Matematické modelování KMA/MM

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Semestrální práce z předmětu Matematické modelování KMA/MM Téma: Alkohol za volantem & Nehoda Plzeň, 19. listopadu 2008 Ondřej Konrády FI - Finanční informatika A08N0196P konrady.ondrej@gmail.com

Obsah: 1 Úvod... 3 2 Specifikace zadání... 4 3 Teorie k řešení úlohy... 5 3.1 Vstřebávání a odbourávání alkoholu z krve... 5 3.1.1 Množství alkoholu v nápoji... 5 3.1.2 Koncentrace etanolu v krvi v závislosti na čase... 6 3.2 Chladnutí motoru... 6 4 Řešení... 7 4.1 Nejzazší čas příjezdu policie... 7 4.2 Policejní vyšetřování... 10 5 Závěr... 14 2

1 Úvod Tato práce si dává za úkol ukázat modelovou situaci, kdy dojde k dopravní nehodě, za které nebyl řidič zcela střízlivý, a následnému policejnímu vyšetřování. To má rozhodnout mj. o tom, jestli řidiči vznikne nárok na pojistné plnění. 3

2 Specifikace zadání Panu Míkovi se během cesty automobilem z hospody stala nehoda - střetl se s lesní zvěří tak, že jeho vůz není schopný další jízdy. Musí tedy zavolat policii a nechat událost zdokumentovat - kvůli pojišťovně (chtěl by proplatit alespoň část škody). Jenže neřídil zcela střízlivý a pokud by tuto skutečnost policie zjistila a uvedla do zprávy, nedostane od pojišťovny žádné peníze. Úkolem je zjistit kdy nejdříve může přijet policie, aby pan Míka neměl již žádný alkohol v krvi (informace pro něj) jestli pan Míka zavolal policii ihned po nehodě (informace pro policii) jestli pan Míka neřídil pod vlivem alkoholu (informace pro pojišťovnu a policii) Pozn.: Některé skutečnosti byly pro účely modelu zkresleny a zjednodušeny. 4

3 Teorie k řešení úlohy Úloha je nejdříve řešena obecně ve 2 krocích: řešení vstřebávání a odbourávání alkoholu v krvi (kap. 4.1) a chladnutí motoru automobilu (kap. 4.2). 3.1 Vstřebávání a odbourávání alkoholu z krve Celý proces konzumace alkoholu (z našeho hlediska) se skládá ze 2 fází: 1) resorpční (vstřebávací) 2) eliminační (vylučovací) V resorpční fázi dochází k pronikání etanolu do krve. V tabulce 3.1 je znázorněný časový úsek 1, za který je skončeno vstřebávání etanolu do krevního oběhu z trávicí soustavy. Do krevního oběhu se ale nevstřebá veškerý vypitý etanol - rozdíl mezi vypitým a vstřebaným etanolem se nazývá tzv. vstřebávaný deficit etanolu. Vztah použitý níže (3.2) tento jev zohledňuje. Náplň žaludku Koncentráty a víno Pivo Na lačno 30 60 Lehká náplň 60 90 Do minut Do Střední náplň 90 120 Nadměrná náplň 120 150 Tab. 3.1 Trvání vstřebávací fáze požívání etanolu minut 3.1.1 Množství alkoholu v nápoji Množství vypitého etanolu, tj. kolik gramů etanolu je obsaženo ve vypitém alkoholickém nápoji, je závislé na objemu nápoje, hustotě etanolu a koncentraci alkoholu v nápoji. Tedy kde V * H * c a = (3.1) 100 a - počet gramů etanolu, které obsahuje požitý nápoj V - objem vypitého nápoje (ml) H - hustota etanolu (0,789 g/cm 3 ) c - koncentrace alkoholu v nápoji (%). 1 Maximální hodnota zjištěná výzkumem 5

3.1.2 Koncentrace etanolu v krvi v závislosti na čase Nyní víme, kolik gramů etanolu obsahuje trávicí trakt člověka. Hodnota etanolu v krvi se měří v promile a u každého člověka i po vypití stejného množství etanolu může být rozdílná. Tato hodnota je závislá především na hmotnosti (příp. tělesném tuku) člověka a pohlaví. Původní Widmarkův 2 výzkum ukázal, že průměrné mužské tělo dokáže zadržovat etanol 68 procenty jinými slovy, 68 % hmotnosti těla se podílí na odbourávání etanolu (tj. Widmarkův r faktor = 0,68). Upravený Widmarkův vztah: a Ct = w* β * t (3.2) w* r kde C t - koncentrace alkoholu v krvi v čase t od počátku pití ( ) a - absolutní množství požitého alkoholu w - tělesná hmotnost člověka (kg) r - redukční (Widmarkův) faktor 3, muži 0,68, ženy 0,55 β - eliminační faktor (0,12 0,20 g.kg -1 h -1 ) t - doba od počátku požívání alkoholických nápojů do okamžiku měření (h). 3.2 Chladnutí motoru Chladnutí motoru lze popsat Newtonům zákonen (zákonitostí) pro ochlazování - speciální případ energetické bilance (tepelné bilance). Slovní formulace: Okamžitá časová změna teploty je úměrná rozdílu teploty vně a uvnitř tělesa. kde Matematické vyjádření: T ( t) - teplota tělesa v čase t dt ( t) = k( T ( t) R), t 0 (3.3) dt k - teplotní koeficient charakterizující tepelné vlastnosti tělesa a okolí (k > 0) R - teplota okolního prostředí Metodou integračního faktoru dojdeme k řešení vztahu (3.3): λt T(0) k. e R = + (3.4) 2 Widmark's original research 3 Widmarkův r faktor zjištěný výzkumem postaveném na průměrných hodnotách lidského těla 6

4 Řešení 4.1 Nejzazší čas příjezdu policie Pan Míka přijel do hospody v 15,00. Vypil 3 desetistupňová piva a v 16,00 již odjížděl domů. Jeho tělesná váha je 80 kg. Podle vztahu (3.1) zjistíme, kolik gramů alkoholu vypil: V * H * c 1500 * 0, 789* 4, 1 a = = = 48, 5235 (4.1) 100 100 Toto množství by ale mohlo odpovídat situaci, kdy by pan Míka vypil tři piva zcela najednou. Pan Míka ve skutečnosti vypil první pivo v 15,00, druhé v 15,30 a třetí těsně před odjezdem). V tabulce 3.1 je uvedeno, že vstřebávací fáze pro pivo na lačný žaludek činí maximálně 60 minut. Vezmeme tuto dobu jako čas, za který se veškerý vypitý etanol dostane do krve a začne odbourávat. Odbourávání etanolu v těle je dáno eliminačním faktorem β (0,12 0,20 g.kg -1 h -1 ), viz. kap. 3.1.2. Pro náš model vezměme průměrnou hodnotu 0,16 g na 80 kg váhy pana Míky za 1 hodinu. Rekurentně: kde,, 1 a, i+ 1 = ai q + pi+ 1 i = 0 1 (4.2) 2 ai - obsah etanolu (g) v těle v čase i ( a 0 - viz. (3.1)) q - odbourané množství etanolu (g) za jednu hodinu; (v našem modelu q = 0,16*80 = 12,8) p i+1 - množství etanolu (g) vypitého v čase i+1 Tabulka 4.1 ukazuje, jak by mohl vypadat vývoj vstřebávání a odbourávání etanolu u pana Míky vypadat. čas (h) 0 1/2 První pivo Druhé pivo etanol v těle (g) etanol v krvi ( ) V * H * c 500 * 0, 789 * 4, 1 a0 = = 16, 2 100 100 q 12, 8 a1/ 2 = a0 = 16, 2 + 16, 2 = 26 2 2 7

Třetí q 12, 8 a 16,2 1 a1 = a1 / 2 = 26 + 16, 2 = 35, 8 C1 = = 0,298 pivo 2 2 w* r 80* 0,68 1½ 3 / 2 2 2 Tab. 4.1 Průběh vstřebávání a odbourávání etanolu a 26 C = = 0,478 w* r 80* 0,68 a 35,8 C = = 0,658 w* r 80* 0,68 Absorbční fáze je tedy popsána hodnotami: i f(x i ) t 1 0,298 1 2 0,478 1½ 3 0,658 2 Použijeme metodu interpolace pro zjištěné hodnoty a křivka vývoje promile alkoholu v krvi by mohla vypadat viz. obr 4.1: Vývoj promile v krvi 0,45 0,4 0,35 0,3 Promile 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Čas (h) Obr. 4.1 Vývoj vstřebávání alkoholu v krvi Jak je vidět z grafu pan Míka opouštěl restauraci v čase t = 1, tj. v době, kdy se mu teprve etanol vstřebával do krve. Pan Míka si po nehodě spočítal, že v čase t = 2 musel mít pravděpodobně 0,658 alkoholu v krvi. Kdy tedy může přijet policie, aby událost zdokumentovala, a pan Míka bude mít již 0 v krvi? Viz. výše uvedeno odbourávací koeficient je u pana Míky 12,8 g etanolu za hodinu, 12,8 čili přibližně 0,235 promile za hodinu. 80* 0,68 8

Okamžik, kdy je odbourán veškerý alkohol z jeho krve, je zřejmě popsán funkcí f ( x ) = 0,658 0,235x. (4.3) Pro f(x) = 0 je x = 2,8. Pan Míka si tedy spočítal, že za 3 hodiny a 48 min., tj. od doby kdy dopil poslední pivo, by již jeho krev měla obsahovat nula promile (viz Obr. 4.2). Pan Míka může tedy zavolat policii tak, aby dorazila nejdříve 1 h a 48 minut po jeho nehodě. Vývoj promile v krvi 0,7 0,6 0,5 Promile 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 6 Čas (h) Obr. 4.2 Vývoj alkoholu v krvi (obě fáze) zdroj [1] 9

4.2 Policejní vyšetřování Dopravní nehoda (střet s lesní zvěří) se stala v 18:00 a auto pana Míky je dále nepojízdné. Policie je podle informací pana Míky schopna na místo nehody dorazit za 30 minut. Pan Míka tedy spočítal, že pokud zavolá policii v 19 hodin 18 minut, přijede akorát v okamžik, kdy už bude mít nulový alkohol v krvi. Vzhledem k neúplné znalosti prostředí je jeho informace o příjezdu nepřesná v místě, kde havaroval může policie přijet buď ze služebny v Horním Benešově nebo z Dolního Benešova (viz. Obr. 4.3). Obr. 4.3 Schéma okolí nehody a) Příjezd policie za 30 minut Celá událost se vyvíjí podle plánu pana Míky. Po příjezdu na místo policie byly zjištěny následující skutečnosti: Čas nehody (skutečný) 18:00 h Čas nehody (udaný panem Míkou) 19:10 h Volání na policii 19:18 h Příjezd policie 19:48 h Venkovní teplota 2 C Teplota vnějšího krytu motoru v okamžiku příjezdu policie 38 C Teplota vnějšího krytu motoru 1 hodinu po příjezdu policie 28 C Tab. 4.2 Zjištěné skutečnosti Dále se ví, že u auta pana Míky dosahuje ustálená teplota vnějšího krytu motoru 64 C. 10

Podle vztahu (3.4) je policie schopna zjistit, před jakou dobou se stala dopravní nehoda: T(0) = 38 C; R = 2 C; λt T = k * e + R (0) λ 0 38 = k * e + 2 k = 36 λt tj. T = 36* e + 2 ( t) Zbývá zjistit, kolik je גkoeficient (>0). Z výše uvedené tabulky je vidět 4 (policie zjistila), že za 1 hodinu klesla teplota na 28 C: 1 28 = 36* e λ + 2 (28 2) λ = ln 36 λ = 0,325 Čili chladnutí motoru by mohlo být popsáno funkcí T( t) 2 36* 0,325t = + e (4.4) Chladnutí motoru Teplota ( C ) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Čas (h) Obr. 4.4 Průběh chladnutí motoru Před jakou dobou byla tedy teplota vnějšího krytu motoru na své ustálené hodnotě 64 C? 4 Pro tento model jsem provedl skutečné měření teploty krytu motoru 11

64= 2 + 36* e 64 2 = 36 e 0,325t 0,325t 62 0,325t = ln 36 t = 1,67 zdroj [2] Policie tedy zjistila, že motor auta se přestal ohřívat (vypnul) před 1 h a 40 min. po jejich příjezdu. Policie se tedy táže - proč nezavolal pan Míka policii dřív a na co čekal? b) Příjezd policie za 5 minut Takhle brzký příjezd policie pan Míka neočekával (policie přijíždí o 25 minut dříve než očekával, tj. v 19:23). Podle vztahu (4.4) pro odbourávání alkoholu z krve připočítáme k nulové hodnotě zbývající alkohol k odbourání za dobu 25 minut. Od času potřebného k odbourání veškerého alkoholu tedy odečteme zmíněný počet minut. Čili policie naměří hodnotu promile alkoholu v krvi zřejmě f ( x ) = 0,658 0,235x d 30 5 f ( x d ) = 0,658 0,235* ( 2,8 ) 60 f ( x ) = 0,098. d Vývoj alkoholu v krvi při předčasném příjezdu policie 0,7 0,6 0,5 Promile 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 Čas (h) Obr. 4.5 Vývoj v krvi při příjezdu policie o 25 minut dříve 12

Výpočtem obdobným jako výše v odstavci a) by policie došla k závěru, že nehoda se stala přibližně před 1 hodinou a 15 minutami. Čili v době nehody měl podle jednoduchého výpočtu pan Míka v těle podle kap. 4.1 přibližně 0,098+0,235*1,25 = 0,39. Tato informace již stačí pojišťovně k tomu, aby podle smlouvy škodu na automobilu panu Míkovi neproplatila. 13

5 Závěr Na modelové situaci bylo znázorněno, jak se vyvíjí vstřebávání a odbourávání alkoholu v lidském těle. Dále bylo ukázáno, že řidič netelefonoval na policii bezprostředně po nehodě, ale vyčkával, než z jeho krve vyprchá zbytek alkoholu, což bylo rozpoznáno z výpočtu provedeného na základě znalosti funkce chladnutí motoru. Pro pana Míku je výhodné zařídit situaci tak, aby policie přijela nejdříve 1 hodinu a 48 minut, poté již podle výpočtu nebude jeho tělo obsahovat žádný alkohol. V případě, že policie přijede na místo nehody o něco dříve, než pan Míka očekával, bude zjištěno kolik má a kolik měl alkoholu v krvi a pojišťovna mu žádnou škodu neproplatí. 14

Literatura [1] František Vorel, jun.: Soudní lékařství; Grada, Praha, 1999; ISBN 80-7169-728-1 [2] Přednášky z předmětu KMA/MM 2008, ZČU Plzeň 15