt nemá vliv na asymptotické chování, ani nemá vliv na sumační pravidlo, protože vazby (když se dobře započítají) obsahují členy s oběma znaménky. V objem systému Drudeho Lorentzův model implementovaný v newad2 ˆε(E) = A + j 2 N j π Ej 2 E 2 ib je kde pro N j platí Eε i(e) de = j N j Parametr A je volitelný (správně A = 1). Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 5 / 22

8 Klasické modely Klasické modely sumační pravidlo Jelikož v systému existují elektrony a několik druhů jader n, tak sumu lze psát: ( ωε i(ω) dω = πe2 N e + ) ZnN 2 n 2ε m e m n n Vezmeme-li v úvahu kvazineutralitu a též vztah mezi hmotností elektronu m e a hmotností nukleonů u, tak sumu můžeme přepsat následovně ωε i(ω) dω = πe2 2m eε UN e U 1 + me 2u = Nebo vzhledem ke vztahům σ r(ω) = ε ωε i(ω) a F(E) = Eε i(e) lze též psát σ r(ω) dω = πe2 2m e UN e F(E) de = (eh)2 8πε m e UN e = UN e = N Z předchozího tedy plyne, že relativní příspěvek od nukleonů do dielektrické funkce je pro libovolný materiál. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 6 / 22

9 Klasické modely Klasické modely Drudeho Lorentzův model Drudeho Lorentzův model ˆε(E) = 1 + j 2 N j π Ej 2 E 2 ib je 1. dielectrická funkce, ε r dielectrická funkce, ε i LithosilQ2 UDM Drude Lorentz 2 N 2 =.44 ev 2 E 2 =.12 ev B 2 =.16 ev N 2 /N 1 = N 1 = 416 ev 2 E 1 = 15.2 ev B 1 = 8.9 ev energie fotonu, E (ev) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 7 / 22

10 Klasické modely Klasické modely Drudeho Lorentzův model Drudeho Lorentzův model ˆε(E) = 1 + j 2 N j π Ej 2 E 2 ib je 1. dielectrická funkce, ε r dielectrická funkce, ε i LithosilQ2 UDM Drude Lorentz 2 Drude Lorentz 5 N ph /N el = energie fotonu, E (ev) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 7 / 22

11 Klasické modely Klasické modely Drudeho Lorentzův model Drudeho Lorentzův model ˆε(E) = 1 + j 2 N j π Ej 2 E 2 ib je dielectrická funkce, ε r dielectrická funkce, ε i LithosilQ2 UDM Drude Lorentz 2 Drude Lorentz 5 Drude Lorentz N ph /N el = energie fotonu, E (ev) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 7 / 22

12 Empirické modely Obsah 1 Klasické modely 2 Empirické modely 3 Modely zahrnující gap (semiklasické) 4 Použitelnost klasických modelů 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 8 / 22

13 Empirické modely Empirické modely Před tím, než Paul Drude zavedl formalismus zahrnující absorpční procesy optikové používali pouze index lomu pro popis lomu světla na hladkých rozhraních. Za povšimnutí stojí dvě formule z 19 století vyjadřující disperzní závislost indexu lomu na vlnové délce: Cauchyho formule n(λ) = A + B λ 2 + C λ 4 Sellmeierova formule B jλ 2 n 2 (λ) = A + j λ 2 λ 2 j Parametr A v Sellmeierově formuli je volitelný (správně A = 1). Sellmeierova formule reprezentuje reálnou část dielektrické odezvy netlumeného harmonického oscilátoru. Tato formule má v bodech λ j singularity. Imaginární část by byla representována delta funkcemi v těchto bodech singularit. Cauchy formule je Taylorův rozvoj Sellmeierovy formule umožňující ve speciálních případech lineární regresi dat. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 22

14 Empirické modely Empirické modely Cauchyho formule n(λ) = A + B λ 2 + C λ 4 Sellmeierova formule B jλ 2 n 2 (λ) = 1 + j λ 2 λ 2 j index lomu, n λ 1 = 67. nm B 1 =.671 λ 2 = nm B 2 =.433 LithosilQ2: Schott UDM Cauchy Sellmeier λ 3 = 9746 nm B 3 = vlnová délka, λ (nm) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 22

15 Empirické modely Empirické modely Cauchyho formule n(λ) = A + B λ 2 + C λ 4 Sellmeierova formule B jλ 2 n 2 (λ) = 1 + j λ 2 λ 2 j λ 1 = 67. nm B 1 =.671 LithosilQ2: UDM Sellmeier λ 3 = 9746 nm B 3 =.87 extinkční koeficient, k λ 2 = nm B 2 = vlnová délka, λ (nm) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 22

16 Empirické modely Empirické modely Cauchyho formule n(λ) = A + B λ 2 + C λ 4 Sellmeierova formule B jλ 2 n 2 (λ) = 1 + j λ 2 λ 2 j dielektrická funkce, ε r λ 1 = 67. nm B 1 =.671 λ 2 = nm B 2 =.433 LithosilQ2: Schott UDM Cauchy Sellmeier λ 3 = 9746 nm B 3 = vlnová délka, λ (nm) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 22

17 Empirické modely Empirické modely Cauchyho formule n(λ) = A + B λ 2 + C λ 4 Sellmeierova formule B jλ 2 n 2 (λ) = 1 + j λ 2 λ 2 j dielektrická funkce, ε i λ 1 = 67. nm B 1 =.671 λ 2 = nm B 2 =.433 LithosilQ2: UDM Sellmeier λ 3 = 9746 nm B 3 = vlnová délka, λ (nm) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 22

18 Empirické modely Empirické modely Sellmeierova formule netlumený oscilátor ω2 p ˆε(ω) = 1 + ω 2 ω ω p 2 /(ω 2 -ω 2 ) -2-4 ε r (ω =) ε r (ω =.5) ε r (ω =1) ε r (ω =1.5) frekvence, ω/ω p Kde ˆε(ω) = pro frekvenci ω 2 + ω2 p = systém stíní elektomagnetické pole podobně jako řídké plasma v intervalu ω (ω, ω 2 + ω2 p). Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 22

19 Modely zahrnující gap (semiklasické) Obsah 1 Klasické modely 2 Empirické modely 3 Modely zahrnující gap (semiklasické) 4 Použitelnost klasických modelů 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 1 / 22

20 Modely zahrnující gap (semiklasické) Modely zahrnující gap Forouhi a Bloomer A.R. Forouhi a I. Bloomer v roce 1986: kde k(e) = A(E Eg)2 E 2 BE + C B = A Q KK = n(e) = n( ) + ( ) B 2 + E gb E 2 g + C 2 [(E 2 g + C) B2 ] 2EgC (BE + C) E 2 BE + C C = A Q Q = 1 4C B 2 2 Volné parametry jsou A, B, C, E g a n( ). Vady modelu: Chybí časově inverzní symetrie Suma diverguje Absorbuje i pro E < E g Když k(e) = pro E < E g, tak model není Kramers Kronigovsky konzistentní. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 11 / 22

21 Modely zahrnující gap (semiklasické) Modely zahrnující gap Campi a Coriasso Campi a Coriasso v roce 1988 využili faktu, že klasický model tlumeného harmonického oscilátoru vykazuje kvadratickou závislost funkce síly přechodu (vodivosti) pro malé hodnoty energie: F(E) = Eε i(e) = 2N π BE 2 (E 2 E 2 c) 2 + B 2 E 2 Posuneme-li počátek absorpce této funkce o hodnotu energie gapu E g a hodnoty funkce síly přechodu v intervalu E (, E g) položíme rovny nebude to mít vliv na sumační integrál. Imaginární část dielektrické funkce poté zpětně dostaneme tak, že výsledek podělíme energií: ε i(e) = F(E) E = 2N B( E E g) 2 pro E > E Eπ [( E E g) 2 Ec] 2 2 g + B 2 ( E E g) 2 Reálná část dielektrické funkce se poté musí dopočítat z Kramers Kronigova integrálu: ε r(e) = π X ε i(x) X 2 E 2 dx Výsledný model splňuje všechny základní požadavky kladené na dielektrickou funkci, neabsorbuje v zakázaném pásu, má kvadratickou závislost gapu (Tauc) a pro E g = přejde k DHO modelu. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 12 / 22

22 Modely zahrnující gap (semiklasické) Modely zahrnující gap Jellison a Modine V roce 1996 Jellison a Modine publikovali podobný model jako Campi a Coriasso, který obsahuje stejný počet parametrů, avšak je založen na triku, kdy imaginární část dielektrické funkce DHO modelu pro energie E > E g se vynásobí faktorem: ( E E g) 2 Tento model je v literatuře nejrozšířenější a nazývá se Tauc Lorentz model. Formálně tento model vypadá jednoduše pro ε i(e): E 2 ε i(e) = N( E E g) 2 C NE [(E 2 E 2 c) 2 + B 2 E 2 ] pro E > E g Normalizační konstanta C N a reálná část ε r(e) se musí dopočítat ze sumačního pravidla a z Kramers Kronigova integrálu. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 13 / 22

23 Modely zahrnující gap (semiklasické) Modely zahrnující gap Jellison a Modine dielectrická funkce, ε i dielectrická funkce, ε r N el = ev 2 n ef = 4.42 LithosilQ2 UDM Drude Lorentz 12 Tauc Lorentz 1 N = 91 ev 2 E = 56.7 ev B = 13 ev energie fotonu, E (ev) Pomocí parametru hustoty taveného křemene N a = ev 2 lze spočítat efektivní hodnota počtu elektronů n ef. Přičemž skutečná hodnota valenčních elektronů SiO 2 je: = 4 3 Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 14 / 22

24 Použitelnost klasických modelů Obsah 1 Klasické modely 2 Empirické modely 3 Modely zahrnující gap (semiklasické) 4 Použitelnost klasických modelů 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 15 / 22

25 Použitelnost klasických modelů Použitelnost klasických modelů vázané stavy elektronů 1 Ignorují existenci pásové struktury, především existenci zakázaného pásu, tj. ε i(e) pro E < E g Toto se dá opravit v případě amorfních látek použitím semiklasických modelů zavádějící Taucův gap: Tauc Lorentzův (Jellison Modine) model, Campi Coriasso, Cody Lorentz (Ferlauto a spol) atd. V případě krystalických látek to může být problém pokud na absorpční hraně vykazují ostrou excitonovou strukturu. 2 Co se týká sumačního pravidla je nutné kompenzovat nesoulad mezi skutečnou hodnotou hustoty elektronů a hodnotou, která se nám vyjde z klasického modelu. V praxi se zavádí efektivní počty elektronů. Například pro valenční elektrony c-si: ωε ve i (ω) dω = πe2 n ven a n ve m eε Velmi špatně popisují vázané stavy elektronů co se týká distribuce i sumy. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 16 / 22

26 Použitelnost klasických modelů Použitelnost klasických modelů vázané stavy elektronů Fakt, že nesedí sumační pravidlo a počty valenčních elektronů, je znám velmi dlouho c-si K el. (1.55) L el. (8.33) electron effective number, n eff = N/Na valence electrons (4.12) 2 E g photon energy, E' (ev) Především hodnota efektivního počtu valenčních elektronů pro Germánium je příliš velká na to aby zahrnovala excitace jaderných M elektronů, protože E Me 3eV. To ale neznamená, že sumační pravidlo neplatí, jenom platí jako celek. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 17 / 22

27 Použitelnost klasických modelů Použitelnost klasických modelů volné elektrony U volných elektronů v případě kondenzované látky se v praxi zavádí efektivní hmotnosti elektronů, tak aby se kompenzoval nesoulad mezi skutečnými hustotami volných elektronů a příspěvkem do sumy. Tato hmotnost na rozdíl od vázaných elektronů koresponduje s efektivní hmotností definovanou pomocí pásové struktury. Například pro fosforem dopovaný křemík suma pro volné elektrony je následující: ωε fe i (ω) dω = πe2 N 2m P m eε m fe m e/3 tedy vodivostní elektrony přispívají do sumy jaky by jich bylo 3 více. Dobře popisují volné elektrony, ale v případě kondenzované látky je nutná renormalizace (v plazmatu není nutné). Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 18 / 22

28 Použitelnost klasických modelů Použitelnost klasických modelů fononová absorpce 1 Špatně popisují profil absorpčního píku u jednofononové absorpce a ignorují existenci pásové struktury u vícefononové absorpce. Toto se dá opravit použitím gaussovského píku a gaussovského rozšíření. 2 Co se týká sumačního pravidla zavádí se efektivní náboje elektronů, aby se kompenzoval nesoulad s příspěvkem do sumy. Například pro hydrogenizované látky se vodíkové absorpční píky mohou normovat následovně: ωε H i (ω) dω = πe H 2 N H 2uε Samozřejmě je nutné rozlišovat různé kmitové módy. Síly těchto módů je nutné bud kalibrovat nebo teoreticky spočítat z ab initio metod. Špatně popisují fononovou absorpci co se týká distribuce i sumy. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 19 / 22

29 Použitelnost klasických modelů Použitelnost klasických modelů fononová absorpce Hodnoty parametrů popisující fononovou absorpci v a-si:h. peak p ν p (cm 1 ) β p (cm 1 ) α p S S S B B W R TO fixované hodnoty Efektivní náboje vodíkových a křemíkových jader mají tedy hodnotu: α H =.381 = e H e = α H =.617, e Si e = 14 α TO =.23. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 2 / 22

30 Shrnutí Obsah 1 Klasické modely 2 Empirické modely 3 Modely zahrnující gap (semiklasické) 4 Použitelnost klasických modelů 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 21 / 22

31 Shrnutí Shrnutí Klasické modely jsou automaticky časově invariantní a Kramers Kronigovsky konzistentní. Z klasických modelů vyplývá sumační pravidlo pro lineární dielektrickou odezvu, které je možné zobecnit až na jednotlivé částice (elektrony a nukleony) Odvození klasických modelů vyžaduje aproximaci Êloc Ê, která je ekvivalentní dipólové aproximaci nutné pro odvození kvantově mechanických modelů. Tato aproximace neumožňuje ověřit platnost sumačního pravidla pro λ a. Prezentovali jsme si Drudeho Lorentzův model implementovaný v newad2. Ukázali jsme si konkrétní implementaci empirických a semiklasických modelů a jak souvisí tyto modely s klasickými modely. Na závěr jsme diskutovali použitelnost klasických modelů. Ukázali jsme, že jsou prakticky nepoužitelné pro vázané náboje a že nejdou aplikovat na jednotlivé elementární excitace z hlediska sumačního pravidla. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 22 / 22